13.3.1 第1课时 三角形的内角和-【名师学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 知识储备 180° 基础练综合练素养练 1.AB∠BCD∠ACE两直线平行，内错角相等平角定义180°等量代 换2.D3.B4.(1)C(2)24°5.75°6.807.57.5°8.解：由题意，得： ∠BAC=∠CAE-∠BAE=90°-30°=60°.∠BCA=∠ACF-∠BCF=90°- 50°=40°.∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-60°-40°=80°.答：从B地 看A,C两地的视角∠ABC是80°.9.D10.B11.解：(1)在△ABC中， ∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-42°=78°.：BE,CD分别平分 ∠ABC,∠ACB.∠FBC=合∠ABC=2I,∠PCB=号∠ACB=39,在△BFC 中，∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-21°-39°=120°.(2)70°12.解： (1)68°(2).·∠ADE=∠AED=75°，∴.∠DAE=180°-∠ADE-∠AED= 30°.∠ADC=180°-∠DAE-∠C=82°，.∠CDE=∠ADC-∠ADE=82° 75°=7°.13.解：(1)：∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°， 又∠AOB=∠COD,.∠A十∠B=∠C+∠D;(2)图2中有：ABCD,ABED, EBCD共计3个“8”字图形.(3)：BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABE= ∠CBE=号∠ABC,∠CDE=∠ADE=是∠ADC:∠A+∠ABE=∠E+ ∠ADE,∠C+∠CDE=∠E+∠CBE,.∴.∠A+∠ABE+∠C+∠CDE=2∠E +∠ADE+∠CBE.∴∠A+∠C=2∠E.即∠E=(∠A+∠C. 第2课时直角三角形的性质与判定 知识储备 1.互余2.互余 基础练综合练素养练 1.(1)∠A∠B∠A∠B(2)72°2.C3.C4.证明：AB∥CD,. ∠BAC+∠ACD=180°.：∠E=90°，.∠2+∠3=90°..∠1+∠4=90. .AE平分∠BAC,.∠1=∠2.∴.∠3=∠4...CE平分∠ACD.5.60°或90 6.(1)B(2)直角7.证明：∠BAC=90°，.∠BAD+∠1=90°.：BD平分 ∠ABC,∠ABD=∠2.∠1=∠2，∴.∠BAD+∠ABD=90°.∴.∠ADB= 90°.即△ABD是直角三角形.8.C9.69°10.解：(1)∠1=∠2.理由如下： AD⊥BC,CELAB,∴.△ABD和△BCE都是直角三角形.∠1+∠B=90°， ∠2+∠B=90°.∠1=∠2.(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：：AD LBC, CELAB,.∠D=∠E=90°..∠2+∠ABD=90°，∠1+∠CBE=90°.又 ∠ABD=∠CBE,∴.∠1=∠2.1L.解：∠B=36°，∠C=70°，∴.∠BAC=180° -∠B-∠C=74°.：AE,AD分别是△ABC的高和角平分线，∴∠CAD= ∠BAD=37°.：在R△AEC中，∠EAC=90°-∠C=20°.∴.∠DAE=∠CAD ∠EAC=37°-20°=17°.答：∠BAC是74°，∠DAE=17°.12.解：(1)130°90 40°(2)结论：∠ABP+∠ACP=90°-∠A.证明：，90°+（∠ABP+∠ACP) +∠A=180°，∴.∠ABP+∠ACP+∠A=90°.∴.∠ABP+∠ACP=90°-∠A. (3)不成立；存在∠ACP-∠ABP=90°-∠A.理由：△ABC中，∠ABC+∠ACB =180°-∠A,,∠MPN=90°，.∠PBC+∠PCB=90°..（∠ABC+∠ACB) (∠PBC+∠PCB)=180°-∠A-90°.即∠ABC+∠ACP+∠PCB-∠ABP ∠ABC-∠PCB=90°-∠A,∴.∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 13.3.2三角形的外角 知识储备 1.延长线2.不相邻和3.360 基础练综合练素养练 1.C2.(1)C(2)27°3.D4.解：(1)∠ACD是△ABC的一个外角，∠A= 35°，∠ACD=83°，.∠B=∠ACD-∠A=48°.(2)90°5.D6.B7.(1)50 (2)60°8.解：(1)65(2).∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴.∠CEB=∠ACB ∠CBE=90°-65=25°.·DF∥BE,.∠F=∠CEB=25°.9.(1)证明：CE 平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.∠DCE=∠B+∠E,∴.∠ACE=∠B+∠E. ,∠BAC=∠ACE+∠E,∴.∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E.∠E= 2（∠BAC-∠B).(2)7813.3三角形的内角与外角 13.3.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 知识储备 (2)【添加平行线求角度】如图，△ABC中， 三角形三个内角的和等于 BD平分∠ABC,DE∥BC,若∠A=85°，∠C 十十十十十一十十十十十十”十 =47°，则∠BDE= 01基础练 必备知识梳理○ 5.在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°， 知识点一三角形内角和定理 则∠B的度数是 1.【新课标·过程性学习】如 知识点二三角形内角和定理的运用 图，△ABC.求证：∠A十∠B 6.【新情境·风筝】如图，小明做了一个风筝.它 +∠ACB=180°. 'D 的形状是左右对称的四边形ABCD,其中 解：如图，过点C作DE∥ ∠BCD=60°，∠D=110°，则∠BAD= ∠B= ,∠A ,∠BCD+∠ACB+∠ACE=180°( ) ∴.∠B+∠A+∠ACB= 第6题图 第7题图 2.在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC 7.【新中考·跨物理学科】如图，一束光线照射 的形状是 到平面镜AB上，然后在平面镜AB和CD之 A.等边三角形 B.锐角三角形 间来回反射，这时∠1=∠2，∠3=∠4，∠5 C.直角三角形 D.钝角三角形 ∠6.若已知∠1=50°，∠6=65°，那么∠3的 3.在△ABC中，∠C=3∠A,∠B=2∠A,则 度数为 ∠A的度数是 () 8.【教材P12例2变式】如图，C地在A地的正 A.20° B.30° C.40° D.50° 东方向，B地在A地的北偏东30°方向，同时 4.(教材P12例1改编) 一题多变 也在C地的北偏西50°方向.从B地看A,C 两地的视角∠ABC是多少度？ (1)【将已知的角度改为倍数关系】如图，BD 北 是△ABC的一条角平分线，若∠A=75°，∠C =3∠ABD,则∠ABD的度数为 () A.10° B.16 C.21 D.25 B 第4(1)题图 第4(2)题图 入年级数学·上册 02综合练 拿关锭能力提升一 03素养练 季李科去来路市一 9.如图，将△ABC沿MN折 13.【新中考·新定义型阅读理解题】我们把有 叠，使MN∥BC,点A的 组对顶角的两个三角形组成的图形叫作 对应点为A'.若∠A'= “8字”图形： 32°，∠B=112°，则∠ANC (1)如图1，AD,BC相交于点O,得到一个“8 的度数是 字”ABCD,试说明∠A+∠B=∠C+ A.114° B.112° C.110° D.108° ∠D的理由； 10.在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C,则 (2)如图2，以图中给的字母为顶点的“8字” 图形有多少个？ △ABC是 () (3)如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交 A.锐角三角形 B钝角三角形 于点E,利用(1)中的结论试说明∠E= C.直角三角形 D.等腰三角形 11.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分 (∠A+∠0的理由. 线BE,CD相交于点F. (1)若∠ABC=42°，∠A=60°，求∠BF℃的 度数； (2)若∠BFC=125°，则∠A 图2 12.如图，在△ABC中，∠B=∠C,D为边BC 上一点（点D不与点B,C重合），E为边AC 上一点，∠ADE=∠AED,∠BAC=44°. (1)则∠C的度数是 (2)若∠ADE=75°，求∠CDE的度数. 少解题妙招 与三角形的角有关的计算 (1)已知三角形的两内角，直接用三角形的内 角和定理求第三个角，如T2,T4(2) (2)已知三角形的内角之间的关系时，可利用 三角形内角和定理构建方程求角度，如T3,T4 (1),T5,T10等. 助学助教优质高致8