精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县益海学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025—2026学年度上学期第一次检测 九年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. ﹣2 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A B. C. D. 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( ) A. k<4 B. k≤4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3 6. 与形状相同的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象解析式是，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（） A. B. C. D. 9. 在同一直角坐标系中与图象大致为　　 A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，的取值范围是；⑤当时，随增大而增大.其中结论正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 一元二次方程6x2+2x=-2的二次项系数、一次项系数、常数项之和是________． 12. 二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣8），B（﹣5，﹣8），则此抛物线的对称轴是直线x＝_____． 13. 一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．如果不及时控制，第三轮将又有___人被传染. 14. 若，则代数式的值是_________． 15. 如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段上离中心处5米的地方，桥的高度是___________米． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 17. 如图，抛物线的解析式为，点的坐标为，连接：过A1作，分别交y轴、抛物线于点、：过作，分别交y轴、抛物线于点、；过作，分别交y轴、抛物线于点、…：按照如此规律进行下去，则点（n为正整数）的坐标是_________． 三、解答题（共69分） 18. 解方程 （1）； （2）； （3）． 19. （1）已知二次函数图像经过点，求该函数解析式 （2）抛物线的顶点坐标为，且经过点，求此二次函数的解析式 20. 已知的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，请判断的形状并说明理由； （3）若是等腰三角形，则k的值为 　　． 21. 如图，有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃一边的长为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为63平方米的花圃，的长是多少？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． （1）点坐标 ，的坐标 ，的面积 ． （2）点坐标 ． （3）在抛物线上有一点，使得，直接写出点坐标． 23. 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件降价x元，每星期的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若每星期利润要达到6000元，并让利于民，则售价应为多少元？ （3）当每件售价定为多少元时，每星期销售利润最大，最大利润是多少元？ 24. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中，． （1）求直线和抛物线的解析式； （2）在直线上方抛物线上找一点 Q，使三角形面积最大，求面积最大时 Q 的坐标及最大面积； （3）在抛物线的对称轴上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，在对称轴上找一点 N，使最大．写出点 M、点 N 的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期第一次检测 九年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. ﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个解， ，解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 4. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵函数的解析式是，如图， ∴抛物线对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴点A关于对称轴的点A′是， 那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小， ∴于是， 故选A． 5. 已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( ) A. k<4 B. k≤4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像与x轴交点的特点可知，的判别式Δ≥0，即可求解； 【详解】若此函数与x轴有交点，则，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0，解得：k≤4，当k=3时，此函数一次函数，题目要求仍然成立， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图像与x轴交点的特点，掌握相关知识是解题的关键． 6. 与形状相同的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的形状只与a有关，相同，则抛物线的形状相同，可以得出答案． 【详解】解：∵对于二次函数，抛物线的形状只与a有关，相同，则抛物线的形状相同， 根据题意，形状就相同， ∴D选项符合题意， 应选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数图象的形状相同，则二次项系数的绝对值相等． 7. 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象平移的规律：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴把抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为， ∴原抛物线的解析式为， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 8. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可． 【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为： x（x﹣1）＝36， 故选A． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系. 9. 在同一直角坐标系中与图象大致为　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，的取值范围是；⑤当时，随增大而增大.其中结论正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为由此即可判断①②；根据当时，，可得即可判断③；根据函数图象即可判断④⑤． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，， ∴，即，方程的两个根是，，，故①②正确； ∵当时，， ∴， ∴，故③错误； 由函数图象可知当时，的取值范围是，当时，随增大而增大，故④⑤正确； ∴正确的一共有4个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 一元二次方程6x2+2x=-2的二次项系数、一次项系数、常数项之和是________． 【答案】 【解析】 【分析】将原方程变形为，得出二次项系数、一次项系数、常数项相加即可． 【详解】解：原方程变形为， 二次项系数为、一次项系数为、常数项为， 二次项系数、一次项系数、常数项之和为． 故答案：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的有关概念，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 12. 二次函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣8），B（﹣5，﹣8），则此抛物线的对称轴是直线x＝_____． 【答案】x=-1 【解析】 【详解】试题解析：都在抛物线上， 关于对称轴对称. 对称轴方程为： 故答案为 13. 一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．如果不及时控制，第三轮将又有___人被传染. 【答案】448 【解析】 【详解】设一个患者一次传染给x人，由题意，得 x（x+1）+x+1=64， 解得：x1=7，x2=-9（舍去）， 第三轮被传染的人数是：64×7=448人． 故答案为：448 14. 若，则代数式的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得到，再将代数式变形后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值，利用整体代入的思想解决问题是解题关键n． 15. 如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段上离中心处5米的地方，桥的高度是___________米． 【答案】15 【解析】 【分析】以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，根据桥的最大高度是16米，跨度是40米，求出抛物线解析式，再将x=5代入即可得答案． 【详解】解：以M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建直角坐标系，如图： ∵桥的最大高度是16米，跨度是40米， ∴抛物线顶点C（0，16），A（-20，0），B（20，0）， 设抛物线解析式为y=ax2+16，将A（-20，0）代入得： 0=400a+16，解得a=-， ∴抛物线解析式为y=x2+16， 当x=5时，， ∴在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是15米， 故答案为：15． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出抛物线的解析式． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC，AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为：1． 17. 如图，抛物线的解析式为，点的坐标为，连接：过A1作，分别交y轴、抛物线于点、：过作，分别交y轴、抛物线于点、；过作，分别交y轴、抛物线于点、…：按照如此规律进行下去，则点（n为正整数）的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据待定系数法分别求出直线、、、……的解析式，即可求得、P2、P3……的坐标，得出规律，从而求得点Pn的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴，解得， 所以直线的解析式为， 解，求得， ∵， 设的解析式为， ∴， ∴， ∴， 解求得， 设的解析式为， ∴， ∴， ∴， ．．． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数图像上点的坐标特征得出规律是解题的关键． 三、解答题（共69分） 18. 解方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用因式分解法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； （）利用直接开平方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，； 【小问3详解】 解： 或 ∴，． 19. （1）已知二次函数图像经过点，求该函数解析式 （2）抛物线的顶点坐标为，且经过点，求此二次函数的解析式 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握求二次函数解析式的方法是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）根据题意设二次函数的解析式为，把点代入求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）设二次函数的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）∵抛物线的顶点坐标为， ∵设二次函数的解析式为， ∵二次函数经过点， ∴， 解得：， ∴此二次函数的解析式． 20. 已知的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，请判断的形状并说明理由； （3）若是等腰三角形，则k的值为 　　． 【答案】（1）见解析 （2）的形状是直角三角形，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）将代入原方程，然后解一元二次方程，最后根据勾股定理逆定理进行判断即可； （3）根据是等腰三角形以及判断另两边AB、AC必有一边等于，令，求关于的一元二次方程即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 当时，原方程为：， 因式分解为：， ∴或， ∴，， ∵， ∴的形状是直角三角形； 【小问3详解】 ∵， ∴不存在另两边AB、AC的长相等的情况， ∴另两边AB、AC必有一边等于， 当时，原方程为：， 整理为，， 因式分解得：， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟知关于的一元二次方程：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；是解本题的关键． 21. 如图，有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃一边的长为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果要围成面积为63平方米花圃，的长是多少？ 【答案】（1） （2）7米 【解析】 【分析】（1）根据各边之间的关系，可得出的长为米，利用矩形的面积计算公式，可用含的代数式表示，再结合边的长大于0且长度不超过米，即可得出的取值范围； （2）根据围成花圃的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：的长为米，且篱笆的总长度为米， 的长为米． 花圃的面积， ∵墙的长度为， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 答：的长是米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． （1）点坐标 ，的坐标 ，的面积 ． （2）点的坐标 ． （3）在抛物线上有一点，使得，直接写出点的坐标． 【答案】（1），， （2），直角 （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与坐标轴的交点问题，勾股定理，二次函数与三角形综合运用，熟练掌握二次函数的性质得出各点坐标是解本题的关键． （1）分别令和时，求解即可； （2）将原式配成顶点式，即可得出顶点坐标，分别求出线段的长度，运用勾股定理逆定理判断即可； （3）根据可得和同底等高，又因为，分别令，，求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时，， 解得：， ， ， ； 【小问2详解】 ， 顶点， 根据各点的坐标可得： ，，， ，即， 是直角三角形， 故答案为：直角； 【小问3详解】 ， 和同底等高， 又∵ 当时，， 解得：，， ， 当时，， 解得：， ， 综上所述：F的坐标为或或或． 23. 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件降价x元，每星期的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若每星期利润要达到6000元，并让利于民，则售价应为多少元？ （3）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）售价应为元； （3）售价定为元时，每星期的销售利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，列一次函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）设该款童装每件降价x元，依题意列出函数关系式即可； （2）依题意列出一元二次方程，求解即可得出答案； （3）设每星期的利润为元，依题意列出二次函数，再利用二次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：设该款童装每件降价x元，依题意得： ； 【小问2详解】 解：依题意得： ， 整理得：， 解得：或（舍去）， （元）， ∴售价应为元； 【小问3详解】 解：设每星期的利润为元，依题意得： ， ∴当，即售价定为元时，每星期的销售利润最大，最大利润是元． 24. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中，． （1）求直线和抛物线的解析式； （2）在直线上方抛物线上找一点 Q，使三角形面积最大，求面积最大时 Q 的坐标及最大面积； （3）在抛物线的对称轴上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，在对称轴上找一点 N，使最大．写出点 M、点 N 的坐标； 【答案】（1），； （2），最大面积为； （3）,． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的应用-面积问题，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法分别求出二次函数与一次函数的解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设点，则， 求出，利用二次函数性质即可求解； （3）连接与对称轴的交点即为,此时,距离之和最小，把代入中，求得，即可得出的坐标，由,得到当三点共线时，此时最大，求出直线的解析式为，即可求解． 小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵对称轴为直线，且抛物线经过， ∴点， 设直线的解析式为，把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交于点, 设点，则， ∴， ∴， 对于二次函数，，对称轴为， ∴当时，， 此时点的纵坐标为， ∴，最大面积为； 【小问3详解】 解：∵抛物线对称轴为，点关于对称轴的对称点为, ∴连接与对称轴的交点即为,此时,距离之和最小，如图： 把代入中，得， ∴, 根据, ∴当三点共线时，此时最大， 如图，连接并延长，交直线于点， 设直线的解析式为，把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $