精品解析：江苏省 南京市溧水区第一初级中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

一初中教育集团2025－2026学年第一学期学情检测 九年级 数学 一、选择题 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. ax2－4x＝0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可． 【详解】解：A、为分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、是一元二次方程，故此选项符合题意； C、未知数的最高次项的次数为3，所以方程是一元三次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、当a＝0时，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）． 2. 将方程配方后，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解： ． 故选A． 【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键． 3. 用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（　　） A. 3，﹣4，8 B. 3，﹣4，﹣8 C. 3，4﹣8 D. 3，4，8 【答案】B 【解析】 【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定． 【详解】∵方程化为一般形式为：， ∴，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为．其中分别是二次项和一次项系数，c为常数项． 4. 如图，是的直径，点，为上的点．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆内接四边形的性质求出，再求出即可． 【详解】解：，， ， 是直径， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5. 如图，已知、、、、均在上，且为直径，则（ ）度． A. 30 B. 90 C. 60 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，由为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，再由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得，，进而求得答案． 【详解】解：如图，连接，， 为直径， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 6. 已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】解：△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）． ∵a，b，c分别是三角形的三边， ∴a+b＞c． ∴c+a+b＞0，c-a-b＜0， ∴△＜0， ∴方程没有实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2-4（a+b）（a+b）进行因式分解． 二、填空题 7. 方程的根是_____. 【答案】0和-4. 【解析】 【分析】根据因式分解即可求解. 【详解】解 ∴x1=0,x2=-4, 故填：0和-4. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法. 8. 某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，设年平均增长率为x，则可列方程________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均变化率的等量关系：，列式即可． 【详解】解：由题意得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．熟练掌握平均变化率的等量关系：，是解题的关键． 9. 设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为___． 【答案】2020. 【解析】 【分析】把x=m代入方程计算即可求解． 【详解】解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣2019＝0，即m2﹣m＝2019， 则原式＝2019+1＝2020， 故答案为2020. 【点睛】本题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 10. 如果关于的一元二次方程的两根分别为，那么_____，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，则，．根据根与系数的关系得到，，再解一次方程即可得到本题答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为 ∴， ∴， 故答案为：；． 11. 若关于的一元二次方程的常数项为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不等于零． 首先找到该方程的常数项，然后由“常数项是”列出关于的方程，通过解该方程来求的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的常数项为， 且 解得：． 故答案为：． 12. 已知点P到圆上的最远距离是，最近距离是，则此圆的半径是________cm． 【答案】2或3##3或2 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点在圆外和点在圆内两种情况分类讨论，求出直径，即可求解． 【详解】解：当点P到圆外时，∵点P到圆上的最远距离是，最近距离是， ∴圆的直径为； ∴半径为； 当点P到圆内时，∵点P到圆上的最远距离是，最近距离是， ∴圆的直径为； ∴半径为； ∴圆的半径为或． 故答案为：2或3 13. 如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为_____． 【答案】110° 【解析】 【详解】∵∠A=50°， ∴∠BOC=2∠A=100°， ∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC， ∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°， ∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°， 故答案为110°． 14. 的弦的长等于半径，那么弦所对的圆周角等于___________度． 【答案】或 【解析】 【分析】一条弦所对的圆周角有两种情况：当圆周角的顶点在优弧上，圆周角应是一个锐角；当圆周角的顶点在劣弧上，圆周角是一个钝角． 【详解】解：∵弦的长等于半径， ∴当把圆心分别与点A，B连接，可得等边三角形，等边三角形的内角是， ∴弦所对的圆心角是， ∴弦把圆分成和的两段弧， 根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数，而一条弧所对的圆周角的度数等于所对圆心角度数的一半， ∴弦所对的圆周角等于或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 15. 如图，AB为⊙O的直径，弦于点E，已知，则⊙O的半径为__________． 【答案】5 【解析】 【详解】解：设圆的半径为r，连接OC， 根据垂径定理可知CE=3，OE=r-1， ， 解得r=5． 故答案为5． 16. 如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可． 【详解】解：连接QC和PC， ∵PQ和圆C相切， ∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值， ∴当CP最小时，PQ最小， ∵△ABC是等边三角形， ∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB， ∵AB=BC=AC=4， ∴AP=BP=2， ∴CP==， ∵圆C的半径CQ=， ∴PQ==3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键． 三、解答题 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点，选取适当的方法是解题的关键； （1）方程移项后，利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用公式法求解即可； （4）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 直接开平方，得， ∴原方程的解为，； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ，； 【小问4详解】 解：原方程化为， ∴或， ∴，． 18. 如图，在中，弦、于点E，且．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【解析】 【分析】本题考查圆的相关性质，解题的关键是利用在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等这一性质进行推理。 先根据已知弦相等得出弧相等，再通过弧的运算得到，最后根据弧与弦的关系得出弦相等。 【详解】略 19. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0． （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值． 【答案】（1）m＞﹣2；（2）实数m的值为1． 【解析】 【分析】（1）根据“一元二次方程 中，当根的判别式△= 时，方程有两个不相等的实数根”列出不等式进行解答即可； （2）根据“一元二次方程根与系数的关系”可得 ，将所得等式代入x12+x22=22+x1x2中得到关于m的方程，并结合（1）中所得m的取值范围即可求得m的值. 【详解】（1）由题意可得：在关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0中， △=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）=8m+16， ∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0有两个不相等的实数根时， ∴△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2； （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系， 得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3， ∵x12+x22=22+x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2， ∴[2（m+1）]2﹣2（m2﹣3）=22+（m2﹣3）， 化简，得m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去）， ∴实数m的值为1． 20. 如图，在边长为1的正方形网格纸中，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上．仅用无刻度直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： （1）在图①中，作的中点M； （2）在图②中，作，使得． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求点； （2） 解：如图，在网格上找到点，连接，并延长交于点，则，即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接，过点、格点作直线交于点，点即为所求点； （2）在网格上找到点，连接，并延长交于点，则，即为所求，设点下方的格点为，点上方的格点为，连接、、，与交于点，与交于点，再根据“边角边”，得出，进而得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，，再根据对顶角相等，得出，进而得出，再根据垂线的定义，得出，再根据垂径定理，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 如图，设点下方的格点为，点上方的格点为，连接、、，与交于点，与交于点， ∵， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，涉及垂径定理、全等三角形的判定与性质、网格的特点，解本题的关键在正确画出符合题意的图形． 21. 如图，在中，． （1）求作的外接圆；（要求，尺规作图，不写作法．保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，的平分线交于点．连接．若，，求的长． 【答案】（1） 为所作； （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，以为直径，为圆心作圆即可求解； （2）连接，勾股定理求得，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据角平分线的定义得出，根据同弧所对的圆周角相等，得出，从而得出是等腰直角三角形，勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作的垂直平分线，交于点，以为直径，为圆心作圆， 【小问2详解】 连接，如图， ，，， ， ， 为的直径， ， 平分， ， ， 为等腰直角三角形， ． 【点睛】本题考查了作垂线，画圆，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 22. 列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 【答案】29元． 【解析】 【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价． 【详解】解：设这种水果每千克降价元， 则每千克的利润为：元，销售量为：千克， 整理得， 或， 要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为（元） 答：这种水果的销售价为每千克29元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 23. 如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD=∠ABC． （1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由； （2）若CD=2，CA=4，求弦AB的长． 【答案】 （1）直线AC是⊙O的切线， 理由如下：如图，连接OA， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠ABC， 又∵∠CAD=∠ABC， ∴∠OAB=∠CAD=∠ABC， ∴∠OAD+∠CAD=90°=∠OAC， ∴AC⊥OA， 又∵OA是半径， ∴直线AC是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接OA，由圆周角定理可得∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，由等腰三角形的性质可得∠OAB=∠CAD=∠ABC，可得∠OAC=90°，可得结论； （2）由勾股定理可求OA=OD=3，由面积法可求AE的长，由勾股定理可求AB的长． 【详解】（1）略 （2）过点A作AE⊥BD于E， ∵OC2=AC2+AO2， ∴(OA+2)2=16+OA2， ∴OA=3， ∴OC=5，BC=8， ∵S△OAC=OAAC=OCAE， ∴AE=， ∴OE=， ∴BE=BO+OE=， ∴AB=． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，求圆的半径是本题的关键． 24. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程（）的正确构图是________．（从序号①②③中选择） （2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程________________________，解得原方程的一个根为________； （3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数________，________，求得方程的正根为________． 【答案】（1）② （2），， （3），3，1或3 【解析】 【分析】（1）根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可求出答案． （2）根据材料提示，进行计算即可求出答案． （3）先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，，分类讨论，由此即可求出答案． 【小问1详解】 解：变形为， 图①一个长方形的面积为：； 图②一个长方形的面积为：； 图③一个长方形的面积为：； ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 故选：②； 【小问2详解】 解：第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为； 【小问3详解】 解：， ， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 由条件可知，， 解得，， 当时，， ， 解得，即方程的一个正根为； 当时，， ， 解得，即方程的一个正根为； 综上，方程的一个正根为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一初中教育集团2025－2026学年第一学期学情检测 九年级 数学 一、选择题 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. ax2－4x＝0 2. 将方程配方后，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（　　） A. 3，﹣4，8 B. 3，﹣4，﹣8 C. 3，4﹣8 D. 3，4，8 4. 如图，是的直径，点，为上的点．若，则（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知、、、、均在上，且为直径，则（ ）度． A. 30 B. 90 C. 60 D. 45 6. 已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 二、填空题 7. 方程的根是_____. 8. 某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，设年平均增长率为x，则可列方程________． 9. 设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为___． 10. 如果关于的一元二次方程的两根分别为，那么_____，______． 11. 若关于的一元二次方程的常数项为，则的值为_____． 12. 已知点P到圆上的最远距离是，最近距离是，则此圆的半径是________cm． 13. 如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为_____． 14. 的弦的长等于半径，那么弦所对的圆周角等于___________度． 15. 如图，AB为⊙O的直径，弦于点E，已知，则⊙O的半径为__________． 16. 如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________． 三、解答题 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在中，弦、于点E，且．求证：． 19. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0． （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值． 20. 如图，在边长为1的正方形网格纸中，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上．仅用无刻度直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）： （1）在图①中，作的中点M； （2）在图②中，作，使得． 21. 如图，在中，． （1）求作的外接圆；（要求，尺规作图，不写作法．保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，的平分线交于点．连接．若，，求的长． 22. 列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 23. 如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD=∠ABC． （1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由； （2）若CD=2，CA=4，求弦AB的长． 24. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程（）的正确构图是________．（从序号①②③中选择） （2）【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程________________________，解得原方程的一个根为________； （3）【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解． 已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数________，________，求得方程的正根为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $