精品解析：广东省普宁市勤建学校2025-2026学年高三上学期第二次调研考试数学试题

勤建学校高三年级上学期第二次调研考试 数学试卷 2025.10 一､单项选择题：（本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分） 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把集合具体化，再利用集合交集运算法则可得答案. 【详解】解方程：， 因式分解得：， 解得：或， 因此，； 满足 的自然数  为：， 因此，， 故. 故选：C 2. 命题“”否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将全称命题的量词改变，结论否定可得出全称命题的否定. 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：A 3. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是减函数 C. 是奇函数，且在上是增函数 D. 是奇函数，且在上是减函数 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性． 【详解】函数的定义域是，关于原点对称，， 故函数是偶函数， 又因为，易知其为增函数， 当时，， 故在上是增函数， 故选：A． 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】若，则，即. 若，则，则. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 6. 已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据极值点求参数，再由所得参数验证在处是否取得极大值，即可得答案. 详解】由题设，则，可得或， 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极小值，不符； 当时， 当或时，则在和上递增， 当时，则在上递减， 此时在处取得极大值，符合； 综上，. 故选：C 7. 已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可. 【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当或时，两图象相交， 若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论： 当时，显然两图象之间不连续，即值域不为； 同理当,值域也不是； 当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B 8. 已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先分析在上单调递增，再利用换元法设，得到，解出值，则得到，再令，解出即可. 【详解】由题意知在上单调递增， 设，且为正常数。 则，则，，解得或（舍去）， 则，，令，解得. 故选：C. 二、选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分．） 9. 下面说法正确的有（ ） A. 角与角的终边相同 B. 终边在直线上的角的取值集合可表示为 C. 若角的终边在直线上，则的取值为 D. 化成弧度是 【答案】AD 【解析】 【分析】由角的推广和三角函数的定义逐一判断各个选项即可得到结论. 【详解】对于A：∵，∴角与角的终边相同，A选项正确； 对于B：∵直线的斜率，即，∴，B选项错误； 对于C：∵直线的斜率，即，∴，C选项错误； 对于D：，D选项正确. 故选：AD. 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定ABC的正误，对于D，恒成立问题，可通过参变分离求最值来解决. 【详解】【解】A选项，，定义域为，，令，解得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 函数在时取得极大值也是最大值，故A对， B选项，时，，，当时，如下图所示： 函数有且只有唯一一个零点，故B错， C选项，当时为单调递减函数，， ，，故C对， D选项，，故，由于函数在上恒成立， ，设，定义域为，则， 设，解得，单调递增，单调递减，，故，故D对. 故选：ACD. 11. 已知函数，其中e是自然对数的底数，则下列选项正确的是（    ） A. 若，则为奇函数 B. 若，则为偶函数 C. 若具备奇偶性，则或 D. 若在上单调递增，则a的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用奇偶函数的定义判断ABC；将函数变形，利用复合函数单调性及求导法则列式求解判断D.. 【详解】对于A，当时，，由，得， 因此函数的定义域为，关于原点不对称，A错误； 对于B，当时，， 定义域为，满足，因此函数为偶函数，B正确； 对于C，当时，由B知为偶函数，当时，为奇函数，即C正确； 对于D，由函数在上单调递增， 得函数在上单调递增，且恒成立， 则在恒成立，且恒成立， 即且在恒成立，而，因此，D错误. 故选：BC 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知,若成等差数列,成等比数列,则的最小值是____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据成等差数列,成等比数列,得到,代入中,再用基本不等式求出最值即可. 【详解】解:由题知,成等差数列, 成等比数列, 故有: , 所以, 因为, 所以, 当且仅当时取等, 故, 即的最小值为2. 故答案为:2 13. 设函数的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为__________________. 【答案】 【解析】 【分析】求出点的坐标，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，由，得，则点， 由，求导得，则，于是， 所以该曲线在点处的切线方程为. 故答案为： 14. 设函数，已知方程在上有且仅有2个不相等的实数根，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先设，并求出的范围，然后利用正弦函数的性质可求解. 【详解】因为 所以当时， 因为方程在上有且仅有2个不相等的实数根， 所以解得. 故答案为： 四､解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若在其定义域上单调递增，求k的取值范围． 【答案】（1）递增区间是，，递减区间是； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，把代入并求出的单调区间. （2）由（1）的信息，结合单调性建立恒成立的不等式，再分离参数求解即得. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，， 当或时，，当时，， 因此函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，，递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，，由在其定义域上单调递增，得， 则， 当时，，当且仅当时取等号， 因此，解得，当时，，在上递增， 所以k的取值范围是 【点睛】方法点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： ①在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； ②不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； ③利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，且． （1）求A； （2）设D为的中点，若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再由余弦两角和差公式及诱导公式化简可得结果； （2）由余弦定理和三角形面积公式化简可得结果. 【小问1详解】 由条件及正弦定理得， 整理得，所以． 所以，即． 又A为锐角，．所以，故． 【小问2详解】 在中由余弦定理得，即① 在中由余弦定理得② 由①②消去a，得，即． 因为，所以， 所以． 17. 已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为． （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标和离心率公式求出的值，从而得到双曲线方程和渐近线方程； （2）联立直线方程和双曲线方程，通过韦达定理得到相关点的坐标关系，再根据直线斜率公式证明为定值. 【详解】（1）由题意，双曲线的中心为坐标原点， 右焦点为，离心率为， 可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为，其渐近线方程为． （2）由（1）知，，． 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设，，由，消去，得， 显然，，则，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的零点个数； （3）若对任意的，都有，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到且，即可求得切线方程； （2）当时，求得，求得函数的单调性与最小值，即可得到函数的零点个数； （3）转化为任意的，不等式 成立，令，求得，结合，要使得恒成立，则满足，得到，根据，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，函数，可得， 所以且，即切线的斜率为且切点坐标为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解：当时，函数，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，也为最小值， 所以，所以函数没有零点，即函数的零点个数为. 【小问3详解】 解：由对任意的，都有成立，即成立， 令，可得， 因为，要使得恒成立，则满足，即， 下面证明：当时，符合题意， 此时，令， 可得，所以为单调递减函数， 因为，所以，即 所以恒成立， 即当时，对任意的，都有成立， 综上可得，实数的最大值为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的大小； （3）如图，若，平面平面为上一动点.平面与平面夹角的大小为，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）作出合理辅助线，再根据面面垂直的性质定理得平面，再根据线面垂直的判定定理和性质定理即可证明； （2）方法一：作出二面角的平面角，再利用余弦定理求出或，再分别讨论即可；方法二：建立合适的空间直角坐标系，求出相关法向量则可得到点，再分别讨论即可； （3）方法一：建立合适的空间直角坐标系求出，再利用空间向量法写出面面角余弦的表达式，最后利用换元法和基本不等式即可求出最值； 方法二：首先同法一求出，再通过补形法，再找到二面角的平面角，最后利用余弦定理和不等式性质即可求出最值. 【小问1详解】 连接交于点，连接，在平面内过作，垂足， 因为，所以垂足不与点重合，如图： 又因为平面平面，平面平面平面，则平面， 又因为平面，所以． 在正方形中，．平面平面， 则平面，又因为平面，所以． 【小问2详解】 方法一：在平面内，过作，垂足，连接， 由（1）得，平面，因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以． 所以易知是二面角的平面角，， 在边长为1的正方形中，， 所以， 在Rt中，， 在中，， ，解得或， （i）当，又因为，在中，满足，则． 又因为平面，所以平面． 因为平面，则，所以， 又因为平面，所以到平面的距离与到平面的距离相等， 过作，垂足为．又因为易证平面，所以平面平面， 平面平面，平面，所以平面． 在Rt中，，所以到平面的距离为． 设与平面所成角为，则， 又因为，则． （ii）当，在中，得：， 如图，在中，， Rt中，， 因为， 设到平面的距离为，所以， 得：，解得，所以到平面的距离为， 设与平面所成角为，又因为，所以． 综上，与平面所成角为或． 方法二：以为轴，以为轴，过点的平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图． 则， 设，则．因为， 所以①． 因为，所以②． 因为平面，所以平面法向量， 设平面法向量，， 则，不妨取，则．所以． 因为二面角为，所以③． 由①②③解得，或，即或． （i）当时， 设平面法向量则即 不妨取，则．所以． ， 设与平面所成角为， ．又因为，所以． （ii）当时，． 设平面法向量， 则，即， 不妨取，则．所以． ， 设与平面所成角为．又因为，所以． 综上，与平面所成角为或． 【小问3详解】 法一：因为面，所以面． 所以．以为正交基建立空间直角坐标系． 因为平面平面，所以平面． 又因为平面，且平面平面，所以， 设，， 设平面法向量，， 则，不妨取，则．所以． 因为平面，所以平面法向量． 因为二面角为，所以， 即，解得，即． 设，设平面法向量， ，则，不妨取，则．所以． ，设平面法向量， ，则不妨取，则，所以. 则， 设 ， ．当且仅当时，，即最小值为． 法二：求出的过程同法一， 将补成正方体，平面平面，所以即为． 又因为，过作，垂足为，因为平面， 所以为二面角的平面角． 中，④，⑤， 由④⑤得：， 则，得． 则，解得， 当且仅当时，，此时，即最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 勤建学校高三年级上学期第二次调研考试 数学试卷 2025.10 一､单项选择题：（本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分） 1. 已知集合，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数，且在上是增函数 B. 是偶函数，且在上是减函数 C. 奇函数，且在上是增函数 D. 是奇函数，且在上是减函数 4. “”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数若值域为,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分．） 9. 下面说法正确的有（ ） A. 角与角的终边相同 B. 终边在直线上的角的取值集合可表示为 C. 若角的终边在直线上，则的取值为 D. 化成弧度是 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 11. 已知函数，其中e是自然对数的底数，则下列选项正确的是（    ） A. 若，则为奇函数 B. 若，则为偶函数 C. 若具备奇偶性，则或 D. 若在上单调递增，则a的取值范围为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知,若成等差数列,成等比数列,则最小值是____________. 13. 设函数的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为__________________. 14. 设函数，已知方程在上有且仅有2个不相等的实数根，则的取值范围是_____. 四､解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若在其定义域上单调递增，求k的取值范围． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，且． （1）求A； （2）设D为中点，若，且，求的面积． 17. 已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为． （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的零点个数； （3）若对任意的，都有，求实数的最大值． 19. 已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的大小； （3）如图，若，平面平面为上一动点.平面与平面夹角的大小为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $