14.2 第5课时 利用“HL”判定两个直角三角形全等-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

第3课时利用“SSS”判定两个三角形全等 知识储备 相等边边边SSS 基础练综合练素养练 1.C2.D3.(1)BCCB(2)证明：.AB=CD,.AB+BC=CD+BC.即 (AC=BD, AC=BD.在△ACE和△BDF中，AE=BF,.△ACE≌△BDF(SSS).4.B CE=DF, 5.解：AB=AC,AE=号AB,AF=号AC,AE=AF,在△AED和△AFD中， AE=AF, DE=DF,∴.△AED≌△AFD(SSS).∴∠BAD=∠CAD.∴AD平分∠BAC. LAD-AD, 6.(1)a (2)A B 2a (3)AC BC SSS 7.B 8.B 9.B 10.C 11.(1)证明：AF=CE,∴.AF+EF=CE+EF,即AE=CF.在△ADE和 (AD=CB, △CBF中，DE=BF,∴.△ADE≌△CBF(SSS);(2)解：△ADE≌△CBF成立. AE=CF, 理由如下：：AF=CE,.AF-EF=CE-EF,即AE=CF.在△ADE和△CBF 「AD=CB, 中，DE=BF,.△ADE≌△CBF(SSS).(3)AD与CB不一定平行，理由如下： AE-CF. 在△ADE和△CBF中，仅有AD=CB,DE=BF,不能判定它们全等，即不能得 出∠A=∠C,故AD与CB不一定平行.12.证明：连接BC.在△ABC和 (AB=DC, △DCB中，{AC=DB,∴.△ABC≌△DCB(SSS).∴.∠A=∠D.在△AOB和 BC=CB, ∠AOB=∠DOC, △DOC中，{∠A=∠D, ..△AOB≌△DOC(AAS)...OB=OC. AB=DC, 第4课时利用三角形全等的判定方法进行尺规作图 知识储备 1.没有刻度2.①作一个角等于已知角②在给定边、角条件下，求作三角形 基础练综合练素养练 1.D2.解：图略.3.略4.A5.D6.65°7.内错角相等，两直线平行 (AD=CB. 8.略9.解：作图略，在△ADC和△ABC中，{∠DAC=∠ACB,.△ACD≌ AC=CA, △CAB(SAS).∠ACD=∠CAB..AB∥CD.10.(I)由作图可知∠ABF= ∠ACD.CD⊥AB,∴.∠BDC=90°.∴.∠ABF+∠BED=90°.又∠CEF ∠BED,∴.∠CEF+∠ACD=90°.∴.∠AFB=90°；(2)=(3)BF平分 ∠ABC,∠ABF=∠CBF.由(I)知∠AFB=∠CFB=90°，∴.△AFB≌△CFB (ASA)...AF-FC-AC-3. 第5课时利用“HL”判定两个直角三角形全等 知识储备 1.斜边斜边，直角边HL 基础练综合练素养练 1.A2.43.(1)90°CD EDED EF Rt△ABC(2)证明：，∠ACB= ∠CFE=90°，.∠ACB=∠DFE=90°.在Rt△ACB和Rt△DFE中， IAB=DE,:R△ACB≌Rt△DFE(H),.AC=DF,AC-AF=DF-AF, BC=EF, 即AD=CF.4.D5.证明：.BD⊥AC,.∠EDF=90°..∠1=∠2，∠1十 ∠C=90°，∠2十∠E=90°，.∠E=∠C.在△DEF和△BCA中， I∠EDF=∠CBA, DE=BC, ..△DEF≌△BCA(ASA),.DF=AB.6.4或87.B ∠E=∠C, 8.49.1210.证明：，AE⊥BD,CF⊥BD,.∠AEB=∠CFD=90°.BF= DE,.BF-EF=DE-EF,即BE=DF.在Rt△ABE与Rt△CDF中， (AB=CD:RL△ABE≌R1△CDF(HL).·∠ABG=∠CDG.在△ABG与 BE=DF, ∠AGB=∠CGD, △CDG中， ∠ABG=∠CDG,∴.△ABG≌△CDG(AAS)..AG=CG AB=CD, 11.解：(I)过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,∴∠PMA=∠PNB =90,P(2,2),PM=PN=2.在R△AMP和R△BNP中，PAPB, .Rt△AMP≌Rt△BNP(HL)..∠APM=∠BPN,.∠APB=∠APM+ ∠BPM=∠BPN+∠BPM=∠MPN=90°，∴.PA⊥PB;(2)(0,-4);(3)OA OB=(OM+MA)-(BN-ON)=OM+ON=4:(4)OA+OB=4. 模型构建专题（二）全等三角形的基本模型 1.解：(1)AD=BE,.AD十DB=BE十DB,.AB=DE.在△ABC和△EDF (AC=EF, 中，3AB=ED,∴.△ABC≌△EDF(SSS);(2),△ABC≌△EDF,∴.∠C=∠F= BC=DF, 65°.∠A=60°，∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=55°.2.证明：(1)在△ABE和 I∠E=∠F, △ACF中，∠B=∠C,.△ABE≌△ACF(AAS)..∠EAB=∠FAC AE=AF, ∴.∠EAB-∠CAB=∠FAC-∠CAB,即∠1=∠2；(2)由△ABE≌△ACF,得 ∠C=∠B, AC=AB.在△ACN和△ABM中，AC=-AB, ..△ACN≌△ABM ∠CAB=∠BAM, (ASA).3.(1)证明：①∠ACB=∠DCE=90°，∴.∠ACB+∠BCE=∠DCE (AC=BC, +∠BCE,即∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中，了∠ACE=∠BCD, CE=CD, .△ACE≌△BCD(SAS).②.△ACE≌△BCD,.∠CAE=∠CBD..∠CAE +∠EAB+∠ABC=90°，∴.∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°..∠AFB=90°.. AE⊥BD.(2)60°(3)180°-a4.解：，∠BMA=∠BAC=∠ANC,∠BMA +∠ABM=∠BAC+∠CAN,∴.∠ABM=∠CAN,在△ABM与△CAN中， ∠BMA=∠ANC, ∠ABM=∠CAN,.△ABM≌△CAN(AAS),.BM=AN=6,AM=CN=2, AB=CA, ,∴.MN=AM+AN=8.5.(1)AM+BN=MN(2)解：(1)中结论不成立，理 由如下：.∠ACB=∠ACM+∠BCN=90°，∠CAM+∠ACM=90°，..∠CAM ∠CAM=∠BCN, =∠BCN.在△ACM和△CBN中，〈∠AMC=∠BNC,,∴.△ACM≌△CBN AC=CB, (AAS)...AM-CN,CM=BN..MN=CN-CM,.'MN=AM-BN,(1) 论不成立. 14.3角的平分线 第1课时角的平分线的作法和性质 知识储备 1.距离2.(1)已知求证(2)画出图形 基础练综合练素养练 1.A2.解：图略.3.34.105.证明：.AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF1 AC,..DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.在△BDE和△CDF中， BE=CF, ∠BED=∠CFD,∴.△BDE≌△CDF(SAS).∴.DB=DC,即D是BC的中点. DE=DF, 6.中线AD'AB∠BFC名号BD'AB∠BBD A'B'D'7.65°8.109.(1)DC=DB(2)证明：过点D分别作DE⊥AB于 点E,DF⊥AC于点F,则∠DFC=∠DEB=90°.：AD平分∠BAC,DE⊥AB, DF⊥AC,.DE=DF.∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∠B= ∠DFC=∠DEB, ∠FCD.在△DFC和△DEB中，{∠FCD=∠B,.△DFC≌△DEB(AAS). DF-DE, .'BD=DC.第5课时 利用“HL”判定两个直角三角形全等 知识储备 和一条直角边分别相等的两个直角三角 形全等，简写成“ ”或“ ” 2.书写格式：用“HL”判定两个三角形全等时，两 个三角形符号前一定要加上“R” 十十十十十州十十十十十十十十”十十十 01基础练 必备知识梳理一 知识点二选择适当的方法判定两个直角三角 知识点一 用“HL”判定直角三角形全等 形全等 1.如图，AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC,则能直 4.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等 接判定Rt△ABD≌Rt△CDB的方法是( 的是 () A.HL B.ASA C.SAS D.SSS A.两条直角边对应相等 B.斜边和一个锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角分别相等 第1题图 第2题图 5.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC 2.如图，四边形ABCD中，∠D=∠B=90°，AD 于点D,点E在DB的延长线上，DE=BC, =AB,CD=4,则CB的长是 ∠1=∠2.求证：DF=AB. 3.(1)(答题模板)如图，AB⊥CB,EF⊥DF,垂 足分别为B,F,AB=EF,AD=CE. 求证：BC=FD. 证明：.AB⊥CB, EF⊥FD, ∴.∠B=∠F= .AD=CE,∴.AD+CD=CE+ 即AC= 在R△ABC和R△EFD中·AB AC= 易错点 因忽视分类讨论而漏解 6.如图，在Rt△ABC中，∠C= D ≌Rt△EFD(HL). 90°，AC=8,BC=4,PQ=AB, ..BC=FD 点P与点Q分别在AC和AC (2)【针对练习】如图，∠ACB= 的垂线AD上移动，则当AP= 时， ∠CFE=90°，AB=DE,BC= △ABC与△APQ全等. EF.求证：AD=CF 【点拨】当两个全等的直角三角形的对应点不明确 时，要分类讨论.本题可分为△CBA≌△APQ或 △CBA≌△AQP两种情况. 29八年级数学·上册 02综合练 膏关健能力提升一 03素养练 净学升在养站直口 7.如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D, 11.如图①，已知点P(2,2),点A在 DE LAC于点E,若AD=CD,则图中的全等 x轴正半轴上运动，点B在y轴 三角形有 ( ) 负半轴上运动，且PA=PB. A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 (1)求证：PA⊥PB; (2)若点A(8,0),则点B的坐标为 (3)求OA-OB的值； (4)(拓展)如图②，若点B在y轴正半轴上 运动，其他条件不变，直接写出OA+OB 第7题图 第8题图 的值。 8.【教材P60复习题T11变式】如图，∠ACB= 90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别 为D,E,若BE=2cm,AD=6cm,则DE= cm. 图① 图② 9.(2024·石家庄期中)如图， AD,BE是△ABC的高，AD 与BE相交于点F,若AD= BD=6,且AF=2,则△ACD的面积为 10.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AE⊥ BD,CF⊥BD,E,F是垂足，BF=DE,连接 AC交BD于点G,求证：AG=CG 少解题四招 作垂线构造直角三角形解决坐标系中有关线 段的问题(T11) 已知平面直角坐标系中某点的坐标，可过该 点分别作x轴，y轴的垂线，构造两个直角三角 形，把点的坐标转化为线段的长，再分析已知条 件，推出这两个三角形全等所差的条件，从而证明 三角形全等：然后利用全等三角形的对应边相等、 对应角相等解决相关线段或角度的问题· 助学助教优质高数30