13.3.1 第2课时 直角三角形的性质与判定-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 知识储备 180° 基础练综合练素养练 1.AB∠BCD∠ACE两直线平行，内错角相等平角定义180°等量代 换2.D3.B4.(1)C(2)24°5.75°6.807.57.5°8.解：由题意，得： ∠BAC=∠CAE-∠BAE=90°-30°=60°.∠BCA=∠ACF-∠BCF=90°- 50°=40°.∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-60°-40°=80°.答：从B地 看A,C两地的视角∠ABC是80°.9.D10.B11.解：(1)在△ABC中， ∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-42°=78°.：BE,CD分别平分 ∠ABC,∠ACB.∠FBC=合∠ABC=2I,∠PCB=号∠ACB=39,在△BFC 中，∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-21°-39°=120°.(2)70°12.解： (1)68°(2).·∠ADE=∠AED=75°，∴.∠DAE=180°-∠ADE-∠AED= 30°.∠ADC=180°-∠DAE-∠C=82°，.∠CDE=∠ADC-∠ADE=82° 75°=7°.13.解：(1)：∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°， 又∠AOB=∠COD,.∠A十∠B=∠C+∠D;(2)图2中有：ABCD,ABED, EBCD共计3个“8”字图形.(3)：BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABE= ∠CBE=号∠ABC,∠CDE=∠ADE=是∠ADC:∠A+∠ABE=∠E+ ∠ADE,∠C+∠CDE=∠E+∠CBE,.∴.∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=2∠E +∠ADE+∠CBE.∴∠A+∠C=2∠E.即∠E=(∠A+∠C. 第2课时直角三角形的性质与判定 知识储备 1.互余2.互余 基础练综合练素养练 1.(1)∠A∠B∠A∠B(2)72°2.C3.C4.证明：AB∥CD,. ∠BAC+∠ACD=180°.：∠E=90°，.∠2+∠3=90°..∠1+∠4=90. .AE平分∠BAC,.∠1=∠2.∴.∠3=∠4...CE平分∠ACD.5.60°或90 6.(1)B(2)直角7.证明：∠BAC=90°，.∠BAD+∠1=90°.：BD平分 ∠ABC,∠ABD=∠2.∠1=∠2，∴.∠BAD+∠ABD=90°.∴.∠ADB= 90°.即△ABD是直角三角形.8.C9.69°10.解：(1)∠1=∠2.理由如下： AD⊥BC,CELAB,∴.△ABD和△BCE都是直角三角形.∠1+∠B=90°， ∠2+∠B=90°.∠1=∠2.(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：：AD LBC, CELAB,.∠D=∠E=90°..∠2+∠ABD=90°，∠1+∠CBE=90°.又 ∠ABD=∠CBE,∴.∠1=∠2.1L.解：∠B=36°，∠C=70°，∴.∠BAC=180° -∠B-∠C=74°.：AE,AD分别是△ABC的高和角平分线，∴∠CAD= ∠BAD=37°.：在R△AEC中，∠EAC=90°-∠C=20°.∴.∠DAE=∠CAD ∠EAC=37°-20°=17°.答：∠BAC是74°，∠DAE=17°.12.解：(1)130°90 40°(2)结论：∠ABP+∠ACP=90°-∠A.证明：，90°+（∠ABP+∠ACP) +∠A=180°，∴.∠ABP+∠ACP+∠A=90°.∴.∠ABP+∠ACP=90°-∠A. (3)不成立；存在∠ACP-∠ABP=90°-∠A.理由：△ABC中，∠ABC+∠ACB =180°-∠A,,∠MPN=90°，.∠PBC+∠PCB=90°..（∠ABC+∠ACB) (∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°.即∠ABC+∠ACP+∠PCB-∠ABP ∠ABC-∠PCB=90°-∠A,∴.∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 13.3.2三角形的外角 知识储备 1.延长线2.不相邻和3.360 基础练综合练素养练 1.C2.(1)C(2)27°3.D4.解：(1)∠ACD是△ABC的一个外角，∠A= 35°，∠ACD=83°，.∠B=∠ACD-∠A=48°.(2)90°5.D6.B7.(1)50 (2)60°8.解：(1)65(2).∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴.∠CEB=∠ACB ∠CBE=90°-65=25°.·DF∥BE,.∠F=∠CEB=25°.9.(1)证明：CE 平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.∠DCE=∠B+∠E,∴.∠ACE=∠B+∠E. ,∠BAC=∠ACE+∠E,∴.∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E.∠E= 2（∠BAC-∠B).(2)78第2课时 直角三角形的性质与判定 十”十 知识储备 易错点○因忽视直角顶点的位置不唯一致错 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角 5.(2024·六盘水期中)如 图，已知∠AOD=30°，点 2.直角三角形的判定：有两个角 的三角 C是射线OD上的一个动 形是直角三角形， 十十十十十十”十十十十十十十”十十十 点，在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角 01基础练 必备知识梳理一 三角形，则此时∠A所有可能的度数为 知识点一 直角三角形的两个锐角互余 1.(1)如图，在△ABC中，若∠C= 【点拨】由于直角顶点不确定，故要分类讨论：即 90°，则可得 ①点A是直角顶点；②点C是直角顶点。 知识点二有两个角互余的三角形是直角三角形 =90°. 6.(1)在△ABC中，∠B=54°，∠C=36°，则 符号语言表示为：.∠C=90°， △ABC的形状是 () =90. A.锐角三角形 B.直角三角形 (2)【T1(1)变式】在Rt△ABC中，∠C=90°， C.钝角三角形 D.不能确定 若∠A=4∠B,则∠A= (2)【T6(1)变式】在△ABC中，若∠A=60°， 2.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板 叠放在直尺上，则∠1十∠2= () ∠B=2∠A,则△ABC是 三角形. A.60° B.75° C.90° D.105° 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD平分 D ∠ABC,且∠1=∠2. 求证：△ABD是直角三角形. 第2题图 第3题图 3.【教材P14例3变式】如图，在△ABC中，∠C =90°，AE平分∠BAC,BD⊥AE交AE的延 长线于点D.若∠1=24°，则∠EAB=() A.66° B.33° C.24° D.12 4.【教材P17习题T10变式】如图，AB∥CD, AE平分∠BAC,已知∠E=90°. 02综合练 身关键能力提升口 求证：CE平分∠ACD. 8.【教材P14“思考”变式】若四个三角形分别满 足以下条件：①∠A+∠B=∠C;②∠A ∠B=∠C;③∠A=∠B=2∠C;④∠A: ∠B:∠C=1：2:3,则其中直角三角形的 个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 9 八年级数学·上册 9.如图，在△ABC中，∠ACB 03素养练 =90°，将三角形纸片 净孕共老泰站直口 B:... 12.如图1，△ABC中，有一块直角三 ABC沿CD折叠，使点B 角板PMN放置在△ABC上(P 恰好落在AC边上的点E处.若∠A=24°，则 点在△ABC内)，使三角板PMN ∠EDC= 的两条直角边PM,PN恰好分别经过点B 10.【教材P14例3改编】 一材多题 和点C. 如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D,CE 试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定 ⊥AB于点E. 的数量关系？ (1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由： (1)【特殊探究】若∠A=50°，则∠ABC+ (2)如图2，如果∠ABC是钝角，其余条件不 ∠ACB= ·∠PBC+∠PCB= 变，(1)中的结论是否仍然成立？请说明 ,∠ABP+∠ACP=; 理由. (2)【类比探索】请探究∠ABP+∠ACP与 ∠A的关系； (3)【类比延伸】如图2，改变直角三角板 PMN的位置，使P点在△ABC外，三 图1 图2 角板PMN的两条直角边PM,PN仍 然分别经过点B和点C,(2)中的结论是 否仍然成立？若不成立，请直接写出你 的结论 ☒图 11.【教材P16习题T4变式】如图，AE,AD分 别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°， ∠C=70°，求∠BAC和∠DAE的度数， 助学助教优质高数10