第13章 数学活动(一)动画电影《哪吒2》中的数学秘密&综合与实践(一)确定均质薄板的重心位置-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

数学活动（一） 动画电影《哪吒2》中的数学秘密 【数学文化背景】在动画制作 (2)阅读教材P19中计算n边形的不同三角剖 中，三角剖分(Triangulation) 分法数的欧拉公式，计算四边形、五边形、六边 是一种关键的几何处理技术， 形、七边形有多少种三角剖分方法，然后小组交 主要用于将复杂的三维模型 流展示 表面分解为三角形网格，以便 计算机进行高效渲染和物理 模拟，在《哪吃2》的制作中，这 一技术被广泛应用于角色建模、场景构建、布料 模拟以及动画特效制作等环节.下面我们通过 活动来研究多边形的三角剖分。 活动一：从多边形的一个顶点出发作它的对角 线，对图形进行三角剖分 (1)结合图形完成下表： 从多边形 的一顶点 分割出的三 名称 图形 多边形内角和 引出的对 角形个数 角线条数 三角形 0 1 四边形 1 2 五边形 2 3 六边形 3 4 活动三：请完成下列问题 1.从十二边形的一个顶点可以引出 条对 。 角线，把三角形剖分为 个三角形，得出 边形 n-3 n-2 它的内角和是 ,它的外角和是 2.过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与 (2)研究发现：我们按照从特殊到一般的顺序发 这些对角线所分得的三角形个数的和为21， 现从n(n≥3)边形的一个顶点可以引出 求这个多边形的边数 条对角线，把三角形剖分为 个三角形，得出多边形内角和是 的事实。 活动二：(1)将一个四边形进行三角剖分，有 种剖分方法。 15 八年级数学·上册 综合与实践（一）确定均质薄板的重心位置 “重心”的概念在古希腊时期就有了初步的研究.古希腊数学家阿基米德在研究物体的平 衡问题时，就对重心有了深入的思考.他通过研究发现，对于一个均匀的物体，其重心就是物 背景体所受重力的合力作用点，这个点具有特殊的物理意义，它决定了物体在重力作用下的平衡 材料状态. 要研究平面几何图形的重心，我们有必要先研究物体（如木棒、三角形纸板等）的重心位 置，进而抽象出平面几何图形的重心，并从中发现规律。 1.学生试验记录单 2.学生试验器材：直尺、铅笔、细线、铁架台、均匀木棒、三角形纸板、平行四边形纸板、长方形 准备 纸板、正方形纸板、钉子、螺钉、圆规、量角器等 过程3.组建合作团队：本次综合与实践活动需要团队协作，在班级中组成5~8人一组的研究小 组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人. 4.方案构思。 杂技演员头上的碗、顶杆上的碟子掉不下来是由于它们保持着一种 平衡.试一试： 任务 1.怎样用一根手指平衡地顶起一本书？ 1 2.如何找木条、三角形、平行四边形、长方形、正方形的重心？有哪 些方法？ 任务1.如图，选择一个组合图形的薄板工件，通过推理、计算确定其重心的位置， E 2 2.如何确定一个由多个不规则多边形组成的复杂工件的重心位置？ B 任务 尝试用坐标法确定平面直角坐标系中三角形顶点坐标分别为A(1,1)、B(5,1)、C(3,4)的重 3 心坐标，并总结用坐标法求三角形重心坐标的一般规律. 助学助款优质高数16微专题二 1.63°2.180°3.79°4.(1)23°(2)减少10 模型构建专题（一）三角形中内、外角平分线的常见模型 1.解：(1)131°(2)：BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB,.∠EBC =号∠ABC,∠ECB=号∠ACB.∠EBC+∠ECB=号（∠ABC+∠ACB. :∠A=a,∠ABC+∠ACB=180-a.÷∠EBC+∠ECB=号(180-). ∠BBC-180°-号(180°-。)=60+号c.2.解：1)①45°②不变化，理由 如下：·AD平分∠BAO,BC平分∠ABN,∠BAD=号∠BAO,∠CBA= 2 ∠NBA.“∠D+∠BAD=∠CBA,∠D=∠CBA-∠BAD=号∠NBA-号 ∠BA0=2(∠NBA-∠BAO)=号∠MON.:∠MON=90°，∠D=45 ∠D的度数不发生变化.(2)号a°3.A 第十三章核心素养与跨学科融合专练 1.解：设∠1=∠2=x,则∠4=∠3=2x.:∠BAC=63°，.∠2十∠4=117°.即x +2x=117°.解得r=39°.，./DAC=∠BAC-∠1=24°.2.(1)A(2)解：选 择图④.证明如下：CD∥AB,∴.∠ACD=∠A,∠B+∠BCD=180°.∠BCD =∠ACB+∠ACD,∴.∠B+∠ACB+∠ACD=180°.∴.∠A+∠B+∠ACB= 180°，即三角形的内角和是180°.3.D4.C 数学活动（一）动画电影《哪吒2》中的数学秘密 活动一：(1)1×180°=180°2×180°=360°3×180°=540°4×180°=720 (1-2)×180°(2)(n-3) (n-2)(1-2)·180°活动二：解：(1)2(2)通 过欧拉公式解答如下：①求D,(四边形三角剖分方法数)已知=3时，D3=1,根 据公式-”，当=3时合-4X名-12与6-2，因为D=1,所以D 3 3 =2×D,=2X1=2.②求D,(五边形三角剖分方法数)已知n=4时，D X46-16:6-9-号，因为D=2,所以D,=号×D-号×2=5.@求D 4 (六边形三角剖分方法数)已知=5时，受-X图-2四。-兰，因为0 5 5 5 5,所以D,-4×D-兰×5=14.④求D,(七边形三角刹分方法数)已知n=6 ,D=4×6-6-246=3,因为D,=14,所以D,=3×D,=3×14=42.四 时D6 6 6 边形的三角剖分方法有2种，五边形的三角剖分方法有5种，六边形的三角剖分 方法有14种，七边形的三角剖分方法有42种.活动三：1.9101800°360 2.解：设这个多边形的边数为，则过一个顶点有(n一3)条对角线，所分得的三 角形个数为n-2..n一3+n一2=21.解得1=13.答：这个多边形的边数为13. 综合与实践（一）确定均质薄板的重心位置 解：任务1：1.我们用平衡法来转书.2.寻找几何图形重心的方法有平衡法、悬挂 法、铅垂线法、分割法等； 木条（线段）的重心就是这条线段的中点：三角形的重心是这个三角形三条中线 的交点；平行四边形、长方形、正方形的重心分别是它们的两条对角线的交点；规 则的几何图形的重心就是它的几何中心.任务2：1.如图，先确定两个长方形的 重心位置，然后根据它们的面积比例和重心位置来计算整个工件的重心位置； 17 2.可以将其分割成多个已知重心位置的简单图形（如三角形、长方形等），然后利 用这些图形的重心位置和面积比例来计算整个工件的重心位置；任务3：求三角 形ABC重心的坐标，设重心为G.G(1+5+3,1+】+4),即G3,2).用坐标法求 3 三角形重心坐标的一般规律：对于平面直角坐标系中任意三角形，若其三个顶点 坐标分别为A(M),B(),C(y),则其重心G的坐标为（西十十L, 3 十十当). 3 第十三章大单元整合与素养提升 典例导航 解：(1)2<BC<812或14(2)∠B+∠C+∠BAC=180°，.∠BAC=180° -∠B-∠C-180°-10°-30°=80.：AE平分∠BAC,∠BAE=号∠BAC= 40°.AD⊥BC,∴.∠ADE=90°.∴.∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°. .∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°.(3)603024 考点过关 1.D2.D3.C4.B5.C6.三角形具有稳定性7.B8.110°9.(1)证 明：∠ABC+∠ABE=180°，BF平分∠ABE,BO平分∠ABC,,∠ABO+ ∠ABF=2∠ABC+号∠ABE=2(∠ABC+∠ABE)=90.·∠PB0=90P, .BF⊥BO.OD⊥OB,∴BF∥OD.(2)70°10.C11.8 素养提升 12.解：ID35°(2)：BF平分∠ABC,CF平分∠DCE,∴∠FBC=2∠ABC ∠FCE=2∠DCE.∠F=∠FCE-∠FBC=号（∠DCE-∠ABC.:∠A+ ∠D=230°，∴.∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D)=130°..∠ABC+(180 -∠DCE)=130.∠DCE-∠ABC=50.&∠P=号（∠DCE-∠ABC)= 25.(3)正确的结论是①，理由如下：同(1)可得∠A=号∠BAC,:EQ平分 ∠AEC,CQ平分∠ACE,·.∠QEC= ∠AEC.∠QCE=合∠ACE.“∠Q= 180°-（∠QEC+∠QCE)=180°- 2(∠AEC+∠ACE)=180°- 2∠BAC, ÷∠Q+∠A=180°-∠BAC+号∠BAC=180.“∠Q+∠A的值为定值， ①正确，其值为180° 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 知识储备 1.重合2.全等3.形状大小4.相等相等 基础练综合练素养练 1.B2.B3.(1)ED EF DF∠E∠D∠F△EDF(2)△ABC AB 和DE,AC和DC,BC和EC∠A和∠D,∠B和∠E,∠ACB和∠DCE4.B 5.45°6.27.解：(1)AB∥DE,AB=DE;理由：.△ABC2△DEF,.AB= DE,∠A=∠D,∴.AB∥DE;(2)△ABC≌△DEF,∴.AC=DF..AC-CF= DF-CF,即AF=CD.又AD=5,CF=3,.∴.AD=AF+CD+FC=2AF+FC =2AF+3=5...AF=1,∴.AC=AF+FC=4.8.4或59.C10.60° 11.(-3,1)12.解：(1)②③④(2)△ABC≌△ADE,∴.∠B=∠D,∠BAC =∠DAE.又∠BAD=∠BAC-∠CAD,∠CAE=∠DAE-∠CAD,∴.∠BAD =∠CAE.'∠DAC=60°，∠BAE=100°，∴∠BAD=7(∠BAE-∠DAC)= 20°.：在△ABG和△FDG中，∠B=∠D,∠AGB=∠FGD,.∠DFB=∠BAD =20°.13.(1)△ADF(2)证明：△ABF≌△FCD,∴∠B=∠C=90°. .∠B+∠C=180°..AB∥CD;(3)解：AF⊥FD,AF=FD.理由：，∠B=90°， .∠BAF+∠BFA=90°..△ABF≌△FCD,.DF=AF,∠DFC=∠FAB. .∠BFA十∠DFC=90°..∴.∠AFD=90°..AF⊥FD.(4)64 18