精品解析：广东省揭阳市普宁国贤学校2025届高三上学期12月月考数学试题

广东省揭阳市普宁国贤学校2024-2025学年高三上学期12月月考数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每个集合，再进行交集和补集运算即可. 【详解】首先，我们来求解集合，令，所以， 化简得，故有且， 解得，故， 所以，因为， 所以，故C正确. 故选：C 2. 在复平面内，若虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算和几何意义求解即可. 【详解】， 复数与关于虚轴对称，故. 故选：C 3. 已知函数，，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 0或1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数，再由给定函数值求出. 【详解】令，则，由，得， 于是， 由，得，，所以. 故选：A 4. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如下图所示的“曲池”，其高为，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（ ） A. B. 5π C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长相较于底面圆心，设长，得到长，由弧长成三倍建立等量关系求得圆环的两个半径长，由两个扇形的作差得到“曲池”底面面积，再求得体积. 【详解】如图，延长相交于点，则由题意可知O为底面扇环所对的圆心， 设，则，圆心角 ∴，解得， ∴扇环的面积， ∴该“曲池”的体积 故选：D. 5. 如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合向量共线定理可得，进而根据向量数量积的运算律即可求解. 【详解】因为，， 故， 由于在上，所以，故， 则， 又，，， 所以， 则 . 故选：B. 6. 在锐角中，已知，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，根据锐角三角形的角度关系，结合正弦函数的性质得角度大小关系. 【详解】由，可得， 因为为锐角三角形，所以，所以， 因为，所以， 则，从而， 由，可得 当时，与均属于， 因为函数在上递减，且， 所以，即，所以， 即，所以， 又在上递增，所以； 当时，，则， 即，所以， 又在上递增，所以； 综上所述，. 故选：A. 7. 如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为，则该正二十面体的内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得正二十面体体积等于以球心为顶点的二十个正三棱锥的体积，正三棱锥的高即为正二十面体内切求半径，再由棱锥的体积公式计算即可； 【详解】由题意正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合， 所以正二十面体体积等于以球心为顶点的二十个正三棱锥的体积，正三棱锥的高即为正二十面体内切求半径，设为 所以，解得， 故选：C. 8. 若曲线的一条切线为，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设切点，由题意得，从而构造函数，利用导数求最值即可得解. 【详解】设切点，因为，所以，切线方程为， 整理得，所以， 设得， 又因为时，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：B. 二、多选题 9. 下列命题中，是真命题的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数函数图象以及幂函数图象性质，分别画出在同一坐标系下的图象即可得出结论. 【详解】画出函数与在同一坐标系内的图象，如下图所示： 显然时，图象始终在的上方，即可知A为假命题， 当时，图象始终在的下方，即，，所以B为真命题； 画出函数与在同一坐标系内的图象，如下图所示： 当时，函数的图象始终在的上方，即恒成立，因此C为假命题； 当时，函数的图象始终在的上方，即恒成立，可知D为真命题. 故选：BD 10. 数列中，记为数列的前项和，为数列的前项积，若，，则（ ） A B. C. 数列是单调递增数列 D. 当取最大值时，或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件确定为等比数列，再结合通项公式及求和公式逐项判断即可. 【详解】由得即首项为，公比为的等比数列， 所以，正确； ，正确； ，故数列是单调递减数列，错误； 因为首项为，公比为的等比数列，单调递减，，所以当取最大值时，或，正确； 故选：ABD 11. 如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的四个面都是直角三角形 B. 三棱锥的体积最大值为 C. 当时，异面直线与夹角的余弦值为 D. 当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，使用空间中直线、平面垂直有关定理证明； 对于B，三棱锥底面积固定，当高最大时，体积最大，可通过计算进行判断； 对于C，找到与和所成异面直线夹角，再由余弦定理代入计算，即可判断； 对于D，首先利用空间向量解决与平面所成角最大时点的位置，再用的外接圆解决平面的截面圆面积的计算即可. 【详解】对于A，四边形为正方形，为直角三角形； 为直径，为半圆弧上一动点，，为直角三角形； 平面平面，平面平面，平面，， 平面，平面，，为直角三角形； 平面，平面，， 又，，平面，平面， 平面，平面，，为直角三角形； 因此，三棱锥四个面都是直角三角形，故A正确； 对于B，过点在平面内作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面，为三棱锥的高， 三棱锥的体积 的面积为定值， 当最大时，三棱锥的体积最大，此时点为半圆弧的中点，， 三棱锥体积的最大值为，故B错误； 取中点，中点，中点， 连接，则，， 所以异面直线与的夹角为或其补角， 且，又， 则，， 则，又， 则， 在中，由余弦定理可得 ， 则异面直线与夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，由B选项解析知，平面，为在平面内的射影， 为直线与平面所成角， 当直线与平面所成角最大时，取最小值， 以原点，建立空间直角坐标系如图，设，，，则 在直角三角形内，，即， ，，，，， ，. 当且仅当，即时，取最小值，直线与平面所成角最大， 此时， ，，三点均为四棱锥的顶点， 平面截四棱锥外接球的截面为的外接圆面， 直角三角形外接圆半径， 截面面积，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】易错点睛：在判断三棱锥的四个面是否都是直角三角形时，易忽视，需通过证明平面进行判断；在确定直线与平面所成角最大时点的位置时，容易错误的认为当点为半圆弧的中点时，直线与平面所成角最大，需使用空间向量，借助三角函数知识进行判断. 三、填空题 12. 记为等差数列的前项和，若，，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可直接求解. 【详解】因为等差数列中，，，则可得， 公差，所以，， 则， 故答案为：. 13. 已知函数在区间上的值域为，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可. 【详解】，故， 因为在区间上的值域为， 且，故必有 ， 如图所示，则故 故答案为： 14. 设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面，截球的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角的平面角为，则球的半径为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】通过解三角形，利用转化思想求出球的半径的平方，即可求出半径. 【详解】设直线与圆的公共点为，平面截球的两个截面圆的圆心分别为，连接， 根据题意，在四边形中，, 所以 又因为，设，, 则，整理得， 又因为，所以， 所以，则， 故答案为：. 四、解答题 15. 已知向量. （1）若，且，求的值； （2）设函数，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标关系可得的值，再由可得和的值，从而得到结果； （2）利用数量积的坐标运算公式，化简得到，结合，利用三角函数的图象性质可分析得到值域. 【小问1详解】 ，，又， ，. 【小问2详解】 由题意：， ， ，， ，的值域是. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求 （2）若，的面积为，求a的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合余弦定理即可得答案; （2）结合（1）及得，进而得，，再根据恒等变换得，进而根据三角形面积得，最后由正弦定理即可得答案. 【小问1详解】 由条件及余弦定理得，， 可得， 所以． 【小问2详解】 由得，， 又，所以， 则，． 可得， 由的面积为得， 所以． 由正弦定理得，， 所以，故. 17. 已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，. （1）求数列，的通项公式. （2）若，求数列前项的和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出；利用和的关系，构造出即可求出； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，且，，成等比数列知： ，整理得：， 即或者，因为公差大于1，故. 且，故. 数列前项和为，并满足 ①， 且，解得， 故当时， ②， ①式减②式得：， 即，故是公比为2的等边数列， 则， 故 【小问2详解】 ， 故 则 故 故 则 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为. （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点，求点到平面的距离； （3）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得；根据线面垂直的判定与性质可得，结合菱形对角线互相垂直和线面垂直判定定理可证得结论； （2）方法一：以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据点面距离的向量求法可求得结果； 方法二：取的中点，作，，根据平行关系可将所求距离转化为点到平面的距离，由平面，结合长度关系可求得结果； （3）方法一：设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结论； 方法二：假设存在点，根据二面角平面角的定义可知，由长度关系可求得结果. 【小问1详解】 连接，， 为等边三角形，为中点，； 由题意知：平面，又平面，， ，平面，平面， 平面，； 四边形为平行四边形，， 四边形为菱形，， 分别为中点，，， 又，平面，平面. 【小问2详解】 方法一：由（1）知：平面，； 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 点到平面的距离； 方法二：取的中点，连接，过作交于， 过作分别交的延长线于，则分别是的中点， ，平面，平面，平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离； 由（1）得：，平面， 平面，是直角三角形， 在菱形中，易得，，， ，， 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 方法一：，，， 设，，， ； 由（2）知：平面的一个法向量； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，解得：（舍）或， 此时， 在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时； 方法二：假设存在点满足题意，取的中点，连接， 过作交于，连接， ，平面， 又由（1）得：，， 二面角的平面角为，； 在菱形中，作， ，， ， 为直角三角形，，， 在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若函数有两个极值点，求证：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标和切线斜率可得答案； （2）分、、三种情况讨论求解即可； （3）首先可得，然后可得，令，然后利用导数求出的极大值即可证明. 【小问1详解】 当时，， 所以，故切点坐标为， 又，所以， 故切线的斜率为，由点斜式可得，即， 故曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 的定义域为， 又， 当，即时，在上恒成立， 故在上单调递减； 当，即或， 令，解得， 若时，则当或时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若时，上恒成立， 故在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问3详解】 由（2）可知，当时，有两个极值点，则， 由题意可得：， 则 ， 令， 则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 故当时，取得最大值， 所以. 【点睛】方法点睛：含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及两个不同变量，处理此类问题有两个策略： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的等式，把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解； 二是巧妙构造函数，再利用导数判断函数的单调性，从而求其最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省揭阳市普宁国贤学校2024-2025学年高三上学期12月月考数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 在复平面内，若虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 0或1 4. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如下图所示的“曲池”，其高为，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（ ） A. B. 5π C. D. 5. 如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 6. 在锐角中，已知，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为，则该正二十面体的内切球的半径为（ ） A. B. C D. 8. 若曲线的一条切线为，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、多选题 9. 下列命题中，是真命题的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 数列中，记为数列的前项和，为数列的前项积，若，，则（ ） A. B. C. 数列是单调递增数列 D. 当取最大值时，或 11. 如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的四个面都是直角三角形 B. 三棱锥的体积最大值为 C. 当时，异面直线与夹角的余弦值为 D. 当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为 三、填空题 12. 记为等差数列的前项和，若，，则的值为__________. 13. 已知函数在区间上的值域为，且，则的值为______. 14. 设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发两个半平面，截球的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角的平面角为，则球的半径为___________. 四、解答题 15. 已知向量. （1）若，且，求的值； （2）设函数，求函数的值域. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求 （2）若，的面积为，求a的值. 17. 已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，. （1）求数列，的通项公式. （2）若，求数列前项的和. 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为. （1）求证：平面； （2）若点为棱的中点，求点到平面的距离； （3）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若函数有两个极值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$