专题02 高一上学期期中复习真题精选（压轴60题12类题型专练）（期中专项训练）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

专题02 高一上学期期中复习真题精选（压轴60题12类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 元素与集合的关系（共5小题） 1．（24-25高一上·天津东丽·期中）下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 3．（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，，则 ． 5．（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 题型2 集合间的关系中的参数问题（共5小题） 6．（24-25高一上·安徽·期中）已知集合，，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 7．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．1或 8．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）若集合，，且，则实数 ． 10．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 题型3 交并补混合运算及其含参问题（共5小题） 11．（24-25高一上·天津宁河·期中）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集是的两个子集，且，则（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·海南三亚·期中）已知全集，，则 ． 15．（24-25高一上·天津南开·期中）已知全集为，集合或，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 题型4 集合新定义（共5小题） 16．（24-25高一上·重庆·期中）定义集合运算．已知非空集合A和B，且，若，则满足题意的不同的B的个数为（   ） A．1 B．4 C．7 D．8 17．（24-25高一上·福建莆田·期中）非空集合，且满足如下性质： 性质一：若、，则；性质二：若，则则称集合为一个“群”． 以下叙述正确的个数为（    ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且、，则； ③若、都是“群”，则必定是“群”； A． B． C． D． 18．（24-25高一上·上海·期中）已知有限集，如果A中元素满足，就称A为“完美集” ①集合不是“完美集”， ②若，是两个不同的正数，且是“完美集”，则，至少有一个大于2； ③有且仅有两个元素的“完美集”只有有限多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且 其中正确结论的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（24-25高一上·北京·期中）给定数集，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是 . ①集合是闭集合； ②正整数集不是闭集合； ③集合是闭集合； ④若集合、为闭集合，则为闭集合. 20．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 题型5 利用基本不等式求最值（共5小题） 21．（24-25高一上·福建南平·期中）已知、，且满足，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·重庆·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 23．（24-25高一上·四川·期中）已知，，，则下列说法不正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为0 D．的最小值为 24．（24-25高一上·浙江杭州·期中）若两个正实数，满足，则的最小值为 ． 25．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 题型6 基本不等式的恒成立问题（共5小题） 26．（24-25高一上·四川·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 27．（24-25高一上·安徽·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·江苏·期中）若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 29．（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 30．（24-25高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题（共5小题） 31．（24-25高一上·四川成都·期中）不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 35．（24-25高一上·北京·期中）已知二次函数的最小值为1，且． (1)求的解析式； (2)解关于的不等式：，其中； (3)当时，恒成立，试确定实数的取值范围． 题型8 函数的单调性及其应用（共5小题） 36．（24-25高一上·江西·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·上海·期中）已知函数定义在上，且对任意的，，，都有，，则不等式的解集为 ． 40．（24-25高一上·安徽·期中）定义在上的函数满足：①当时，；②对任意实数x，y都有． (1)证明：当时，； (2)判断在上的单调性； (3)解不等． 题型9 函数中的恒成立、有解问题（共5小题） 41．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D．1 42．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数对任意，总有.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数的定义域为，，且.若关于x的不等式在上有解，则a的取值范围为 . 45．（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 题型10 抽象函数的性质及应用（共5小题） 46．（24-25高一上·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 47．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为，对任意的，若对任意的，有，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 49．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ． 50．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 题型11 函数的性质综合（共5小题） 51．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 52．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．，使得 53．（24-25高一上·四川成都·期中）若，其中表示，中的最大者，表示中的最小者，下列说法不正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．当时，有 C．不等式的解集为 D．当时，有 54．（24-25高一上·北京·期中）函数，给出下列四个结论： ①的值域是； ②且，使得； ③任意且，都有； ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是 ． 55．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 题型12 函数的新定义（共5小题） 56．（24-25高一上·四川·期中）定义，则称与经过变换生成函数.已知，设与经过变换生成函数，若，则在区间[2，9]上的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 57．（24-25高一上·重庆·期中）若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高一上·江苏盐城·期中）定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 59．（24-25高一上·湖南怀化·期中）“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是 . ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 60．（24-25高一上·云南文山·期中）若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”． (1)已知函数，区间是否是函数的“k倍倒域区间”？ (2)定义在上的奇函数，当时，． ①求的解析式，并直接写出的单调区间； ②求在区间内的“8倍倒域区间”． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 高一上学期期中复习真题精选（压轴60题12类题型专练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 元素与集合的关系（共5小题） 1．（24-25高一上·天津东丽·期中）下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据元素与集合的关系判断. 【解答过程】A，2是自然数，故A正确；B，是无理数，不是有理数，故B错误； C，0是自然数，故C错误；D，是分数，不是整数，故D错误. 故选：A. 2．（24-25高一上·河南洛阳·期中）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【答案】C 【解题思路】分和两种情况讨论，注意集合中元素的互异性. 【解答过程】因为，， 当时，则，此时，不符题意； 当时，解得或（舍去）， 若，则，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 3．（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】依题意可得，解得即可. 【解答过程】由，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 4．（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，，则 ． 【答案】1 【解题思路】根据给定的元素与集合关系列式，再结合集合元素的互异性求解即可. 【解答过程】由集合，，得或， 当时，，此时，不符合题意； 当时，显然，解得， 则集合，符合题意，故. 故答案为：1. 5．（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为的值为62． 【解题思路】（1）先对原方程进行等价变形；再根据题意、求根公式和两个方程判别式之间的关系可得出，进而可证得. （2）先根据求出方程的三个实数根；再根据题意，利用勾股定理列出关于方程求解即可. 【解答过程】（1）证明：原方程等价于或， 即或. 因为关于的方程的解集为，且恰有3个元素， 所以方程或均有实数根， 由求根公式可得：，， ，. 由于， 所以当时，恰有3个元素，即． （2）由（1）知，，原方程等价于或， 则两个方程的三个根分别为. 若它们是直角三角形的三边， 则且 解得：． 故的值为，的值为62． 题型2 集合间的关系中的参数问题（共5小题） 6．（24-25高一上·安徽·期中）已知集合，，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】根据集合与集合间的关系列方程求解实数的值即可. 【解答过程】已知集合，，且， 所以，所以. 故选：C. 7．（24-25高一上·浙江·期中）已知集合，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【答案】B 【解题思路】利用集合相等和集合中元素的互异性，以已知的为突破口，分类讨论求出的值. 【解答过程】集合，两个集合中元素完全相同， 由，则有，得，有， 所以，由集合中元素的互异性，有，得， 则有. 故选：B. 8．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出集合，由，分与讨论，分别求解的值即可. 【解答过程】集合，化简求值可得， 当时，，此时集合无解，即 当时，时，即解之得， ，即解之可得， 所以根据集合元素的性质可得元素个数为个. 故选：C. 9．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）若集合，，且，则实数 ． 【答案】0或1 【解题思路】根据题设有，结合包含关系及，讨论参数求对应参数值，并判断是否同时属于集合，即可得答案. 【解答过程】由题设，又，且， 由于，讨论如下： 当，即时，，满足； 当，即时，，满足； 而或或时，，不满足. 所以0或1. 故答案为：0或1. 10．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值； （2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解. 【解答过程】（1）若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得， 解得或． 综上所述，的值构成的集合为． （2）由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为． 题型3 交并补混合运算及其含参问题（共5小题） 11．（24-25高一上·天津宁河·期中）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据补集、交集的知识求得正确答案. 【解答过程】依题意，， 所以 . 故选：A. 12．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【解答过程】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 13．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集是的两个子集，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意分析可知，再结合补集和并集运算求解. 【解答过程】因为，可知， 且，所以. 故选：B. 14．（24-25高一上·海南三亚·期中）已知全集，，则 ． 【答案】 【解题思路】根据集合的交并补运算性质计算即可. 【解答过程】由题意，， 因为, 所以,, 即. 故答案为：. 15．（24-25高一上·天津南开·期中）已知全集为，集合或，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【解题思路】（1）先求出当时的集合，再根据补集和并集定义即可计算求解. （2）先由题意求得，接着求出，再分和两种情况讨论即可求解. 【解答过程】（1）若，则， 所以或，又集合或， 所以或. （2）因为，所以， 因为，， 所以当时符合题意，此时，即； 当时，要使， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 题型4 集合新定义（共5小题） 16．（24-25高一上·重庆·期中）定义集合运算．已知非空集合A和B，且，若，则满足题意的不同的B的个数为（   ） A．1 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】结合集合新定义，讨论中元素个数即可； 【解答过程】由题意， 又非空集合A和B，且，若， 当中有一个元素时： ，；，； 当中有两个元素时： ，；，；，；，； 当中有三个元素时： ，； 当中有四个元素时： ，； 当中有五个元素时，集合不存在， 所以满足条件的不同的B的个数为8个， 故选：D. 17．（24-25高一上·福建莆田·期中）非空集合，且满足如下性质： 性质一：若、，则；性质二：若，则则称集合为一个“群”． 以下叙述正确的个数为（    ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且、，则； ③若、都是“群”，则必定是“群”； A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据性质，运用特例法逐一判断即可. 【解答过程】对于①，设集合，显然，符合性质一， 同时也符合性质二，因此集合是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； 对于②，根据群的性质，由可得：，因此可得，故本叙述正确； 对于③，设， 若，一定有，， 因为、都是“群”， 所以，， 因此，若，所以，，，故本叙述正确. 故选：C. 18．（24-25高一上·上海·期中）已知有限集，如果A中元素满足，就称A为“完美集” ①集合不是“完美集”， ②若，是两个不同的正数，且是“完美集”，则，至少有一个大于2； ③有且仅有两个元素的“完美集”只有有限多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且 其中正确结论的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由“完美集”的定义即可判断①错误；由“完美集”的定义可知可以看成一元二次方程的两正根，则可得，则可判断②正确；③错误；设，由“完美集”的定义可知，结合，可知，，由此即可判断④正确. 【解答过程】由题意， 对于①：，， 故， 所以集合是“完美集”，故①错误； 对于②：集合是“完美集”，设， 则可以看成一元二次方程的两正根， 则，解得：（舍）或， 即，因为为正数，若都小于等于2，则，所以至少有一个大于2，故②正确； 对于③：由B可知，一元二次方程当取不同值时， 的值是不同的，因而二元“完美集”有无穷多个，故③错误； 对于④：设，则， 所以，又， 当时，，此时“完美集”不存在， 当时，，则，不合题意， 当时，，所以只能是， 由，代入解得， 所以此时“完美集”只有一个，为，故④正确. 综上，正确结论的个数有个. 故选：B. 19．（24-25高一上·北京·期中）给定数集，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，则下列所有正确命题的序号是 . ①集合是闭集合； ②正整数集不是闭集合； ③集合是闭集合； ④若集合、为闭集合，则为闭集合. 【答案】②③ 【解题思路】对于①，令，，即可判断；对于②，两个正整数的差可能是负整数，即可判断；对于③，任取，，则，，，，结合新定义即可判断；对于④，令，，结合新定义即可判断. 【解答过程】对于①，因为，，但是， 所以不是闭集合，故①错误； 对于②，对于正整数集，因为,， 但是，所以正整数集不是闭集合，故②正确； 对于③，任取，，则，，，， 则，，， 所以，，， 所以是闭集合，故③正确； 对于④，由③可得是闭集合，是闭集合， 所以或，则有，， 但，则不是闭集合，故④错误. 故答案为：②③. 20．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析 (2)不一定，举例见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【解答过程】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 题型5 利用基本不等式求最值（共5小题） 21．（24-25高一上·福建南平·期中）已知、，且满足，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解答过程】因为知、，且满足， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 22．（24-25高一上·重庆·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】实数，，满足，故， 即， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故选：C. 23．（24-25高一上·四川·期中）已知，，，则下列说法不正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为0 D．的最小值为 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确. B选项，，当且仅当时等号成立，B选项正确. C选项，由于都是正数，所以C选项错误. D选项， ， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：C. 24．（24-25高一上·浙江杭州·期中）若两个正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【解答过程】因为正实数，满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为：. 25．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【解答过程】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 题型6 基本不等式的恒成立问题（共5小题） 26．（24-25高一上·四川·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【解题思路】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【解答过程】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 27．（24-25高一上·安徽·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 28．（24-25高一上·江苏·期中）若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解题思路】利用代换1法，结合均值不等式求出最小值，再解绝对值不等式即可求出选项. 【解答过程】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式恒成立， 所以，解得：， 故选：C. 29．（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】由已知条件可得：，因不等式恒成立，则需恒成立，则需要，利用“1的妙用”，求出的最小值，即可得到的取值范围. 【解答过程】将化为：， 即：，不等式化为：， 上述不等式要恒成立，则小于的最小值. 因为，则 ， 当且仅当，即且时，取“”， 所以，即. 故答案为：. 30．（24-25高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)最小值为5 (2)最小值为18 (3)最大值为9. 【解题思路】（1）利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求最小值； （3）将恒成立问题转化为的最值问题，然后利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5. （2）因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为18. （3）不等式恒成立化为恒成立， 又因为，所以，因此 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即实数的最大值为9. 题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题（共5小题） 31．（24-25高一上·四川成都·期中）不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对不等式的二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的性质进行求解即可. 【解答过程】当时，原不等式变为，显然对一切实数都成立； 当时，由，解得， 综上所述，实数k的取值范围是. 故选：C. 32．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把问题转化成“大于或等于的最小值”，再利用配方法求的最小值即可. 【解答过程】因为， 所以 . 问题“存在，使得不等式成立”转化为“大于或等于的最小值”. 因为，当时取“”. 所以 . 故选：C. 33．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【解答过程】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 34．（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】分离参数，然后将不等式有解转化为最值问题即可. 【解答过程】法一：原不等式可化为，因为不等式在有解，所以； 令，则； 令，易知在单调递减，在单调递增，，所以. 法二：令，则即可； 由二次函数在闭区间上的最值可知，， 所以或，解得或，所以. 故答案为：. 35．（24-25高一上·北京·期中）已知二次函数的最小值为1，且． (1)求的解析式； (2)解关于的不等式：，其中； (3)当时，恒成立，试确定实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式； （2）原不等式等价于，进一步确定的范围即可得解. （3）依题意可得不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】（1）由题意，函数是二次函数，且，可得函数的对称轴为， 又由最小值为，可设， 又，即，解得， 所以函数的解析式为. （2）， 因为，所以， 所以或， 所以若，则关于的不等式：的解集为. （3）因为当时，恒成立， 即当时，恒成立， 即当时，恒成立， 设函数，， 则在区间上单调递减， ∴在区间上的最小值为， ∴， 故实数的取值范围为：. 题型8 函数的单调性及其应用（共5小题） 36．（24-25高一上·江西·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先保证每段函数都是增函数，再考虑断点处函数值的关系，解不等式组即可. 【解答过程】当时，函数单调递增，则，即； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数单调递增，则， 由函数在上单调递增，有解得． 故选：C. 37．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意确定对称轴为，进而确定函数单调性，由单调性即可判断. 【解答过程】由已知得函数的图象关于直线对称， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以．又，所以． 因为，所以． 故，即． 故选：D. 38．（24-25高一上·山西·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数的单调性，再求解不等式. 【解答过程】因为，且， 令，得； 又因为， 所以即 因为在为增函数. 所以解得或. 即不等式的解集为 故选：A. 39．（24-25高一上·上海·期中）已知函数定义在上，且对任意的，，，都有，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】根据不等式的结构构新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【解答过程】不妨设，则 ， 所以 ， 设，则在上单调递减， 由 ， 又，则，， 即 ， 所以或. 故答案为：. 40．（24-25高一上·安徽·期中）定义在上的函数满足：①当时，；②对任意实数x，y都有． (1)证明：当时，； (2)判断在上的单调性； (3)解不等． 【答案】(1)证明见解析 (2)增函数 (3) 【解题思路】（1）赋值法可直接求出结果； （2）利用单调性得定义即可判断； （3）根据题意原不等式等价于，然后利用函数得单调性解不等式即可. 【解答过程】（1）令，则，所以．    当时，，则．在中， 令，则，所以 （2）设，则，所以． 于是， 故在上是增函数． （3）由题意知，原不等式等价于   由（2），在上是增函数得到，，且， 解得． 故原不等式的解集是． 题型9 函数中的恒成立、有解问题（共5小题） 41．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】变形得到，从而得到在上单调递增，分和两种情况，结合二次函数对称轴，数形结合得到不等式，求出答案. 【解答过程】因为，所以， 即， 令，则， 故在上单调递增， 当时，满足在上单调递增， 当时，为二次函数， 需满足或， 解得或， 综上，，实数a的最大值为. 故选：C. 42．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意，根据一次函数的单调性求得，从而对恒成立，分离参数，利用二次函数性质求解即可. 【解答过程】，使得成立，， 又由在上单调递增，， 即对恒成立，， 即对恒成立，， 又由在上单调递增， 时，时，， . 故选：B． 43．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数对任意，总有.若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意可得在上单调递增，利用单调性解不等式可得存在使不等式成立即可，解可得结果. 【解答过程】根据题意由任意，总有可得在上单调递增， 若不等式成立可得，可得， 即存在时使不等式成立，因此即可； 解得或； 即实数的取值范围是. 故选：C. 44．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数的定义域为，，且.若关于x的不等式在上有解，则a的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】利用赋值法求出函数的解析式，再代入，转化不等式为在上有解，参变分离转化为求函数的最值问题即可求解. 【解答过程】令，则， 令，则，则， 所以在上有解，即在上有解， 即存在，使得即， 而函数在上单调递减， 当时，取得最小值，因此， 所以a的取值范围为. 故答案为：. 45．（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上单调递减，证明见解析； (3). 【解题思路】（1）根据函数所过的点列方程求参数，即可得解析式； （2）利用单调性定义证明函数单调性即可； （3）问题化为任意，使得恒成立，求出右侧表达式的最小值，即可得范围. 【解答过程】（1）由题设，解得，则. （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且，则， ，且， ，，则， ，即， 所以函数在上单调递减. （3）因为任意，使得恒成立， 即任意，使得恒成立， 由（2）知，函数在上单调递减， 当时，，所以， 所以实数a的取值范围． 题型10 抽象函数的性质及应用（共5小题） 46．（24-25高一上·重庆·期中）若，且，则（    ） A．-2 B．-1 C． D．0 【答案】A 【解题思路】利用赋值法，判断函数的周期，对称性，再利用周期性和对称性求值. 【解答过程】令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A. 47．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为，对任意的，若对任意的，有，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的性质，解抽象不等式. 【解答过程】令，有，得 令，，所以函数是奇函数， 由可知，当，，即，所以单调递减， 不等式， 所以，解得：. 故选：A. 48．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】C 【解题思路】A选项，先令，可得，再令，可判断选项正误； B选项，令，结合定义域可判断选项正误； C选项，由题可判断在上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误； D选项，由ABC选项可解不等式. 【解答过程】A选项，在中，令， 得，解得；再令， 得，解得，故A正确； B选项，令，得，所以， 又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确； C选项，设，则，所以， 所以， 所以在上是增函数，因为是偶函数， 所以在上是减函数，从而，故C错误； D选项，因为是偶函数，则， 又在上是增函数，所以，解得，故D正确． 故选：C． 49．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】通过赋值结合题干所给信息证明函数的奇偶性与单调性，最后再利用奇偶性与单调性解不等式. 【解答过程】令，得， 令，得，所以为定义在上的奇函数， 因为，令，得， 任取，则 ， 因为当时，，所以当时，，即， 所以在上单调递增， 所以不等式 . 故答案为：. 50．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解. （2）赋值结合奇函数定义即可证明. （3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解. 【解答过程】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 题型11 函数的性质综合（共5小题） 51．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 【答案】D 【解题思路】由为奇函数可得，取，即可判断A；由为偶函数可得，即可判断B；分析可得在上单调递增，结合B选项可判断C；由，取，即可判断D． 【解答过程】A选项，因为奇函数，则， 令，得，可得，故A正确； B选项，因为偶函数，则， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； C选项，由，得为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增， 所以在当单调递增， 又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确； D选项，由B选项，，令，可得，故D错误． 故选：D． 52．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．，使得 【答案】C 【解题思路】根据已知得到函数的奇偶性和单调性，可判断A；解不等式可判断B和C；结合函数单调性判断函数的最值可判断D. 【解答过程】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递减， 所以在单调递增，又，所以， 所以当时，；当时，. 对于A，，故A正确； 对于B，若，则，即， 解得或，故B正确； 对于C，若，则或， 即或， 解得或，故C错误； 对于D，因为定义在上的函数的图象是连续不断的， 且在上单调递减，在单调递增， 所以，所以对，只需即可，故D正确. 故选：C. 53．（24-25高一上·四川成都·期中）若，其中表示，中的最大者，表示中的最小者，下列说法不正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．当时，有 C．不等式的解集为 D．当时，有 【答案】C 【解题思路】根据已知得到，画出函数大致图象，数形结合判断A；根据时，应用凑配法得到判断B；令，则求范围，再结合解析式，应用分类讨论求解集，判断C；根据奇偶性，时，有等价于，即可判断D. 【解答过程】若，解得或， 结合二次函数和一次函数知， 若，解得或， 结合二次函数和一次函数知， 所以， 画出的图象如下， 结合图象及，知为偶函数，故A正确； 当时，即，所以， 所以，所以成立，故B正确； 对于C，令，则， 当时，，解得， 当时，，解得或，又，所以， 当时，，解得， 综上，，故， 当时，，解得， 当时，，解得或， 当时，，解得， 综上，不等式的解集为，故C错误； 对于D，当，令， 结合偶函数的性质，时，则等价于， 结合B分析，当时，有成立，故D正确． 故选：C. 54．（24-25高一上·北京·期中）函数，给出下列四个结论： ①的值域是； ②且，使得； ③任意且，都有； ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【解题思路】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可； 【解答过程】对于①：因为的定义域为，关于原点对称， 且，可知为奇函数， 当时， ，可知函数在内单调递增， 且，可得，则， 结合为奇函数，可知：当时， 函数在内单调递增，且, 所以的值域是，故①正确； 对于②：由①可知： 可知函数是上的增函数， 所以对任意且，均有，故②错误； 对于③：当任意且时， 令，， ，显然， 因此不成立，故③不正确； 对于④：当时， ， 可得，， ，， 以此类推可得，因此，故④正确； 故答案为：①④. 55．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）赋值法求得，然后再令可证得奇函数； （2）由已知先证得，再根据单调性定义可得答案； （3）由已知求出，然后已知不等式化简后由函数的单调性转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质可得答案． 【解答过程】（1）的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得，∴， 令，得， ∴，， ∴为奇函数； （2）时，，， ∴，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，∴，∴时，， 又∵为奇函数，∴时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ∴， 又，∴，∴， ∴，，∴在上单调递增； （3）， ∴， ， ∵不等式对恒成立， ∴对恒成立， 又在上单调递增， ∴对恒成立， 即对恒成立， 设，，即对成立 当时，符合题意； 当时，，解得：. 综上可知：的取值范围是. 题型12 函数的新定义（共5小题） 56．（24-25高一上·四川·期中）定义，则称与经过变换生成函数.已知，设与经过变换生成函数，若，则在区间[2，9]上的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意求得，进一步得到的单调性即可求解. 【解答过程】由题意可知， 又，解得，所以， 因为在时单调递减且为正值，在时单调递减且为正值， 所以在[2，9]上单调递减， 所以当时函数有最小值 . 故选：C. 57．（24-25高一上·重庆·期中）若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，由题意可以推出函数的单调性，结合函数定义域利用函数的单调性解不等式即可. 【解答过程】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有， 所以函数是上的减函数， 由的定义域为，则在中满足，解得， 当时， ， 则，所以，解得， 故不等式的解集为． 故选：D. 58．（24-25高一上·江苏盐城·期中）定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知不等式，结合函数单调性的定义可以判断出函数的单调性，再根据函数平移的性质，结合已知定义可以判断函数的奇偶性，最后利用函数的单调性、奇偶性，结合基本不等式进行求解即可. 【解答过程】对任意，都有， 不妨设，由， 所以函数是上的减函数. 函数的图象向左平移一个单位变成函数的图象， 因为函数是以为中心的“中心捺函数”， 所以函数是以为中心的“中心捺函数”， 因此函数是奇函数. 由 ， 当时，则有，此时没有意义， 当时，由， ，由， 故选：C. 59．（24-25高一上·湖南怀化·期中）“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是 . ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 【答案】②③④ 【解题思路】根据高斯函数的定义可得解析式，画出图形，根据函数图象逐个命题判断即可. 【解答过程】由题意得：， 由解析式可得函数图形如下图所示， 对于①，函数，①错误； 对于②：函数的最小值为，②正确； 对于③，函数的图象与直线有无数个交点，③正确； 对于④，由图象函数满足， 也可利用定义推导，，④正确； 故答案为：②③④. 60．（24-25高一上·云南文山·期中）若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”． (1)已知函数，区间是否是函数的“k倍倒域区间”？ (2)定义在上的奇函数，当时，． ①求的解析式，并直接写出的单调区间； ②求在区间内的“8倍倒域区间”． 【答案】(1)是 (2)①；单调区间见解析② 【解题思路】（1）结合函数新定义由函数单调性求出值即可； （2）①由函数的奇偶性求出函数解析式；再由二次函数和分段函数的单调性得到单调区间即可； ②设，根据在上单调递减，得解得结果即可得解； 【解答过程】（1）是，理由如下： 因为函数在定义域上为减函数， 所以当时，， 由题意可得，，所以区间是函数的“k倍倒域区间” （2）①因为为定义在上的奇函数， 所以当时，，， 因为，所以， 所以， 当时，由二次函数的对称轴可得，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，由二次函数对称轴可得，开口向下， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上，的减区间是上单调递减；增区间是. ②因为在内的“8倍倒域区间”， 设，因为在上单调递减， 所以，整理得， 解得， 所以在内的“8倍倒域区间”为. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $