精品解析：湖南省邵阳市邵阳县芙蓉学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年秋季九年级第一次学情监测 数学 （时量：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列关系式中表示是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 若正比例函数与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　） A. 图象经过点（1，﹣5） B. 图象位于第二、第四象限 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 5. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 6. 若点，，在反比例函数的图像上，则x1，x2，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 函数和在同一坐标系中的图象可以大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A. 1 B. C. D. 1或 9. 规定：对于任意实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 10. 对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是______． 12. 已知，则的值是 _____． 13. 函数的图象在每个象限内随的增大而增大，则的取值范围是________． 14. 设，，则和的大小关系是：_____． 15. 如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝_____． 16. 观查反比例函数的图象，当时，x的取值范围是____________． 17. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值为_____． 18. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，则电动车车棚的长（）为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 选择适当的方法解方程； （1） （2） 20. 已知与成反比例，当时，． （1）求与的函数关系式； （2）当时，求y的值； （3）当时，求x的值． 21. 在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． （1）求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． （2）若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 22. 已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 23. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 24. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 25. 如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝图象相交于点A(﹣1，2)与点B(﹣4，n)． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在第二象限内，观察函数图像，直接写出不等式ax+b＜的解集． 26. 如图，，，，为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点，同时出发，都以的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． （1）求四边形的面积； （2）、两点从出发开始到几秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季九年级第一次学情监测 数学 （时量：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列关系式中表示是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，逐一分析选项，判断是否符合该形式． 【详解】A. ：形如（），是正比例函数，不符合反比例函数定义； B. ：形如（，），是一次函数，不符合反比例函数定义； C. ：形如（），是二次函数，不符合反比例函数定义； D. ：形如（），符合反比例函数定义， 故选：D． 2. 用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， 即， 故选：D． 3. 若正比例函数与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的交点问题，坐标与图形的变化—中心对称，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可，也是解题关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称． ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故选D． 4. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（　　） A. 图象经过点（1，﹣5） B. 图象位于第二、第四象限 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数y＝﹣， A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意； B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意； C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意； D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， 当时，即：时，方程为：，有实数根； 当时， 解得：且， 综上所述：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元一次方程的解，根据二次系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 6. 若点，，在反比例函数的图像上，则x1，x2，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据A、B、C三点纵坐标的特点判断出三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答． 【详解】解：∵反比例函数y＝中，k=12>0， ∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， ∵y1＜y2＜0＜y3， ∴． 故选B． 【点睛】本题比较简单，考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性． 7. 函数和在同一坐标系中的图象可以大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质． 根据反比例函数和一次函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：当时，经过第一、三象限，经过第二、三、四象限， 故A、C不符合题意； 当时，经过第二、四象限，经过第一、二、三象限， 故B符合题意，D不符合题意； 故选：B． 8. 如图是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中… 开启新对话 给发送消息 88深度思考（）联网搜索+ A. 1 B. C. D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设这个数为x，根据先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设这个数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 这个数为1， 故选A． 9. 规定：对于任意实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，根据题中定义将方程转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 10. 对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①若x=1时，方程ax2+bx+c=0，则a+b+c=0， ∵无法确定a-b+c=0．故①错误； ②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根， ∴△=0-4ac＞0 ∴-4ac＞0 则方程ax2+bx+c=0的判别式， △=b2-4ac＞0 ∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根， 则ac2+bc+c=0 ∴c（ac+b+1）=0 若c=0，等式仍然成立， 但ac+b+1=0不一定成立，故③错误； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根， 则由求根公式可得： 或， ∴或 ∴b2−4ac＝(2ax0+b)2，故④错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的一般形式进行计算即可． 【详解】解：∵函数是关于的反比例函数， ∴，且， ∴， 故答案为：2． 12. 已知，则的值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法、换元法求一元二次方程的解，设，则原方程转化为，根据解一元二次方程的方法即可求解，掌握因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：设，则原方程转化为， 所以或， 所以（舍去）或， 所以， 故答案为：2． 13. 函数的图象在每个象限内随的增大而增大，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：函数的图象在每个象限内随的增大而增大， ， 解得， 故答案为：． 14. 设，，则和的大小关系是：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求差法比较大小、用完全平方公式分解因式，首先根据整式的加减和完全平方公式分解因式，可得：，根据平方的非负性可得：，从而可知． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝_____． 【答案】6． 【解析】 【分析】根据题意，想要求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所构成的矩形的面积即可，而矩形的面积为双曲线y＝的系数k，由此即可求解． 【详解】∵点A、B是双曲线y＝上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4， ∴S1+S2＝4+4﹣1×2＝6． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握根据反比例函数系数k的几何意义求出矩形的面积． 16. 观查反比例函数的图象，当时，x的取值范围是____________． 【答案】x＜﹣1或x＞0##x＞0或x＜-1 【解析】 【分析】利用函数值找到分界点（-1，-2），根据反比例函数的图象和性质与直线y=-2的位置关系解答即可． 【详解】解：∵k＝2＞0，反比例函数图像位于一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∴y=-2时，， 解得x=-1， ∴当y＞-2时x＜﹣1或x＞0， 故答案为x＜﹣1或x＞0． 【点睛】本题重点考查学生对反比例函数图像和性质的理解，掌握反比例函数的图象和性质，以及利用反比例函数与直线y=-2的交点求不等式解集是解题的关键． 17. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值为_____． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法、新定义“倍根方程”的意义．求出原方程的解，再根据倍根方程的定义分情况解答即可． 【详解】解：， 可得：，， 解得：，， 是倍根方程， 当时， 可得：； 当时， 可得：， ； 故的值为或． 故答案为：或． 18. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，则电动车车棚的长（）为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，然后解得．最后进行分析，即可作答． 【详解】解：设电动车车棚的宽为， ∵其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏）， 则车棚的长， 由题意得，， ∴， 整理得， ， 解得， 当时，则（故舍去） 当时，则，符合题意； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 选择适当的方法解方程； （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先整理成一般式，再用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： 解得：． 20. 已知与成反比例，当时，． （1）求与的函数关系式； （2）当时，求y的值； （3）当时，求x的值． 【答案】（1）y （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，解题的关键是掌握反比例函数的一般表达式． （1）用待定系数法求得反比例函数解析式， （2）代入x求得y的值， （3）代入y求出x的值． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时，； 【小问3详解】 当时，． 21. 在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． （1）求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． （2）若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【答案】（1） （2）压强由加压到，则气体体积压缩了 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，注意正确计算． （1）设，利用待定系数法即可得到结论； （2）分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 【小问1详解】 解：设， 把代入中得：， 解得， 压强与汽缸内气体的体积的函数表达式为； 【小问2详解】 在中，当时，，当时，， ， 压强由加压到，则气体体积压缩了． 22. 已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 【答案】（1） 证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）7． 【解析】 【分析】（1）先计算判别式，将结果写成完全平方形式，再根据判别式的意义得出结论． （2）运用因式分解法求得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，求出等腰三角形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根， 即以3为底，则，为腰， ∴以3为底，，为腰能构成等腰三角形， ∴周长 ∴等腰三角形的周长为7． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，本题第二问，运用因式分解法求得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，求出等腰三角形的周长． 23. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 24. 阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： （1）已知方程，则_____；_____． （2）若m是方程的根，求的值． 【答案】（1）4，18 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4；18； 【小问2详解】 解：∵m是方程的根， ∴， ∴（时不满足原方程）， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝图象相交于点A(﹣1，2)与点B(﹣4，n)． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在第二象限内，观察函数图像，直接写出不等式ax+b＜的解集． 【答案】（1）y＝﹣，y=（2）（3）﹣5＜x＜﹣4或﹣1＜x＜0 【解析】 【分析】（1）将点A（-1，2）代入反比例函数解析式即可求得反比例函数解析式，将两点代入一次函数即可求得一次函数解析式. （2）求得C点的坐标后利用求面积即可. （3）根据图像即可得到结论. 【详解】（1）将点A（﹣1，2）代入函数y＝， 解得：m＝﹣2， ∴反比例函数解析式为y＝﹣， 将点A（﹣1，2）与点B（﹣4，）代入一次函数y＝ax+b， 解得：a＝，b＝ ∴一次函数的解析式为y＝+； （2）C点坐标（﹣5，0） ∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝5﹣＝； （3）由图象知，不等式ax+b＜的解集为：﹣5＜x＜﹣4或﹣1＜x＜0． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键． 26. 如图，，，，为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点，同时出发，都以的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． （1）求四边形的面积； （2）、两点从出发开始到几秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】（1） （2）秒或秒或秒或秒 【解析】 【分析】（1）设运动时间为，则，，由矩形的性质可得，，，进而可得，然后根据梯形的面积公式即可得出答案； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，于是可得，，然后分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设运动时间为， 则，， 四边形是矩形， ，，， ， ∴四边形的面积； 【小问2详解】 解：设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形， ， ， 分三种情况讨论： ①当时， 如图，过作于， 易得四边形为矩形， ，， ， ， ， ， 解得：或； ②当时， 如图，过作于， 易得四边形为矩形， ，， ， ， ， 解得：； ③当时， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，勾股定理，三线合一等知识点，运用数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $