期中复习6大类型55个考点（举一反三期中专项训练）八年级数学上学期浙教版2024

期中复习6大类型55个考点（前3章） 【浙教版2024】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 三角形的概念】 2 【考点2 三角形的稳定性】 3 【考点3 三角形的三边关系】 3 【考点4 三角形的角平分线、中线和高】 4 【考点5 三角形的内角和定理】 5 【考点6 三角形的外角性质】 5 【考点7 全等三角形的性质】 6 【考点8 全等三角形的判定】 7 【考点9 角平分线的性质与判定】 8 【考点10 线段垂直平分线的性质与判定】 9 【考点11 判断轴对称图形】 10 【考点12 关于坐标轴对称点的坐标】 10 【考点13 等腰三角形的判定】 11 【考点14 等腰三角形的性质】 12 【考点15 等边三角形的性质】 13 【考点16 等边三角形的判定】 13 【考点17 判断勾股数】 14 【考点18 利用勾股定理求线段长度】 14 【考点19 以弦图为背景的计算】 15 【考点20 判断三边能否构成直角三角形】 16 【考点21 已知两点求构成直角三角形的点】 17 【考点22 不等式的定义和解集】 17 【考点23 不等式的性质】 17 【考点24 一元一次不等式（组）的定义】 18 【考点25 求一元一次不等式（组）的解集】 18 【考点26 求一元一次不等式（组）的整数解】 18 【考点27 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解】 19 【考点28 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 19 【考点29 不等式组和方程组的结合】 20 【考点30 列一元一次不等式（组）】 20 【计算篇】 21 【考点31 一元一次不等式（组）的解法】 21 【实际应用篇】 21 【考点32 勾股定理的应用】 21 【考点33 一元一次不等式（组）的应用】 24 【几何计算与证明篇】 25 【考点34 与折叠有关的角度的计算问题】 25 【考点35 三角形的内角和与外角的性质的综合】 26 【考点36 全等三角形的判定与性质的综合应用】 27 【考点37 角的平分线与线段的垂直平分线】 28 【考点38 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】 30 【考点39 等腰三角形的性质与判定的综合】 31 【考点40 等边三角形的性质与判定的综合】 32 【考点41 勾股定理的证明】 33 【考点42 勾股定理与折叠问题】 35 【考点43 利用勾股定理探究平方关系】 36 【考点44 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形】 37 【作图篇】 38 【考点45 尺规作角平分线、线段垂直平分线】 38 【考点46 作轴对称图形】 39 【考点47 利用轴对称设计图案】 40 【压轴篇】 41 【考点48 做辅助线构造全等三角形】 41 【考点49 做辅助线构造等腰三角形】 42 【考点50 三角形中的最值问题】 43 【考点51 三角形中的分类讨论】 45 【考点52 利用勾股定理求最短路径】 46 【考点53 利用勾股定理构造图形解决问题】 47 【考点54 根据不等式的基本性质求最值】 48 【考点55 不等式中的新定义问题求参数取值范围】 48 【基础概念易错篇】 【考点1 三角形的概念】 1．（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列说法正确的是(　　) A．所有的等腰三角形都是锐角三角形 B．等边三角形属于等腰三角形 C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形 D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形 3．（24-25七年级上·山东聊城·开学考试）同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（      ）． A．只能是锐角三角形 B．只能是直角三角形 C．只能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 【考点2 三角形的稳定性】 1．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 2．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条． 【考点3 三角形的三边关系】 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 2．已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是 ． 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ． 4．现有、、、长的四根木棒，任选其中三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点4 三角形的角平分线、中线和高】 1．如图，在中，利用三角板能表示边上的高的为（    ） A．     B．   C．   D．     2．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 3．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6， AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差= ． 4．如图，已知中，点，分别是边，的中点．若的面积等于，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【考点5 三角形的内角和定理】 1．如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE = 度． 2．如图，在中，平分，平分，，则的度数为 . 3．如图，在中，点D，E分别在边，上，将沿折叠至的位置，点A的对应点为F．若，，则 度． 【考点6 三角形的外角性质】 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是的角平分线，是的高，，，求的度数． 2．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的 处，折痕为，如果，， ， ，那么下列式子中不一定成立的是(    )    A． B． C．β= D． 3．如图，、的角平分线交于点，若，，则的度数为 ． 【考点7 全等三角形的性质】 1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 2．在中，，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【考点8 全等三角形的判定】 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期中）小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心摔成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，可以选择的方法是（      ） A．带（1）和（3）去 B．带（3）和（4）去 C．带（1）和（4）去 D．带（1）和（2）去 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）根据下列条件，能判定的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，，与的周长相等 4．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与一定全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【考点9 角平分线的性质与判定】 1．如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是（    ） A．5 B．6.8 C．7.5 D．8 4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，要画的角平分线，让一把直尺的一边与重合，让另一把直尺的一边与重合，并且两把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【考点10 线段垂直平分线的性质与判定】 1．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，中，，是边上的中线，点在上，则与的关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【考点11 判断轴对称图形】 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 2．“线段、角、等腰三角形、直角三角形”中一定是轴对称图形有 个. 3．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【考点12 关于坐标轴对称点的坐标】 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将直角坐标系中点坐标为，点与点关于轴对称．则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．若点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则m+n的值是（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．5 3．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ． 【考点13 等腰三角形的判定】 1．如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在中，，D，E分别是线段上的一点，根据下列条件之一，不能确定是等腰三角形的是（    ）    A． B． C． D． 3．如图,△ABC为等边三角形,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,OE∥AB交BC于点E,OF∥AC交BC于点F,图中等腰三角形共有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ． 【考点14 等腰三角形的性质】 1．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30° 2．如图，，则 ． 3．如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D．不确定 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，则 ． 【考点15 等边三角形的性质】 1．如图，以等边的边为腰作，使，连接，若，则 ． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 3．如图，是等边的边的中点，且，于，于，则 ． 4．如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是 ． 【考点16 等边三角形的判定】 1．已知a，b，c为三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 2．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（    ） ①有两个角是60°的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 【考点17 判断勾股数】 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为 ． 2．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）下列各组数是勾股数的是（    ） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，， 3．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；……可发现当一组勾股数的勾为（，为正整数）时，它的股、径分别为和．若一组勾股数的勾为26，则径为 ． 【考点18 利用勾股定理求线段长度】 1．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高的学生刚走到离门间距的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，中，，是斜边的中点，过点作于点，则线段的长度为（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（    ） A． B． C． D． 【考点19 以弦图为背景的计算】 1．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 3．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）将两个“赵爽弦图”中的两个正方形和八个直角三角形按如图方式摆放围成正方形，空隙处增加四个正方形．记其中两个正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断： ①；②；③若，则；④若，则，其中正确的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【考点20 判断三边能否构成直角三角形】 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）下列哪个条件不能判定为直角三角形（   ） A． B． C．，， D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是的三边长，若，则的形状是 ． 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在长方形中，，，点，分别是，边上一点，且，．则图中的直角三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点21 已知两点求构成直角三角形的点】 1．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 2．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【考点22 不等式的定义和解集】 1．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级下·甘肃张掖·阶段练习）关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（　　） A．是的解 B．是的解集 C．是的解集 D．是的解集 【考点23 不等式的性质】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式的变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．如果不等式的解集为，那么（　　） A．为任意有理数 B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若实数、、满足，．若，，则的取值范围是 ． 【考点24 一元一次不等式（组）的定义】 1．是关于x的一元一次不等式，则此不等式的解集是 ． 2．下列式子（）；（）；（）；（），是一元一次不等式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·云南昆明·期末）限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（　　） A． B． C． D． 【考点25 求一元一次不等式（组）的解集】 1．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）的解集是 ． 2．不等式组的解集为（ ） A． B． C． D． 3．已知，当时，的取值范围为 ． 【考点26 求一元一次不等式（组）的整数解】 1．不等式的负整数解为 ． 2．已知关于x的不等式只有2个正整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．不等式组的所有整数解的和为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）若关于的不等式组至少有2个整数解．则的最大整数值为 ． 【考点27 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解】 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）将不等式组的解集在数轴上表示，下面表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·青海玉树·期末）若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则 ． 3．关于的不等式组的解集在数轴上如图表示，则的值为 ． 【考点28 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 1．不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 2．若关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是 ． 3．关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． 4．（24-25七年级下·河南新乡·期末）已知关于的不等式组． （1）若该不等式组无解，则的取值范围是 ； （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中，则的取值范围是 ． 【考点29 不等式组和方程组的结合】 1．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ． 2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）若不等式组的解集是，则（    ） A． B．1 C． D．0 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是 ． 4．若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 5．已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为 ． （2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为 ． 【考点30 列一元一次不等式（组）】 1．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 2．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表：现配制这种饮料，要求至少含有单位的维生素，若所需甲种原料的质量为，则x应满足的不等式为（    ） 甲种原料 乙种原料 维生素C含量（单位/kg） 600 100 原料价格（元/kg） 8 4 A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）为保证学生有充足睡眠时间，我校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式 ． 4．若干名学生住宿舍，每间住人，人无处住；每间住人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有间宿舍，则可列不等式组为 【计算篇】 【考点31 一元一次不等式（组）的解法】 1．解下列不等式和不等式组，并将解集表示在数轴上． (1) (2) 2．按要求解不等式组 (1)求的所有整数解． (2)求的非负整数解． 3．已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解满足，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值． 【实际应用篇】 【考点32 勾股定理的应用】 1．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算体育公园里一架秋千的绳索的长度．当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直． (1)求绳索的长； (2)直接写出将它往前推送，水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度 ． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 5．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米． (1)求城镇之间的距离； (2)现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？ 6．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【考点33 一元一次不等式（组）的应用】 1．（2025·辽宁·模拟预测）随着技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及，某快递运营区有若干揽投员，无人车3辆．若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的，若2位揽投员和3辆无人车每天可配送快递4810件． (1)求1辆无人车的日均投递量； (2)旺季期间，该运营区有揽投员50人，要求日均投递总量不低于40000件，求至少需要增加无人车多少辆． 2．（24-25八年级下·陕西安康·阶段练习）2025年4月23日是第30个世界读书日．某网上图书销售平台计划在世界读书日前购进甲、乙两类图书共1200册，这两类图书的进价、售价如下表： 进价/（元/册） 售价/（元/册） 甲类 25 30 乙类 45 60 (1)分别购进甲、乙两类图书多少册时，进货款恰好为40000元？ (2)分别购进甲、乙两类图书多少册时，该平台获得的利润最多且利润不超过进货款的（假设甲、乙两类图书全部售完）？此时利润为多少元？ 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解锁新能源汽车，驶向未来的科技引擎．在科技飞速发展的今天，新能源汽车如雨后春笋般出现在大街小巷，其具有能耗成本低，驾驶体验舒适，环保性能良好等优点，深受广大消费者的喜爱．某品牌汽车销售公司8月共售出16台插混式汽车和10台纯电式汽车，销售额为392万元，9月共售出20台插混式汽车和15台纯电式汽车，销售额为540万元． (1)求插混式汽车和纯电式汽车每台的售价各是多少万元？ (2)受惠民政策影响，该汽车厂家为让利消费者，对所有车辆每台补贴2万元，销售公司在“十一”黄金周共售出两种新能源汽车25辆，销售额不少于330万元，求该公司在黄金周至少售出多少台纯电式汽车？ 4．（24-25七年级下·河南商丘·期末）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ (3)在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【几何计算与证明篇】 【考点34 与折叠有关的角度的计算问题】 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点与重合，折痕为． (1)试求的周长； (2)若，求的度数． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数； (2)设度，度． ①请用含的代数式表示，则________； ②当时，帽子比较美观，求此时的值． 【考点35 三角形的内角和与外角的性质的综合】 1．如图，是的高，、是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，则= °；（用含的代数式表示） (3)如图，若，过点作 交于点，求与的数量关系． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）在中，平分，． (1)如图，若于点，，，则的度数为______； (2)如图，若于点，猜想并写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，设，，当点在射线上时不与点重合，且于点，直接写出的度数为： ______用含、的式子表示． 【考点36 全等三角形的判定与性质的综合应用】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）泰塔，又称宝塔寺塔、旬邑塔，被中华人民共和国国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．实验中学数学兴趣小组的张逸想利用学过的知识来测量泰塔的高度．他带了一根长为2米的木棍并设计了如下的测量方案：如图，先在宝塔前选一点，使得，然后把竖直的木棍在的延长线上左右移动，使．此时用皮尺测得泰塔底部与木棍底部的距离，已知．请你帮他求出泰塔的高度． 3．（24-25七年级下·广东河源·期末） 是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为 ．    (1)当时，求的长； (2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，上是否存在点，使得 与 全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【考点37 角的平分线与线段的垂直平分线】 1．在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F． (1)求证：； (2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，是的垂直平分线上两点，延长，交于点，交于点． 求证： (1)是的角平分线； (2)． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【考点38 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图1，是等边三角形，点D为边上一点，连接，点C关于的对称点为点E，连接． (1)若是的平分线，求的度数； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，，试探究，和三者之间满足的等量关系，并说明理由． 2．如图（1），已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A，B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点，且当时，点恰好在（不含端点A，C）边上． (1)在图（2）中画出当时的图形，并求出此时的长度； (2)在点P的运动过程中，探究点到点A，C之间的距离的关系． 3．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度． (1)写出的等量关系； (2)若，求的值． 【考点39 等腰三角形的性质与判定的综合】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若 (1)求证：是等腰三角形； (2)点G是上一点，连接，若，，求的度数． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 3．已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 【考点40 等边三角形的性质与判定的综合】 1．在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且． (1)如图1，若点E是的中点，求证：． (2)如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证： (1)是等边三角形； (2)． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【考点41 勾股定理的证明】 1．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 3．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．著名的古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中给出了勾股定理的一种证明方法． 如图1，分别以的直角边及斜边为边向外作正方形，正方形和正方形，连接，作分别交于点．由四边形是正方形，可得．再由，可得．易得四边形和四边形是矩形（依据）． 思路梳理： 证明“”是关键，下面是“”的证明过程： 由四边形和四边形是正方形，易得． 点在同一直线上，即． ． 同理可证．从而可证明勾股定理． 任务： (1)材料中的依据为______． (2)请你补全材料中的证明过程． (3)当不是直角三角形时，其三边关系显然不满足勾股定理．如图2，当是锐角三角形时，请直接写出与之间的关系，并利用勾股定理予以简单证明．（提示：过点作于点） 【考点42 勾股定理与折叠问题】 1．如图，小明同学将一个直角三角形的纸片折叠，与重合，折痕为，若已知，，你能求出的长吗？ 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知，如图折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，如，．求的长． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图①，在矩形纸片中，，． 【实践操作】 第一步：如图②，将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平； 第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去； 第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿折叠，得到，延长与交于点N，与交于点M． 【问题解决】 (1)在图②中证明四边形是正方形； (2)请在图④中判断与的数量关系，并加以证明； (3)请在图④中求的长度． 【考点43 利用勾股定理探究平方关系】 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 2．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 3．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【考点44 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形】 1．（24-25八年级下·贵州·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足， (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 2．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图，连接，若平分，，，，则 ． (3)如图，若，，求证：点在的平分线上． (4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 【作图篇】 【考点45 尺规作角平分线、线段垂直平分线】 1．如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    2．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）下图是某休闲广场的平面示意图，A，D是广场的两个入口，，，是小路，现要在广场（四边形）内部修建一处喷泉（点P），使喷泉P满足以下两个条件： ①喷泉P到小路，的距离相等； ②喷泉P到入口A和D的距离相等． 请利用尺规确定点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）． 【考点46 作轴对称图形】 1．（25-26八年级上·湖南·期中）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点的坐标； (3)求的面积． 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，有一个以格点为顶点的其中点，，均在网格上 (1)作关于直线的轴对称图形； (2)的面积是_________ ； (3)在直线上画出点，使得最小．（保留作图痕迹） 3．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【考点47 利用轴对称设计图案】 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 2．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图所示在3×3的正方形网格中，已经有3个小正方形涂了阴影，请你在余下的空白小方格中涂上1个阴影使整个图形成为轴对称图形，把几种不同的涂法分别展示出来． 3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，这是由五个大小相同的小正方块拼凑而成的． (1)该图是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴． (2)若移动一个小方块重新拼凑成一个新的轴对称图形，共有几种方法（相同方法算一种）？请你画出图形和对称轴． 【压轴篇】 【考点48 做辅助线构造全等三角形】 1．（24-25八年级上·广东珠海·期末）如图1，四边形中，，对角线、交于点E，恰好是等边三角形，已知点O是的中点，连接． 【知识技能】（1）求证：平分； 【综合探究】（2）如图2，点F是的中点，连接、，求证：平分； 【拓广延伸】（3）求证：． 2．已知：是的角平分线，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点E在上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接． ①求证：； ②若，且，求的长． 3．（24-25八年级上·全国·期末）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【考点49 做辅助线构造等腰三角形】 1．已知：如图，，、分别是、的中点．求证：． 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 3．（24-25八年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点、于点，且．则猜想并证明，，之间的数量失系． （2）如图②，已知等边三角形及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点为外一点，且，，直接写出的度数． 【考点50 三角形中的最值问题】 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求 的度数． (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 3．（24-25七年级下·福建三明·期中）已知：等腰中，． (1)如图1，若是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． ①设，求角度的变量与的关系式； ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图2，若的面积是是的高，点分别是线段上的点，直接写出的最小值． 【考点51 三角形中的分类讨论】 1．（24-25七年级下·上海·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰 纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在 是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，点，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为． (1)求A，C两点的坐标； (2)连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积； (3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形． (1)这样的等腰三角形有______个； (2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标． 【考点52 利用勾股定理求最短路径】 1．编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 2．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接； (2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________； (3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． 3．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．    (1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方． 4．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图1，长方体盒子的体积是立方厘米，它的长、宽、高的比是． (1)若有一条长 的铁丝，不弯折能否完全放进去？说明理由； (2)如图2，若经过盒子个侧面从到缠一条金线，求所需金线的最小长度． 【考点53 利用勾股定理构造图形解决问题】 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 2．已知点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点．      (1)如图1，点M、N是线段的勾股分割点， ①当＝3，＝4时，求的长； ②当＝，＝时，求的长； (2)如图2，点C是线段上的一定点，请在上画一点D，使C、D是线段的勾股分割点．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，画出一种情形即可） 【考点54 根据不等式的基本性质求最值】 1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，且，求的最大值． 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 【考点55 不等式中的新定义问题求参数取值范围】 1．阅读材料： 矩阵的定义：由个数排成的行列的数表，称为行列的矩阵，简称矩阵． 记作：，其中表示第行第列的数字．如表示矩阵． 矩阵的性质：若有两个矩阵相等，则相应位置的数字相等． 例如，若，即，则有． 矩阵的运算：对于矩阵，有着自己的运算方法：，比如矩阵： 例如：． (1)求中的值． (2)请将方程组改写成矩阵的运算形式． (3)关于的不等式组只有3个整数解，的取值范围是_____． 2．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习6大类型55个考点（前3章） 【浙教版2024】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 三角形的概念】 2 【考点2 三角形的稳定性】 4 【考点3 三角形的三边关系】 5 【考点4 三角形的角平分线、中线和高】 6 【考点5 三角形的内角和定理】 9 【考点6 三角形的外角性质】 10 【考点7 全等三角形的性质】 13 【考点8 全等三角形的判定】 15 【考点9 角平分线的性质与判定】 17 【考点10 线段垂直平分线的性质与判定】 21 【考点11 判断轴对称图形】 23 【考点12 关于坐标轴对称点的坐标】 24 【考点13 等腰三角形的判定】 25 【考点14 等腰三角形的性质】 29 【考点15 等边三角形的性质】 33 【考点16 等边三角形的判定】 36 【考点17 判断勾股数】 38 【考点18 利用勾股定理求线段长度】 39 【考点19 以弦图为背景的计算】 42 【考点20 判断三边能否构成直角三角形】 45 【考点21 已知两点求构成直角三角形的点】 47 【考点22 不等式的定义和解集】 49 【考点23 不等式的性质】 50 【考点24 一元一次不等式（组）的定义】 52 【考点25 求一元一次不等式（组）的解集】 53 【考点26 求一元一次不等式（组）的整数解】 55 【考点27 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解】 57 【考点28 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 58 【考点29 不等式组和方程组的结合】 60 【考点30 列一元一次不等式（组）】 64 【计算篇】 65 【考点31 一元一次不等式（组）的解法】 65 【实际应用篇】 68 【考点32 勾股定理的应用】 68 【考点33 一元一次不等式（组）的应用】 75 【几何计算与证明篇】 79 【考点34 与折叠有关的角度的计算问题】 79 【考点35 三角形的内角和与外角的性质的综合】 83 【考点36 全等三角形的判定与性质的综合应用】 88 【考点37 角的平分线与线段的垂直平分线】 92 【考点38 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】 97 【考点39 等腰三角形的性质与判定的综合】 102 【考点40 等边三角形的性质与判定的综合】 106 【考点41 勾股定理的证明】 110 【考点42 勾股定理与折叠问题】 114 【考点43 利用勾股定理探究平方关系】 117 【考点44 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形】 122 【作图篇】 126 【考点45 尺规作角平分线、线段垂直平分线】 126 【考点46 作轴对称图形】 128 【考点47 利用轴对称设计图案】 132 【压轴篇】 134 【考点48 做辅助线构造全等三角形】 134 【考点49 做辅助线构造等腰三角形】 141 【考点50 三角形中的最值问题】 148 【考点51 三角形中的分类讨论】 154 【考点52 利用勾股定理求最短路径】 158 【考点53 利用勾股定理构造图形解决问题】 162 【考点54 根据不等式的基本性质求最值】 165 【考点55 不等式中的新定义问题求参数取值范围】 167 【基础概念易错篇】 【考点1 三角形的概念】 1．（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的特征，熟练掌握三角形的特征是解题的关键； 根据三角形的特征即可求解； 【详解】解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有个，三个小三角形组成一个三角形有个，加上整个大三角形，共个； 故选：C 2．下列说法正确的是(　　) A．所有的等腰三角形都是锐角三角形 B．等边三角形属于等腰三角形 C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形 D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形 【答案】B 【分析】根据锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义一一判断即可． 【详解】A选项：内角为30°，30°，120°的等腰三角形是钝角三角形，故是错误的． B选项：等边三角形属于等腰三角形，故正确． C选项：内角为30°，30°，120°的三角形既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形，故错误． D选项：内角为30°，30°，120°的三角形有两个锐角，是钝角三角形，故错误． 故选B． 【点睛】考查三角形的一个概念，解题的关键是搞清楚锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义． 3．（24-25七年级上·山东聊城·开学考试）同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（      ）． A．只能是锐角三角形 B．只能是直角三角形 C．只能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形按角分类的方法．根据图示，露出的角是一个锐角，被遮住的两个角可能有两个锐角，有一个直角或钝角，据此解答． 【详解】解：如上图中被信封遮住的可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形． 故选：D． 【考点2 三角形的稳定性】 1．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 2．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条． 【答案】3 【分析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可． 【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形． 故答案为3． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关键． 【考点3 三角形的三边关系】 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边进行判断． 【详解】解：A.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； C.，且任意两边之和均大于第三边，能组成等边三角形； D.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． 故选：C． 2．已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知两边的差，而小于两边的和．根据三角形的三边关系：三角形第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围． 【详解】解：， 则． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是要分两种情况讨论． 由三角形三边关系判定等腰三角形的腰长是底边长的倍，设较短的边长是，则较长的边长是，列出一元一次方程，解方程，再由三角形三边关系即可求解． 【详解】解：设较短的边长是，则较长的边长是， 如果等腰三角形的腰长是底边长的倍， ， ， 此时等腰三角形的三边长分别是、、，满足三角形三边关系； 如果等腰三角形的底边长是腰长的倍， ， ， 此时等腰三角形的三边长分别是、、，不满足三角形三边关系，不能围成一个等腰三角形； 综上所述，等腰三角形的底边长是， 故答案为：． 4．现有、、、长的四根木棒，任选其中三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】根据三角形的三边关系，可以组成三角形的是、、 故可以组成三角形的个数是1 故答案为：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系问题，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【考点4 三角形的角平分线、中线和高】 1．如图，在中，利用三角板能表示边上的高的为（    ） A．     B．   C．   D．     【答案】B 【分析】从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，根据此定义逐项判断即可． 【详解】解：A、表示的是中边上的高，故此选项不符合题意； B、表示的是中边上的高，故此选项符合题意； C、不能表示的高，故此选项符合题意； D、表示的是中边上的高，故此选项符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的高，解题的关键是掌握三角形的高的定义． 2．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 3．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6， AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差= ． 【答案】2 【详解】解：已知D是BC边上的中线，可得BD=CD， 所以△ABD的周长-△ADC的周长= 故答案为：2 4．如图，已知中，点，分别是边，的中点．若的面积等于，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点，的面积等于， ， 是的中点， ， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 【考点5 三角形的内角和定理】 1．如图，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足为点D，那么∠DAE = 度． 【答案】10 【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分的定义，根据三角形内角和是180°，角平分线平分角的度数解答即可 【详解】因为，在△ABC中，∠B = 60°，∠C = 40°，所以∠BAC=180°-60°-40°=80°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=40°，又因为在△ACD中，AD⊥BC，∠C=40°，所以∠CAD=50°，所以∠DAE=∠CAD-∠CAE=50°-40°=10° 【点睛】本题的关键是掌握三角形内角和是180度 2．如图，在中，平分，平分，，则的度数为 . 【答案】/70度 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义，先利用三角形的内角和定理求得，再利用角平分线的定义求得进而可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，点D，E分别在边，上，将沿折叠至的位置，点A的对应点为F．若，，则 度． 【答案】/45度 【分析】本题考查图形折叠的性质、三角形外角的性质．首先由图形折叠性质得，再利用三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点6 三角形的外角性质】 1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，是的角平分线，是的高，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高的性质，三角形外角的性质等知识点，首先根据，是的角平分线，求出的度数是多少；然后根据是的高，求出， 最后根据三角形的外角的性质，求出的度数是多少即可，熟练掌握三角形的内角和是是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， 是的高， ， ， ， ， ∴的度数是． 2．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在外的 处，折痕为，如果，， ， ，那么下列式子中不一定成立的是(    )    A． B． C．β= D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题中的三角形内角和定理，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角的性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质可得∠代入计算可判断A；无法得到选项B的结论；由折叠的性质结合平角的定义可判断选项C；由折叠的性质结合三角形内角和定理可判断D． 【详解】解：如图，    由折叠得， ∵ 又 ∴ 故A正确，不符合题意； 无法得到，故选项B符合题意； 由折叠得， 又 ∴ ∵ ∴ ∴，故选项C正确，不符合题意； 由折叠得， ∵ ∴ ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选B． 3．如图，、的角平分线交于点，若，，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的一个外角的性质等知识点，正确作出辅助线得到三者之间的关系式是解题的关键． 如图：延长交于E，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，整理可得，然后代入数据计算即可解答． 【详解】解：如图：延长交于E， ∵、的角平分线交于点， ∴， 由三角形的内角和定理得，①， 在中，， 在中，， ∴②， 由得，， ∴． 故答案为． 【考点7 全等三角形的性质】 1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，由全等三角形的性质可得，，即得，进而可得，又由平行线的性质得，即可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 故选：B． 2．在中，，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形对应角相等是解题的关键． 先根据三角形内角和以及三个角的比例求出的度数，再利用全等三角形对应角相等得出的度数． 【详解】解：∵在中，，且， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ． 故选B． 【考点8 全等三角形的判定】 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）是解题的关键．根据已知条件，，得出，然后分别结合每个选项给出的条件，依据全等三角形的判定定理（、、）来判断能否判定． 【详解】解：∵ ∴ ，即 又∵ 选项A：∵ ，， ∴ ，故A项不符合题意． 选项B：虽然，，，但这是“边边角”的情况，不能判定两个三角形全等，故B项符合题意． 选项C：∵ ，， ∴ ，故C项不符合题意． 选项D：∵ ，， ∴ ，故D项不符合题意． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·期中）小华家梳妆台上的一块三角形玻璃不小心摔成了如图所示的四块，需要去玻璃装饰品店再配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃，可以选择的方法是（      ） A．带（1）和（3）去 B．带（3）和（4）去 C．带（1）和（4）去 D．带（1）和（2）去 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据三角形全等判定的条件逐一验证即可得到答案． 【详解】解：A．带（1）和（3）去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃； B．带（3）和（4）去，只保留了原三角形的一个角和部分边，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃； C．带（1）和（4）去，只保留了原三角形的两个角，不能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃； D．带（1）和（2）去，保留了原三角形的两个角和夹边，符合“角边角”定理，能配一块与原来大小和形状完全相同的玻璃； 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）根据下列条件，能判定的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，，与的周长相等 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据三角形全等的判定方法逐个选项分析即可． 【详解】根据全等三角形的判定定理，对选项逐个验证即可． A．，，，没有边边角，故该选项不正确，不符合题意； B．，，，不是对应边相等，故该选项不正确，不符合题意； C．，，，没有对应边相等，故该选项不正确，不符合题意； D．，，由与的周长，可得，根据边边边，能判定，故该选项正确，符合题意． 故选D． 4．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与一定全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，分别利用全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：甲中b、c与的边对应相等，但它们夹角是否相等未知，故甲与不一定全等， 乙中有两个角对应相等，而且两角夹边相等，满足，故乙与一定全等， 在丙图中，由边长为a的对角相等，而且还有另一组角对应相等，满足，故丙与一定全等， 综上可知能和全等的是乙、丙， 故选：B． 【考点9 角平分线的性质与判定】 1．如右图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等分货物中转站在三条公路围成的三角形内部和外部两种情况作出图形即可． 【详解】如图，货物中转站在三角形内部有一个位置，在外部有三个位置，共有4个位置可选． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 2．如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出、分别平分和，再根据三角形的内角和定理求出，然后求出，再次利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵O到三边的距离， ∴、分别平分和， ∴， ∴. 故选D. 3．如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是（    ） A．5 B．6.8 C．7.5 D．8 【答案】D 【分析】根据三角形的中线的性质得出，根据角平分线的性质得出，进而得出，即可得结论． 【详解】解：如图， 过点作，垂足分别为， ∵是角平分线， ∴，设， ∵的面积是，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶D． 【点睛】本题考查了三角形的角分线、中线，角分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角分线上的点到角的两边的距离相等． 4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，要画的角平分线，让一把直尺的一边与重合，让另一把直尺的一边与重合，并且两把直尺交于点P，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定定理和线段垂直平分线的性质，解题关键是通过作垂线构造出到角两边距离，利用直尺相同得到距离相等，结合全等三角形证明来推导角平分线 ． 过点作、，利用两把相同长方形直尺得，结合公共边，由判定，推出，依据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，证得是平分线 ． 【详解】解：如图，过P点作于C点，于D点， ∴， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， 因为为公共边， 所以， 所以， 所以为的平分线． 故选：A． 【考点10 线段垂直平分线的性质与判定】 1．如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质，由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，中，，是边上的中线，点在上，则与的关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据，是边上的中线得，所以得到垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：，是边上的中线， ， 垂直平分， 点在上， ， 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大． 利用等边对等角求得，然后利用线段的垂直平分线的性质与三角形外角的性质求得答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵由作图可得：的垂直平分线交于， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 【考点11 判断轴对称图形】 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称的特点是解题的关键． 根据轴对称图形的特点逐一判断即可． 【详解】解：A，B，D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；C图形是轴对称图形，故C符合题意； 故选：C． 2．“线段、角、等腰三角形、直角三角形”中一定是轴对称图形有 个. 【答案】3 【详解】由轴对称图形的定义“把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形”可知，线段、角、等腰三角形都是轴对称图形，而直角三角形不一定是轴对称图形，所以上述四个图形中一定是轴对称图形的有3个. 3．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 【考点12 关于坐标轴对称点的坐标】 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将直角坐标系中点坐标为，点与点关于轴对称．则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据点的坐标确定平面直角坐标系，关于x轴对称点的坐标特征，先由点A的坐标，画出平面直角坐标系，从而得到点B的坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征确定出点C的坐标即可． 【详解】解：如图，根据点坐标为，建立直角坐标系， 点与点关于轴对称， ， 故选：C 2．若点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则m+n的值是（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．5 【答案】A 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，得：m=3，n=﹣2，m+n=3+（﹣2）=1． 故选A． 【点睛】本题考查了关于x轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形，根据点与点关于直线对称，则纵坐标不变，点与点的中点的横坐标为，即可求解． 【详解】解：∵点，点与点关于直线对称， ∴点的坐标为 故答案为：． 【考点13 等腰三角形的判定】 1．如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为腰时，当为底时，分别画出图形，即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 当为底时，为等腰三角形， 满足条件的点共有个， 故选：D． 2．如图，在中，，D，E分别是线段上的一点，根据下列条件之一，不能确定是等腰三角形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理和三角形外角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．分别根据选项中的四个条件求出的大小即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 是的外角， ， ， ， 当时， ， ， ， ，故选项A可以确定是等腰三角形，故不符合题意； 当时， 则， ， ， ， ，故选项B可以确定是等腰三角形，故不符合题意； 当时， 则， ， ， ， ，故选项C不可以确定是等腰三角形，故符合题意； 当时， 则， ， ， ， ，故选项D可以确定是等腰三角形，故不符合题意． 故选C． 3．如图,△ABC为等边三角形,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,OE∥AB交BC于点E,OF∥AC交BC于点F,图中等腰三角形共有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】由已知条件，首先得到∠OBC=∠OCB，利用两个角相等即为等腰三角形，得到△BOC为等腰三角形；然后在题中找出对应角相等即可． 【详解】解：∵△ABC为正三角形，∴△ABC为等腰三角形； ∵OB，OC为角平分线，∴∠OBC=∠OCB，∴△BOC为等腰三角形； ∵OE∥AB，∴∠ABO=∠BOE=∠OBE，∴△BOE为等腰三角形； 同理，△COF为等腰三角形； ∠OEF=∠OFE，∴△EOF为等腰三角形． 所以题中共有5个等腰三角形 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及角平分线的性质；利用角的等量代换是正确解答本题的关键． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定,线段的垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．由题意知，分当为底时，当为腰时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如； ∴共有5个， 故答案为：5． 【考点14 等腰三角形的性质】 1．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（　　） A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30° 【答案】D 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当高在三角形内部时，如图， ∵∠ABD=60°，BD⊥AC， ∴∠A=30°； ∴顶角是30°； 当高在三角形外部时，如图， ∵∠ABD=60°，BD⊥AC于D， ∴∠BAD=30°， ∴∠BAC=180°-30°=150° ∴顶角是150°． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出高在三角形内部一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题． 2．如图，，则 ． 【答案】60° 【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算． 【详解】解：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°， ∴∠BCA=∠A=15°， ∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°， ∴∠BCD=180°-（∠CBD+∠BDC）=180°-60°=120°， ∴∠ECD=∠CED=180°-∠BCD-∠BCA=180°-120°-15°=45°， ∴∠CDE=180°-（∠ECD+∠CED）=180°-90°=90°， ∴∠EDF=∠EFD=180°-∠CDE-∠BDC=180°-90°-30°=60°， ∴∠DEF=180°-（∠EDF+∠EFC）=180°-120°=60°． 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件． 3．如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】设，．由，根据等边对等角得出，利用三角形内角和定理得出．同理得到，．根据直角三角形两锐角互余得出，那么，即，进而求出． 【详解】解：设，． ∵， ∴，． ∵， ∴，． ∵为直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，设，，得出是解题的关键． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中，立柱，且顶角，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三线合一定理，三角形内角和定理，过点A作于H，由三线合一定理可得，由三角形内角和定理可得，则，可得，则． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点15 等边三角形的性质】 1．如图，以等边的边为腰作，使，连接，若，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，正确识别图形是解题的关键． 根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：80． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质推出． 由折叠的性质得到：，即可得到三个阴影部分的周长的和． 【详解】解：是边长为的等边三角形， ， 由折叠的性质得到：， 三个阴影部分的周长的和， 故答案为：． 3．如图，是等边的边的中点，且，于，于，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．等边中，各边相等，且各角都为，由是边的中点，在和中，分别利用直角三角形的性质，可求得长度，则题目可解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，是等边三角形，是高，且，E是边的中点，点P是上一动点，则的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，两点之间线段最短， 先连接，先说明，将转化为，再根据两点之间线段最短说明的最小值，然后三角形的面积相等求出答案即可. 【详解】解：连接，交于点， ∵是等边三角形，且是高线， ∴垂直平分，, ∴. 即， 当点三点共线时，根据两点之间线段最短，最小，即最小， ∵是等边三角形，点E是边的中点， ∴是的高线. ∵，且， ∴， ∴最小值为7. 故答案为：7. 【考点16 等边三角形的判定】 1．已知a，b，c为三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】将已知式子因式分解为，则有或，即可判断三角形的形状． 本题主要考查等腰三角形的判定和因式分解 ，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【详解】， ， ， ， 或， 或， ∴是等腰三角形， 故选：C． 2．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（    ） ①有两个角是60°的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形：③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等的三角形；④一边上的高也是这边中线的等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用等边三角形的概念：三边相等，三个角都是60°的三角形，进行判断即可． 【详解】解：①若两个角都是60°，则第三个角也是60°，是等边三角形； ②有两个外角相等的三角形只能证明为等腰三角形，无法判断是否为等边三角形； ③三个外角（每个顶点处取一个外角）都相等，则三个内角都相等，是等边三角形； ④一边上的高也是这边中线的等腰三角形，可能是底边上的高与中线，等腰三角形有“三线合一”，不能判定为等边三角形． 以上能得到等边三角形的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的定义是解题的关键． 3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 【答案】D 【详解】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°． ∵OP平分∠AOB， ∴∠EOP=∠POF=60°， ∵OP=OE=OF， ∴△OPE，△OPF是等边三角形， ∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°， ∴∠EPM=∠OPN， 在△PEM和△PON中， ， ∴△PEM≌△PON． ∴PM=PN， ∵∠MPN=60°， ∴△PNM是等边三角形， ∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，综合应用以上判定和性质是解题的关键 【考点17 判断勾股数】 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）有一组勾股数，若其中两个为10，8，则第三个数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查勾股数，解题的关键是熟知勾股定理的运用．设第三个数为x，根据勾股数得出①，②，求出的值后根据勾股数必须是正整数即可求解． 【详解】解：设第三个数为， ∵是一组勾股数， ∴①， 解得：（负值舍去）， ②， 解得：（不是整数，不合题意，舍去)， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）下列各组数是勾股数的是（    ） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的识别，若三个正整数满足较小的两个正整数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴2，3，5这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； B、∵和不是正整数， ∴，2，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； C、∵， ∴8，15，17这组数是勾股数，故此选项符合题意； D、∵，，这三个数都不是正整数， ∴，，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；……可发现当一组勾股数的勾为（，为正整数）时，它的股、径分别为和．若一组勾股数的勾为26，则径为 ． 【答案】170 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是读懂题意，利用题中的结论进行求解． 根据题干的公式直接进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 当时，， ∴径为， 故答案为：170． 【考点18 利用勾股定理求线段长度】 1．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高的学生刚走到离门间距的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过点D作于点H，分别根据题意求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】如图，过点D作于点H， 依题意得，，， ∴， ∴． 故选C．    2．如图，中，，是斜边的中点，过点作于点，则线段的长度为（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线定理、勾股定理及等积法，熟练掌握直角三角形斜边中线定理、勾股定理及等积法是解题的关键；由勾股定理可得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的中点， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理及网格求出各线段的长．先结合网格特征，运用勾股定理列式计算出每条线段，再进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ， ∵， ∴线段的长度最长， 故选：C． 4．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的知识，数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出矩形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离相等都为半径．图中矩形的长为2，宽为1，则可根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则点P表示的数即为3加上对角线的长度． 【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度， 以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P， 所以数轴上的点P表示的数为：． 故选：C． 【考点19 以弦图为背景的计算】 1．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，《周髀算经》中的“弦图”是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是，小正方形的面积与大正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为，根据勾股定理可得该直角三角形的斜边长为，然后可得小正方形的边长为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可设每个直角三角形的两条直角边长分别为， ∴该直角三角形的斜边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴它们的面积比为； 故选D． 2．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出的长度， 然后利用外围周长即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴ ， ∴风车的外围周长是； 故选：D． 3．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）将两个“赵爽弦图”中的两个正方形和八个直角三角形按如图方式摆放围成正方形，空隙处增加四个正方形．记其中两个正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断： ①；②；③若，则；④若，则，其中正确的序号是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，正方形的面积，设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边是a，较长直角边是b，斜边是c，则小正方形的边长是，由正方形面积公式，勾股定理，即可解决问题． 【详解】解：设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边是a，较长直角边是b，斜边是c，则小正方形的边长是， ∴正方形的面积，正方形的面积， ∴， ∵正方形的边长是， ∴正方形的面积， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ∵J是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确，符合题意． 综上所述，正确的是①②④． 故选：A． 【考点20 判断三边能否构成直角三角形】 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）下列哪个条件不能判定为直角三角形（   ） A． B． C．，， D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：A、设，，， ， ， 是直角三角形； B、，， ，即， ， 是直角三角形； C、，， ∴，三边不能构成三角形， 不能判定是直角三角形； D、，， ， 是直角三角形． 故选：C ． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是的三边长，若，则的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键． 【详解】解：∵，，，且， ∴ 解得 ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在长方形中，，，点，分别是，边上一点，且，．则图中的直角三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． 根据已知可得，，根据勾股定理可得，，，根据勾股定理的逆定理，可判断的形状，从而可得直角三角形的个数． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴图中的直角三角形有、、、，共个． 故选：D． 【考点21 已知两点求构成直角三角形的点】 1．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 2．如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 【考点22 不等式的定义和解集】 1．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的定义，掌握含有不等号（如＞、＜、≠、≥、≤）的式子是不等式成为解题的关键． 根据不等式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，含“＞”号，属于不等式； ②，含“＞”号，属于不等式； ③，含“=”号，属于等式，不是不等式； ④是代数式，不属于不等式； ⑤，含“≠”号，属于不等式； ⑥，含“＞”号，属于不等式． 综上，属于不等式的有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选C． 2．（24-25八年级下·甘肃张掖·阶段练习）关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（　　） A．是的解 B．是的解集 C．是的解集 D．是的解集 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，解一元一次不等式和不等式的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据不等式的解集，解一元一次不等式和不等式的性质的知识，逐项判断，进行作答，即可求解； 【详解】解：A、是的解集，所以不是此不等式的解，选项A错误； B、是的解集，选项B错误； C、是的解集， 选项C错误； D、是的解集，选项D正确，符合题意； 故选：D. 【考点23 不等式的性质】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式的变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：A、若，则，故不符合题意； B、若，则，故不符合题意； C、若，则，故不符合题意； D、若，则， 若，则，与矛盾， 故，所以，符合题意． 故选：D． 2．如果不等式的解集为，那么（　　） A．为任意有理数 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴，解得， 故选：． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若实数、、满足，．若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据已知条件，利用含的代数式分别表示出，，从而得到关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：， ，， ， ， 整理得：，， ，， ， 解得：， 故答案为：． 【考点24 一元一次不等式（组）的定义】 1．是关于x的一元一次不等式，则此不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义，得到，求出的值，再解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， ∴， ∴不等式为：， 解得：； 故答案为：． 2．下列式子（）；（）；（）；（），是一元一次不等式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，即含有一个未知数，未知数的次数是，且用不等号连接的整式不等式；根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：()不含有未知数，不符合“含有一个未知数”的要求，不是一元一次不等式，故本小题不符合题意； ()含有一个未知数，未知数的次数是，且是用不等号连接的整式不等式，符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式，故本小题符合题意； ()未知数的最高次数是，不符合“未知数的次数是”的要求，不是一元一次不等式，故本小题不符合题意； ()含有一个未知数，未知数的次数是，且是用不等号连接的整式不等式，符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式，故本小题符合题意； 综上，是一元一次不等式的有()和()，共个． 故选：B． 3．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不符合一元一次不等式组定义； B、符合一元一次不等式组的定义； C、含有等式，不符合一元一次不等式组定义； D、含有等式，且有两个未知数，不符合一元一次不等式组定义； 故选：B． 4．（24-25七年级下·云南昆明·期末）限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了不等式组的应用，根据实际意义列出不等式组即可． 【详解】解：由图形可得能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为， 故选：D． 【考点25 求一元一次不等式（组）的解集】 1．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式， 按照移项，合并同类项的步骤求解即可． 【详解】解：， ， ∴， 故答案为：． 2．不等式组的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 故选：C． 3．已知，当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键．先通过已知方程用含的式子表示，再将的表达式代入中得到关于的不等式，最后解不等式求出的取值范围． 【详解】 ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【考点26 求一元一次不等式（组）的整数解】 1．不等式的负整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式和负整数的定义，解题的关键是掌握解一元一次不等式．解出不等式的解集，即可得到不等式的负整数解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴不等式的负整数解是. 故答案为：． 2．已知关于x的不等式只有2个正整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的解法，正确求解不等式是解题关键，注意解不等式时，不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向需要改变．首先解不等式，不等式的解可以利用m表示，根据不等式只有2个正整数解，即可得到关于m的不等式组，即可求得m的范围． 【详解】解：由不等式得：， ∵关于的不等式只有2个正整数解， ∴， 解得：． 故选：B． 3．不等式组的所有整数解的和为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而确定不等式组的整数解，再把整数解相加，即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为， ∴原不等式组的所有整数解的和为， 故选：A． 4．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）若关于的不等式组至少有2个整数解．则的最大整数值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据题意确定是解题的关键． 根据题意解不等式组得，又至少有2个整数解，则，接着求解即可． 【详解】解不等式， ， ， 解不等式， ， ， ， 所以不等式组的解为， 又至少有2个整数解， 所以，解得， 则的最大整数值为8． 故答案为：8． 【考点27 在数轴上表示一元一次不等式（组）的解】 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）将不等式组的解集在数轴上表示，下面表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式组的解集是解题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以，该不等式组的解集为． 解集在数轴上表示为： ． 故选：D． 2．（24-25七年级下·青海玉树·期末）若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则 ． 【答案】1 【分析】直接利用已知不等式的解集得出关于a的等式，进而得出答案． 此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题的关键． 【详解】解：，解集在数轴上为， ， 解得： 故答案为： 3．关于的不等式组的解集在数轴上如图表示，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确得出关于a的等式是解题关键．根据数轴解第二个方程，利用已知不等式组的解集得出关于a的等式，进而得出答案． 【详解】解：， 解②得， 由数轴可知， 解得． 故答案为：3． 【考点28 由一元一次不等式（组）的解集求参数】 1．不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能求出不等式组的解集是解此题的关键．求出不等式的解集，根据已知不等式组的解集，推出即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 2．若关于x的方程的解是非负数，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式， 先求出一元一次方程的解，再根据其解是非负数得出不等式，然后求出不等式的解集即可. 【详解】解：方程， 解得. ∵方程的解是非负数， ∴， 解得. 故答案为：. 3．关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数． 先分别解两个不等式，进而求出不等式组的解集，再根据不等式组有解判断即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有解， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·河南新乡·期末）已知关于的不等式组． （1）若该不等式组无解，则的取值范围是 ； （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，熟练掌握由一元一次不等式组的解集求参数是解题的关键． （1）先分别求出两个不等式的解，再根据不等式无解的含义列不等式求解即可； （2）首先根据不等式组有解求得 ，再根据题意得到或，分别求解即可． 【详解】解：（1）， 解①，得， 解②，得， 若该不等式组无解，则， 解得． 故答案为：． （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中， 则首先要满足不等式有解， ， 解得， 其次要满足或， 解得或， 的取值范围是或． 故答案为：或． 【考点29 不等式组和方程组的结合】 1．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求解方程得出的表达式，再根据解是负数这一条件列不等式，进而求出的取值范围．本题主要考查一元一次方程的求解与一元一次不等式的应用，熟练掌握方程的解法和根据条件列不等式求解是解题的关键． 【详解】解：解方程得， 因为方程的解是负数，即， 所以， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）若不等式组的解集是，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、有理数的乘方等知识点，根据不等式的解集确定a、b的值是解本题的关键． 先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由不等式组， 解得∶，即． ∵， ，． ，． ． 故选A． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的解集问题． 求出，根据计算即可． 【详解】解： 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】4或1或0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 5．已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为 ． （2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是得出关于k的不等式． （1）将方程组中的两个方程相加，即可得到用含k的代数式表示出，然后根据，即可求得k的取值范围 (2)先用含k的式子表示出方程组的解，再根据x，y均为正整数，且，即可得到该方程组的解． 【详解】解：（1） ①+②，得 ， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由解得 ， ∵均为正整数，且， ∴当时，； 当时，，不合题意，舍去； 当时，，不符合题意，都舍去， 由上可得，该方程组的解为． 故答案为：． 【考点30 列一元一次不等式（组）】 1．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 2．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素含量及购买这两种原料的价格如表：现配制这种饮料，要求至少含有单位的维生素，若所需甲种原料的质量为，则x应满足的不等式为（    ） 甲种原料 乙种原料 维生素C含量（单位/kg） 600 100 原料价格（元/kg） 8 4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解表格，会把文字语言转换为数学语言是解决问题的关键． 首先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有4200单位的维生素C”这一不等关系列不等式． 【详解】解：若所需甲种原料的质量为，则需乙种原料． 根据题意，得． 故选：D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）为保证学生有充足睡眠时间，我校严格按照双减要求学生早上8：00前要到达班级，小明出家门时7：40，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为，到校时间应小于分钟列出不等式即可． 【详解】解：设小明同学跑步时间为，则剩余的路程为，则走路的时间为 ， 故答案为：． 4．若干名学生住宿舍，每间住人，人无处住；每间住人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有间宿舍，则可列不等式组为 【答案】 【分析】先根据“每间住人，人无处住”可得学生人数，再根据“每间住人，空一间还有一间不空也不满”建立不等式组即可得． 【详解】设有间宿舍，则学生有人， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 【计算篇】 【考点31 一元一次不等式（组）的解法】 1．解下列不等式和不等式组，并将解集表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，在数轴上表示时需要注意空心，实心． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）先分别解出两个不等式的解集，再求公共解集即可． 【详解】（1）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 解集在数轴上可表示为： （2）解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组的解集为： 解集在数轴上可表示为： 2．按要求解不等式组 (1)求的所有整数解． (2)求的非负整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解． （1）分别求两不等式的解集，进而求出不等式组的解集，然后求其整数解； （2）分别求两不等式的解集，进而求出不等式组的解集，然后求其非负整数解． 【详解】（1）解不等式得： 解不等式得： ∴ 整数解为； （2）解不等式得： 解不等式得： ∴ 非负整数解为 3．已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解满足，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值． 【答案】(1) (2)、0 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式； （1）根据列出关于的不等式，可解得的范围； （2）结合（1），由为整数，可得的值． 【详解】（1）， ①②得：， ， ， ， 解得； （2）关于的不等式的解集为， ， ， ， ， 满足条件的的整数值是、0． 【实际应用篇】 【考点32 勾股定理的应用】 1．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） (1)求的长． (2)如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． 【详解】（1）解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． （2）如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 2．（24-25八年级下·山东德州·期末）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算体育公园里一架秋千的绳索的长度．当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直． (1)求绳索的长； (2)直接写出将它往前推送，水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度 ． 【答案】(1)绳索的长是 (2)1 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，矩形的判定和性质． （1）先证四边形是矩形，设，根据勾股勾股定理解即可； （2）根据勾股勾股定理解求出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知， 四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即绳索的长是． （2）解：在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 即秋千踏板离地的垂直高度为. 故答案为：1． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用； （1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可； （2）先证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 5．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米． (1)求城镇之间的距离； (2)现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？ 【答案】(1)13千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，连接，可证明四边形为矩形，得到千米，千米，求出（千米），由勾股定理可得（千米）； （2）连接，，设千米，则千米．由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接． ． ，， ，， 四边形为矩形， 千米，千米， （千米）， 在中，（千米）， 答：城镇，之间的距离为13千米； （2）解：如图，连接，，设千米，则千米． ， ， ∴， 解得， 中转站应修建在离点的距离为千米处． 6．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11300元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 【考点33 一元一次不等式（组）的应用】 1．（2025·辽宁·模拟预测）随着技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及，某快递运营区有若干揽投员，无人车3辆．若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的，若2位揽投员和3辆无人车每天可配送快递4810件． (1)求1辆无人车的日均投递量； (2)旺季期间，该运营区有揽投员50人，要求日均投递总量不低于40000件，求至少需要增加无人车多少辆． 【答案】(1)1辆无人车的日均投递量为1300件 (2)至少需要增加11辆无人车 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设1辆无人车的日均投递量为件，则每位揽投员的日均投递量是件，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设需要增加无人车辆，根据题意列出不等式，求出的范围，结合题意得到的最小值即可解答． 【详解】（1）解：设1辆无人车的日均投递量为件，则每位揽投员的日均投递量是件， 由题意得，， 解得， 答：1辆无人车的日均投递量为1300件； （2）解：设需要增加无人车辆， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴的最小值为11， 答：至少需要增加无人车11辆． 2．（24-25八年级下·陕西安康·阶段练习）2025年4月23日是第30个世界读书日．某网上图书销售平台计划在世界读书日前购进甲、乙两类图书共1200册，这两类图书的进价、售价如下表： 进价/（元/册） 售价/（元/册） 甲类 25 30 乙类 45 60 (1)分别购进甲、乙两类图书多少册时，进货款恰好为40000元？ (2)分别购进甲、乙两类图书多少册时，该平台获得的利润最多且利润不超过进货款的（假设甲、乙两类图书全部售完）？此时利润为多少元？ 【答案】(1)购进甲类图书700册，乙类图书500册 (2)当购进甲类图书450册，乙类图书750册时，该平台获得的利润最多且利润不超过进货款的，此时利润为13500元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，正确建立方程组，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设购进甲类图书册，乙类图书册，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设购进甲类图书册时，利润为元，则购进乙类图书册，求出，再根据利润不超过进货款的求出的取值范围，然后利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设购进甲类图书册，乙类图书册， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：购进甲类图书700册，乙类图书500册． （2）解：设购进甲类图书册时，利润为元，则购进乙类图书册， 由题意得：， ∵利润不超过进货款的， ∴， 解得， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 则当时，的值最大，最大值为， 此时， 答：当购进甲类图书450册，乙类图书750册时，该平台获得的利润最多且利润不超过进货款的，此时利润为13500元． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解锁新能源汽车，驶向未来的科技引擎．在科技飞速发展的今天，新能源汽车如雨后春笋般出现在大街小巷，其具有能耗成本低，驾驶体验舒适，环保性能良好等优点，深受广大消费者的喜爱．某品牌汽车销售公司8月共售出16台插混式汽车和10台纯电式汽车，销售额为392万元，9月共售出20台插混式汽车和15台纯电式汽车，销售额为540万元． (1)求插混式汽车和纯电式汽车每台的售价各是多少万元？ (2)受惠民政策影响，该汽车厂家为让利消费者，对所有车辆每台补贴2万元，销售公司在“十一”黄金周共售出两种新能源汽车25辆，销售额不少于330万元，求该公司在黄金周至少售出多少台纯电式汽车？ 【答案】(1)插混式汽车每台售价12万元，纯电式汽车每台20万元 (2)10台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列方程． （1）设插混式汽车每台售价万元，纯电式汽车每台的售价万元，根据题意列方程组求解即可； （2）设该公司在黄金周售出a台纯电式汽车，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设插混式汽车每台售价万元，纯电式汽车每台的售价万元， 由题意得，， 解得． 答：插混式汽车每台售价12万元，纯电式汽车每台20万元． （2）解：设该公司在黄金周售出a台纯电式汽车， 由题意得，， 解得． 答：该公司在黄金周至少售出10台纯电式汽车． 4．（24-25七年级下·河南商丘·期末）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ (3)在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件 (2)至少需要购买67个“滨滨”摆件 (3)能，可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件个，根据题意确定的取值范围，即可确定答案； （3）根据题意求出，进而作答即可. 【详解】（1）解：设“滨滨”摆件的零售价为x元/件，“妮妮”摆件的零售价为y元/件，依题意，列得方程组得， 解得 答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件； （2）解：设购进“滨滨”摆件m个，则购进“妮妮”摆件个， ∵“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件的数量的2倍， ， 解得：． ∵m应为正整数， ∴可得m至少为67． 答：至少需要购买67个“滨滨”摆件； （3）解：商店售完这100个摆件能实现利润超过2310元的目标． 根据题意，得：， 解得： ， ∵m应为正整数， ∴m可以取67，68． 当时，；当时，． 答：可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件． 【几何计算与证明篇】 【考点34 与折叠有关的角度的计算问题】 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点与重合，折痕为． (1)试求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)14 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质，得，再根据三角形的周长，解答即可． （2）根据，不妨设，根据折叠的性质，得，根据，利用三角形内角和定理列方程解答即可． 本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解方程，三角形周长，熟练掌握性质，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得， ∵的周长是， ∴的周长是， ∵，， ∴． 故的周长为14． （2）解：∵，不妨设， 根据折叠的性质，得， ∴， ∵， ∴， 解得， 故． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质． 根据折叠的性质可知，根据平角的定义可以求出，从而可求，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； 根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】（1）证明：由折叠可知， ， ， ， ， ； （2）解：是的外角， ， ， ， 平分， ， 在中，， ． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点，的对应点分别为点，，折叠后点，的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数； (2)设度，度． ①请用含的代数式表示，则________； ②当时，帽子比较美观，求此时的值． 【答案】(1) (2)①；②108 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）由得，由折叠的性质得，利用平角的定义求出的度数，根据轴对称的性质得，最后在中利用三角形内角和定理即可求解； （2）由和推出，由轴对称的性质得，在中利用三角形内角和定理即可求解；②由（1）得，由①得度，利用平角的定义表示出的度数，结合求出的值，即可求出此时的值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， 由折叠的性质得，， ， 由轴对称的性质得，， ， 帽子顶角的度数为． （2）解：①， ， ， ， ， 由轴对称的性质得，， 设度，度， 度， 在中，， ， 故答案为：； ②由（1）得，， 由①得，度， 度， ， ， 解得：， ， 的值为108． 【考点35 三角形的内角和与外角的性质的综合】 1．如图，是的高，、是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，由题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由三角形外角的定义及性质计算得出的度数，再由三角形内角和定理计算得出的度数，然后由角平分线的定义可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； （2）解：由题意可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，则= °；（用含的代数式表示） (3)如图，若，过点作 交于点，求与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义、三角形外角的性质计算，得到答案； （2）仿照（1）的解法解答； （3）根据平行线的性质得到，根据（2）的结论解答． 【详解】（1）解：， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ； （2） ， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ， 故答案为：； （3）， ． ． 由（）得． ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）在中，平分，． (1)如图，若于点，，，则的度数为______； (2)如图，若于点，猜想并写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，设，，当点在射线上时不与点重合，且于点，直接写出的度数为： ______用含、的式子表示． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角性质，垂直的定义的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用三角形内角和求出，结合角平分线定义求出，再结合垂直定义、以及三角形内角和求出，最后根据求解，即可解题； （2）根据题意，结合图形，用、表示出，利用角平分线，表示出，仿照第（1）题，表示出，即可得到结果； （3）结合图形，用，表示出，利用角平分线，表示出，利用是的外角，表示出，同时也是的外角，即可得到结果． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）解：如图，，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 即的度数为， 故答案为：． 【考点36 全等三角形的判定与性质的综合应用】 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点A，C，D，B在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，． (1)求证：； (2)猜想，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据证明即可； （2）由（1）可知则，证明，得到，进而可证 【详解】（1）证明： ， 即． 在和中， ； （2）解：．理由如下： 由（1）可知 ． 在和中， ， ， 即， ． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）泰塔，又称宝塔寺塔、旬邑塔，被中华人民共和国国务院公布为第五批全国重点文物保护单位．实验中学数学兴趣小组的张逸想利用学过的知识来测量泰塔的高度．他带了一根长为2米的木棍并设计了如下的测量方案：如图，先在宝塔前选一点，使得，然后把竖直的木棍在的延长线上左右移动，使．此时用皮尺测得泰塔底部与木棍底部的距离，已知．请你帮他求出泰塔的高度． 【答案】 【分析】通过已知条件寻找三角形 和三角形 全等的条件，利用全等三角形对应边相等求出泰塔高度．本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的“角边角”判定方法和对应边相等的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∵ ，， ∴． 在 和 中： ∴ （）． ∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 3．（24-25七年级下·广东河源·期末） 是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为 ．    (1)当时，求的长； (2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，上是否存在点，使得 与 全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在， 【分析】（1）证明，可得； （2）证明 即可求解； （3）连接，由是钝角，则当与全等时，在中必有一个钝角，只能是是钝角，此时，再根据，即可求的值． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，， ∴是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在点使得与全等，理由如下： 连接，    ∵， ∴， ∵是钝角， ∴当与全等时，在中必有一个钝角， ∵点在线段上， ∴只能是是钝角， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的边和角的特征，以及全等三角形的判定方法（如角角边等）是解题的关键． 【考点37 角的平分线与线段的垂直平分线】 1．在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F． (1)求证：； (2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)相等，理由见详解 【分析】（1）根据BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBF，再根据DF⊥BC，得到∠DFB=∠BAD=90°，即可得到，即可证得AB=BF； （2）先证明，即可得到∠BGE=∠BDF，再根据∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，得到∠AGD=∠ADB，即有AG=AD． 【详解】（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBF， ∵DF⊥BC， ∴∠DFB=∠BAD=90°， 又∵BD=BD， ∴， ∴∠ADB=∠BDF，AB=BF； （2）AD=AG，理由如下： ∵AE是斜边BC上的高， ∴AE⊥BC， 又∵DF⊥BC， ∴， ∴∠BGE=∠BDF， 又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF， ∴∠AGD=∠ADB， ∴AG=AD． 【点睛】本题主要考查了角平分线性质、全等三角形的判定和性质、平行的判定和性质、等角对等边等知识，得到是解答本题的关键． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，是的垂直平分线上两点，延长，交于点，交于点． 求证： (1)是的角平分线； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由，推出，由交于点，推出，可得． （2）由，，，可得． 【详解】（1）证明：点是的垂直平分线上的点， ， ， 交于点， ， ． 即是的角平分线． （2）解：点是的垂直平分线上的点， ， ， ，，， ． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 【考点38 利用轴对称的性质判断线段之间的关系】 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图1，是等边三角形，点D为边上一点，连接，点C关于的对称点为点E，连接． (1)若是的平分线，求的度数； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，，试探究，和三者之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)， 理由见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）设，根据对称得出， 由求出解题即可果； （2）连接， 在上截取， 连接，可推出， 进而得出， ， 进一步得出结果． 【详解】（1）解：设， ∵点与点关于对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： 连接， 在上截取， 连接， ∵点与点关于对称， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， ∵， ， ， ， ， ． 2．如图（1），已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A，B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点，且当时，点恰好在（不含端点A，C）边上． (1)在图（2）中画出当时的图形，并求出此时的长度； (2)在点P的运动过程中，探究点到点A，C之间的距离的关系． 【答案】(1)画图见解析， (2)相等，理由见解析 【分析】（1）先画出图形，再证明是等边三角形，则； （2）先证明，是等边三角形，根据折叠的性质可知垂直平分，则垂直平分，即可证明． 【详解】（1）解：如图（2），已知，则， 由折叠可得， ∴ 又∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：相等，理由如下： 在图（2）中，且由折叠可得 ∴，是等边三角形， 在图（3）中，连接， 由对称可得， ∵是等边三角形 ∴垂直平分， ∴垂直平分， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键． 3．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度． (1)写出的等量关系； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）由题意得度，度 度，再列等式求解即可； （2）先求得度，可得，再由，可得，即，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得度，度 度， 即， 解得； （2）解：因为将沿边折叠到处， 所以度， 所以， 因为， 所以，即， 由（1）得，代入得 解得， 所以 【考点39 等腰三角形的性质与判定的综合】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若 (1)求证：是等腰三角形； (2)点G是上一点，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． (1)先利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用等角对等边可得：，即可解答； (2)利用(1)的结论可得：，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得：，再利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ， ． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握相关知识是解题的关键； 对于（1），根据等腰三角形的性质得是的垂直平分线，可得，再根据线段垂直平分线的性质得，即可得，此题可解； 对于（2），根据等腰三角形的性质可求，再根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，点D是的中点，， ∴． 在中，． 3．已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)70 (2)①② (3)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，理解并掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据题意易知为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，结合，即可获得答案； （2）①首先结合三角形内角和定理解得，再根据三角形外角的定义和性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，即可求得的度数；②当时，结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质可解得的度数； （3）当时，易得，进而可得．然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即为等腰三角形， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：70； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）若， 则， ∴． ①当时，， ∵， ∴此时不符合题意； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是等腰三角形． 【考点40 等边三角形的性质与判定的综合】 1．在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且． (1)如图1，若点E是的中点，求证：． (2)如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用等边三角形的性质得，平分，，结合等边对等角得，则，即； （2）过E作交于F，结合为等边三角形，证明为等边三角形，则，再整理得，证明，得，故，即可作答． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，E是的中点， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过E作交于F， ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴ 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，垂足为，且，点、分别在边、上，且．求证： (1)是等边三角形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质． （1）根据等腰三角形的“三线合一”求出，再由即可得证； （2）根据等边三角形的性质得到，，从而证明，根据全等三角形的对应边相等即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：； (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质等知识． （1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【考点41 勾股定理的证明】 1．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，熟悉勾股定理的证明方法及应用是解题的关键； （1）先计算出梯形的面积，另一方面此梯形还可表示为两条直角边分别为a、b的两个直角三角形的面积与一个等腰直角三角形面积的和，由此即可得出勾股定理； （2）分别在与中，由勾股定理得; ，由此得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）解：在中，; 在中，， 所以， 解得， ∴， ∴． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 【答案】(1)④；⑤；② (2) 【分析】本题考查面积法验证勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图可知，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，利用图中大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，列出方程可求，再利用完全平方公式求出，则题目可解． 【详解】（1）解：如图所示，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）解：设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， 由题意可知中间小正方形的边长为， ∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， 所以． 由勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， 则一个直角三角形的周长． 3．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．著名的古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中给出了勾股定理的一种证明方法． 如图1，分别以的直角边及斜边为边向外作正方形，正方形和正方形，连接，作分别交于点．由四边形是正方形，可得．再由，可得．易得四边形和四边形是矩形（依据）． 思路梳理： 证明“”是关键，下面是“”的证明过程： 由四边形和四边形是正方形，易得． 点在同一直线上，即． ． 同理可证．从而可证明勾股定理． 任务： (1)材料中的依据为______． (2)请你补全材料中的证明过程． (3)当不是直角三角形时，其三边关系显然不满足勾股定理．如图2，当是锐角三角形时，请直接写出与之间的关系，并利用勾股定理予以简单证明．（提示：过点作于点） 【答案】(1)有三个角是直角的四边形是矩形 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查矩形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理： （1）根据矩形的判定方法有三个角是直角的四边形是矩形进行作答即可； （2）证明，全等得到，进而得到，即可； （3）过点作于点，易得，，得到，结合勾股定理即可得证； 【详解】（1）解：依据是有三个角是直角的四边形是矩形， （2）补全过程如下： ， ． ． ， ， 即． （3）． 证明：如解图，过点作于点． 为锐角三角形， 点在线段上，即． ． ， ． ． 在中，根据勾股定理，得． ． 【考点42 勾股定理与折叠问题】 1．如图，小明同学将一个直角三角形的纸片折叠，与重合，折痕为，若已知，，你能求出的长吗？ 【答案】能， 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，由勾股定理可得，由折叠的性质得，，，即得，设，则，在中，利用勾股定理求出即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：能； ∵是直角三角形，，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 2．（24-25八年级下·山东德州·期中）已知，如图折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，如，．求的长． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理在翻折中的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识来分析、判断、推理或解答． 首先根据勾股定理求出的长，借助翻转变换的性质及勾股定理列式求出的长，即可解决问题； 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图①，在矩形纸片中，，． 【实践操作】 第一步：如图②，将图①中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，然后把纸片展平； 第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去； 第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿折叠，得到，延长与交于点N，与交于点M． 【问题解决】 (1)在图②中证明四边形是正方形； (2)请在图④中判断与的数量关系，并加以证明； (3)请在图④中求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知矩形与折叠的性质，正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质和折叠的性质可得，，据此可证明结论； （2）连接，只需要证明即可得到； （3）设，则，由折叠的性质可得，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）解；，证明如下： 如图所示，连接， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ ， ∴； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【考点43 利用勾股定理探究平方关系】 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 2．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 3．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 【考点44 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形】 1．（24-25八年级下·贵州·阶段练习）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足， (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析． 【分析】本题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理． （1）绝对值的非负性，算术平方根的非负性，平方的非负性，即可得，，的值； （2）根据勾股定理的逆定理，即可判断的形状． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，， ∴，，， ∴，，， 故答案为：，，． （2）解：是直角三角形，理由： 由（1）得，，， ∵， ∴， 又∵a，b，c为的三边长， ∴是直角三角形． 2．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线性质，解题的关键是先证明直角，再根据垂直平分线性质转换线段，根据勾股定理列方程求解． （1）根据勾股定理逆定理即可证明； （2）连接，根据是的垂直平分线，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （2）解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图，连接，若平分，，，，则 ． (3)如图，若，，求证：点在的平分线上． (4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 【答案】(1)直角 (2)5 (3)见解析 (4)①，理由见解析；② 【分析】（1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理逆定理求解即可； （2）先根据角平分线的性质得，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）连接，证明得，即可得出结论； （4）①由得，，由线段垂直平分线的性质得，，进而可推出，进一步可得结论； ②连接，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （2）解：平分，，， ， 设，则， 在中，， ， ， 即， 故答案为：5； （3）证明：如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点在的平分线上； （4）解：，理由如下： 由题意知，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ； ②如图，连接，设，则， ，， ，， 由勾股定理，得，， 即， ， 线段的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定及应用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是能够灵活应用相关知识点． 【作图篇】 【考点45 尺规作角平分线、线段垂直平分线】 1．如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线，作的角平分线，则交于一点，即为点P． 【详解】解：点P即为所求，如图所示：    【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【答案】4处，图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）下图是某休闲广场的平面示意图，A，D是广场的两个入口，，，是小路，现要在广场（四边形）内部修建一处喷泉（点P），使喷泉P满足以下两个条件： ①喷泉P到小路，的距离相等； ②喷泉P到入口A和D的距离相等． 请利用尺规确定点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识点，掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图方法是解题的关键． 作的角平分线，作线段的垂直平分线，两线的交点即为所求点P的位置． 【详解】解：如图：点P的位置即为所求． 【考点46 作轴对称图形】 1．（25-26八年级上·湖南·期中）如图在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了作图——对称变换、点关于坐标轴对称等知识点，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标的规律是解题的关键． （1）先确定点A、B、C关于y轴对称点，然后再顺次连接即可； （2）根据（1）的作图，直接写出坐标即可； （3）利用长方形的面积减去三个小三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图可得：，，． （3）解：． 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，有一个以格点为顶点的其中点，，均在网格上 (1)作关于直线的轴对称图形； (2)的面积是_________ ； (3)在直线上画出点，使得最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作出，，的对应点即可． （2）利用分割法求三角形面积． （3）连接交直线于点，连接，点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）的面积是 （3）如图，点Q即为所求． 3．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 【考点47 利用轴对称设计图案】 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 【答案】图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查设计轴对称图案，根据成轴对称的性质，确定对称轴，作图即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 2．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图所示在3×3的正方形网格中，已经有3个小正方形涂了阴影，请你在余下的空白小方格中涂上1个阴影使整个图形成为轴对称图形，把几种不同的涂法分别展示出来． 【答案】有2种，图形见解析． 【分析】根据轴对称图形的性质求解即可；本题主要考查了做轴对称图形，准确作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意作图如下： 3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，这是由五个大小相同的小正方块拼凑而成的． (1)该图是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴． (2)若移动一个小方块重新拼凑成一个新的轴对称图形，共有几种方法（相同方法算一种）？请你画出图形和对称轴． 【答案】(1)是，图见详解； (2)有四种，图见详解． 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，解答本题的关键是掌握轴对称的定义，难点在第二问，注意不要漏解． （1）根据轴对称图形的概念，可得此图为轴对称图形，然后画出对称轴即可． （2）只要满足移动之后是轴对称图形即可，注意不要遗漏． 【详解】（1）解：该图是轴对称图形，对称轴如图所示： （2）解：共有四种方法，如图所示：        【压轴篇】 【考点48 做辅助线构造全等三角形】 1．（24-25八年级上·广东珠海·期末）如图1，四边形中，，对角线、交于点E，恰好是等边三角形，已知点O是的中点，连接． 【知识技能】（1）求证：平分； 【综合探究】（2）如图2，点F是的中点，连接、，求证：平分； 【拓广延伸】（3）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）先证明，再证明，即可得到结论； （2）过点O分别作于点M，于点N，证明，可得，从而可得结论； （3）过点D作于点H．由等边和等腰可知，，证明，可得，证明，可得，再进一步利用割补法可得结论. 【详解】证明：（1）连接． ，点O是的中点， ， ， ， 在等边中，， 在和中， ， ， 平分； （2）过点O分别作于点M，于点N ， ，点O是的中点， 则， ，点F是的中点， 则， ， ， ∵， 在和中， ， ， ， ∴平分； （3）过点D作于点H． 由等边和等腰可知， ， 即， 又， ， ， ， ， ， ，点F是的中点， ，， 在和中， ， ， ， . 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键. 2．已知：是的角平分线，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，点E在上，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，且，连接． ①求证：； ②若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查全等三角形的性质及判定，涉及三角形面积、角平分线的性质等知识，解题的关键是根据已知条件，找出并证明相关的三角形全等． （1）用证明，即得； （2）①证明可得，再用证明，即得； ②过F作于K，由，可得，，而，故，即得，根据，可求． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． （2）①在中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ②如图3，过点A分别作于H，于M，交的延长线于点N，过点F作于K． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·全国·期末）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点A作，垂足为D，交于点E．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，点D在线段上，且于E，交于F，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：；理由如下： 由（1）得：， ∴， 即， ∵，垂足为D， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）；理由如下： 如图3：过点D作，交的延长线于点G，与相交于H， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，是解题的关键． 【考点49 做辅助线构造等腰三角形】 1．已知：如图，，、分别是、的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质．连接、，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，进而根据等腰三角形的“三线合一”即可证明． 【详解】解：连接、， ，是的中点， ， 点是的中点， ． 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【答案】（1）（2），证明见解析（3）的长为9或1 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出； （2）过点D作，交于点M，结合等边三角形的判定与性质，证明即可得证； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 故答案为： （2），证明如下： 如图②，过点D作，交于点M， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交于点M， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 3．（24-25八年级下·山西晋中·期中）综合与实践 【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点、于点，且．则猜想并证明，，之间的数量失系． （2）如图②，已知等边三角形及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点为外一点，且，，直接写出的度数． 【答案】（1）（2），证明见解析（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，得出，，根据线段的和差关系即可得出结论； （2）在上截取，连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，即可得证； （3）延长至，使，再在上取点，使，连接，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，再证明，得出，即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）结论：， 证明：在上截取，连接， 在等边中，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：延长至，使，再在上取点，使，连接，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【考点50 三角形中的最值问题】 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求 的度数． (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①；②最小值为 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； （2）①根据线段垂直平分线的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；②当点与重合时，周长的值最小，据此解答即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长是， ∴； ②当点与重合时，周长的值最小， 理由：∵，， ∴与重合时，，此时最小， ∴周长的最小值． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 3．（24-25七年级下·福建三明·期中）已知：等腰中，． (1)如图1，若是的高，是的角平分线，与交于点．当的大小变化时，的形状也随之改变． ①设，求角度的变量与的关系式； ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图2，若的面积是是的高，点分别是线段上的点，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质求线段和的最值，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①根据三角形内角和定理分别表示出，根据三角形的外角的性质得出，即可求解； ②先表示出的三个内角，然后根据等腰三角形的性质，分类讨论，列出方程，解方程，即可求解； （2）过点作，垂足为，交于点，连接，当重合时，的最小值为，进而根据三角形的面积公式求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：①设 ∵ ∴ ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴ ∴； ②∵是的高， ∴ ∵ ∴ ∵是等腰三角形时 当时， ∴ 解得：即 当时， ∴ 解得：即 当时， ∴ s解得：（不合题意，舍去） 综上所述，或 （2）解：如图，过点作，垂足为，交于点，连接， ∵，是的高， ∴是的对称轴， ∴，当重合时取得最小值，即的最小值为 ∵的面积是， ∴ ∴的最小值是 【考点51 三角形中的分类讨论】 1．（24-25七年级下·上海·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰 纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在 是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，，见解析 (3)存在，或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：当时，；理由如下： ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）； （3）解：存在是等腰三角形；理由如下： ∵是等腰三角形， ，， ①当时， ∴， 即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点与点重合，点和重合， ∵点不与，重合， ∴，舍去， 综合所述，存在是等腰三角形；或． 2．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，点，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为． (1)求A，C两点的坐标； (2)连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积； (3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或 【分析】本题考查了非负数的性质，全等三角形的性质，求点的坐标等知识，利用三角形全等是解题的关键； （1）由非负数的性质即可求解； （2）由题意得，，由三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况，；；利用三角形全等的性质，考虑点Q的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，如图 ∴， 由题意得：， 当点P在x轴的正半轴上时，， ∴； （3）解：存在； 当时，则， 如下左图，当点Q在y轴正半轴上时，； 当点Q在y轴负半轴上时，； 当时，则， 如右图，当点Q在y轴正半轴上时，； 当点Q在y轴负半轴上时，； 综上，点Q的坐标为或或或． 3．在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，，在坐标轴上找点，使构成等腰三角形． (1)这样的等腰三角形有______个； (2)直接写出分别以、为顶角时所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)8 (2)当为顶角时，(8，0)，(0，-4)，(-2，0)；当为顶角时，(-3，0)，(0，-1)，(0，9)． 【分析】（1）分类讨论：①当AB=BC时，②当AB=AC时和③当BC=AC时，画出图形即可得出结论； （2）根据（1）结合图形和等腰三角形的定义即可求解． 【详解】（1）分类讨论：①当AB=BC时，如图，和； ②当AB=AC时，如图，和； ③当BC=AC时，如图和． 综上可知满足条件的点C有个， 故答案为：； （2）当为顶角时，即AB=AC=5，此时点C的位置即上图中，，． ∴，，， ∴(8，0)，(0，-4)，(-2，0)； 当为顶角时，即AB=BC=5，此时点C的位置即上图中，，． ∴，，， ∴(-3，0)，(0，-1)，(0，9)． 【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 【考点52 利用勾股定理求最短路径】 1．编织一个底面周长为、高为的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 【答案】每一根这样的竹条的长度最少是 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键．将圆柱侧面展开，再根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：将圆柱侧面展开，如图所示， 圆柱底面周长为，高为， ， 即每一根这样的竹条的长度最少是． 2．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接； (2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________； (3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． 【答案】(1)图形见解析 (2)两点之间线段最短. (3)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短． （1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可； （2）根据题（1）结合两点之间线段最短即可求解； （3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （3）根据题意可得：展开图中的，． 在中，由勾股定理可得：， 即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 3．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处．    (1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当时，求蚂蚁爬过的最短路径长的平方． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）蚂蚁可从柜角A处沿着木柜的前面和右侧面爬到柜角处；也可从柜角A处沿着木柜的前面和上面爬到柜角处； （2）分别计算和即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的和 （2）解：∵ ∴ ∵ ∴蚂蚁爬过的最短路径长的平方为 【点睛】本题考查了勾股定理与最短路径问题．根据立体图形的侧面展开图找到最短路径是解题关键． 4．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图1，长方体盒子的体积是立方厘米，它的长、宽、高的比是． (1)若有一条长 的铁丝，不弯折能否完全放进去？说明理由； (2)如图2，若经过盒子个侧面从到缠一条金线，求所需金线的最小长度． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)厘米 【分析】本题考查勾股定理的应用，长方体的体积以及侧面展开图． （1）根据长方体体积的计算方法求出长方体的长、宽、高，再根据勾股定理进行计算即可； （2）将4个侧面展开后由勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：能，理由如下 设这个长方体的长为，则宽为，高为，由题意得，， 解得， 即正方体的长为，宽为，高为， 如图1，连接，，此时，是能放进盒中最长长度， 因此一条长的铁丝可以不弯折完全放进去； （2）解：将图2的四个侧面展开后如图所示， 此时， 所需金线的最小长度为 【考点53 利用勾股定理构造图形解决问题】 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数x满足，求x的值． 【答案】（1）13；（2）；（3）4.8 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1），， ， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图， ， ， ， ∴的最小值是； （3）构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 2．已知点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股分割点．      (1)如图1，点M、N是线段的勾股分割点， ①当＝3，＝4时，求的长； ②当＝，＝时，求的长； (2)如图2，点C是线段上的一定点，请在上画一点D，使C、D是线段的勾股分割点．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，画出一种情形即可） 【答案】(1)①5或；②或 (2)见解析 【分析】（1）①分为斜边或直角边两种情况，运用勾股定理知识解决问题；②分为斜边或直角边两种情况，运用勾股定理知识解决问题； （2）运用勾股定理尺规作图． 【详解】（1）解：（1）①当为直角三角形的斜边时，＝＝5； 当为直角三角形的直角边时，＝＝； ②当为直角三角形的斜边时，＝＝； 当BN为直角三角形的直角边时，BN＝＝； （2）如图所示，点D就是符合条件的点．    【点睛】本题考查了勾股定理及应用，熟练运用勾股定理公式是解决本题的关键．本题主要体现数形结合与分类讨论思想． 【考点54 根据不等式的基本性质求最值】 1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，且，求的最大值． 【答案】17 【分析】本题主要考查了代数式的运算、解三元一次方程组、不等式等知识点，根据已知代数式将所求代数式转换成关于b的代数式成为解题的关键． 通过解方程组用b表示出a、c、d，然后代入得到只含b的代数式，最后结合b的范围即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ①+②得：④， ①+③得：⑤，即， ④+⑤得：，即， 将、代入得：， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为17． 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）已知、、是非负实数，且，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的解法，正确的理解题意是解题的关键． 解方程组，用含的式子表示出、的值，根据，求得的取值范围而求得的最小值． 【详解】解：由得， ∵、、是非负实数， ∴， 解得． ∴． ∵， ， ∴， ∴的最小值为． 【考点55 不等式中的新定义问题求参数取值范围】 1．阅读材料： 矩阵的定义：由个数排成的行列的数表，称为行列的矩阵，简称矩阵． 记作：，其中表示第行第列的数字．如表示矩阵． 矩阵的性质：若有两个矩阵相等，则相应位置的数字相等． 例如，若，即，则有． 矩阵的运算：对于矩阵，有着自己的运算方法：，比如矩阵： 例如：． (1)求中的值． (2)请将方程组改写成矩阵的运算形式． (3)关于的不等式组只有3个整数解，的取值范围是_____． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，一元一次不等式组的求解，读懂题意根据题目中给出的新定义列出不等式组为解题关键． （1）根据题目中给出的定义列出不等式组，利用加减消元法求解即可； （2）根据题目中给出的定义将不等式组改为矩阵的运算形式即可； （3）根据题目中给出的定义列出不等式组再根据整数解求出结果即可． 【详解】（1）解： ， ， 得：，解得：， 将代入②得：，解得：， ，； （2），， （3）， ，， 即，解得： 不等式组只有3个整数解，即为0,1,2 ， 解得：． 2．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”、例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立：方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中_______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于，方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组恰有5个整数解，且关于的方程是它的“偏解方程”，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． （1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，由新定义得到，解得：，设5个整数解为，则，求出的范围，再根据有解，得到关于k的不等式组，求出k的取值范围，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：解方程得， ①不成立，故不符合题意； ②成立，故符合题意； ③成立，符合题意， ∴方程是下列不等式（组）中②③的“偏解方程”， 故答案为：②③； （2）解：解方程组得：， ∵方程组是不等式的“偏解方程组”， ∴， 解得：； （3）解：解不等式组得， ∵关于的方程是它的“偏解方程”， ∴， 解得：， ∴设5个整数解为， 则由题意得：， ∴， 解得：， ∵有解， ∴， 解得：， ∴的整数解为或， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴， ∴由①②得：， 又∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $