期中复习4大类型28个考点（举一反三期中专项训练）八年级数学上学期湘教版2024

期中复习4大类型28个考点（前3章） 【湘教版2024】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 因式分解】 2 【考点2 分式的相关概念】 4 【考点3 分式的基本性质】 6 【考点4 最简分式】 7 【考点5 分式的加法和减法】 8 【考点6 分式的乘法和除法】 10 【考点7 分式方程的定义】 11 【考点8 分式方程的解】 12 【考点9 列分式方程】 13 【考点10 二次根式有意义的条件】 16 【考点11 二次根式的性质与化简】 17 【考点12 二次根式的乘除法】 18 【考点13 最简二次根式】 20 【考点14 同类二次根式】 21 【考点15 二次根式的加减法】 22 【计算篇】 23 【考点16 因式分解】 23 【考点17 分式的混合运算】 26 【考点18 分式的化简求值】 31 【考点19 分式方程的解法】 34 【考点20 二次根式的混合运算】 36 【考点21 二次根式的化简求值】 41 【实际应用篇】 43 【考点22 分式运算的应用】 43 【考点23 分式方程的应用】 47 【考点24 二次根式的应用】 52 【压轴篇】 57 【考点25 因式分解的应用】 57 【考点26 根据分式方程解的情况求值】 59 【考点27 复合二次根式的化简】 63 【考点28 分母有理化】 65 【基础概念易错篇】 【考点1 因式分解】 1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的定义． 根据因式分解的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项不是因式分解，不符合题意； B. 该选项不是因式分解，不符合题意； C. 该选项是因式分解，符合题意； D. 该选项不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 2．下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】先对各多项式分解因式，然后利用公因式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】、与，没有公因式，此选项符合题意； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 、与有公因数，此选项不符合题意，排除； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【点睛】此题考查了公因式，解题的关键是先确定各项系数的最大公约数，再确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)，然后确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 3．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】提取公因式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：B． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用公式法分解因式、有理数的乘方．首先把等式的左边分解因式可得：，从而可得，然后整体代入求值即可． 【详解】解： 整理得：， 分解因式可得：， ， ． 故选：C． 5．已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为 ． 【答案】28和26 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，以及利用平方差公式进行因式分解，将利用幂的乘方的逆运算，以及利用平方差公式进行因式分解得到，即可解题． 【详解】解： ， 可以被28和26两个数整除， 故答案为：28和26． 【考点2 分式的相关概念】 1．（24-25八年级下·山西临汾·期末）下列各式：，，，，其中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】A、，分母为，含有字母，符合分式定义，是分式； B、，分母为常数，不含字母，属于整式中的系数形式，不是分式； C、，分母为常数（圆周率），不含字母，不是分式； D、，分母为常数，不含字母，不是分式． 故选：A． 2．（24-25八年级下·河北张家口·期中）下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意逐一分析各选项分母是否可能为零，若无论取何值分母均不为零，则符合题意，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，当时，分母为零，分式无意义，不符合题意； 、分母为，由于，则，无论取何实数，分母始终大于零，分式恒有意义，符合题意； 、分母为，当或时，分母为零，不符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为0，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0，则分式分子等于0，且分母不等于0是解题的关键． 根据分式值为0的条件得到，且，求解即可． 【详解】解：∵的值为0， ∴，且， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）已知分式的值是正整数，则整数的值为 ． 【答案】或0或1 【分析】本题考查了分式的值为整数问题，将分式化为，根据分式的值是正整数，是整数进行求解即可． 【详解】解： ， 分式的值是正整数，是整数， 或， 解得：或1或0， 故答案为：或0或1． 5．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）若分式的值为负，则的范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式的值为负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，且，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 6．（24-25八年级下·福建福州·期中）若分式的值是大于2的整数，则整数的取值为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题．将分式化为，根据分式的值是大于2的整数，且x是整数，即可求解． 【详解】解：， ∵分式的值是大于2的整数，且x是整数， ∴或， 解得：或， 故答案：6或． 【考点3 分式的基本性质】 1．（24-25八年级下·河南南阳·期中）若，则“？”所代表的分子是 ． 【答案】c 【分析】本题考查了分式的基本性质，将式子变形为，结合分式的基本性质即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）若分式的值为3，将，都扩大2倍，则变化后分式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：3． 3．把分式的分子、分母的最高次项的系数都化为正数的结果为（　　） A．﹣ B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，把分子分母都乘﹣1即可. 【详解】分子分母都乘﹣1，得， 原式=， 故选C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 4．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可． 【详解】解：， 故选：A． 【考点4 最简分式】 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列分式中，不是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A、是最简分式，不符合题意； B、不是最简分式，符合题意； C、是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南安阳·期末）请写出一个最简分式，要求该分式含有字母x且在实数范围内不论x取何值，分式都有意义．你写的分式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据最简分式的特点，分式有意义的条件，解答即可． 本题考查了最简分式，分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，写出的分式是． 故答案为：． 3．分式化成最简分式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查最简分式，根据分式的基本性质进行约分即可. 【详解】解：， 故答案为：． 【考点5 分式的加法和减法】 1．（24-25八年级上·山东泰安·期中）已知为整式，若计算的结果为，则 ． 【答案】 【分析】由可得，故，从而．本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质． 【详解】解： ， ， ， ， ， ； 故答案为： 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知，则 ．（填“”，“”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，由已知条件可得，然后求出和的差，根据差的正负即可比较大小，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：． 3．若，，为常数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，代入即可求出的值． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：1． 4．（24-25八年级下·山西晋城·期中）王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键； 根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可． 【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升， 所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升． 故答案为：． 【考点6 分式的乘法和除法】 1（24-25八年级下·山西晋中·期末）化简： 的结果为 ． 【答案】 【分析】此题是分式的乘法运算．先把分子分母能因式分解的进行因式分解，再进行约分化简． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·河北保定·期末）若运算的结果是整式，则“□”代表的式子可能是（   ） A． B． C．a D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的除法运算，将原分式除法运算转化为乘法，并分解因式后约分，根据结果为整式的条件确定“□”的表达式． 【详解】解： ， 要求结果为整式，分母中的a需被分子中的因子约掉．当“□”为时，分子为，分母为，约分后得．此时分母为常数3，不含字母，符合整式定义． 故选C． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号前边的代数式污染，即  ．通过查看，得知答案为，则被污染的代数式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，掌握其运算法则是关键． 根据分式的除法运算法则计算即可求解，被除数等于商乘以除数． 【详解】解：， 故答案为： ． 【考点7 分式方程的定义】 1．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题关键是熟练掌握分式方程的定义． 由分式构成的方程即为分式方程，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母不含有未知数，不是分式方程，符合题意，选项正确． 故选：． 2．请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据时没有意义可知，当时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可． 【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式方程为答案不唯一． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增根，是解题的关键． 【考点8 分式方程的解】 1．若分式方程无解，则的值为 【答案】9 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解与方程增根的关系是解题的关键．先解分式方程得，再由方程无解可知，解出m即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 移项，得， 合并同类项，得， ∵方程无解， ∴， ∴， 故答案为：9． 2．若与互为倒数，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，根据题意列出分式方程，并按分式方程解法求解即可得到答案． 【详解】若与互为倒数， 则 ， 去分母： 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 3．若是关于x的分式方程 的解，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值．分式方程去分母后将代入即可求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 即， 将代入得：， 解得：． 故答案为：． 4．若分式方程有增根，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据分式方程根的情况求参数等知识点，解题的关键是熟练掌握分式方程的求解． 先对分式方程进行整理，得出，然后根据增根进行求解即可． 【详解】解： ， ∵原分式方程有增根，即， ∴， 故答案为：2． 【考点9 列分式方程】 1．今年大葱减产，使得大葱的价格持续上涨,王厨师想去市场购买大葱，已知今年大葱的价格是去年大葱价格的3倍，去年王厨师花200元购买大葱的质量比今年花480元购买的质量多10千克，请问王厨师去年买了多少千克的大葱？若设王厨师去年买了x千克的大葱，则根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出正确的等式关系是解决本题的关键． 根据去年王厨师花200元购买大葱可得，去年大葱的单价为元千克，然后根据今年价格是去年的3倍可得，今年大葱的单价为元千克，最后根据去年王厨师购买大葱的质量比今年购买的质量多10千克可得，今年花480元购买的大葱质量为千克，则今年的单价也可表示为元千克，进而即可列出式子解答． 【详解】解：根据题意得去年大葱的单价为元千克， ∵今年价格是去年的3倍， ∴今年大葱的单价为元千克， 根据题意得，今年花480元购买的大葱质量为千克， ∴今年的单价也可表示为元千克， ∴可列方程：， 故答案为：． 2．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设文钱购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程．设文钱购买椽的数量为x株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为文，再根据“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出分式方程，即可解题． 【详解】解：设文钱购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为文， 根据题意可列方程为：； 故答案为：． 3．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程 ． 【答案】 【分析】本题考查列分式方程，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可． 【详解】解：设规定的时间为x天，列方程为：， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，完成了后一半任务．如果设单独采用机械装运可以完成后一半任务，则根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．设单独采用机械装运可以完成后一半任务，由题意列出分式方程即可求解． 【详解】解：∵先用人工装运，完成了一半任务， ∴人工装运的工作效率为； ∵单独采用机械装运可以完成后一半任务， ∴机械装运的工作效率为． 根据题意得：． 故选：A． 【考点10 二次根式有意义的条件】 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）若在实数范围内有意义，则的值可以是（   ） A．6 B．0 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴的值可以是． 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是二次根式的意义，零指数幂，有理数的乘方，不等式组，代数式求值，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题关键． 根据二次根式的意义求出x、y的值，代入求值即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴， 则， ∴． 故答案为：2． 3．（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）代数式的值最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性是解本题的关键．利用二次根式大于等于，则时，代数式的值最大，即可得解． 【详解】解：，， ，且当时，取最小值0， 当时，代数式的值最大，最大值为． 故答案为：． 【考点11 二次根式的性质与化简】 1．化简，结果是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式因式分解、二次根式的化简、二次根式有意义的条件等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据完全平方公式因式分解，再利用二次根式的性质化简解题即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·阶段练习）当时，化简二次根式 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的基本化简运算方法是解题的关键． 先判断，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】∵，， 又∵，， ∴，即， ∵ ， 又 ∵，，， ∴原式． 故答案为：． 【考点12 二次根式的乘除法】 1．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）计算 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，积的乘方逆运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据积的乘方逆运算，将其变形为，再由平方差公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 根据定义进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式的除法法则． 利用二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：根据直角三角形面积公式，另一条直角边长为， 故选：A． 4．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题关键．先根据二次根式的运算化简，再利用无理数的估算即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴估计的值应在2和3之间， 故选：B． 【考点13 最简二次根式】 1．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足以下两个条件：一是被开方数不含分母；二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式必须满足的两个条件逐项判断即可． 【详解】解：A．不是最简二次根式，故A不符合题意； B．不是最简二次根式，故B不符合题意； C．不是最简二次根式，故C不符合题意； D．是最简二次根式，故D符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为： 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 【考点14 同类二次根式】 1．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）若两个最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A．2 B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的概念是解题的关键． 利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵两个最简二次根式与是同类二次根式， ， ． 故选：D． 2．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化为最简二次根式，同类二次根式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用二次根式的性质将题干与选项中的二次根式能化简的分别化简，再作出判断． 【详解】解：，，， 、、、中，能与合并， 故选：A． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）若最简二次根式和最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，最简二次根式和是同类二次根式，可得，即可求出的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 的值为4． 故答案为：4 【考点15 二次根式的加减法】 1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）在数轴上点、分别表示和，则两点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，数轴上两点间的距离，二次根式的加减运算等知识．根据数轴上两点间的距离是用较大的数减去较小的数进行计算即可． 【详解】解：,两点之间的距离 ． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）定义运算“”的运算法则为，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加法运算．根据新定义运算，利用二次根式的运算，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再把所求式子通分变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段练习）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握“作差法”比较大小是解题的关键．利用作差法得到，再比较出即可得到答案． 【详解】 ，， ， ， 故答案为：． 【计算篇】 【考点16 因式分解】 1．分解因式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （4）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分解因式，能熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键，分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组法等． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先分组，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（25-26八年级上·全国·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解，熟知各因式分解技巧是解题的关键． （1）先提公因式，再用公式法因式分解即可； （2）先去括号，再利用分组分解法即可解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 4．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：． (2)因式分解： (3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1)； (2)； (3)证明过程见解析． 【分析】本题考查换元法，完全平方公式，平方差公式． （1）用换元法设，将原式化为，由完全平方公式得出，再将还原即可； （2） 设，将原式化为，由平方差公式去括号，合并同类项，再将还原，用完全平方公式进一步分解因式即可； （3）先计算，把看成整体，根据完全平方公式分解因式，结合已知即可证得结论． 【详解】（1）解：设， ∴ ， ∴． （2）解：设， ∴ ， ∴． （3）证明： ， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴代数式的值一定是某个整数的平方 【考点17 分式的混合运算】 1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分式化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的乘方，乘除混合运算法则计算即可． （2）先计算括号，再计算除法． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键在于正确掌握分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则． （1）先将除法变为乘法，再根据分式的乘法法则计算求解，即可解题； （2）先计算分式的乘方，再将将除法变为乘法，最后根据分式的乘法法则计算求解，即可解题； （3）先分解各分式的分子与分母，再进行约分计算，即可解题； （4）先对后一分式的分子与分母分解因式，并将除法变成乘法，再进行约分计算，即可解题； （5）根据同分母分式的减运算法则计算求解，即可解题； （6）先将异分母分式化为同分母分式，再根据同分母分式的减运算法则计算求解，即可解题； （7）根据分式的混合运算法则，先算括号内异分母分式的减法，再算括号外的乘法，即可解题； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ． 3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先计算括号内的减法，再计算括号外除法即可； （2）先计算括号内的加减法，再计算括号外除法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的乘方和四则混合运算，熟练掌握分式的乘方和四则混合运算的法则是解题的关键， （1）先计算分式的乘方，再根据乘除运算法则逐步化简即可得到答案； （2）先利用完全平方公式和提公因式分解因式，再利用分式乘除进行约分即可得到答案； （3）先利用分式的加减运算化简括号里的式子，再利用分式乘除化简即可得到答案； （4）先利用分式的加减运算化简括号里的式子，再利用分式乘除化简即可得到答案； 【详解】（1）解：； • •• ； （2）解： • ； （3）解： = = = =． （4）解： = = = =． 【考点18 分式的化简求值】 1．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段练习）先化简再求值：．其中从中任取一个合适的值． 【答案】，时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确进行分式的通分、因式分解与约分，并选取使分式有意义的的值． 先对括号内的分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分化简，最后选取使分式有意义的代入求值． 【详解】解： ， 由分式有意义的条件：分母不为零，得且，即且． 从中取合适的，代入得： 原式． 2．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，然后把整理得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）已知：， ， ，若，求． （2）先化简，再求值： ，且为满足−的整数． 【答案】（1）（2）−；−； 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和因式分解是解题的关键． （1）先对、、进行因式分解，再根据，通过分式的乘除运算求出． （2）先对括号内的分式进行因式分解，再通分计算，然后将除法转化为乘法进行化简，最后根据分式有意义的条件确定的值，代入求值． 【详解】解：（1）∵，，，， ∴， ， ； （2）原式 ； ∵且且，且为整数， ∴， 原式． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式化简求值，解题的关键是熟悉多项式的混合运算． 根据题意化简得，再计算的值，最后代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 又， 代入得， 所以原式的值为． 【考点19 分式方程的解法】 1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）解分式方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （2）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． （3）两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1）， 两边都乘以，得 ， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． （2）， 两边同乘以，去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为； （3） 两边都乘以，得 ， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 2．（25-26八年级上·四川巴中·阶段练习）解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查解分式方程，熟练掌握求解方法是解题关键，注意进行检验． （1）根据解分式方程的方法步骤求解即可； （2）根据解分式方程的方法步骤求解即可； （3）根据解分式方程的方法步骤求解即可． 【详解】（1）解： 分式两边同时乘以得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴方程的解为：； （2）， 分式两边同时乘以得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴方程的解为：； （3） ∴， ∴， 分式两边同时乘以得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴方程的解为：． 【考点20 二次根式的混合运算】 1．（25-26八年级上·辽宁丹东·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算及分母有理化的知识． （1）先化简二次根式，分母有理化，再进行合并即可； （2）先根据二次根式的乘除法法则和完全平方公式进行计算，再进行合并即可； （3）先化简二次根式，分母有理化，再进行合并即可； （4）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质化简，完全平方公式的运用，分母有理化，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）先利用二次根式的性质化简再合并同类项即可； （2）利用完全平方公式，二次根式形式化简，再合并同类项即可； （3）先算二次根式的乘除法，利用二次根式的性质化简，再合并同类项即可； （4）先分母有理化，计算算术平方根，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键. （1）原式先化简各二次根式，再合并即可； （2）原式先计算二次根的乘法和除法，再合并即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ； （2）解：根据题意可知：， ∴， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 4．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行乘法运算，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （4）先计算括号内，再进行除法运算即可； （5）先计算括号内，再进行除法运算即可； （6）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【考点21 二次根式的化简求值】 1．（24-25八年级下·广西玉林·阶段练习）已知， (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，掌握二次根式的加减法法则、乘法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的减法法则求出，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算，得到答案． 【详解】（1）解：，， ，， 则 ； （2），， ∴， ∴ ． 2．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知，，满足，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，根据非负数的性质可求出a、b、c的值，再根据平方差公式和二次根式的化简方法把所求式子化简，最后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，，， ． 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先根据二次根式的性质及运算法则化简，再将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 4．（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，熟练掌握平方差公式，二次根式性质，是解题的关键． 计算，把条件式代入，即得结果式的值． 【详解】解：∵ ， 且， ∴． 【实际应用篇】 【考点22 分式运算的应用】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造． 户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示． 户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示． 解答下列问题： (1)设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由； (2)若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)户型二的单价较低，理由见解析 【分析】（）根据图形分别表示出户型一的主房面积和户型二的主房面积，进而求出，再分别求出户型一的入户花园的面积和户型二的入户花园的面积，求出，最后利用作差法比较即可； （）分别求出户型一和户型二的单价，再利用作差法比较即可； 本题考查了列代数式，整式的加减和分式加减的应用，掌握整式和分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得，户型一的主房面积为平方米，户型二的主房面积为平方米， ∴平方米， 户型一的入户花园的面积为平方米， 户型二的入户花园的面积为平方米， ∴平方米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：户型二的单价较低，理由如下： 户型一的单价为：万元平方米， 户型二的单价为：万元平方米， ∵ ， ∵， ∴，，， ∴， 即， ∴户型二的单价较低． 2．小明的妈妈有甲、乙两筐水果，甲筐水果重千克，乙筐水果重千克（其中），若两筐水果都卖了50元． (1)哪筐水果的单价卖的低？ (2)高的单价是低的单价的多少倍？ 【答案】(1)乙筐水果的单价低； (2)倍． 【分析】（1）根据钱数除去千克数得到各自的单价，运用减法即可比较； （2）由高的单价除以低的单价即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得 ∵，， ∴， ∴， ∴乙筐水果的单价低； （2）解：根据题意得 ． 即高的单价是低的单价的倍． 【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．采购员甲和乙两次同去一家工厂购买某种生产原料，两次原料的购买单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中甲每次购买的数量相同，乙每次购买的金额相同． (1)若乙每次用去8000元，第二次的购买单价是第一次的倍且数量比第一次少了80千克，求乙这两次的购买单价分别是每千克多少元？ (2)若甲每次购买500千克，乙每次用去6000元，设第一次原料的每千克价格为m元，第二次原料的每千克价格为n元（且n），每人两次购买的平均价格越低越划算，甲、乙谁的购买方式更划算，请说明理由． 【答案】(1)乙前后两次购进原料的单价分别是每千克20元和25元 (2)乙的购买方式平均价格更低，乙购买方式划算，理由见解析 【分析】（1）设乙第一次购进原料的单价是x元/千克，则乙第二次购进原料的单价是元/千克，然后根据第二次购买的数量比第一次少了80千克，列出方程求解即可； （2）分别求出甲和乙两次购买的平均价格，然后利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：设乙第一次购进原料的单价是x元/千克，则乙第二次购进原料的单价是元/千克． 由题意得：， 解得， 经检验：是原方程的解， ∴．                 答：乙前后两次购进原料的单价分别是每千克20元和25元． （2）解：乙购买方式划算，理由如下：         由题意得，甲两次购买原料的平均价格为元/千克，         乙两次购买原料的平均价格为 元/千克，        ∵，且n， ∴，即 ∴乙的购买方式平均价格更低， ∴乙购买方式划算． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，异分母分式减法的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和代数式是解题的关键． 【考点23 分式方程的应用】 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）“”即“城市漫步”是当代年轻人中流行的一种城市微旅游方式．嘉嘉和淇淇环湖进行城市漫步，欣赏沿途的风光，环湖公路全长，两人从同一地点同时向相反方向出发，相遇时嘉嘉运动手环显示走过的路程为，速度比淇淇运动手环显示的速度快．设嘉嘉的速度为，根据以上信息完成下列问题： 嘉嘉 淇淇 路程 6 ______________ 速度 x ______________ (1)补全表格信息． (2)求嘉嘉的速度． 【答案】(1)4， (2) 【分析】考查了代数式和分式方程在实际问题中的应用，准确通过代数式来表示问题中的数量关系，并列出方程是解题的关键； （1）根据公路全长和两人出发的方向，即可得出琪琪走过的路程，根据嘉嘉速度比淇淇运动手环显示的速度快，即可表示出淇淇运动的速度； （2）根据题意，找出等量关系，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：环湖公路全长，两人从同一地点同时向相反方向出发，相遇时嘉嘉运动手环显示走过的路程为， ∴淇淇走过的路程为， ∵嘉嘉速度比淇淇运动手环显示的速度快，设嘉嘉的速度为， ∴淇淇运动手环显示的速度为， 补全表格如下： 嘉嘉 淇淇 路程 6 4 速度 x 故答案为：4，； （2）由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：嘉嘉的速度为． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）我校综纷艺术节即将拉开帷幕，学校准备在一文创厂家定制个布艺文化袋发放给师生，该厂家甲车间每天可生产个布艺文化袋，乙车间每天可生产个布艺文化袋，甲车间先单独工作4天后，乙车间加入一起赶工． (1)该厂家完成这批布艺文化袋一共需要多少天？ (2)甲车间按原生产效率单独生产4天后，由于时间紧迫，两个车间改进了生产工艺，并且平分了剩下的生产任务，改进后甲、乙两车间每天生产布艺文化袋的数量之比为．两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺文化袋？ 【答案】(1)该厂家完成这批布艺文化袋一共需要天 (2)改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键 （1）设从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要x天，根据“甲、乙的工作量之和为”列方程求解 （2）设改进工艺后甲车间每天生产个，乙车间每天生产个布艺文化袋，根据“改进后甲、乙两车间每天生产的布艺文化袋数量之比为、两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天”列方程求解． 【详解】（1）解∶设该厂家完成这批布艺文化袋一共需要x天，则 ． 解得∶． 答∶ 该厂家完成这批布艺文化袋一共需要天． （2）解∶设改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋，乙车间每天生产个布艺文化袋． 甲车间按原生产效率单独生产4天后还剩∶(个)，每个车间完成 (个) 由题意得∶， 解得∶， 经检验∶是原分式方程的解，且符合题意． 甲车间每天生产 (个)． 答∶ 改进工艺后甲车间每天生产个布艺文化袋． 3．（25-26八年级上·全国·期末）阅读下列素材，完成任务． 如何设计水果的购进方案 素材1 某水果店计划用9600元购进“左优红”和“晨香”两种葡萄进行销售，已知“左优红”的进价比“晨香”高4元/千克，用1800元能购进的“左优红”和用1200元能购进的“晨香”一样多． 素材2 根据该水果店所定的售价，每千克“左优红”葡萄的利润是每千克“晨香”葡萄利润的1.25倍，同样获得120元的利润，需要出售的“晨香”葡萄比需要出售的“左优红”葡萄多3千克． 问题解决 任务1 确定进价：求两种葡萄每千克的进价； 任务2 确定利润：求两种葡萄每千克的利润； 任务3 确定购进方案：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄多少千克？ 【答案】任务1：“左优红”葡萄的进价为12元/千克，“晨香”葡萄的进价为8元/千克； 任务2：“左优红”葡萄的利润为10元/千克，“晨香”葡萄的利润为8元/千克； 任务3：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄300千克． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意，寻找等量关系或不等关系是解题的关键； （1）设“左优红”葡萄的进价为元/千克，根据题意，列分式方程，解方程即可； （2）设“晨香”葡萄的利润为元/千克，根据题意，列分式方程，解方程即可； （3）设购进“左优红”葡萄千克，根据题意，列不等式，解不等式即可． 【详解】解：任务1：设“左优红”葡萄的进价为元/千克，则“晨香”葡萄的进价为元/千克． 由题意，得， 解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则． 答：“左优红”葡萄的进价为12元/千克，“晨香”葡萄的进价为8元/千克． 任务2：设“晨香”葡萄的利润为元/千克，则“左优红”葡萄的利润为元/千克． 由题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则． 答：“左优红”葡萄的利润为10元/千克，“晨香”葡萄的利润为8元/千克． 任务3：设购进“左优红”葡萄千克，购进“晨香”葡萄千克， 由题意，得， ， 若要使利润不低于9000元，则，即， 解得， 的最大值为300． 答：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄300千克． 4．月和日，校开展了“世界读书日”活动，现在七、八年级书香社团分别承担统计文学读物、科学读物数量的工作．已知文学读物和科学读物总共有本，其中文学读物比科学读物的倍多本． (1)求文学、科学读物各有多少本； (2)七、八年级书香社团同时开始统计，七年级比八年级平均每小时多统计300本．由于时间紧急，七年级在完成任务后，增派了一些人员，使工作效率比原来提高了，结果七、八年级同时完成任务，求八年级平均每小时的统计数量以及完成任务的时间． 【答案】(1)文学读物本，科学读物有本 (2)八年级平均每小时的统计数量为本，完成任务的时间为小时 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解题目中的数量关系列式，掌握一元一次方程，分式方程的计算方法是解题的关键． （1）根据题意，设科学读物有本，则文学读物有本，由此列式求解即可； （2）根据题意，设八年级平均每小时的统计数量为本，则七年级平均每小时的统计数量为本，由此列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设科学读物有本，则文学读物有本， ∴， 解得，， 即科学读物有本， ∴文学读物有本， ∴文学读物本，科学读物有本． （2）解：由（1）可知，七年级统计的文学读物本，八年级统计的科学读物有本， 根据设八年级平均每小时的统计数量为本，则七年级平均每小时的统计数量为本， ∴（本）， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴八年级平均每小时的统计数量为本， ∴，即八年级完成任务的时间为小时， ∴八年级平均每小时的统计数量为本，完成任务的时间为小时． 【考点24 二次根式的应用】 1．已知长方形的长a=，宽b=． （1）求该长方形的周长； （2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据长方形的周长公式即可求出答案． （2）根据长方形的面积公式即可求出面积，从而可求出正方形的边长； 【详解】（1）长方形的周长=； （2）长方形的面积=， 根据面积相等，则正方形的边长= ∴正方形周长=×4=． 【点睛】此题考查二次根式的应用，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 2．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）榻榻米具有外观方正大气，空间利用率高等优点，在家庭装修中逐渐流行．如图1是一个榻榻米的实物图，图2是其俯视图，在图2中，隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分，其中①②③④部分图形是全等的矩形，⑤部分图形是正方形，若正方形的面积为，隔板的宽度不计． (1)求正方形的边长； (2)求四个隔板的总长度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)四个隔板的总长度为： 【分析】本题考查的是二次根式的应用． （1）由隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分，可得正方形的面积，进一步求解即可． （2）设全等的矩形的长边为，短边为， 可得，，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：正方形的面积为，在图2中，隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为． （2）解：设全等的矩形的长边为，短边为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个隔板的总长度为：． 3．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）年河南全省学生劳动教育周活动启动仪式在三门峡市举行．如图，某校实践基地有一块长方形空地，空地的长为，宽为，准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． (1)求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜和香菜部分的面积差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键， （1）利用长方形的周长公式，即可列式作答； （2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜的面积，从而列式得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴种植青菜部分的周长等于长方形空地的周长为：． ∴种植青菜部分的周长是； （2）解：由题可得：种植香菜部分的面积为：， 种植青菜部分的面积为：， ∴ ∴种植青菜和香菜部分的面积差为． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一家手工作坊里，木工师傅正在为客户定制一批小型收纳盒，他们选用了一块长方形木板作为原材料．为了满足设计需求，需要对这块木板进行改造．木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为________cm； (2)求长方形木板的周长和面积． 【答案】(1) (2)周长为，面积为 【分析】本题考查二次根式的应用、算术平方根等知识点，根据图形运用相关知识是解题的关键． （1）根据正方形的边长等于面积的算术平方根求解即可； （2）根据（1）中结论求出矩形的长和宽，然后再求长方形木板的周长和面积即可． 【详解】（1）解：正方形的边长为， 故答案为：． （2）解：由题意知，，， 则长方形木板的周长为， 面积为． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）物体在做自由落体运动时，下落到地面的时间（单位：s）和下落高度（单位：m）之间满足关系式，其中取．（不考虑空气阻力） (1)小球从高空自由落下，需要多长时间到达地面？ (2)明明认为，小球从的高空自由落下，到达地面所需要的时间是从高空自由落下所需时间的2倍，你是否认同明明的想法？请说明理由． 【答案】(1)需要到达地面； (2)不认同，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次根式的运算以及对自由落体运动时间与高度关系的应用，熟练掌握二次根式的化简计算是解题的关键． （1）将，代入关系式，计算出时间 （2）先将，代入关系式求出时间，再与（1）中结果比较，判断是否为2倍关系． 【详解】（1）解：把，代入得 （2）解：把，，代入： 因为， 所以不认同明明的想法． 6．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 【答案】(1)厘米 (2)18平方厘米 (3)小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次根式运算法则． （1）根据长方形面积公式列式解答即可； （2）先求正方形的边长，然后求出乙方案中长方形的长和宽，然后求出结果即可； （3）分别画图，求出纸板①，②中可以剪出的纸条条数，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：甲方案中裁出的长方形纸板①的长为： （厘米）； （2）解：∵正方形纸板的面积为108平方厘米， ∴正方形的边长为厘米， ∵将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的长为： （厘米）， 宽为：（厘米）， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的面积为： （平方厘米）； （3）解：长方形纸板①的长为厘米，宽为厘米， 长方形纸板②的长为厘米，宽为厘米， ∵，，，， ∴长方形纸板①和长方形纸板②可以剪出长2厘米，宽厘米的纸条条数，如图所示： ∴长方形纸板①可以剪出6个长2厘米，宽厘米的纸条，长方形纸板②可以剪出4个长2厘米，宽厘米的纸条， ∴小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多． 【压轴篇】 【考点25 因式分解的应用】 1．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了分组分解法分解因式及其应用，等腰三角形的定义，正确理解新方法，灵活运用新方法解题是解题的关键． （1）①将变形为，再由平方差公式因式分解；②将变形为，再由完全平方公式和平方差公式分解； （2）将利用分组分解法因式分解为，即可求解． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴为等腰三角形． 2．（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为16 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法因式分解即可； （2）先根据，得出，从而得出，，最后再代入求值即可； （3）先变形，然后根据，，求出最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ，， ． （3）解：∵ ， 又∵，， ∴当，原式有最小值， 即时，有最小值为16． 【考点26 根据分式方程解的情况求值】 1．已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 【答案】(1) (2)或时，分式方程无解； (3)满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把，代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：； （2）解：把代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当即时，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即，此时b不存在； Ⅱ.时，原分式方程无解， 即时， 此时； 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得， 解得：， ∵b为正整数，x为非负整数， ∴必为40的因数，， ∴或或或， 对应地，方程的解或2或12或32， 又为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取1或4或5， ∴满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 2．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”； (2)①；② (3)的值为：或． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”； （2）①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 解得：， 当，方程有增根， ∴， 解得：， 综上：的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 【考点27 复合二次根式的化简】 1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握题干给定的化简方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （2）根据题干给定的化简方法，进行化简即可； （3）根据题干给定的化简方法，先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：， ∴，，， ∴； （3）原式 ． 【考点28 分母有理化】 1．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以 ，所以 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ____________；____________； (2)比较大小： ___________（填， ，或中的一种）； (3)计算： ； (4)若，求 的值． 【答案】(1)， (2) (3)2024 (4)7 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，平方差公式，代数式求值． （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将里的分母有理化，然后合并，再和相乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵，， 显然，即 又∵和都是正数， ∴， 故答案为：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数． 如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如 ，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． (1)解决问题：的一个有理化因式是______，分母有理化，得______； (2)计算：； (3)计算： ① ②已知：，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】本题考查了二次根式的有理化因式、分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是掌握有理化因式的确定方法（利用平方差公式，使两式乘积不含根号）、分母有理化的运算步骤（分子分母同乘有理化因式）以及裂项相消法在二次根式求和中的应用． （1）确定的有理化因式，依据平方差公式，找与相乘后积不含根号的式子；对分母有理化，需分子分母同乘消去分母的根号． （2）先对分母有理化，再将、化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． （3）①将每一项分式分母有理化后裂成“”的形式，中间项抵消后计算； ②先化简、，再用平方差公式简化计算，避免直接平方的复杂运算． 【详解】（1）解：∵，积为不含根号的实数，   ∴的一个有理化因式是；   ，   故答案为：；； （2）解：            ； （3）①解：                  ； ②解：，   ；   ∴       2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习4大类型28个考点（前3章） 【湘教版2024】 【基础概念易错篇】 2 【考点1 因式分解】 2 【考点2 分式的相关概念】 2 【考点3 分式的基本性质】 3 【考点4 最简分式】 3 【考点5 分式的加法和减法】 3 【考点6 分式的乘法和除法】 3 【考点7 分式方程的定义】 4 【考点8 分式方程的解】 4 【考点9 列分式方程】 4 【考点10 二次根式有意义的条件】 5 【考点11 二次根式的性质与化简】 5 【考点12 二次根式的乘除法】 5 【考点13 最简二次根式】 6 【考点14 同类二次根式】 6 【考点15 二次根式的加减法】 6 【计算篇】 6 【考点16 因式分解】 6 【考点17 分式的混合运算】 7 【考点18 分式的化简求值】 8 【考点19 分式方程的解法】 8 【考点20 二次根式的混合运算】 9 【考点21 二次根式的化简求值】 10 【实际应用篇】 10 【考点22 分式运算的应用】 10 【考点23 分式方程的应用】 11 【考点24 二次根式的应用】 13 【压轴篇】 14 【考点25 因式分解的应用】 14 【考点26 根据分式方程解的情况求值】 15 【考点27 复合二次根式的化简】 16 【考点28 分母有理化】 16 【基础概念易错篇】 【考点1 因式分解】 1．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东烟台·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为 ． 【考点2 分式的相关概念】 1．（24-25八年级下·山西临汾·期末）下列各式：，，，，其中是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河北张家口·期中）下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为0，则m的值为 ． 4．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）已知分式的值是正整数，则整数的值为 ． 5．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）若分式的值为负，则的范围是 ． 6．（24-25八年级下·福建福州·期中）若分式的值是大于2的整数，则整数的取值为 ． 【考点3 分式的基本性质】 1．（24-25八年级下·河南南阳·期中）若，则“？”所代表的分子是 ． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）若分式的值为3，将，都扩大2倍，则变化后分式的值为 ． 3．把分式的分子、分母的最高次项的系数都化为正数的结果为（　　） A．﹣ B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【考点4 最简分式】 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段练习）下列分式中，不是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南安阳·期末）请写出一个最简分式，要求该分式含有字母x且在实数范围内不论x取何值，分式都有意义．你写的分式是 ． 3．分式化成最简分式为 ． 【考点5 分式的加法和减法】 1．（24-25八年级上·山东泰安·期中）已知为整式，若计算的结果为，则 ． 2．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知，则 ．（填“”，“”，“”） 3．若，，为常数，则的值为 ． 4．（24-25八年级下·山西晋城·期中）王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 【考点6 分式的乘法和除法】 1（24-25八年级下·山西晋中·期末）化简： 的结果为 ． 2．（24-25八年级下·河北保定·期末）若运算的结果是整式，则“□”代表的式子可能是（   ） A． B． C．a D． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号前边的代数式污染，即  ．通过查看，得知答案为，则被污染的代数式为 ． 【考点7 分式方程的定义】 1．下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 【考点8 分式方程的解】 1．若分式方程无解，则的值为 2．若与互为倒数，则x的值为 ． 3．若是关于x的分式方程 的解，则a的值为 ． 4．若分式方程有增根，则 ． 【考点9 列分式方程】 1．今年大葱减产，使得大葱的价格持续上涨,王厨师想去市场购买大葱，已知今年大葱的价格是去年大葱价格的3倍，去年王厨师花200元购买大葱的质量比今年花480元购买的质量多10千克，请问王厨师去年买了多少千克的大葱？若设王厨师去年买了x千克的大葱，则根据题意可列方程 ． 2．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设文钱购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是 ． 3．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天，可列分式方程 ． 4．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，完成了后一半任务．如果设单独采用机械装运可以完成后一半任务，则根据题意，所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点10 二次根式有意义的条件】 1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）若在实数范围内有意义，则的值可以是（   ） A．6 B．0 C．7 D．8 2．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）若，则 ． 3．（25-26八年级上·福建泉州·阶段练习）代数式的值最大时，的值为 ． 【考点11 二次根式的性质与化简】 1．化简，结果是（    ） A． B． C． D．4 2．（25-26八年级上·上海·阶段练习）当时，化简二次根式 【考点12 二次根式的乘除法】 1．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）计算 ． 2．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么 ． 3．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）某直角三角形的面积为，其中一条直角边长为，则另一条直角边长为（    ） A． B． C． D． 4．计算结果为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【考点13 最简二次根式】 1．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将化成最简二次根式的结果为 ． 3．（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值： ． 【考点14 同类二次根式】 1．（25-26九年级上·福建泉州·阶段练习）若两个最简二次根式与是同类二次根式，则（   ） A．2 B． C．3 D．1 2．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）若最简二次根式和最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【考点15 二次根式的加减法】 1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）在数轴上点、分别表示和，则两点之间的距离是 ． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）定义运算“”的运算法则为，则 ． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，， ． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段练习）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“=”） 【计算篇】 【考点16 因式分解】 1．分解因式 (1) (2) (3) (4) 2．分解因式： (1) (2) (3) 3．（25-26八年级上·全国·期中）分解因式： (1)； (2)． 4．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式再将“A”还原， ∴原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：． (2)因式分解： (3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【考点17 分式的混合运算】 1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分式化简 (1) (2) 2．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的化简： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）分式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点18 分式的化简求值】 1．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段练习）先化简再求值：．其中从中任取一个合适的值． 2．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）先化简，再求值：，其中x满足． 3．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）（1）已知：， ， ，若，求． （2）先化简，再求值： ，且为满足−的整数． 4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值： ，其中． 【考点19 分式方程的解法】 1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）解分式方程： (1)； (2)； (3)． 2．（25-26八年级上·四川巴中·阶段练习）解下列方程： (1) (2) (3) 【考点20 二次根式的混合运算】 1．（25-26八年级上·辽宁丹东·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 2．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： (1) (2) 4．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【考点21 二次根式的化简求值】 1．（24-25八年级下·广西玉林·阶段练习）已知， (1)求的值． (2)求的值． 2．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）已知，，满足，求代数式的值． 3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中 4．（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 【实际应用篇】 【考点22 分式运算的应用】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造． 户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示． 户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示． 解答下列问题： (1)设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由； (2)若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由． 2．小明的妈妈有甲、乙两筐水果，甲筐水果重千克，乙筐水果重千克（其中），若两筐水果都卖了50元． (1)哪筐水果的单价卖的低？ (2)高的单价是低的单价的多少倍？ 3．采购员甲和乙两次同去一家工厂购买某种生产原料，两次原料的购买单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中甲每次购买的数量相同，乙每次购买的金额相同． (1)若乙每次用去8000元，第二次的购买单价是第一次的倍且数量比第一次少了80千克，求乙这两次的购买单价分别是每千克多少元？ (2)若甲每次购买500千克，乙每次用去6000元，设第一次原料的每千克价格为m元，第二次原料的每千克价格为n元（且n），每人两次购买的平均价格越低越划算，甲、乙谁的购买方式更划算，请说明理由． 【考点23 分式方程的应用】 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）“”即“城市漫步”是当代年轻人中流行的一种城市微旅游方式．嘉嘉和淇淇环湖进行城市漫步，欣赏沿途的风光，环湖公路全长，两人从同一地点同时向相反方向出发，相遇时嘉嘉运动手环显示走过的路程为，速度比淇淇运动手环显示的速度快．设嘉嘉的速度为，根据以上信息完成下列问题： 嘉嘉 淇淇 路程 6 ______________ 速度 x ______________ (1)补全表格信息． (2)求嘉嘉的速度． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）我校综纷艺术节即将拉开帷幕，学校准备在一文创厂家定制个布艺文化袋发放给师生，该厂家甲车间每天可生产个布艺文化袋，乙车间每天可生产个布艺文化袋，甲车间先单独工作4天后，乙车间加入一起赶工． (1)该厂家完成这批布艺文化袋一共需要多少天？ (2)甲车间按原生产效率单独生产4天后，由于时间紧迫，两个车间改进了生产工艺，并且平分了剩下的生产任务，改进后甲、乙两车间每天生产布艺文化袋的数量之比为．两个车间各自完成剩下生产任务的天数之和为天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺文化袋？ 3．（25-26八年级上·全国·期末）阅读下列素材，完成任务． 如何设计水果的购进方案 素材1 某水果店计划用9600元购进“左优红”和“晨香”两种葡萄进行销售，已知“左优红”的进价比“晨香”高4元/千克，用1800元能购进的“左优红”和用1200元能购进的“晨香”一样多． 素材2 根据该水果店所定的售价，每千克“左优红”葡萄的利润是每千克“晨香”葡萄利润的1.25倍，同样获得120元的利润，需要出售的“晨香”葡萄比需要出售的“左优红”葡萄多3千克． 问题解决 任务1 确定进价：求两种葡萄每千克的进价； 任务2 确定利润：求两种葡萄每千克的利润； 任务3 确定购进方案：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄多少千克？ 4．月和日，校开展了“世界读书日”活动，现在七、八年级书香社团分别承担统计文学读物、科学读物数量的工作．已知文学读物和科学读物总共有本，其中文学读物比科学读物的倍多本． (1)求文学、科学读物各有多少本； (2)七、八年级书香社团同时开始统计，七年级比八年级平均每小时多统计300本．由于时间紧急，七年级在完成任务后，增派了一些人员，使工作效率比原来提高了，结果七、八年级同时完成任务，求八年级平均每小时的统计数量以及完成任务的时间． 【考点24 二次根式的应用】 1．已知长方形的长a=，宽b=． （1）求该长方形的周长； （2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长． 2．（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段练习）榻榻米具有外观方正大气，空间利用率高等优点，在家庭装修中逐渐流行．如图1是一个榻榻米的实物图，图2是其俯视图，在图2中，隔板（图中粗线）将正方形分割成5个面积相等的部分，其中①②③④部分图形是全等的矩形，⑤部分图形是正方形，若正方形的面积为，隔板的宽度不计． (1)求正方形的边长； (2)求四个隔板的总长度（结果保留根号）． 3．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）年河南全省学生劳动教育周活动启动仪式在三门峡市举行．如图，某校实践基地有一块长方形空地，空地的长为，宽为，准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． (1)求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜和香菜部分的面积差． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在一家手工作坊里，木工师傅正在为客户定制一批小型收纳盒，他们选用了一块长方形木板作为原材料．为了满足设计需求，需要对这块木板进行改造．木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为________cm； (2)求长方形木板的周长和面积． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）物体在做自由落体运动时，下落到地面的时间（单位：s）和下落高度（单位：m）之间满足关系式，其中取．（不考虑空气阻力） (1)小球从高空自由落下，需要多长时间到达地面？ (2)明明认为，小球从的高空自由落下，到达地面所需要的时间是从高空自由落下所需时间的2倍，你是否认同明明的想法？请说明理由． 6．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 【压轴篇】 【考点25 因式分解的应用】 1．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：； ②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 2．（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：因式分解：． 例2：求代数式的最小值．由，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【考点26 根据分式方程解的情况求值】 1．已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 2．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【考点27 复合二次根式的化简】 1．（25-26八年级上·上海·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 2．（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）形如的化简，只要找到两个正数a，b，使，，即，，那么便有． 例如：化简． 解：，这里，，由于， ∴． 请仿照上例解下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简： 【考点28 分母有理化】 1．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以 ，所以 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ____________；____________； (2)比较大小： ___________（填， ，或中的一种）； (3)计算： ； (4)若，求 的值． 2．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数． 如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如 ，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． (1)解决问题：的一个有理化因式是______，分母有理化，得______； (2)计算：； (3)计算： ① ②已知：，，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $