13.3.2 三角形的外角-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

13.3.2 三角形的外角 知识储备 4.如图，D是△ABC边BC延长线上的一点， 1.三角形的一边与另一边的 组成的 DF交AC于点E,∠A=35°，∠ACD=83°. 角，叫三角形的外角. (1)求∠B的度数： 2.三角形的外角等于与它 的两个内角 (2)若∠D=42°，则∠AFE的度数是 的 3.三角形的外角和是 十十十十十十十 01基础练 必备知识梳理·一 知识点一三角形外角的概念 易错点 因不能正确理解题意致错 1.【概念辨析】如图，∠1，∠2，∠3中是△ABC 5.【性质辨析】下列说法正确的是 外角的是 A.三角形的外角大于它的内角 A.∠1，∠2 B.三角形的外角等于它的两个内角的和 B.∠2，∠3 C.三角形的内角小于与它相邻的外角 C.∠1，∠3 D.若三角形有一个外角是锐角，则此三角形 D.∠1，∠2，∠3 是钝角三角形 知识点二三角形外角的性质 2.(1)【新中考·跨体育学科】体育课上小华的 02综合练 2 关键能力提升·一 侧压腿动作（如图①）可抽象为几何图形（如 6.一副三角板如图所示摆放， 图②)，如果∠1=110°，那么∠2的度数为 若∠1=80°，则∠2的度数 ( 是 ( ) A.30° B.25° C.20° D.10° A.80° B.95° C.100° D.110° 7.(1)【教材P15例4变式】如图，在△ABC中， 延长AB至点D,延长BC至点E.如果∠1+ ∠2=230°，那么∠A ② 第2(1)题图 第2(2)题图 (2)【T2(1)变式】如图，AB∥CD,∠A=65°， ∠E=38°，则∠C的度数是 2 3.【教材P16练习图5变式】如 E 第7(1)题图 第7(2)题图 A03 图，在△ABC中，D是AB上 (2)【T7(1)变式】如图，∠3=120°，则∠1 D1 一点.连接CD.则∠1，∠2， ∠2= 》 ∠3的大小关系是 ()B 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A= A.∠1<∠2<∠3 B.∠1<∠3<∠2 40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交 C.∠3<∠2<∠1 D.∠2<∠1<∠3 AC的延长线于点E. 11八年级数学·上册 (1)则∠CBE= (ID求证：∠E=(∠BAC-∠B: (2)过点D作DF∥BE,交AC的延长线于点 F,求∠F的度数 (2)如图②，若AF平分∠BAC,∠ECD 60°，∠E=24°，则∠AF℃的度数是 D 图① 图② 03素养练 净学拼生养些有一 9.【教材P17习题T11玫编】 一材多题 如图①，CE是△ABC的外角∠ACD的平分 线，且CE交BA的延长线于点E 微专题白 与三角形的角有关的几何模型 模型一 “8”字模型 3.如图，∠C=42°，∠D 模型展示 21°，∠AED= 100°，则 如图，AB,CD相交于点O,连接 ∠ABC的度数为 AD,BC. 结论：∠A十∠D=∠B+∠C 模型三“飞镖”型 模型展示 1.如图，AB,CD相交于点O,∠A=43°，∠D 如图，有结论：∠BDC=∠B十 =57°，∠C=37°，则∠B= ∠C+∠BAC. 4.(1)如图，∠A=60°，∠BDC=120°，∠C 37°，则∠B= 第1题图 第2题图 30. 2.如图是由平面上A,B,C,D,E五个点连接 而成的，则∠A十∠B十∠C+∠D+∠E= 50° 60° B 模型二“A”字模型 第4(1)题图 第4(2)题图 模型展示 (2)【新情境·躺椅】如图所示的是可调躺 椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为 C,且∠CAB,∠CBA,∠E保持不变.为了 舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD= 结论：∠ADE+∠AED=∠ABC+∠ACB 110°，则图中∠D应 (填“增加”或 “减少”) 助学助教优质高数1213.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 知识储备 180° 基础练综合练素养练 1.AB∠BCD∠ACE两直线平行，内错角相等平角定义180°等量代 换2.D3.B4.(1)C(2)24°5.75°6.807.57.5°8.解：由题意，得： ∠BAC=∠CAE-∠BAE=90°-30°=60°.∠BCA=∠ACF-∠BCF=90°- 50°=40°.∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-60°-40°=80°.答：从B地 看A,C两地的视角∠ABC是80°.9.D10.B11.解：(1)在△ABC中， ∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-42°=78°.：BE,CD分别平分 ∠ABC,∠ACB.∠FBC=合∠ABC=2I,∠PCB=号∠ACB=39,在△BFC 中，∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-21°-39°=120°.(2)70°12.解： (1)68°(2).·∠ADE=∠AED=75°，∴.∠DAE=180°-∠ADE-∠AED= 30°.∠ADC=180°-∠DAE-∠C=82°，.∠CDE=∠ADC-∠ADE=82° 75°=7°.13.解：(1)：∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°， 又∠AOB=∠COD,.∠A十∠B=∠C+∠D;(2)图2中有：ABCD,ABED, EBCD共计3个“8”字图形.(3)：BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABE= ∠CBE=号∠ABC,∠CDE=∠ADE=是∠ADC:∠A+∠ABE=∠E+ ∠ADE,∠C+∠CDE=∠E+∠CBE,.∴.∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=2∠E +∠ADE+∠CBE.∴∠A+∠C=2∠E.即∠E=(∠A+∠C. 第2课时直角三角形的性质与判定 知识储备 1.互余2.互余 基础练综合练素养练 1.(1)∠A∠B∠A∠B(2)72°2.C3.C4.证明：AB∥CD,. ∠BAC+∠ACD=180°.：∠E=90°，.∠2+∠3=90°..∠1+∠4=90. .AE平分∠BAC,.∠1=∠2.∴.∠3=∠4...CE平分∠ACD.5.60°或90 6.(1)B(2)直角7.证明：∠BAC=90°，.∠BAD+∠1=90°.：BD平分 ∠ABC,∠ABD=∠2.∠1=∠2，∴.∠BAD+∠ABD=90°.∴.∠ADB= 90°.即△ABD是直角三角形.8.C9.69°10.解：(1)∠1=∠2.理由如下： AD⊥BC,CELAB,∴.△ABD和△BCE都是直角三角形.∠1+∠B=90°， ∠2+∠B=90°.∠1=∠2.(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：：AD LBC, CELAB,.∠D=∠E=90°..∠2+∠ABD=90°，∠1+∠CBE=90°.又 ∠ABD=∠CBE,∴.∠1=∠2.1L.解：∠B=36°，∠C=70°，∴.∠BAC=180° -∠B-∠C=74°.：AE,AD分别是△ABC的高和角平分线，∴∠CAD= ∠BAD=37°.：在R△AEC中，∠EAC=90°-∠C=20°.∴.∠DAE=∠CAD ∠EAC=37°-20°=17°.答：∠BAC是74°，∠DAE=17°.12.解：(1)130°90 40°(2)结论：∠ABP+∠ACP=90°-∠A.证明：，90°+（∠ABP+∠ACP) +∠A=180°，∴.∠ABP+∠ACP+∠A=90°.∴.∠ABP+∠ACP=90°-∠A. (3)不成立；存在∠ACP-∠ABP=90°-∠A.理由：△ABC中，∠ABC+∠ACB =180°-∠A,,∠MPN=90°，.∠PBC+∠PCB=90°..（∠ABC+∠ACB) (∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°.即∠ABC+∠ACP+∠PCB-∠ABP ∠ABC-∠PCB=90°-∠A,∴.∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 13.3.2三角形的外角 知识储备 1.延长线2.不相邻和3.360 基础练综合练素养练 1.C2.(1)C(2)27°3.D4.解：(1)∠ACD是△ABC的一个外角，∠A= 35°，∠ACD=83°，.∠B=∠ACD-∠A=48°.(2)90°5.D6.B7.(1)50 (2)60°8.解：(1)65(2).∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴.∠CEB=∠ACB ∠CBE=90°-65=25°.·DF∥BE,.∠F=∠CEB=25°.9.(1)证明：CE 平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.∠DCE=∠B+∠E,∴.∠ACE=∠B+∠E. ,∠BAC=∠ACE+∠E,∴.∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E.∠E= 2（∠BAC-∠B).(2)78 微专题二 1.63°2.180°3.79°4.(1)23°(2)减少10 模型构建专题（一）三角形中内、外角平分线的常见模型 1.解：(1)131°(2)：BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB,.∠EBC =号∠ABC,∠ECB=号∠ACB.∠EBC+∠ECB=号（∠ABC+∠ACB. :∠A=a,∠ABC+∠ACB=180-a.÷∠EBC+∠ECB=号(180-). ∠BBC-180°-号(180°-。)=60+号c.2.解：1)①45°②不变化，理由 如下：·AD平分∠BAO,BC平分∠ABN,∠BAD=号∠BAO,∠CBA= 2 ∠NBA.“∠D+∠BAD=∠CBA,∠D=∠CBA-∠BAD=号∠NBA-号 ∠BA0=2(∠NBA-∠BAO)=号∠MON.:∠MON=90°，∠D=45 ∠D的度数不发生变化.(2)号a°3.A 第十三章核心素养与跨学科融合专练 1.解：设∠1=∠2=x,则∠4=∠3=2x.:∠BAC=63°，.∠2十∠4=117°.即x +2x=117°.解得r=39°.，./DAC=∠BAC-∠1=24°.2.(1)A(2)解：选 择图④.证明如下：CD∥AB,∴.∠ACD=∠A,∠B+∠BCD=180°.∠BCD =∠ACB+∠ACD,∴.∠B+∠ACB+∠ACD=180°.∴.∠A+∠B+∠ACB= 180°，即三角形的内角和是180°.3.D4.C 数学活动（一）动画电影《哪吒2》中的数学秘密 活动一：(1)1×180°=180°2×180°=360°3×180°=540°4×180°=720 (1-2)×180°(2)(n-3) (n-2)(1-2)·180°活动二：解：(1)2(2)通 过欧拉公式解答如下：①求D,(四边形三角剖分方法数)已知=3时，D3=1,根 据公式-”，当=3时合-4X名-12与6-2，因为D=1,所以D 3 3 =2×D,=2X1=2.②求D,(五边形三角剖分方法数)已知n=4时，D X46-16:6-9-号，因为D=2,所以D,=号×D-号×2=5.@求D 4 (六边形三角剖分方法数)已知=5时，受-X图-2四。-兰，因为0 5 5 5 5,所以D,-4×D-兰×5=14.④求D,(七边形三角刹分方法数)已知n=6 ,D=4×6-6-246=3,因为D,=14,所以D,=3×D,=3×14=42.四 时D6 6 6 边形的三角剖分方法有2种，五边形的三角剖分方法有5种，六边形的三角剖分 方法有14种，七边形的三角剖分方法有42种.活动三：1.9101800°360 2.解：设这个多边形的边数为，则过一个顶点有(n一3)条对角线，所分得的三 角形个数为n-2..n一3+n一2=21.解得1=13.答：这个多边形的边数为13. 综合与实践（一）确定均质薄板的重心位置 解：任务1：1.我们用平衡法来转书.2.寻找几何图形重心的方法有平衡法、悬挂 法、铅垂线法、分割法等； 木条（线段）的重心就是这条线段的中点：三角形的重心是这个三角形三条中线 的交点；平行四边形、长方形、正方形的重心分别是它们的两条对角线的交点；规 则的几何图形的重心就是它的几何中心.任务2：1.如图，先确定两个长方形的 重心位置，然后根据它们的面积比例和重心位置来计算整个工件的重心位置； 17