2.2简单的轴对称图形 课后达标练习 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）七年级数学上册

2.2简单的轴对称图形 知识点一　垂直平分线的性质 1．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于点D.若△ABC的周长是20 cm，BC＝8 cm，则△ABD的周长为　　cm. 知识点二　角平分线的性质 2．如图，已知C是∠AOB的边OA上一动点，MD⊥OB于点D.若MD＝1，由作图痕迹可得，MC的最小值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．(2024·泰安检测)如图，已知PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点M，N，PM＝PN.若∠BOC＝30°，则∠AOB＝　　．(填度数) 知识点三　等腰三角形的性质与判定 4．一个等腰三角形的两条边分别是2 cm和5 cm，则第三条边的长度是(　　) A．2 cm B．5 cm C．2 cm或5 cm D．不能确定 5．如图，△ABC为等腰三角形，D是底边BC上一点，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N.若BC＝16，AB＝AC＝10，点A到BC的距离为6，则DM＋DN＝　　． 知识点四　等边三角形的性质与判定 6．将两个直角三角尺如图放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°.若A是DE的中点，CE与AB交于点F，则∠BFC的度数为　　. 7．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，过点D作DE∥AB交边AC于点E. (1)试说明：∠C＝∠CDE； (2)若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由． 8．现需要在某条街道l上修建一个商店P，向居住在A，B小区的居民提供便民服务，要使P到A，B的距离之和最短，则点P符合题意的是(　　) 9．如图，△ABC是等边三角形，点E，F分别在边AB，AC上，且EF∥BC.若AB＝6，BE＝2，则EF的长为(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 10．(2024·烟台检测)如图，△ABC的面积是16，AB＝AC，BC＝4，点A与点C关于直线EF对称．若D为BC的中点，M为线段EF上的一个动点，则△CDM周长的最小值为(　　) A．8 B．10 C．12 D．14 11．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC. (1)试说明：AD⊥BC； (2)若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 【创新运用】 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于点E. (1)当∠ADB＝115°时，∠BAD＝　25　°，∠DEC＝　　°；当点D从点B向点C运动时，∠BDA的度数逐渐变　　(填“大”或“小”)． (2)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 2.2简单的轴对称图形 知识点一　垂直平分线的性质 1．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于点D.若△ABC的周长是20 cm，BC＝8 cm，则△ABD的周长为　12　cm. 解析：因为△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于点D， 所以CD＝BD. 因为△ABC的周长是20 cm，BC＝8 cm， 所以AC＋AB＝20－8＝12(cm)． 所以△ABD的周长是AD＋AB＋BD＝AD＋AB＋CD＝AC＋AB＝12 cm. 故答案为：12. 知识点二　角平分线的性质 2．如图，已知C是∠AOB的边OA上一动点，MD⊥OB于点D.若MD＝1，由作图痕迹可得，MC的最小值是(　A　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由作图痕迹可得OM平分∠AOB， 如图，过点M作MH⊥OA于点H. 因为OM平分∠AOB，MD⊥OB，MH⊥OA， 所以MH＝MD＝1. 因为点C是∠AOB的边OA上一动点， 所以MC的最小值是1. 故选：A． 3．(2024·泰安检测)如图，已知PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点M，N，PM＝PN.若∠BOC＝30°，则∠AOB＝　60°　．(填度数) 解析：因为PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN， 所以OC平分∠AOB. 所以∠AOB＝2∠BOC＝2×30°＝60°. 故答案为：60°. 知识点三　等腰三角形的性质与判定 4．一个等腰三角形的两条边分别是2 cm和5 cm，则第三条边的长度是(　B　) A．2 cm B．5 cm C．2 cm或5 cm D．不能确定 解析：根据题意可知分两种情况： ①当等腰三角形的腰长为2 cm，底边长为5 cm时， 因为2＋2＝4＜5， 所以不能组成三角形； ②当等腰三角形的腰长为5 cm，底边长为2 cm时， 此时等腰三角形的三边长分别为5 cm，5 cm，2 cm. 综上，等腰三角形的第三条边的长度是5 cm. 故选：B. 5．如图，△ABC为等腰三角形，D是底边BC上一点，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N.若BC＝16，AB＝AC＝10，点A到BC的距离为6，则DM＋DN＝　9.6　． 解析：如图，连接AD，过点A作AE⊥BC于点E. 因为点A到BC的距离为6. 所以AE＝6. 因为DM⊥AB，DN⊥AC，BC＝16，AB＝AC＝10， 所以S△ABD＋S△ADC＝S△ABC. 所以AB·DM＋AC·DN＝BC·AE. 所以AB·DM＋AC·DN＝BC·AE. 所以10DM＋10DN＝16×6. 所以DM＋DN＝9.6. 故答案为：9.6. 知识点四　等边三角形的性质与判定 6．将两个直角三角尺如图放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°.若A是DE的中点，CE与AB交于点F，则∠BFC的度数为　120°　. 解析：因为∠DCE＝90°，∠D＝60°， 所以∠E＝90°－∠D＝30°. 所以CD＝DE. 又因为点A是DE的中点， 所以CD＝AD＝AE. 所以△ACD是等边三角形． 所以∠ACD＝60°. 所以∠ACF＝∠DCE－∠ACD＝30°. 因为∠FAC＝90°， 所以∠AFC＝180°－∠FAC－∠ACF＝60°. 所以∠BFC＝180°－∠AFC＝120°. 故答案为：120°. 7．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，过点D作DE∥AB交边AC于点E. (1)试说明：∠C＝∠CDE； (2)若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由． 解：(1)因为AB＝AC， 所以∠B＝∠C. 因为DE∥AB， 所以∠CDE＝∠B. 所以∠C＝∠CDE. (2)△DEC是等边三角形．理由如下： 因为DE∥AB， 所以∠DEC＝∠A＝60°. 由(1)知∠C＝∠CDE， 所以△DEC是等边三角形． 8．现需要在某条街道l上修建一个商店P，向居住在A，B小区的居民提供便民服务，要使P到A，B的距离之和最短，则点P符合题意的是(　A　) 解析：作点A关于直线l的对称点，连接对称点和点B交直线l于点P，点P即为所求．故选：A． 9．如图，△ABC是等边三角形，点E，F分别在边AB，AC上，且EF∥BC.若AB＝6，BE＝2，则EF的长为(　B　) A．6 B．4 C．3 D．2 解析：因为AB＝6，BE＝2， 所以AE＝AB－BE＝4. 因为△ABC是等边三角形， 所以∠A＝∠B＝∠C＝60°. 因为EF∥BC， 所以∠AEF＝∠B＝60°，∠AFE＝∠C＝60°. 所以∠A＝∠AEF＝∠AFE＝60°. 所以△AEF是等边三角形． 所以EF＝AE＝4. 故选：B. 10．(2024·烟台检测)如图，△ABC的面积是16，AB＝AC，BC＝4，点A与点C关于直线EF对称．若D为BC的中点，M为线段EF上的一个动点，则△CDM周长的最小值为(　B　) A．8 B．10 C．12 D．14 解析：如图，连接AD，AM. 因为AB＝AC，点D是BC的中点，BC＝4， 所以AD⊥BC，BD＝DC＝2. 因为△ABC面积是16， 所以S△ABC＝BC·AD＝2AD＝16. 所以AD＝8. 因为EF垂直平分AC， 所以AM＝MC. 所以C△CDM＝MD＋MC＋DC＝MD＋AM＋DC. 要使△CDM的周长为最小值，只需A，M，D三点共线，即MD＋AM＝AD， 所以△CDM的周长的最小值为C△CDM＝AD＋DC＝8＋2＝10.故选：B. 11．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC. (1)试说明：AD⊥BC； (2)若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 解：(1)如图，连接AE. 因为EF垂直平分AB， 所以AE＝BE. 因为BE＝AC， 所以AE＝AC. 因为D为线段CE的中点， 所以AD⊥BC. (2)设∠B＝x°， 因为AE＝BE， 所以∠BAE＝∠B＝x°. 所以∠AEB＝180°－∠B－∠BAE＝180°－2x°. 所以∠AEC＝180°－∠AEB＝2x°. 因为AE＝AC， 所以∠C＝∠AEC＝2x°. 易知在△ABC中，3x°＋75°＝180°， 解得x＝35. 故∠B的度数为35°. 【创新运用】 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于点E. (1)当∠ADB＝115°时，∠BAD＝　25　°，∠DEC＝　115　°；当点D从点B向点C运动时，∠BDA的度数逐渐变　小　(填“大”或“小”)． (2)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 解：(1)因为在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°， 所以∠B＝∠C＝40°. 因为∠B＝40°，∠ADB＝115°， 所以∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－40°－115°＝25°. 因为∠ADE＝40°，∠ADB＝115°， 所以∠EDC＝180°－∠ADB－∠ADE＝180°－115°－40°＝25°. 所以∠DEC＝180°－∠C－∠EDC＝180°－40°－25°＝115°. 当点D从点B向点C运动时，∠BDA的度数逐渐变小． 故答案为：25；115；小． (2)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形． 因为在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°， 所以∠B＝∠C＝40°. 所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°. 根据题意可知分三种情况： ①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°， 所以∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝100°. 所以∠DAE＝∠BAC， 即此时点D与点B重合． 所以此时不符合题意． ②当AD＝DE时， 即∠DAE＝∠AED＝×(180°－∠ADE)＝70°， 所以∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝30°. 所以∠BDA＝180°－∠B－∠BAD＝110°. ③当AE＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°， 所以∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝60°. 所以∠BDA＝180°－∠B－∠BAD＝80°. 综上，当∠BDA的度数是110°或80°时，△ADE是等腰三角形． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $