精品解析：河南省驻马店市第二初级中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

驻马店市二中九年级上学期数学素质测试题 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A. ax2+bx+c＝0(a，b，c为常数) B. x2﹣x﹣2＝0 C. ﹣2＝0 D. x2+2x＝x2﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐一进行分析即可求得答案. 【详解】A．若a＝0，则该方程不是一元二次方程，故A选项错误， B．符合一元二次方程的定义，故B选项正确， C．属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，故C选项错误， D．整理后方程为：2x+1＝0，不符合一元二次方程的定义，故D选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直平分 【答案】A 【解析】 【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键． 3. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币都是正面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两枚硬币朝向相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 正 反 正 正，正 正，反 反 反，正 反，反 共有4种等可能的结果，其中两枚硬币都是正面向上的结果有1种， 两枚硬币都是正面向上的概率为． 故选：C． 4. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， ， 故选C． 5. 如图，在菱形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，先根据菱形的对边平行和直线平行的性质得到，然后根据菱形的每一条对角线平分一组对角求解． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， 平分， 故选：C． 6. 在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判断，根据矩形和菱形的判定定理逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、由能判定是矩形，该选项符合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由平分能判定是菱形，该选项不合题意； 故选：． 7. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，分析可能得到紫色的概率，得到结论． 【详解】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下： 红 蓝 蓝 红 （红，红） （红，蓝） （红，蓝） 红 （红，红） （红，蓝） （红，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 黄 （黄，红） （黄 ，蓝） （黄 ，蓝） 上面等可能出现的12种结果中，有5种情况可以得到紫色， 所以可配成紫色的概率是： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率． 8. 杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款在电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量为30000个．若7月25日和7月26日较前一天的增长率为x．则可列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“7月25日和7月26日的总销量为30000个”，分别表示出7月25日和7月26日的销量，进而得出等式求出答案． 【详解】解：若7月25日和26日较前一天的增长率均为x，则可列方程为： ． 故选：C． 9. 如图， 在菱形中， 点A 在x 轴上， 点 B 的横坐标为3，， 将菱形绕原点O 顺时针旋转， 若点C 的对应点是点，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加辅助线，利用参数构建方程解决问题. 作轴于H．设，利用勾股定理构建方程求出x，然后根据旋转的性质即可解答. 【详解】解：如图，作轴于H． ∵四边形是菱形， ∴， ， ， ∴， 设， ∴，∶ ∵点B的横坐标为3， ∴ ∴ ∴， ∴, ∴点B的纵坐标为， ∴点C的横坐标为， ∵, ∴点C和B的纵坐标相同， ∴, ∴将菱形绕原点O顺时针旋转， ∵根据旋转的性质，点C绕原点顺时针旋转后，点C的应点是点，其横、纵坐标交换，且纵坐标变为原来的相反数， ∴点坐标是， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，点分别在上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②当时，为等边三角形；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质可以得到，即，，然后根据三线合一判断①，求出的度数判断②；计算出，判断③；计算出，判断④解题． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， 又∵ ∴， ∴，， ∴， ∴垂直平分，故①正确； ∵， ∴， ∵ ∴为等边三角形，故②正确； ∵ ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， 故④正确； ∴正确的个数为个， 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 如果一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，那么a的值是___． 【答案】3 【解析】 【分析】用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：解方程， 移项得：， 解得：， 因为a＞b， 所以a＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握开方的法则是解题的关键． 12. 要使矩形成为正方形，可添加的条件是____________（写一个即可）． 【答案】（挑选一个即可） 【解析】 【分析】根据正方形的判定定理进行添加即可．本题考查了由矩形得到正方形的判定，熟知其判定定理是解题的关键． 【详解】解：从边上添加：有（有一组领边相等的矩形为正方形） 从对角线上添加：有（对角线互相垂直的矩形为正方形）． 故答案为：（挑选一个即可） 13. 若方程是关于x的一元二次方程，则m=_______． 【答案】-1 【解析】 【分析】一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；并且二次项系数不为0． 【详解】由题意得且m2+1=2， 解得m= -1 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的概念是解题的关键． 14. 如果m，n是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为_____________ 【答案】2025 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系即可求解． 【详解】∵m， n是一元二次方程两个不相等的实数根， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2025． 15. 如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、，则正方形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于．由旋转的性质可知，，进而根据等腰直角三角形的性质得到，再根据勾股定理得到，再由直角三角形斜边上的中线得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于． 由旋转的性质可知，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，共线， ， ， ， ， ， 正方形的面积为． 故答案为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正确构造旋转图形是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 ， ， ， 则， 所以，； 【小问2详解】 ， ， ， 则或， 所以． 17. 为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛． （1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______； （2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中女生乙的有1种，即可求得答案； （2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：（1）∵已确定女生甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中女生乙的只有1种， ∴恰好选中乙的概率为； 故答案为：； （2）分别用字母A，B表示女生，C，D表示男生 画树状如下： 4人任选2人共有12种等可能结果，其中1名女生和1名男生有8种， ∴（1女1男）． 答：所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 如图，锐角ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D （1）尺规作图：作AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DE，DF； （2）证明（1）中的四边形AEDF是菱形． 【答案】 （1）如图所示， （2）证明：设AD与EF的交点为O， ∵EF是线段AD的垂直平分线， ∴AE=DE，AF=DF，AD⊥EF， ∴∠AOE=∠AOF=90° ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠EAD=∠FAD， 又∵AO=AO， ∴△EAO≌△FAO（ASA）， ∴EA=FA， ∴EA=ED=FA=FD， ∴四边形AEDF是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法进行作图即可； （2）设AD与EF的交点为O，先证明△EAO≌△FAO得到EA=FA，则EA=ED=FA=FD，由此即可得证． 【详解】解：（1）分别以A、D为圆心，以大于AD长的一半为半径画弧，分别交于M、N，连接MN分别交AB，AC于E、F，连接DE，DF， （2）略 【点睛】本题主要考查了尺规作图—线段垂直平分线，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴对于任意实数m，该方程总有实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键： （1）根据一元二次方程判别式为，即可解答； （2）解方程，求得，，根据题意得到，解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根为，， ， ∴，， ∵这个一元二次方程的一根大于2， ∴， 解得：， ∴m的取值范围． 20. 如图，在中，对角线与相交于点，是等边三角形，． （1）求证：是矩形； （2）求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键． 根据等边三角形的性质可知，根据平行四边形对角线互相平分可知，，等量代换可知，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可证结论成立； 利用勾股定理可以求出，根据矩形的面积公式即可求出矩形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由知，四边形是矩形， ，， 是等边三角形，， ， ， 由勾股定理得：， 矩形的面积． 21. 石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； （3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】（1） ， （2） 每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元 （3） 不可能 【解析】 【分析】（1）根据销售量=原销售量+降价增加的销售量，单件利润=原单件利润-降价金额，列出代数式； （2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程求解； （3）同样根据总利润关系列方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数解，即可得出结论． 【小问1详解】 解： 已知每件降价1元，多售出2件，降价元时，多售出件 原每天售出20件， 因此每天销售量为件 ，原单件利润为元， 降价元后，单件盈利为元． 【小问2详解】 根据总利润等于单件盈利乘销售量， 列方程得   整理得  因式分解得  解得  因此每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利1200元． 【小问3详解】 假设平均每天赢利2000元， 列方程得   整理得  判别式得  因此该方程没有实数根，不存在满足条件的降价 所以平均每天赢利2000元不可能． 22. 如图，已知平行四边形的对角线、相交于点，、，两动点、同时分别以的速度从点、出发在线段相对运动． （1）求证：当、运动过程中不与点重合时，四边形一定为平行四边形； （2）当、运动时间为何值时，四边形为矩形？ 【答案】（1） 证明：连接，，，， 两动点、同时分别以的速度从点、出发在线段相对上运动， ， 平行四边形的对角线、相交于点， ，（平行四边形的对角线互相平分）， 或， 即， 四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； （2）当、运动时间或时，四边形为矩形 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质． 根据点、的时间和速度，可知，根据平行四边形的性质可知，，根据线段的和与差可知，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证结论成立； 根据对角线相等的平行四边形是矩形可知，当时，四边形为矩形，此时应分两种情况，一种情况是当点在上，点在上时，另一种情况是当点在上，点在上时．分情况求出运动时间即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当点在上，点在上时，，四边形为矩形， 运动时间为， ， ， ； 当点在上，点在上时，， ， ； 综上所述，当、运动时间或时，四边形为矩形． 23. 正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以PD为边作正方形DPFE，连接CE； （1）如图1，则AP与CE的数量关系是______，AP与CE位置关系为______； （2）点P在对角线AC的延长线上运动时， ①如图2，探究线段DC，PC和CE三者之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，连结AE，若，，求四边形DCPE的面积． 【答案】（1）；AP⊥CE； （2） ①， 理由：∵四边形ABCD和四边形DPFE是正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，， ∴≌（SAS）， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②10 【解析】 【分析】（1）证明△ADP≌△CDE，可得AP=CE，∠DAC=∠DCE=45°，求出∠ACE=90°即可得解； （2）①证明≌，可得．再由是等腰直角三角形，可得，即可求解； ②连接BD与AC相交于O，可得，从而得到，再由≌，可得，从而得到CE=5，进而得到，可得到，再求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD和四边形DEFP均为正方形， ∴AD=CD，DP=DE，∠ADC=∠PDE=90°，∠DAC=∠ACD=45°， ∴∠ADP=∠CDE， ∴△ADP≌△CDE， ∴AP=CE，∠DAC=∠DCE=45°， ∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°，即AP⊥CE； 故答案为：；AP⊥CE； 【小问2详解】 解：①略 ②如图，连接BD与AC相交于O， ∵正方形ABCD中，， ∴， ∴， 由①得：≌， ∴∠CAD=∠DCE=45°， ∵∠ACD=45°， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 驻马店市二中九年级上学期数学素质测试题 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A. ax2+bx+c＝0(a，b，c为常数) B. x2﹣x﹣2＝0 C. ﹣2＝0 D. x2+2x＝x2﹣1 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直平分 3. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币都是正面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（ ） A. B. C. D. 平分 7. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款在电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量为30000个．若7月25日和7月26日较前一天的增长率为x．则可列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图， 在菱形中， 点A 在x 轴上， 点 B 的横坐标为3，， 将菱形绕原点O 顺时针旋转， 若点C 的对应点是点，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点分别在上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②当时，为等边三角形；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 如果一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，那么a的值是___． 12. 要使矩形成为正方形，可添加的条件是____________（写一个即可）． 13. 若方程是关于x的一元二次方程，则m=_______． 14. 如果m，n是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，那么代数式的值为_____________ 15. 如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、，则正方形的面积为______． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛． （1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______； （2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率． 18. 如图，锐角ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D （1）尺规作图：作AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DE，DF； （2）证明（1）中的四边形AEDF是菱形． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 20. 如图，在中，对角线与相交于点，是等边三角形，． （1）求证：是矩形； （2）求矩形的面积． 21. 石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． （1）设每件童装降价x元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元； （3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 22. 如图，已知平行四边形的对角线、相交于点，、，两动点、同时分别以的速度从点、出发在线段相对运动． （1）求证：当、运动过程中不与点重合时，四边形一定为平行四边形； （2）当、运动时间为何值时，四边形为矩形？ 23. 正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以PD为边作正方形DPFE，连接CE； （1）如图1，则AP与CE的数量关系是______，AP与CE位置关系为______； （2）点P在对角线AC的延长线上运动时， ①如图2，探究线段DC，PC和CE三者之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，连结AE，若，，求四边形DCPE的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $