第5章 一次函数（复习讲义）数学浙教版2024八年级上册

第5章 一次函数（复习讲义） 课标要求：从生活实例（如行程问题、收费问题）中抽象出一次函数的模型，理解其作为刻画现实世界线性关系的核心工具。通过图象与性质的学习，掌握数形结合思想，并运用它解决预测、决策等实际问题。 中考命题： 基础题 (占比约70%)：求函数解析式、判断图象所在象限、根据k,b值判断增减性。 中档题 (占比约20%)：一次函数与方程、不等式的综合，求面积，理解图象交点的实际意义。 压轴题 (占比约10%)：一次函数与几何图形（特别是动点问题）的综合，以及方案设计等复杂实际应用备考关键： ✅ 概念零混淆（一次项系数k≠0，区分k与b的功能）； ✅ 数形结合（由“式”想“图”，由“图”得“式”，图象是核心）； ✅ 应用重情境（从实际问题提炼函数关系，并验证解的实际意义） 层级 训练重点 典型例题 基础层 1. 根据点的位置写坐标，根据坐标描点。 2. 求点平移、轴对称后的坐标。 3. 计算简单规则图形（如矩形、三角形）的面积。 1. 已知点A(2, -3)，求它关于x轴对称的点A'的坐标，再将它向上平移4个单位，求点A''的坐标。 2. 已知A(-1, 0), B(3, 0), C(0, 2)，求△ABC的面积。 进阶层 1. 探索并建立坐标系，用坐标表示地理位置。 2. 求坐标系中不规则图形的面积（常用割补法）。 3. 根据点的坐标特征（如到坐标轴距离相等）求参数。 1. 如图，建立一个平面直角坐标系，使“中心广场”的坐标为(0, 0)，写出“图书馆”和“科技馆”的坐标。 2. 已知点P(2a-1, a+3)到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，求点P的坐标。 拓展层 1. 坐标系中的动态问题与存在性问题。 2. 坐标系与函数、几何图形的综合应用。 1.(动态问题) 在平面直角坐标系中，点P从原点出发，每秒移动1个单位，沿x轴正方向运动。t秒后，是否存在t，使△OPA为等腰三角形？若存在，求出t值。 2. (存在性问题) 在平面直角坐标系中，已知A(1,1), B(4,2), C(2,4)，在坐标平面内是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标。 知识点 重点归纳 常见易错点 函数定义与表示 1.定义：一般形式y=kx+b (k,b 为常数，且k≠0)。 2.表示方法：解析法、列表法、图象法。 3.自变量取值范围：需考虑实际问题意义或分母不为零、偶次根式下非负等。 1.忽略k≠0：误认为y=kx+b一定是一次函数。 2.求取值范围时考虑不周：特别是实际应用问题，忘记考虑速度、长度等非负性。 图象与性质 1.图象：一条直线。 2.斜率k：决定直线的倾斜方向和程度。 k>0：y随x增大而增大（过一、三象限）。 k<0：y随x增大而减小（过二、四象限）。 3.截距b：决定直线与y轴的交点 (0, b)。 1.混淆k和b的作用：误以为k决定与y轴交点。 2.由图象判断k,b 符号时出错：尤其是直线经过多个象限时，判断失准。 图象的画法 两点法：由于两点确定一条直线，通常找与坐标轴的交点： - 与x轴交点：令y=0，解出x(−k/b​, 0)。 - 与y轴交点：令x=0，解出y(0,b)。 1.计算交点错误：解方程时计算失误。 2.所选点导致画图不便：如两点距离太近，导致画出的直线不准确。 3.直线画成线段或射线：忽略一次函数图象是直线，应向两端无限延伸。 待定系数法求解析式 步骤： 1.设：设函数解析式为y=kx+b。 2.代：将已知点的坐标代入解析式，得到方程组。 3.解：解方程组，求出k,b。 4.写：写出解析式。 1.设解析式时忽略b：已知条件不足以判断是正比例函数时，必须设y=kx+b。 2.代入坐标时符号错误：如将点 (2, -3) 代入时，写成 −3=k⋅2+b 时漏掉负号。 一次函数与方程、不等式 1.与一元一次方程：解方程0kx+b=0 ⇔ 求函数y=kx+b 的图象与x轴交点的横坐标。 2.与一元一次不等式：解不等式kx+b>0 ⇔ 求函数图象在x轴上方时对应的x取值范围。 1.数形结合时看错范围：解kx+b>0 时，当k<0，不等号方向容易弄反。 2.混淆交点与解的关系：误以为函数与y轴交点的横坐标是方程kx+b=0 的解。 一次函数的实际应用 1.解题步骤：审题 → 建立函数模型（找等量关系） → 求解 → 验证并回答。 2.常见题型：行程问题、利润问题、方案选择问题、阶梯收费问题等。 1.忽略自变量取值范围：如时间t、物品数量x不能为负数，未在答案中体现。 2.读图、识图能力弱：无法从函数图象中准确提取关键信息（如起点、终点、交点、斜率的意义）。 一次函数与几何图形的综合 1.求几何图形中的点坐标。 2.求坐标系中图形的面积（常需分割或填补）。 1.分类讨论遗漏：例如，动点构成等腰三角形时，未分情况讨论哪两边相等。 2.面积计算错误：坐标与长度转化错误，或使用面积公式时出错。 题型一 常量变量 【例1】如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是（　　） A．金额、单价是变量，加油量是常量 B．金额、单价、加油量都是变量 C．加油量、单价是变量，金额是常量 D．金额、加油量是变量，单价是常量 【变式1-1】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间有如下关系（其中0≤x≤12）下列说法不正确的是（　　） x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5 A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为10cm C．在弹性范围内所挂物体质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm D．所挂物体质量为10kg时，弹簧长度为14.5cm 【变式1-2】球的体积是M，球的半径为R，则，其中变量和常量分别是（　　） A．变量是M，R；常量是 B．变量是R，π；常量是 C．变量是M，R；常量是3，4，π D．变量是M，R；常量是 【变式1-3】某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表： 数量（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价（元） 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 … 上表反映了　 　 个变量之间的关系，其中，自变量是　 　 ；因变量是　 　 ． 题型二 函数概念 【例2】下列图象不能表示y为x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】下列各式：①y＝2x+8；②|y|＝3x；③y＝2|x|；④y＝0.5x﹣2，其中y是x的函数的有　 　 ． 【变式2-2】如图，下列各曲线中表示y是x的函数的有 　 　 （填序号）． 【变式2-3】一石激起千层浪，一枚石头投入水中，会在水面上激起一圈圈圆形涟漪，如上如图所示（这些圆的圆心相同）． （1）在这个变化过程中，自变量是　 　 ，因变量是　 　 ． （2）如果圆的半径为r，面积为S，则S与r之间的关系式是　 　 ． （3）当圆的半径由1cm增加到5cm时，面积增加了　 　 cm2． 题型三 函数自变量取值范围 【例3】函数的定义域为 　 　 ． 【变式3-1】函数中，自变量x的取值范围是　 　 ． 【变式3-2】函数中的自变量x的取值范围是　 　 ． 【变式3-3】求下列函数中自变量x的取值范围． （1）y＝3x﹣1； （2）y； （3）y． 题型四 函数表示方法 【例4】表示函数的方法一般有　 　 、　 　 、　 　 ． 【变式4-1】草莓成熟的时节，草莓园给每位入园采摘草莓的顾客配一个篮子．每位顾客采摘草莓需付总金额y（元）与采摘草莓质量x（kg）的关系如下表：请根据上表中的数据写出需付总金额y（元）与采摘草莓质量x（kg）之间的关系式：　 　 ． 采摘草莓质量x（kg） 1 2 3 4 5 … 需付总金额y（元） 27 51 75 99 123 … 【变式4-2】某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．如表是小亮测得的一些数据： 购物车数量/辆 1 2 3 4 5 车身总长/m 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 根据上表回答下列问题： （1）随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加　 　 m． （2）若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式． 【变式4-3】糖果厂生产一批水果糖．把这些水果糖平均分装在若干个袋子里，每袋装的颗数和总袋数如表所示． 每袋装的颗数 10 12 15 20 24 … 总袋数 300 250 200 150 125 … （1）这批水果糖共有多少颗？ （2）总袋数是怎样随着每袋装的颗数的变化而变化的？ （3）用n表示总袋数，用m表示每袋装的颗数，用式子表示n与m的关系．n与m成什么比例关系？ 题型五 一次函数概念与正比例函数 【例5】已知函数y＝（m﹣1）1是一次函数，则m＝　 　 ． 【变式5-1】若是一次函数，则m＝ 　 　 ． 【变式5-2】当m为何值时，函数y＝﹣（m﹣2）（m﹣4）是一次函数． 【变式5-3】已知y关于x的函数解析式是y＝2x+m﹣4． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝5，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【变式5-4】已知y关于x的函数解析式为y＝3x﹣2m+1（m为常数）． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝5，求该函数图象与x轴的交点坐标． 题型六 待定系数法 【例6】已知y﹣3与x成正比例，当x＝2时，y＝7． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）计算x＝4时，y的值． 【变式6-1】已知y+6与x+1成正比例，当x＝3时，y＝2． （1）求出y与x的函数表达式； （2）若点（m，﹣2）在这个函数的图象上，求m的值． 【变式6-2】已知一个一次函数的图象经过点A（1，5）和B（﹣1，9）． （1）求这个函数的解析式； （2）若点（a，1）是该函数图象上的一点，求a的值． 【变式6-3】已知，一次函数经过（1，1）和（﹣1，﹣5）两点． （1）求此一次函数解析式； （2）求此一次函数与x轴、y轴的交点坐标及它的图象与坐标轴围成的三角形面积． 题型七 函数求值 【例7】已知函数y＝﹣3x+5，当x＝2时，其对应的函数值为　 　 ． 【变式7-1】函数y＝﹣2x+5，当x＝3时，函数值y＝　 　 ． 【变式7-2】已知变量y与x的关系式是y＝3x﹣1，则当x＝2时，y＝ 　 　 ． 【变式7-3】已知y＝（a﹣1）x+2a﹣4，当x＝﹣1时，y＝0． （1）求a的值； （2）当x＝1时，求y的值． 题型八 一次函数大小比较 【例8】若（﹣5，y1），（﹣3，y2）是直线y＝﹣2x+b上的两点，则y1　 　 y2．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【变式8-1】已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣4x+1图象上两点，若x1＜x2，则y1　 　 y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 【变式8-2】已知点A（a+1，y1）点B（a，y2）都在一次函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象上，则y1　 　 y2（选填“＞”“＜”或“＝”）． 【变式8-3】已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，则y1　 　 y2（填“＞”或“＜”）． 题型九 一次函数图像性质 【例9】关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第一、二、三象限 B．图象与x轴交于点（0，1） C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜0 【变式9-1】一条直线y＝kx+b，其中k+b＝﹣2025，kb＝2024，那么该直线经过（　　） A．第二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、三、四象限 【变式9-2】如果正比例函数y＝m的图象在二、四象限，那么m的值是 　 　 ． 【变式9-3】已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m﹣1，求满足下列条件的m的值： （1）函数值y随x的增大而增大； （2）函数的图象过第二、三、四象限． 题型十 一次函数与一次方程 【例10】如图，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象交于点P（﹣1，2），则关于x的方程ax+b＝mx+n的解是 　 　 ． 【变式10-1】一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝3的解为 　 　 ． 【变式10-2】如图，正比例函数y＝﹣x的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象相交于点P，则关于x的方程﹣x＝kx+b的解是 　 　 ． 【变式10-3】如图，已知直线y＝ax﹣b，则关于x的方程ax﹣b＝﹣1的解是　 　 ． 题型十一 一次函数与一次不等式 【例11】如图，已知直线y1＝2x+3与直线y2＝kx+b（k≠0）交于点（n，6），则关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为 　 　 ． 【变式11-1】如图，直线y＝kx+1经过点A（﹣1，3）．请写出关于x的不等式1＜kx+1＜3的解集为　 　 ． 【变式11-2】如图，已知直线与直线y2＝﹣2nx+n的交点的横坐标为，则不等式2nx+n的解集为　 　 ． 【变式11-3】一次函数y＝（2a﹣3）x+a+2的图象，在﹣2≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是　 　 ． 题型十二 一次函数与方程组程 【例12】已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组的解是 　 　 ． 【变式12-1】如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　 　 ． 【变式12-2】如图，直线y＝kx（k是常数，且k≠0）与直线相交于点P，已知点P的纵坐标为1，则关于x，y的方程组的解为 　 　 ． 【变式12-3】如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是　 　 ． 题型十三 一次函数应用 【例13】甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还需要走6分钟．其中正确的结论有 　 　 ．（填序号） 【变式13-1】慢车和快车沿相同的路线从A地到B地所行路程和时间的关系如图所示： （1）慢车行驶时间和路程成　 　 比例关系； （2）快车追上慢车所需时间是　 　 小时； （3）A、B两地之间的路程是　 　 千米． 【变式13-2】A，B两地相距100km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．如图l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系． （1）根据图象分别求l1和l2的函数关系式； （2）甲、乙二人相遇时距离A地多远？ 【变式13-3】某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程s（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图①所示，电池的剩余电量y（kW•h）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图②所示． （1）s与x的函数关系式为 　 　 ；（不要求写出自变量x的取值范围） （2）求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） （3）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的10%时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 题型十四 一次函数与几何 【例14】在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（0，3），点E是线段AB上的一点，以DE为腰在第二象限内作等腰直角△DEF，∠EDF＝90°．设点F的坐标为（a，b），连接FB并延长交x轴于点G，点G的坐标为 　 　 ． 【变式14-1】如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交矩形OACB于F与G，交x轴于D，交y轴于E． △OED的面积为 　 　 ； 【变式14-2】如图，直线l：y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，且与直线m相交于点M（1，2），已知直线m经过点C（﹣1，0），且与y轴交于点D． （1）求点A、B的坐标以及直线m的解析式； （2）若P为直线m上一动点，S△BDP＝2S△BDM，求点P的坐标； （3）点Q是直线AB上方第一象限内的动点，当△ABQ为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【变式14-3】如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且OA＝OB．直线AB过点P（1，3）， （1）求直线AB解析式； （2）连接OP，将线段OP沿x轴正方向平移到DC． ①若S△CDA，求满足条件的点C的坐标； ②在平移过程中，是否存在点C使得△ABC为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点P平移的距离．若不存在，请说明理由． 基础巩固通关测 1．若y与x成正比例函数关系，且当x＝﹣1时，y＝3，则y与x之间的函数解析式为（　　） A．y＝﹣3x B．y＝3x C． D． 2．下列图形中，表示一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx（k，b为常数，且kb≠0）的图象的是（　　） A． B． C． D． 3．设0＜k＜1，关于x的一次函数y＝kx（1﹣x），当1≤x≤2时，y的最大值是（　　） A．k B． C． D． 4．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先达到B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S km与乙车行驶时间h的函数关系图象，则下列说法正确的是（　　） A．乙车的速度为90km/h B．AB两地相距360km C．b＝150 D．dh 5．平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与y＝mx+n相交于点M（2，4），下列结论中正确的是（　　） ①关于x，y的方程组的解是； ②关于x的不等式kx+b＜mx+n的解集是x＞2； ③k+b＜0． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 6．函数y＝（m﹣2）x是正比例函数，则m的取值范围是　 　 ． 7．已知一次函数y＝﹣2x+1的图象经过A（1，y1），B（2，y2），则y1　 　 y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 8．点（a，b）在y＝3x﹣1的函数图象上，则代数式6a﹣2b+1＝　 　 ． 9．如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为 　 　 ． 10．已知一次函数y＝ax+8﹣2a（a为常数且a≠0）． （1）若该一次函数图象经过点（﹣1，2），则a＝　 　 ； （2）当﹣2≤x≤5时，函数y有最大值11，则a的值为 　 　 ． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），点B（0，1）． （1）求直线AB的解析式； （2）若点C在直线AB上，且点C到x轴的距离为2，求点C的坐标． 12．若y与2x+1成正比例，且当x＝﹣2时，y＝6． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（m，3）在该函数的图象上，求m的值． 13．某市住宅电话的资费标准为：通话前3分钟计费0.20元，以后每分钟（不足1分钟按1分钟计）加收0.10元． （1）设一次通话的时间为x（分钟），资费为y（元），当x＞3时，写出y与x之间的关系式． （2）某人一次通话的时间为10分钟，他这次通话的资费是多少元？ （3）某人一次通话的资费为1.50元，他这次的通话时间为多少分钟？ 14．一条笔直的公路上依次有A，B，C三地，甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间后继续行驶，两车同时到达C地．甲、乙两车之间的距离s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： （1）A，B两地间的距离为　 　 千米，乙车中途休息　 　 小时，甲车的速度为　 　 千米/时； （2）求图中线段DE所在直线的函数解析式； （3）直接写出两车出发多少小时，两车行驶的路程相差10千米． 15．为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某商场购进甲、乙两种装饰物对商场进行布置．已知每件甲种装饰物的价格比每件乙种装饰物的价格贵4元，用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同． （1）求该商场购进甲、乙两种装饰物的单价各是多少元； （2）当商场装饰完工后，发现还剩余甲种装饰物和乙种装饰物共400件，且购入成本不超过3000元．为了降低装饰成本，商场决定将甲种装饰物以每件13元，乙种装饰物以每件8元的价格对外出售．如果将剩余的这400件装饰物全都售完，剩余甲、乙装饰物的数量分别为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？ 能力提升进阶练 1．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，CB＝8．动点P以每秒1个单位从点A出发沿A﹣B运动；动点Q以每秒1个单位从点A出发沿A﹣C﹣B运动．若点P、Q同时出发，当其中一动点运动到点B时另一点停止运动，则△APQ的面积S与运动时间t之间的函数图形大致是（　　） A． B． C． D． 2．A、B两地相距2400米，甲、乙两人准备从A地出发去B地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达B地后，停止运动．甲乙之间的距离s（m）与甲运动时间t（min）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．乙每分钟比甲多走20m B．乙出发20min后两人相遇 C．乙到达B地时，甲距离B地还有300m D．相遇前，甲走4min或8min时两人相距240m 3．已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点均在直线y＝kx+b（k，b为常数，k＞0，b＜0）上，且x1＜x2＜x3，则下列判断正确的是（　　） A．若x1x3＜0，则y1y2＞0 B．若x1x2＞0，则y2y3＞0 C．若x2x3＜0，则y1y2＞0 D．若x2x3＜0，则y1y3＞0 4．如图放置的△OA1B，△A1B1A2，△A2B2A3，…，△AnBnAn+1，都是以A1，A2，A3，…，An为直角顶点的三角形，点A1，A2，A3，…，An都在直线上，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1，点B在y轴上，OB＝2，OB＝A1B1＝A2B2＝…＝AnBn，则点B2024的坐标是（　　） A．（1012，1012） B． C． D． 5．已知过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，设S＝a+2b，则S的取值范围为（　　） A．S＜6 B．﹣6＜S C．﹣6≤S D．3≤S≤6 6．若点A（x1，y1），B（x2，y2）均在一次函数y＝4x+b的图象上，如果x1＞x2，那么y1　 　 y2．（选填“＞”或“＜”） 7．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1…、正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点B2025的坐标是　 　 ． 8．已知一次函数y＝kx+b（k＜0），当0≤x≤2时，对应的函数y的取值范围是﹣2≤y≤4，b的值为　 　 ． 9．如图，直线y＝﹣2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，点D的横坐标为1，直线DE交x轴于点C，E（4，4）． （1）S△DBE＝ 　 　 ； （2）若在坐标平面内存在点F（不与D重合），使△COF≌△COD，则点F的坐标为 　 　 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，﹣1），直线与x轴、y轴分别交于点A、B，P是直线AB上的一个动点，以下结论正确的是：　 　 ． ①B点的坐标为（0，4）； ②； ③△ABC为等腰三角形； ④PC的最小值为3． 11．如图，直线l：y1x﹣1与y轴交于点A，与一次函数y2x+3的图象交于点B． （1）求点B的坐标； （2）列表并画出一次函数y2x+3的图象； （3）如果y1＞y2，写出x的取值范围． 12．河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg） 方式一：金卡会员 500 1600 方式二：银卡会员 200 1800 设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元． （1）请直接写出y1，y2关于x的函数解析式； （2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量； （3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k、b的值； （2）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 14．已知小华家、文具店、书店依次在同一条直线上，文具店、书店离小华家的距离分别为1km，1.6km．小华从家出发，先匀速骑行8min到达书店，在书店停留了12min，之后匀速骑行3min到达文具店，在文具店停留7min后，再匀速骑行5min返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）①填表： 小华离开家的时间/min 4 15 23 30 小华离家的距离/km 　 　 　 　 1 　 　 ②填空：小华从文具店返回家的速度为 　 　 km/min； ③当0≤x≤23时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅱ）若小华的哥哥与小华同时离开书店，小华的哥哥匀速步行直接返回家，他到家的时间比小华到家的时间晚1min．在从书店返回家的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为y1，小华的哥哥离家的距离为y2，当y1＞y2时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 15．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠25% 乙商场 每台优惠20% （1）设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别求出y1，y2与x之间的关系式． （2）什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？ （3）现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为w元，从甲商场购买a台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？ 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一次函数（复习讲义） 课标要求：从生活实例（如行程问题、收费问题）中抽象出一次函数的模型，理解其作为刻画现实世界线性关系的核心工具。通过图象与性质的学习，掌握数形结合思想，并运用它解决预测、决策等实际问题。 中考命题： 基础题 (占比约70%)：求函数解析式、判断图象所在象限、根据k,b值判断增减性。 中档题 (占比约20%)：一次函数与方程、不等式的综合，求面积，理解图象交点的实际意义。 压轴题 (占比约10%)：一次函数与几何图形（特别是动点问题）的综合，以及方案设计等复杂实际应用备考关键： ✅ 概念零混淆（一次项系数k≠0，区分k与b的功能）； ✅ 数形结合（由“式”想“图”，由“图”得“式”，图象是核心）； ✅ 应用重情境（从实际问题提炼函数关系，并验证解的实际意义） 层级 训练重点 典型例题 基础层 1. 根据点的位置写坐标，根据坐标描点。 2. 求点平移、轴对称后的坐标。 3. 计算简单规则图形（如矩形、三角形）的面积。 1. 已知点A(2, -3)，求它关于x轴对称的点A'的坐标，再将它向上平移4个单位，求点A''的坐标。 2. 已知A(-1, 0), B(3, 0), C(0, 2)，求△ABC的面积。 进阶层 1. 探索并建立坐标系，用坐标表示地理位置。 2. 求坐标系中不规则图形的面积（常用割补法）。 3. 根据点的坐标特征（如到坐标轴距离相等）求参数。 1. 如图，建立一个平面直角坐标系，使“中心广场”的坐标为(0, 0)，写出“图书馆”和“科技馆”的坐标。 2. 已知点P(2a-1, a+3)到x轴的距离是它到y轴距离的2倍，求点P的坐标。 拓展层 1. 坐标系中的动态问题与存在性问题。 2. 坐标系与函数、几何图形的综合应用。 1.(动态问题) 在平面直角坐标系中，点P从原点出发，每秒移动1个单位，沿x轴正方向运动。t秒后，是否存在t，使△OPA为等腰三角形？若存在，求出t值。 2. (存在性问题) 在平面直角坐标系中，已知A(1,1), B(4,2), C(2,4)，在坐标平面内是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标。 知识点 重点归纳 常见易错点 函数定义与表示 1.定义：一般形式y=kx+b (k,b 为常数，且k≠0)。 2.表示方法：解析法、列表法、图象法。 3.自变量取值范围：需考虑实际问题意义或分母不为零、偶次根式下非负等。 1.忽略k≠0：误认为y=kx+b一定是一次函数。 2.求取值范围时考虑不周：特别是实际应用问题，忘记考虑速度、长度等非负性。 图象与性质 1.图象：一条直线。 2.斜率k：决定直线的倾斜方向和程度。 k>0：y随x增大而增大（过一、三象限）。 k<0：y随x增大而减小（过二、四象限）。 3.截距b：决定直线与y轴的交点 (0, b)。 1.混淆k和b的作用：误以为k决定与y轴交点。 2.由图象判断k,b 符号时出错：尤其是直线经过多个象限时，判断失准。 图象的画法 两点法：由于两点确定一条直线，通常找与坐标轴的交点： - 与x轴交点：令y=0，解出x(−k/b​, 0)。 - 与y轴交点：令x=0，解出y(0,b)。 1.计算交点错误：解方程时计算失误。 2.所选点导致画图不便：如两点距离太近，导致画出的直线不准确。 3.直线画成线段或射线：忽略一次函数图象是直线，应向两端无限延伸。 待定系数法求解析式 步骤： 1.设：设函数解析式为y=kx+b。 2.代：将已知点的坐标代入解析式，得到方程组。 3.解：解方程组，求出k,b。 4.写：写出解析式。 1.设解析式时忽略b：已知条件不足以判断是正比例函数时，必须设y=kx+b。 2.代入坐标时符号错误：如将点 (2, -3) 代入时，写成 −3=k⋅2+b 时漏掉负号。 一次函数与方程、不等式 1.与一元一次方程：解方程0kx+b=0 ⇔ 求函数y=kx+b 的图象与x轴交点的横坐标。 2.与一元一次不等式：解不等式kx+b>0 ⇔ 求函数图象在x轴上方时对应的x取值范围。 1.数形结合时看错范围：解kx+b>0 时，当k<0，不等号方向容易弄反。 2.混淆交点与解的关系：误以为函数与y轴交点的横坐标是方程kx+b=0 的解。 一次函数的实际应用 1.解题步骤：审题 → 建立函数模型（找等量关系） → 求解 → 验证并回答。 2.常见题型：行程问题、利润问题、方案选择问题、阶梯收费问题等。 1.忽略自变量取值范围：如时间t、物品数量x不能为负数，未在答案中体现。 2.读图、识图能力弱：无法从函数图象中准确提取关键信息（如起点、终点、交点、斜率的意义）。 一次函数与几何图形的综合 1.求几何图形中的点坐标。 2.求坐标系中图形的面积（常需分割或填补）。 1.分类讨论遗漏：例如，动点构成等腰三角形时，未分情况讨论哪两边相等。 2.面积计算错误：坐标与长度转化错误，或使用面积公式时出错。 题型一 图形轴对称 【例1】如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是（　　） A．金额、单价是变量，加油量是常量 B．金额、单价、加油量都是变量 C．加油量、单价是变量，金额是常量 D．金额、加油量是变量，单价是常量 【考点】常量与变量 【分析】根据常量与变量的定义判断即可． 【解答】解：在金额、加油量、单价三个量中，金额、加油量是变量，单价是常量． 故选：D． 【点评】本题考查常量与变量，掌握常量与变量的定义是解题的关键． 【变式1-1】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间有如下关系（其中0≤x≤12）下列说法不正确的是（　　） x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5 A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为10cm C．在弹性范围内所挂物体质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm D．所挂物体质量为10kg时，弹簧长度为14.5cm 【考点】常量与变量 【分析】A．根据变量、自变量、因变量的定义判断即可； BC．观察表格即可； D．根据变量的变化规律写出y与x的函数关系式，当x＝10时，求出对应y的值即可． 【解答】解：x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量， ∴A正确，不符合题意； 当x＝0时，y＝10， ∴弹簧不挂重物时的长度为10cm， ∴B正确，不符合题意； 在弹性范围内所挂物体质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm， ∴C正确，不符合题意； y与x之间的函数关系式为y＝0.5x+10， 当x＝10时，y＝0.5×10+10＝15， ∴所挂物体质量为10kg时，弹簧长度为15cm， ∴D不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查常量与变量，掌握变量、自变量、因变量的定义，根据变量的变化规律写出y与x的函数关系式是解题的关键． 【变式1-2】球的体积是M，球的半径为R，则，其中变量和常量分别是（　　） A．变量是M，R；常量是 B．变量是R，π；常量是 C．变量是M，R；常量是3，4，π D．变量是M，R；常量是 【考点】常量与变量；认识立体图形 【分析】根据变量和常量的定义，变量是数值会发生变化的量，而常量是固定不变的数值．在公式中，分析各量的性质即可确定答案． 【解答】解：根据变量和常量定义可知： 在球的体积公式中，球的体积M和半径R会随具体球的不同而变化，因此它们是变量．而和π是固定不变的数值，属于常量． 故选：A． 【点评】此题考查了变量和常量，熟练掌握该知识点是关键． 【变式1-3】某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表： 数量（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价（元） 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 … 上表反映了　两　 个变量之间的关系，其中，自变量是　香蕉数量　 ；因变量是　售价　 ． 【考点】常量与变量 【分析】首先根据表格，可得上表反映了两个变量（香蕉数量和售价）之间的关系；然后根据自变量、因变量的含义，判断出自变量、因变量各是哪个即可． 【解答】解：∵香蕉的售价随着香蕉数量的变化而变化， ∴上表反映了两个变量之间的关系，其中，自变量是香蕉数量；因变量是售价． 故答案为：两、香蕉数量、售价． 【点评】此题主要考查了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则x叫自变量，y叫因变量． 题型二 函数概念 【例2】下列图象不能表示y为x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【考点】函数的概念 【分析】根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，其中x是自变量”逐项判断即可． 【解答】解：由函数的定义可知，ABD的图象能表示y为x的函数，C的图象不能表示y为x的函数， ∴ABD不符合题意，C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 【变式2-1】下列各式：①y＝2x+8；②|y|＝3x；③y＝2|x|；④y＝0.5x﹣2，其中y是x的函数的有　①③④　 ． 【考点】函数的概念 【分析】根据函数的定义，一个变化的过程中，有两个变量x，y，其中y随着x的变化而变化，且对于每一个确定的x的值都有唯一确定的y值与之对应，我们就称y是x的函数，进行判断即可． 【解答】解：由题意，y是x的函数的有y＝2x+8，y＝2|x|，y＝0.5x﹣2共3个． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查函数的判断，熟练掌握该知识点是关键． 【变式2-2】如图，下列各曲线中表示y是x的函数的有 　（1）　 （填序号）． 【考点】函数的概念 【分析】根据函数的定义解答即可． 【解答】解：（1）、能表示y是x的函数，故此选项符合题意； （2）、不能表示y是x的函数，故此选项不符合题意． 故答案为：（1）． 【点评】此题主要考查了函数概念，掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量是关键． 【变式2-3】一石激起千层浪，一枚石头投入水中，会在水面上激起一圈圈圆形涟漪，如上如图所示（这些圆的圆心相同）． （1）在这个变化过程中，自变量是　圆的半径　 ，因变量是　圆的面积（或周长）　 ． （2）如果圆的半径为r，面积为S，则S与r之间的关系式是　s＝πr2　 ． （3）当圆的半径由1cm增加到5cm时，面积增加了　24π　 cm2． 【考点】函数的概念 【分析】根据函数的定义：函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应来解答． 【解答】解：（1）自变量是圆的半径，因变量是圆的面积（或周长）； 故答案为：圆的半径；圆的面积（或周长）； （2）根据圆的面积公式，如果圆的半径为r，面积为S， 则S与r之间的关系式是s＝πr2； 故答案为：s＝πr2； （3）当圆的半径由1cm增加到5cm时，面积增加了24πcm2． 故答案为：24π． 【点评】函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y＝f（x）； 变量：在一程序变化过程中随时可以变化的量． 常量：在一程序变化过程中此量的数值始终是不变的． 因变量：在一程序变化过程中随自变量变化的量． 题型三 函数自变量取值范围 【例3】函数的定义域为 　　 ． 【考点】函数自变量的取值范围 【分析】根据二次根式有意义的条件计算即可得解． 【解答】解：由题意可得3x﹣2≥0， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了求函数的定义域、二次根式有意义的条件， 【变式3-1】函数中，自变量x的取值范围是　x≥﹣5且x≠﹣3　 ． 【考点】函数自变量的取值范围 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：根据二次根式的性质和分式的意义可得： x+5≥0且x﹣3≠0， 解得：x≥﹣5 且 x≠﹣3． 故答案为：x≥﹣5 且 x≠﹣3． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数． 【变式3-2】函数中的自变量x的取值范围是　x＞2　 ． 【考点】函数自变量的取值范围 【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列出不等式求解即可． 【解答】解：由条件可知x﹣2＞0，解得：x＞2， 故答案为：x＞2． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求自变量的取值范围，解题关键是根据函数有意义列出不等式． 【变式3-3】求下列函数中自变量x的取值范围． （1）y＝3x﹣1； （2）y； （3）y． 【考点】函数自变量的取值范围 【分析】（1）根据对任意的实数，整数都有意义即可求解； （2）根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围； （3）根据0的0次幂无意义即可求解． 【解答】解：（1）x是任意实数； （2）根据题意得：， 解得：x≥2且x≠3； （3）根据题意得：x﹣1≠0， 解得：x≠1． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围：函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 题型四 函数的表示方法 【例4】表示函数的方法一般有　列表法　 、　解析式　 、　图象法　 ． 【考点】函数的表示方法 【分析】根据函数的定义，可得答案． 【解答】解：表示函数的方法一般有列表法、关系式法、图象法． 可得答案：列表法、关系式法、图象法． 【点评】本题考查了函数的表示方法，设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y＝f（x）． 【变式4-1】草莓成熟的时节，草莓园给每位入园采摘草莓的顾客配一个篮子．每位顾客采摘草莓需付总金额y（元）与采摘草莓质量x（kg）的关系如下表：请根据上表中的数据写出需付总金额y（元）与采摘草莓质量x（kg）之间的关系式：　y＝24x+3　 ． 采摘草莓质量x（kg） 1 2 3 4 5 … 需付总金额y（元） 27 51 75 99 123 … 【考点】函数的表示方法；函数关系式 【分析】设函数解析式为y＝kx+b（k≠0），然后把表的值数值代入，解出k，b即可． 【解答】解：设y＝kx+b（k≠0）由表格数据可知： ， 解得， ∴y＝24x+3， 故答案为：y＝24x+3． 【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是根据图表获取信息． 【变式4-2】某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．如表是小亮测得的一些数据： 购物车数量/辆 1 2 3 4 5 车身总长/m 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 根据上表回答下列问题： （1）随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加　0.2　 m． （2）若某商场采购了x辆购物车，求整齐叠放时车身总长y与购物车辆数x的表达式． 【考点】函数的表示方法；函数关系式 【分析】（1）直接观察表格，即可求解； （2）根据（1）中的结论求解即可． 【解答】解：（1）观察表格可得：购物车数量每增加1辆，车身总长增加0.2m． 故答案为：0.2； （2）y＝1+0.2（x﹣1）＝0.2x+0.8， ∴车身总长y与购物车辆数x的表达式为y＝0.2x+0.8． 【点评】本题主要考查了列出函数关系式，正确分析表格数据是解题的关键． 【变式4-3】糖果厂生产一批水果糖．把这些水果糖平均分装在若干个袋子里，每袋装的颗数和总袋数如表所示． 每袋装的颗数 10 12 15 20 24 … 总袋数 300 250 200 150 125 … （1）这批水果糖共有多少颗？ （2）总袋数是怎样随着每袋装的颗数的变化而变化的？ （3）用n表示总袋数，用m表示每袋装的颗数，用式子表示n与m的关系．n与m成什么比例关系？ 【考点】函数的表示方法 【分析】（1）用每袋装的颗数乘总袋数即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到总袋数是怎样随着每袋装的颗数而变化的； （3）根据每袋装的颗数乘总袋数，用式子表示n与m的关系；再根据反比例的定义分析n与m成什么比例关系． 【解答】解：（1）用每袋装的颗数乘总袋数可得：这批水果糖共有10×300＝3000颗； （2）总袋数随着每袋的颗数的增多而减少，且每袋的颗数和总袋数的乘积一定； （3）∵mn＝3000， ∴n与m成反比例． 【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是找到题中的数量关系进行解答． 题型五 一次函数概念 【例5】已知函数y＝（m﹣1）1是一次函数，则m＝　﹣1　 ． 【考点】一次函数的定义 【分析】根据一次函数的定义，令m2＝1，m﹣1≠0即可解答． 【解答】若两个变量x和y间的关系式可以表示成y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式， 则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）． 因而有m2＝1， 解得：m＝±1， 又m﹣1≠0， ∴m＝﹣1． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 【变式5-1】若是一次函数，则m＝ 　﹣1　 ． 【考点】一次函数的定义 【分析】由一次函数的定义求解可得． 【解答】解：∵y＝（m﹣1）（m+1）是一次函数， ∴m2＝1且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，准确分析判断是解题的关键． 【变式5-2】当m为何值时，函数y＝﹣（m﹣2）（m﹣4）是一次函数． 【考点】一次函数的定义 【分析】根据一次函数的定义，自变量的次数为1列方程求出m的值，再根据比例系数k≠0求解得到m≠2，从而得解． 【解答】解：由题意得，m2﹣3＝1且m﹣2≠0， 解得m＝±2且m≠2， 所以，m＝﹣2． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 【变式5-3】已知y关于x的函数解析式是y＝2x+m﹣4． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝5，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【考点】正比例函数的定义 【分析】（1）根据正比例函数的定义可知m﹣4＝0，求出解即可； （2）先求出函数的解析式，令y＝0可得答案． 【解答】解：（1）由条件可知y是x的正比例函数， ∴m﹣4＝0， 解得m＝4； （2）当m＝5时，函数的解析式为y＝2x+1． 令y＝0，得2x+1＝0，解得x＝﹣0.5， ∴当m＝5时，该函数图象与x轴的交点坐标为（﹣0.5，0）． 【点评】本题主要考查了求正比例函数关系式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式5-4】已知y关于x的函数解析式为y＝3x﹣2m+1（m为常数）． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝5，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【考点】正比例函数的定义 【分析】（1）由y是x的正比例函数，可得﹣2m+1＝0，再进一步求解即可； （2）由m＝5，可得y＝3x﹣9．令y＝0，即3x﹣9＝0，从而可得答案． 【解答】解：（1）由条件可知﹣2m+1＝0， 解得． （2）∵m＝5，则y＝3x﹣9． 令3x﹣9＝0， 解得x＝3， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为（3，0）． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 题型六 待定系数法 【例6】已知y﹣3与x成正比例，当x＝2时，y＝7． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）计算x＝4时，y的值． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质 【分析】（1）因为y﹣3与x成正比例，所以可设y﹣3＝kx，又因x＝2时，y＝7，所以7﹣3＝2k，即k＝2，从而可求出y与x之间的函数关系式； （2）利用（1）中求得的函数关系式，求出x＝4时，y的值即可． 【解答】解：（1）∵y﹣3与x成正比例， ∴设y﹣3＝kx， 又∵x＝2时，y＝7， ∴7﹣3＝2k，即k＝2． ∴y﹣3＝2x， 即y＝2x+3． 故y与x之间的函数关系式y＝2x+3． （2）当x＝4时，y＝2×4+3＝11． 故y的值为11． 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握y﹣3与x成正比例，即设为y﹣3＝kx． 【变式6-1】已知y+6与x+1成正比例，当x＝3时，y＝2． （1）求出y与x的函数表达式； （2）若点（m，﹣2）在这个函数的图象上，求m的值． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质 【分析】（1）设y+6＝k（x+1），然后把x＝3，y＝2代入求解即可； （2）把点（m，﹣2）代入表达式y＝3x﹣3即可求出m的值． 【解答】解：（1）设y+6＝k（x+1）， 将x＝3，y＝2代入， 得8＝k（3+1），解得k＝2， ∴y+6＝2（x+1） ∴y与x之间的函数表达式为y＝2x﹣4； （2）将点（m，﹣2）代入表达式﹣2＝2m﹣4， 解得：m＝1． 【点评】本题主要考查了待定系数法的应用，掌握待定系数法的应用步骤是解题的关键． 【变式6-2】已知一个一次函数的图象经过点A（1，5）和B（﹣1，9）． （1）求这个函数的解析式； （2）若点（a，1）是该函数图象上的一点，求a的值． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）设该函数的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）把（a，1）代入函数解析式求解即可． 【解答】解：（1）设该函数的解析式为y＝kx+b，由条件可得： ， 解得，k＝﹣2，b＝7， 所以，这个函数的解析式为y＝﹣2x+7． （2）把（a，1）代入y＝﹣2x+7得﹣2a+7＝1， 解得，a＝3． 【点评】题目主要考查利用待定系数法确定函数解析式，求函数值等，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 【变式6-3】已知，一次函数经过（1，1）和（﹣1，﹣5）两点． （1）求此一次函数解析式； （2）求此一次函数与x轴、y轴的交点坐标及它的图象与坐标轴围成的三角形面积． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）先设一次函数表达式，再根据交点坐标代入计算即可得到函数解析式． （2）利用函数与x轴，y轴的交点坐标结合三角形面积公式即可得到结果． 【解答】（1）设一次函数的表达式为：y＝kx+b ∵图象经过点（1，1），（﹣1，﹣5）， 则， 解得 ∴y＝3x﹣2； （2）由（1）知y＝3x﹣2， 当y＝0时，当x＝0时y＝﹣2， ∴一次函数与坐标轴的交点为， ∴围成的三角形面积． 【点评】此题涉及的知识点是一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 题型七 函数求值 【例7】已知函数y＝﹣3x+5，当x＝2时，其对应的函数值为　﹣1　 ． 【考点】函数值 【分析】代入x＝2，求出y值即可，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 【解答】解：由条件可知y＝﹣3×2+5＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 【变式7-1】函数y＝﹣2x+5，当x＝3时，函数值y＝　﹣1　 ． 【考点】函数值 【分析】把自变量的值代入函数解析式即可得到答案． 【解答】解：函数y＝﹣2x+5， 当x＝3时，函数值y＝﹣2×3+5＝﹣1． 【点评】此题考查了函数值，代入求值是关键． 【变式7-2】已知变量y与x的关系式是y＝3x﹣1，则当x＝2时，y＝ 　5　 ． 【考点】函数值；函数关系式 【分析】将x＝2代入解析式求出函数值即可． 【解答】解：将x＝2代入解析式得：y＝3×2﹣1＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了函数值的知识，关键搞清当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值． 【变式7-3】已知y＝（a﹣1）x+2a﹣4，当x＝﹣1时，y＝0． （1）求a的值； （2）当x＝1时，求y的值． 【考点】函数值 【分析】（1）根据点的坐标满足函数解析式，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【解答】解：（1）由y＝（a﹣1）x+2a﹣4，当x＝﹣1时，y＝0，得 ﹣（a﹣1）+2a﹣4＝0， 解得a＝3； （2）函数解析式为y＝2x+2， 当x＝1时，y＝2+2＝4． 【点评】本题考查了函数值，利用待定系数法是解函数解析式的关键，又利用了自变量与函数值的对应关系． 题型八 一次函数大小比较 【例8】若（﹣5，y1），（﹣3，y2）是直线y＝﹣2x+b上的两点，则y1　＞　 y2．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据一次函数的性质，即可解答． 【解答】解：由条件可知：k＝﹣2＜0，直线y＝﹣2x+b上的点，y随x的增大而减小， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了一次函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小，熟知上述性质是解题的关键． 【变式8-1】已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝﹣4x+1图象上两点，若x1＜x2，则y1　＞　 y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据所给一次函数解析式，结合一次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：因为一次函数解析式为y＝﹣4x+1， 所以y随x的增大而减小． 因为P1（x1，y1），P2（x2，y2）在此一次函数图象上，且x1＜x2， 所以y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式8-2】已知点A（a+1，y1）点B（a，y2）都在一次函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象上，则y1　＜　 y2（选填“＞”“＜”或“＝”）． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：∵k＝﹣2＜0， ∴一次函数y＝﹣2x+b随x的增大而减小， ∵点A（a+1，y1）点B（a，y2）都在一次函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象上，且a+1＞a， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了一次函数的增减性，在直线y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 【变式8-3】已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，则y1　＞　 y2（填“＞”或“＜”）． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据一次函数的性质，可知当k＜0时，y随x增大而减小，由此即可得答案． 【解答】解：由条件可知y随x增大而减小， ∵点A（m，y1），B（m+1，y2）都在一次函数的图象上， m＜m+1， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了一次函数值的比较大小，熟知一次函数的增减性是解题的关键． 题型九 一次函数图像性质 【例9】关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第一、二、三象限 B．图象与x轴交于点（0，1） C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜0 【考点】一次函数的性质 【分析】根据解析式y＝x+1逐一判断选项，即可解答． 【解答】解：由题意可得k＝1＞0，b＝1＞0， ∴图象经过第一、二、三象限，故A正确； 函数值y随自变量x的增大而增大，故C错误； 当y＝0，可得0＝x+1，解得x＝﹣1， ∴图象与x轴交于点（﹣1，0），故B错误； ∵函数值y随自变量x的增大而增大， ∴当x＞﹣1时，y＞0，故D错误， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数性质是关键． 【变式9-1】一条直线y＝kx+b，其中k+b＝﹣2025，kb＝2024，那么该直线经过（　　） A．第二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、三、四象限 【考点】一次函数的性质 【分析】根据k，b的关系可得k＜0，b＜0，再由一次函数图象位置与系数的关系即可求解． 【解答】解：∵k+b＝﹣2022，kb＝2021， ∴k＜0，b＜0， ∴直线y＝kx+b经过二、三、四象限， 故选：D． 【点评】本题考查一次函数图象位置与系数的关系，解题的关键是根据题干中k，b的关系得出k，b的范围． 【变式9-2】如果正比例函数y＝m的图象在二、四象限，那么m的值是 　﹣2　 ． 【考点】正比例函数的图象；正比例函数的定义 【分析】首先根据正比例函数的定义可得m2﹣3＝1，且m≠0，解出m的值，再根据图象经过第二、四象限，可得m＜0，进而确定m． 【解答】解：由题意得：m2﹣3＝1，且m≠0， 解得：m＝±2． ∵图象经过第二、四象限， ∴m＜0， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握正比例函数的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 【变式9-3】已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m﹣1，求满足下列条件的m的值： （1）函数值y随x的增大而增大； （2）函数的图象过第二、三、四象限． 【考点】一次函数的性质 【分析】（1）当y随x的增大而减小时，1﹣2m＞0，解得即可得出结论； （2）函数的图象过第二、三、四象限时，，解得即可得出结论． 【解答】解：（1）根据函数增减性可知1﹣2m＞0， 解得：， ∴当时，函数值y随x的增大而增大； （2）由条件可知， 解得：， ∴当时，函数的图象过二、三、四象限． 【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质．熟练掌握以上知识点是关键． 题型十 一次函数与一次方程 【例10】如图，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象交于点P（﹣1，2），则关于x的方程ax+b＝mx+n的解是 　x＝﹣1　 ． 【考点】一次函数与一元一次方程 【分析】两个函数交点坐标的横坐标就是关于x的一元一次方程ax+b＝mx+n的解，据此解答即可． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b与y＝mx+n的图象交于点P（﹣1，2）， ∴关于x的方程ax+b＝mx+n的解是：x＝﹣1． 故答案为：x＝﹣1． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握两个函数交点坐标的横坐标就是一元一次方程的解是关键． 【变式10-1】一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝3的解为 　x＝2　 ． 【考点】一次函数与一元一次方程 【分析】首先利用待定系数法把（2，3）（0，1）代入y＝kx+b，可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，求出一次函数解析式，再求出方程kx+b＝0的解即可． 【解答】解：∵y＝kx+b经过（2，3）（0，1）， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为y＝x+1， x+1＝3， 解得：x＝2， 故答案为：x＝2． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用待定系数法求出一次函数解析式． 【变式10-2】如图，正比例函数y＝﹣x的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象相交于点P，则关于x的方程﹣x＝kx+b的解是 　x＝﹣1　 ． 【考点】一次函数与一元一次方程；一次函数的性质 【分析】利用正比例函数求得P点坐标，然后确定方程的解． 【解答】解：设P点坐标为（x，1）， 将（x，1）代入y＝﹣x中， ∴﹣x＝1， ∴x＝﹣1， 即P点坐标为（﹣1，1）， ∴关于x的方程﹣x＝kx+b的解是x＝﹣1， 故答案为：x＝﹣1． 【点评】本题考查了一次函数的性质．一次函数与一元一次方程，利用数形结合的思想是解题的关键． 【变式10-3】如图，已知直线y＝ax﹣b，则关于x的方程ax﹣b＝﹣1的解是　x＝0　 ． 【考点】一次函数与一元一次方程；一次函数的性质 【分析】根据函数图象可知当x＝0时，y＝﹣1，即ax﹣b＝﹣1时对应的x的值是0，从而可以解答本题． 【解答】解：由函数图象可知， 当x＝0时，y＝﹣1， ∴关于x的方程ax﹣b＝﹣1的解是x＝0， 故答案为：x＝0． 【点评】本题考查一次函数与一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型十一 一次函数与一次不等式 【例11】如图，已知直线y1＝2x+3与直线y2＝kx+b（k≠0）交于点（n，6），则关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为 　x　 ． 【考点】一次函数与一元一次不等式 【分析】先求出交点的坐标，再利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：将点（n，6）代入y＝2x+3得， n， 由函数图象可知， 当x时，一次函数y1＝2x+3的图象不在一次函数y2＝kx+b图象的上方，即kx+b≥2x+3， 所以关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为：x． 故答案为：x． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 【变式11-1】如图，直线y＝kx+1经过点A（﹣1，3）．请写出关于x的不等式1＜kx+1＜3的解集为　﹣1＜x＜0　 ． 【考点】一次函数与一元一次不等式 【分析】先求出x＝0时对应的y值，结合图象可得答案． 【解答】解：当x＝0时，y＝kx+1＝1， ∴直线y＝kx+1与x轴的交点为（1，0）， 观察图象，当﹣1＜x＜0时，1＜kx+1＜3， 故答案为：﹣1＜x＜0． 【点评】本题主要考查了一次函数与不等式，关键是能根据函数图象得到正确信息．从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【变式11-2】如图，已知直线与直线y2＝﹣2nx+n的交点的横坐标为，则不等式2nx+n的解集为　x　 ． 【考点】一次函数与一元一次不等式 【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：由所给函数图象可知， 当x时，直线在直线y2＝﹣2nx+n的上方，即2nx+n， 所以不等式2nx+n的解集为x． 故答案为：x． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 【变式11-3】一次函数y＝（2a﹣3）x+a+2的图象，在﹣2≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是　a或a．　 ． 【考点】一次函数与一元一次不等式 【分析】根据一次函数y＝（2a﹣3）x+a+2的图象在﹣2≤x≤1的一段都在x轴的上方，由一次函数的性质，则有2a﹣3≠0，再分2a﹣3＞0和2a﹣3＜0来讨论，解得即可． 【解答】解：因为y＝（2a﹣3）x+a+2是一次函数， 所以2a﹣3≠0，a， 当2a﹣3＞0时，y随x的增大而增大，由x＝﹣2得：y＝﹣4a+6+a+2， 根据函数的图象在x轴的上方，则有﹣4a+6+a+2＞0， 解得：a． 当2a﹣3＜0时，y随x的增大而减小，由x＝1得：y＝2a﹣3+a+2，根据函数的图象在x轴的上方， 则有：2a﹣3+a+2＞0，解得：a． 故答案为：a或a． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，转化为解不等式的问题是解决本题的关键． 题型十二 一次函数与方程组程 【例12】已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可知，关于x，y的二元一次方程组的解是 　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组） 【分析】根据两图象的交点坐标，即可求出两函数的解析式组成的方程组的解． 【解答】解：根据图象可知：函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点P的坐标是（﹣3，﹣2）， ∴方程组的解是． 故答案为：． 【点评】本题考查了对一次函数和二元一次方程组的关系的理解和运用，能理解一次函数与二元一次方程组的关系是解此题的关键，图形较好，难度不大． 【变式12-1】如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组） 【分析】首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【解答】解：∵直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1， ∴纵坐标为y＝﹣1+3＝2， ∴两直线交点坐标（1，2）， ∴x，y的方程组的解为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 【变式12-2】如图，直线y＝kx（k是常数，且k≠0）与直线相交于点P，已知点P的纵坐标为1，则关于x，y的方程组的解为 　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组） 【分析】根据两条直线的交点的横纵坐标即为由两条直线的解析式组成的方程组的解，进行求解即可． 【解答】解：由条件可知P（﹣3，1）， ∴直线y＝kx（k是常数，且k≠0）与直线的交点坐标为：P（﹣3，1）； ∴关于x，y的方程组，即的解为：， 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是关键． 【变式12-3】如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组） 【分析】先利用直线y＝x+2确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到答案． 【解答】解：把P（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4， 解得m＝2，即P点坐标为（2，4）， 所以方程组的解是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 题型十三 一次函数应用 【例13】甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了30分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还需要走6分钟．其中正确的结论有 　①②④　 ．（填序号） 【考点】一次函数的应用 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：甲步行速度（米/分），故①正确，符合题意； 设乙速度为：x米/分， 由题意得：16×60＝（16﹣4）x， 解得：x＝80， ∴乙的速度为80米/分， ∴乙走完全程的时间（分），故②正确，符合题意； 由图可知，乙追上甲的时间为：16﹣4＝12（分），故③错误，不符合题意； 乙到达终点时，甲离终点的距离是：2400﹣（4+30）×60＝360（米），甲离终点还需要走：360÷60＝6（分钟），故④正确，符合题意； 故答案为：①②④． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题所需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【变式13-1】慢车和快车沿相同的路线从A地到B地所行路程和时间的关系如图所示： （1）慢车行驶时间和路程成　正　 比例关系； （2）快车追上慢车所需时间是　4　 小时； （3）A、B两地之间的路程是　750　 千米． 【考点】一次函数的应用 【分析】（1）根据正比例的概念判断即可； （2）根据图示得出快车追上慢车所需时间即可； （3）根据路程＝时间×速度，代入数值解答即可． 【解答】解：（1）∵100÷2＝50（千米/小时），300÷6＝50（千米/小时）， ∴速度一定， 即慢车行驶时间和路程成正比例关系； 故答案为：正； （2）由图示可知，快车追上慢车所需时间是（6﹣2）＝4小时， 故答案为：4； （3）由（1）可知，慢车的速度为50千米/小时，时间为15小时， ∴A、B两地之间的路程＝15×50＝750（千米）， 故答案为：750． 【点评】此题考查一次函数的应用，关键是根据一次函数的图象得出信息解答． 【变式13-2】A，B两地相距100km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．如图l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系． （1）根据图象分别求l1和l2的函数关系式； （2）甲、乙二人相遇时距离A地多远？ 【考点】一次函数的应用 【分析】（1）设l1的函数关系式为s＝kt+b，将（1，0），（5，100）代入得到方程组求解即可；设l2的函数关系式为s＝k1t，将（5，60）代入得到方程求解即可； （2）联立，解方程组即可解决问题． 【解答】解：（1）设l1的函数关系式为s＝kt+b， 把（1，0），（5，100）代入得， 解得：， ∴l1的函数关系式为s＝25t﹣25； 设l2的函数关系式为s＝k1t， 把（5，60）代入得：60＝5k1， 解得：k1＝12， ∴l2的函数关系式为s＝12t； （2）由题意得， 解得：， 答：甲、乙两人相遇时，距离A地． 【点评】本题考查一次函数的应用、行程问题的应用题，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 【变式13-3】某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，这辆新能源汽车行驶路程s（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图①所示，电池的剩余电量y（kW•h）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图②所示． （1）s与x的函数关系式为 　s＝80x　 ；（不要求写出自变量x的取值范围） （2）求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量x的取值范围） （3）当这款新能源汽车剩余电量为总电量的10%时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 【考点】一次函数的应用 【分析】（1）根据速度＝路程÷时间和路程＝速度×时间计算即可； （2）根据功率＝电量÷时间和剩余电量＝最初电量﹣功率×行驶时间计算即可； （3）求出剩余电量为总电量的10%时对应x的值，从而求出对应s的值即可． 【解答】解：（1）该新能源汽车的行驶速度为（160﹣80）÷（2﹣1）＝80（km/h）， ∴s与x的函数关系式为s＝80x． 故答案为：s＝80x． （2）该新能源汽车的功率为（80﹣65）÷1＝15（kW）， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣15x+80． （3）当y＝80×10%＝8时，即﹣15x+80＝8， 解得x＝4.8， 当x＝4.8时，s＝80×4.8＝384． 答：这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为384km． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 题型十四 一次函数与几何 【例14】在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（0，3），点E是线段AB上的一点，以DE为腰在第二象限内作等腰直角△DEF，∠EDF＝90°．设点F的坐标为（a，b），连接FB并延长交x轴于点G，点G的坐标为 　（2，0）　 ． 【考点】一次函数综合题 【分析】先令y＝0求出x的值，再令x＝0求出y的值，即可得出A、B两点的坐标，过F作FM⊥y轴于M，根据AAS定理得出△DFM≌△EDN．故EN＝DM，DN＝FM，从而得出a、b的关系式，再根据点F在直线y＝x+2可得出结论． 【解答】解：当y＝0时，x＝﹣2，则A的坐标（﹣2，0）， 当x＝0时，y＝2，则B的坐标（{0，2），A（﹣2，0），B（0，2）， 过F作FM⊥y轴于M，过E作EN⊥y轴于N，如图， ∵∠FDM+∠EDN＝90°，∠FDM+∠DFM＝90°， ∴∠DFM＝∠EDN， 在△DFM与△EDN中， ， ∴△FMD≌△DNE（AAS）， ∵F（a，b）， ∴EN＝DM＝b﹣3，DN＝FM＝﹣a， ∴ON＝OD﹣DN＝3﹣（﹣a）＝3+a， ∴E（﹣b+3，3+a）， 又∵E在y＝x+2上， ∴3+a＝﹣b+3+2， ∴a+b＝2， ∴F（a，2﹣a），B（0，2）， 设BF解析式为y＝kx+b， 把F（a，2﹣a），B（0，2）代入y＝kx+2得： ， 解得：， ∴y＝﹣x+2， 当y＝0时，x＝2； ∴G（2，0）， 故答案为：（2，0）． 【点评】本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、等腰直角三角形的性质、全等三角的判定与性质等知识是解答此题的关键． 【变式14-1】如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交矩形OACB于F与G，交x轴于D，交y轴于E． △OED的面积为 　8　 ； 【考点】一次函数综合题 【分析】根据一次函数解析式求得OD＝OE＝4，即可得到结论； 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点D，点E， ∴D（4，0），E（0，4）， ∴OD＝OE＝4， ∴△ODE的面积OD•OE4×4＝8； 故答案为：8； 【点评】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线构建等腰直角三角形，求得DFb，GEa是解题的关键． 【变式14-2】如图，直线l：y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，且与直线m相交于点M（1，2），已知直线m经过点C（﹣1，0），且与y轴交于点D． （1）求点A、B的坐标以及直线m的解析式； （2）若P为直线m上一动点，S△BDP＝2S△BDM，求点P的坐标； （3）点Q是直线AB上方第一象限内的动点，当△ABQ为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【考点】一次函数综合题 【分析】（1）由直线l：y＝﹣2x+4得，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2，则有点A（2，0）、B（0，4），设直线m的解析式为y＝kx+b，然后把M（1，2），C（﹣1，0）代入即可求解； （2）由直线m的解析式为y＝x+1得，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣1，则点C（﹣1，0），D（0，1），则BD＝3，求出S△BDP＝2S△BDM＝3，设P（a，a+1），，求出a的值即可； （3）①当∠ABQ1＝90°，AB＝BQ1时，②当∠BAQ2＝90°，AB＝AQ2时，③当∠BQ3A＝90°，BQ3＝AQ3时三种情况分析，再根据全等三角形的判定与性质即可求解． 【解答】解：（1）由直线l：y＝﹣2x+4得，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2， ∴点A（2，0）、B（0，4）， 设直线m的解析式为y＝kx+b， 把M（1，2），C（﹣1，0）代入得， ，解得：， ∴直线m的解析式为y＝x+1； （2）由直线m的解析式为y＝x+1得，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣1， ∴点C（﹣1，0），D（0，1）， ∴BD＝3， ∴， ∴S△BDP＝2S△BDM＝3， ∵P为直线m上一动点， ∴设P（a，a+1）， ∴， ∴|a|＝2，解得：a＝±2， ∴点P的坐标为（2，3）或（﹣2，﹣1）； （3）①如图，当∠ABQ1＝90°，AB＝BQ1时，过Q1作Q1G⊥y轴于点G， ∴∠Q1GB＝∠ABQ1＝90°， ∴∠GQ1B+∠GBQ1＝∠ABO+∠GBQ1＝90°， ∴∠GQ1B＝∠ABO， ∴△GQ1B≌△ABO（AAS）， ∴GQ1＝OB，GB＝OA， ∵点A（2，0），B（0，4）， ∴GQ1＝OB＝4，GB＝OA＝2， ∴OG＝OB+OG＝4+2＝6， ∴点Q1的坐标为（4，6）； ②如图，当∠BAQ2＝90°，AB＝AQ2时，过Q2作Q2H⊥x轴于点H， 同理得：△Q2AH≌△ABO（AAS）， ∵点A（2，0），B（0，4）， ∴Q2H＝OA＝2，AH＝OB＝4， ∴OH＝OA+AH＝2+4＝6， ∴点Q2的坐标为（6，2）； ③如图，当∠BQ3A＝90°，BQ3＝AQ3时，过Q3作Q3J⊥x轴于点J，过B作BI⊥JQ3交JQ3于点I， 同理得：△Q3AJ≌△BQ3I（AAS）， ∴BI＝Q3J，AJ＝IQ3， ∵点A（2，0），B（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4， ∴OA+AJ＝BI，即2+AJ＝BI，IJ＝OB＝4＝BI+AJ， ∴AJ＝1，BI＝3， ∴OJ＝3，Q3J＝3， ∴点Q3的坐标为（3，3）； 综上可知：点Q的坐标为（4，6）或（6，2）或（3，3）． 【点评】本题考查了一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用． 【变式14-3】如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且OA＝OB．直线AB过点P（1，3）， （1）求直线AB解析式； （2）连接OP，将线段OP沿x轴正方向平移到DC． ①若S△CDA，求满足条件的点C的坐标； ②在平移过程中，是否存在点C使得△ABC为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点P平移的距离．若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数综合题 【分析】（1）将P（1，3）代入y＝﹣x+b，即可求解； （2）①根据解析式求得A，B的坐标，设D（d，0），根据，建立方程，解方程，即可求解； ②分别求得AB2，BC2，AC2分AB＝AC，AB＝BC，CA＝CB三种情况讨论，建立方程，解方程，即可求解． 【解答】解：（1）依题意，将P（1，3）代入y＝﹣x+b得，3＝﹣1+b， 解得：b＝4， ∴直线AB解析式为y＝﹣x+4； （2）直线AB解析式为y＝﹣x+4， 当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4， ∴A（4，0），B（0，4）， ∴OA＝OB＝4， ∴， ①∵，将线段OP沿x轴正方向平移到DC，P（1，3） ∴C的纵坐标为3，PC＝OD， 设D（d，0），， 解得：或， ∴或， ∵PC＝OD，P（1，3）， ∴或， ②设点P平移的距离为t，t＞0， ∴C（1+t，3）， ∵A（4，0），B（0，4）， ∴AB2＝OA2+OB2＝32，AC2＝（4﹣1﹣t）2+32＝t2﹣6t+18，BC2＝（1+t）2+（4﹣3）2＝t2+2t+2， 如图，当CB＝CA时， t2+2t+2＝t2﹣6t+18， 解得：t＝2 如图，当BC＝BA时， t2+2t+2＝32， 解得：或（舍去）， 当AB＝AC时， t2﹣6t+18＝32， 解得：或（舍去）， 综上所述，点P平移的距离为2或或． 【点评】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，等腰三角形的定义，勾股定理，解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 基础巩固通关测 1．若y与x成正比例函数关系，且当x＝﹣1时，y＝3，则y与x之间的函数解析式为（　　） A．y＝﹣3x B．y＝3x C． D． 【考点】待定系数法求正比例函数解析式 【分析】利用待定系数法求出正比例函数的解析式即可． 【解答】解：∵y与x成正比例函数关系， ∴设y＝kx（k≠0）， ∵当x＝﹣1时，y＝3， ∴3＝﹣k， ∴k＝﹣3， ∴y＝﹣3x， 故选：A． 【点评】本题考查的是利用待定系数法求正比例函数的解析式，熟知待定系数法求正比例函数的解析式的一般步骤是解题的关键． 2．下列图形中，表示一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx（k，b为常数，且kb≠0）的图象的是（　　） A． B． C． D． 【考点】正比例函数的图象；一次函数的图象 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得kb的符号，从而判断y＝kbx的图象是否正确，进而比较可得答案． 【解答】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0，kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0矛盾，故此选项不符合题意； B、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0，即kb＜0，正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，故此选项符合题意； C、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＞0，即kb＞0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0，即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0矛盾，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y＝kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象． 3．设0＜k＜1，关于x的一次函数y＝kx（1﹣x），当1≤x≤2时，y的最大值是（　　） A．k B． C． D． 【考点】一次函数的性质 【分析】由于自变量的取值已经确定，此函数又为一次函数．所以应直接把自变量的最小值与最大值代入函数求值． 【解答】解：当x＝1时，y＝k；当x＝2时，y＝2k， ∵0＜k＜1， ∴k＞2k， ∴y的最大值是k． 故选：A． 【点评】本题需注意应根据实际情况比较得到的两个值的大小． 4．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先达到B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S km与乙车行驶时间h的函数关系图象，则下列说法正确的是（　　） A．乙车的速度为90km/h B．AB两地相距360km C．b＝150 D．dh 【考点】一次函数的应用；函数的图象 【分析】根据函数图象，分别求出甲、乙行驶的时间、速度，以及不同状态下两车之间的距离，再判断各项即可． 【解答】解：A、由题意可知，折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间的函数关系， 则甲的行驶时间为（t+0.5）h， ∴甲用0.5h行驶了30km， ∴甲的速度为30÷0.5＝60（km/h）， 由（0.5，0）可知，乙用0.5h追上了甲， 此时甲行驶了1h，路程是60×1＝60（km）， ∴乙用了0.5h行驶了60km， ∴乙的速度是60÷0.5＝120（km/h）， 故A选项错误，不符合题意； B、由（3.5，b）可知，3.5h时甲、乙两车相距b km， ∴120×3.5＝420（km）， 即A、B两地相距420km， 故B选项错误，不符合题意； C、b＝120×3.5﹣60×4＝180， 即甲、乙两车最远相距180km， 故C选项错误，不符合题意； D、∵乙车先达到B地并停留30分钟后， ∴， ∴，150÷（120+60）（h）， ∴d＝3.5（h）， ∴乙车出发与甲车相遇， 故D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的应用，函数的图象，理解其数量关系是解题的关键． 5．平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与y＝mx+n相交于点M（2，4），下列结论中正确的是（　　） ①关于x，y的方程组的解是； ②关于x的不等式kx+b＜mx+n的解集是x＞2； ③k+b＜0． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数与一元一次不等式 【分析】根据一次函数的性质、一次函数与方程组、一次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想求解． 【解答】解：∵直线y＝kx+b与y＝mx+n相交于点M（2，4）， ∴关于x，y的方程组的解是， 故①的结论正确； 由图知：当x＞2时，函数y＝kx+b对应的点都在函数y＝mx+n下方， 因此关于x的不等式kx+b＜mx+n的解集是：x＞2， 故②的结论正确； 由图知：当x＝1时，函数y＝kx+b图象对应的点在x轴的上方， 因此k+b＞0， 故③的结论不正确； 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与方程组，一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用，解题的关键是根据数形结合进行求解． 6．函数y＝（m﹣2）x是正比例函数，则m的取值范围是　m≠2　 ． 【考点】正比例函数的性质 【分析】根据正比例函数的定义得m﹣2≠0，解此不等式即可得出答案． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x是正比例函数， ∴m﹣2≠0， 解得：m≠2， ∴m的取值范围是：m≠2， 故答案为：m≠2． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，理解正比例函数的定义是解决问题的关键． 7．已知一次函数y＝﹣2x+1的图象经过A（1，y1），B（2，y2），则y1　＞　 y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，即可得到y1和y2的大小关系． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1， ∴该函数的图象y随x的增大而减小， ∵一次函数y＝﹣2x+1的图象经过A（1，y1），B（2，y2）两点， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 8．点（a，b）在y＝3x﹣1的函数图象上，则代数式6a﹣2b+1＝　3　 ． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【分析】依据题意，由点（a，b）在y＝3x﹣1的函数图象上，则b＝3a﹣1，即3a﹣b＝1，又6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1，进而代入计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵点（a，b）在y＝3x﹣1的函数图象上， ∴b＝3a﹣1． ∴3a﹣b＝1． ∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝2×1+1＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 9．如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为 　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组） 【分析】首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【解答】解：∵直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1， ∴纵坐标为y＝﹣1+3＝2， ∴两直线交点坐标（1，2）， ∴关于x，y的方程组的解为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解． 10．已知一次函数y＝ax+8﹣2a（a为常数且a≠0）． （1）若该一次函数图象经过点（﹣1，2），则a＝　2　 ； （2）当﹣2≤x≤5时，函数y有最大值11，则a的值为 　1或　 ． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质 【分析】（1）把点（﹣1，2）代入一次函数的表达式中，即可求解； （2）分两种情况讨论：当a＞0时，当a＜0时，结合一次函数的增减性，即可求解． 【解答】解：（1）把点（﹣1，2）代入一次函数的表达式中， 得：﹣a+8﹣2a＝2， 解得a＝2， 故答案为：2； （2）当a＞0时，y随x增大而增大，则当x＝5时，y有最大值， ∴5a+8﹣2a＝11，解得a＝1； 当a＜0时，y随x增大而减小，则当x＝﹣2时，y有最大值， ∴﹣2a+8﹣2a＝11，解得． 综上所述，a的值为1或． 故答案为：1或． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握一次函数的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），点B（0，1）． （1）求直线AB的解析式； （2）若点C在直线AB上，且点C到x轴的距离为2，求点C的坐标． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）根据题意，可得点C纵坐标为2或﹣2，将点C纵坐标代入直线AB的解析式求出点C横坐标，即可确定点C坐标． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式：y＝kx+b， 将点A（﹣2，0），点B（0，1）代入， 得， 解得， ∴直线AB的解析式：； （2）∵点C到x轴的距离为2， ∴点C的纵坐标为2或﹣2， 代入直线AB的解析式，得2或﹣2， 解得x＝2或x＝﹣6， ∴C（2，2）或（﹣6，﹣2）． 【点评】本题考查了一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式以及一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 12．若y与2x+1成正比例，且当x＝﹣2时，y＝6． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（m，3）在该函数的图象上，求m的值． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质 【分析】（1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把（m，3）代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝k（2x+1）， 把x＝﹣2时，y＝6代入得：k[2×（﹣2）+1]＝6， 解得k＝﹣2， ∴y＝﹣2（2x+1），即y＝﹣4x﹣2； （2）由题意可得：得3＝﹣4m﹣2， 解得． 【点评】本题主要考查了求函数解析式，求自变量的值，正确进行计算是解题关键． 13．某市住宅电话的资费标准为：通话前3分钟计费0.20元，以后每分钟（不足1分钟按1分钟计）加收0.10元． （1）设一次通话的时间为x（分钟），资费为y（元），当x＞3时，写出y与x之间的关系式． （2）某人一次通话的时间为10分钟，他这次通话的资费是多少元？ （3）某人一次通话的资费为1.50元，他这次的通话时间为多少分钟？ 【考点】一次函数的应用 【分析】（1）根据话费＝三分钟以内的基本话费0.2+超过3分钟的时间×0.1列出y与x的函数解析式； （2）把x＝10代入（1）中解析式即可； （3）把y＝15.0代入（1）中解析式即可． 【解答】解：（1）根据题意可知：超过3分钟的话费为0.1×（x﹣3）， 则一次通话时间x（x＞3）分钟，y与x之间的关系式为y＝0.2+0.1（x﹣3）＝0.1x﹣0.1， ∴y与x之间的关系式为y＝0.1x﹣0.1； （2）∵10＞3， ∴把x＝10代入y＝0.1x﹣0.1得，y＝0.1×10﹣0.1＝0.9， ∴他这次通话的资费是0.9元； （3）∵1.50＞0.2， ∴x＞3， 当y＝1.50时，0.1x﹣0.1＝1.50， 解得x＝16， ∴他这次的通话时间为16分钟． 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出一次函数解析式． 14．一条笔直的公路上依次有A，B，C三地，甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间后继续行驶，两车同时到达C地．甲、乙两车之间的距离s（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： （1）A，B两地间的距离为　20　 千米，乙车中途休息　1　 小时，甲车的速度为　60　 千米/时； （2）求图中线段DE所在直线的函数解析式； （3）直接写出两车出发多少小时，两车行驶的路程相差10千米． 【考点】一次函数的应用 【分析】（1）根据函数图象解答即可； （2）求出点E坐标，再利用待定系数法解答即可； （3）分甲车在线段DE段、甲车在线段EF段和甲车在线段FC段三种情况解答即可求解． 【解答】解：（1）由函数图象可知，A，B两地间的距离为20千米， 由图象得，当x＝2时，乙车开始休息，当x＝3时，乙车重新出发， ∴乙车中途休息3﹣2＝1小时， ∵从点D﹣E﹣F过程中，只有甲车在行驶， ∴甲车的速度为（40+20）÷（3﹣2）＝60千米/时， 故答案为：20，1，60； （2）∵点D﹣E甲行驶的时间为小时， ∴， 设线段DE所在直线的函数解析式为y＝kx+b， 由题意可得： ， 解得， ∴线段DE所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+160； （3）①甲车在线段DE段时两车行驶的路程相差10千米， 把y＝10代入y＝﹣60x+160得，10＝﹣60x+160， 解得； ②甲车在线段EF段时两车行驶的路程相差10千米， ∴， ∴； ③甲车在线段FC段时两车行驶的路程相差10千米， 设线段FC的函数解析式为y＝mx+n， 由题意可得： ， ∴， ∴线段FC的函数解析式为y＝﹣20x+80， 把y＝10代入得，10＝﹣20x+80， ∴； ∴出发小时或小时或小时时，相差10千米． 【点评】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． 15．为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某商场购进甲、乙两种装饰物对商场进行布置．已知每件甲种装饰物的价格比每件乙种装饰物的价格贵4元，用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同． （1）求该商场购进甲、乙两种装饰物的单价各是多少元； （2）当商场装饰完工后，发现还剩余甲种装饰物和乙种装饰物共400件，且购入成本不超过3000元．为了降低装饰成本，商场决定将甲种装饰物以每件13元，乙种装饰物以每件8元的价格对外出售．如果将剩余的这400件装饰物全都售完，剩余甲、乙装饰物的数量分别为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？ 【考点】一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用 【分析】（1）设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为（x+4）元，根据“用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物（400﹣m）件，商场获得的利润为y元，根据“购入成本不超过3000元”可得出关于m的一元一次不等式，求得m≤150，再根据得到y关于m的一次函数，利用二次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）设每件乙种装饰物的价格为x元， ∴， ∴x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解， ∴x+4＝10． 答：甲的价格为10元，乙的价格为6元； （2）设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物（400﹣m）件，商场获得的利润为y元， ∴10m+6（400﹣m）≤3000， 解得m≤150， 则y＝（13﹣10）m+（8﹣6）（400﹣m）＝m+800， ∵1＞0， ∴y随m的增大而增大， ∴当m＝150时，y有最大值，最大值为150+800＝950， 此时400﹣m＝250， 答：剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，正确进行计算是解题关键． 能力提升进阶练 1．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，CB＝8．动点P以每秒1个单位从点A出发沿A﹣B运动；动点Q以每秒1个单位从点A出发沿A﹣C﹣B运动．若点P、Q同时出发，当其中一动点运动到点B时另一点停止运动，则△APQ的面积S与运动时间t之间的函数图形大致是（　　） A． B． C． D． 【考点】函数的图象 【分析】首先勾股定理求出AB，然后分两种情况讨论：当点Q在线段AC上和当点Q在线段BC上时，然后分别表示出AP，QH，然后根据三角形面积公式表示出S，然后根据二次函数的图象和性质求解即可． 【解答】解：由勾股定理可得， 当点Q在线段AC上时，即0≤t≤6时，如图所示，过点Q作QH⊥AB交AB于点P， 由条件可知，即， ∴， ∴△APQ的面积； 当点Q在线段BC上时，即6＜t≤10时，如图所示，过点Q作QH⊥AB交AB于点P， ∵根据题意得，AP＝t，BQ＝14﹣t， ∴，即， ∴， ∴△APQ的面积； 综上所述，， 故选：A． 【点评】此题考查了动点问题的函数图象，二次函数动点问题，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．A、B两地相距2400米，甲、乙两人准备从A地出发去B地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达B地后，停止运动．甲乙之间的距离s（m）与甲运动时间t（min）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．乙每分钟比甲多走20m B．乙出发20min后两人相遇 C．乙到达B地时，甲距离B地还有300m D．相遇前，甲走4min或8min时两人相距240m 【考点】一次函数的应用 【分析】从图象看，甲5min走的路程为300m，则甲的速度为60m/min，由图象知，乙的速度快，则t＝35min时，乙到达B地，所用时间为35﹣5＝30（min），则乙的速度为：2400÷30＝80m/min，进而求解． 【解答】解：A．从图象看，甲5min走的路程为300m，则甲的速度为60m/min， 由图象知，乙的速度快，则t＝35min时，乙到达B地，所用时间为35﹣5＝30（min）， 则乙的速度为：2400÷30＝80m/min， 故乙每分钟比甲多走20m，正确，不符合题题意； B．设x min乙追上甲，则x（80﹣60）＝300， 解得：x＝15（min）， 即乙出发15 min时，两人相遇，故B错误，符合题意； C．当t＝35min时，甲运动的路程为：35×60＝2100（m）， 则乙到达B地时，甲距离B地还有300m，故C正确，不符合题意； D．甲开始走4分钟，走的路程为4×60＝240（m）， 此时两人相距240m， 甲走8分钟时，乙走了3分钟，此时两人的距离为60×8﹣80×3＝240（m）， 故D正确，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的应用，通过图象关键点，确定运动速度是求解的关键． 3．已知A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点均在直线y＝kx+b（k，b为常数，k＞0，b＜0）上，且x1＜x2＜x3，则下列判断正确的是（　　） A．若x1x3＜0，则y1y2＞0 B．若x1x2＞0，则y2y3＞0 C．若x2x3＜0，则y1y2＞0 D．若x2x3＜0，则y1y3＞0 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【分析】由题意可知直线y＝kx+b经过第一、三、四象限，且y随x值的增大而增大，x＜0时，y＜0，x＞0时，y的取值可正可负可零，结合选项判断即可． 【解答】解：∵k＞0，b＜0， ∴直线y＝kx+b经过第一、三、四象限，且y随x值的增大而增大， 若x1x3＜0，则x1＜0，x3＞0， ∴y1＜0，y2＞0或y2＜0都可能， 故A不符合题意； 若x1x2＞0，则x1于x2同号，则x1＞0，x2＞0或x1＜0，x2＜0， 当x1＞0，x2＞0时，x3＞0，但是y2和y3的正负性不确定； 当x1＜0，x2＜0时，x3＞0或x3＜0都可能，此时y2＜0但是y3的正负性不确定； 故B不符合题意； 若x2x3＜0，则x3＞0，x2＜0，x1＜0，则y1＜0，y2＜0， ∴y1y2＞0， 故C符合题意； 若x2x3＜0，则x3＞0，x2＜0，x1＜0，则y1＜0，y2＜0，y3的正负性不确定， 故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 4．如图放置的△OA1B，△A1B1A2，△A2B2A3，…，△AnBnAn+1，都是以A1，A2，A3，…，An为直角顶点的三角形，点A1，A2，A3，…，An都在直线上，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1，点B在y轴上，OB＝2，OB＝A1B1＝A2B2＝…＝AnBn，则点B2024的坐标是（　　） A．（1012，1012） B． C． D． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标 【分析】由HL定理可证明各直角三角形全等，进而证明OB∥A1B1∥A2B2∥…∥AnBn．由三角函数求出A1的横坐标，由yx求出其纵坐标，进而求出B1的坐标．同理，可求出B2、B3的坐标，由规律写出Bn的坐标，是关于n的代数式，从而求出当n＝2024时Bn的坐标． 【解答】解：∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1，OB＝A1B1＝A2B2＝…＝AnBn， ∴Rt△OA1B≌Rt△A1B1A2≌Rt△A2B2A3≌…≌Rt△AnBnAn+1． ∴∠BOA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2A3＝…＝∠BnAnAn+1． ∴OB∥A1B1∥A2B2∥…∥AnBn． ∵tg（90°﹣∠BOA1）， ∴90°﹣∠BOA1＝60°， ∴∠BOA1＝30°． ∴OA1＝OB•cos30°＝2， ∴点A1的横坐标为OA1•sin30°，纵坐标为，即A1（，）． ∴点B1的横坐标为，纵坐标为2，即B1（，）． 同理，A2（，3），B2（，5）；A3（，），B3（，）；… ∴B1（，），B2（，5），B3（，）…Bn（n，2n）． ∴当n＝2024时，2024＝1012，22024＝3038， ∴Bn（1012，3038）． 故选：D． 【点评】本题考查一点的坐标及一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键通过点B1、B2、B3的坐标找到规律，将Bn坐标表示为n的代数式． 5．已知过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，设S＝a+2b，则S的取值范围为（　　） A．S＜6 B．﹣6＜S C．﹣6≤S D．3≤S≤6 【考点】一次函数的性质 【分析】先将S＝a+2b转换为，其中为x时所对应的函数值y，通过图象可得出答案． 【解答】解：如图所示， ∵经过（2，3）的直线y＝kx+b不经过第四象限， ∴直线y＝kx+b只能在图中l1和l2的位置中间（与虚线部分有交点），且l1经过坐标原点，l2与x轴平行， 得l1：y，l2：y＝3， ∴当x时，l1所对应的函数值为，l2所对应的函数值为3， ∵a≠0， ∴l2的位置对函数y＝kx+b不可取，l1的位置对该函数可取． ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象，将S＝a+2b转换为，其中为x时所对应的函数值是解题的关键． 6．若点A（x1，y1），B（x2，y2）均在一次函数y＝4x+b的图象上，如果x1＞x2，那么y1　＞　 y2．（选填“＞”或“＜”） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据一次函数y＝4x+b中k＞0，得到y随x的增大而增大，再根据x1＞x2，即可得到答案． 【解答】解：∵一次函数y＝4x+b中k＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵x1＞x2， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据函数值的增减性来解答． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A1，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1…、正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点B2025的坐标是　（22024，22025﹣1）　 ． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标 【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，然后发现规律，运用规律即可解答． 【解答】解：∵l：y＝x﹣1与x轴交于点A1， ∴A1（1，0）， ∴B1（1，1）， ∵C1A2∥x轴，即：A2坐标（2，1）， ∴B2（2，3）， ∵C2A3∥x轴， ∴A3（4，3）， ∴B3（4，7）， ∵，…， ∴点B2025的坐标为（22024，22025﹣1）． 故答案为：（22024，22025﹣1）． 【点评】本题主要考查一次函数图象上点的特征、正方形的性质等知识，学会从特殊到一般的探究方法是解题的关键． 8．已知一次函数y＝kx+b（k＜0），当0≤x≤2时，对应的函数y的取值范围是﹣2≤y≤4，b的值为　4　 ． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质 【分析】由一次函数的性质，求解即可． 【解答】解：当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数， ∴当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝﹣2， 代入一次函数解析式y＝kx+b得：， 解得， 故答案为：4 【点评】此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质解答． 9．如图，直线y＝﹣2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，点D的横坐标为1，直线DE交x轴于点C，E（4，4）． （1）S△DBE＝ 　4　 ； （2）若在坐标平面内存在点F（不与D重合），使△COF≌△COD，则点F的坐标为 　（1，﹣2）或（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）　 ． 【考点】一次函数综合题 【分析】（1）依据一次函数y＝﹣2x+4，求得A（0，4），B（2，0），根据点D的横坐标为1，可得D（1，2），运用待定系数法即可得到直线CD的函数表达式；求得C（﹣2，0），BC＝2﹣（﹣4）＝6，再根据△DBE的面积＝△BCE的面积﹣△BCD的面积，进行计算即可； （2）在另三个象限内分别找到点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等． 【解答】解：（1）直线y＝﹣2x+4与x，y轴分别交于A，B两点， 当x＝0时，得：y＝4； 当y＝0时，得：﹣2x+4＝0， 解得：x＝2， ∴A（0，4），B（2，0）， ∵AD＝BD， ∴点D的横坐标为1， ∴yD＝﹣2×1+4＝2，即D（1，2）， 设直线CD的函数表达式为y＝kx+b，将点D的坐标，点E（4，4）分别代入得： ， 解得：， ∴直线CD的函数表达式为， 当y＝0时，得：， 解得：x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）， ∴OC＝2， ∴BC＝2﹣（﹣2）＝4， ∴△DBE的面积＝△BCE的面积﹣△BCD的面积； 故答案为：4； （2）如图， ∵△COF≌△COD，D（1，2），OC＝2， 当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣3，2）； 当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣3，﹣2）； 当点F在第四象限时，点F的坐标为（1，﹣2）． 综上所述，点F的坐标为（1，﹣2）或（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）或（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）． 【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 10．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，﹣1），直线与x轴、y轴分别交于点A、B，P是直线AB上的一个动点，以下结论正确的是：　①③④　 ． ①B点的坐标为（0，4）； ②； ③△ABC为等腰三角形； ④PC的最小值为3． 【考点】一次函数综合题 【分析】解方程得到B点的坐标为（0，4）；故①正确；解方程得到A（3，0），根据勾股定理得到AC，故②错误；根据勾股定理得到AB5，BC＝4﹣（﹣1）＝5，根据等腰三角形的判定定理得到△ABC为等腰三角形，故③正确；根据点到直线垂线段最短，当PC⊥AB时，PC最小，两直线垂直，k1•k2＝﹣1，垂线段过点C（0，﹣1），解方程组得到两直线交点坐标为（，），根据勾股定理得到PC长的最小值3，故④正确． 【解答】解：在中， 令x＝0，则y＝4， ∴B点的坐标为（0，4）；故①正确； 令x＝0，则x+4＝0， ∴x＝3， ∴A（3，0）， ∵C（0，﹣1）， ∴AC，故②错误； ∵AB5，BC＝4﹣（﹣1）＝5， ∴AB＝BC， ∴△ABC为等腰三角形，故③正确； 根据点到直线垂线段最短，当PC⊥AB时，PC最小， 两直线垂直，k1•k2＝﹣1，垂线段过点C（0，﹣1）， ∴直线PC的解析式为yx﹣1，联立方程组得： ，解得， ∴两直线交点坐标为（，）， ∴PC长的最小值3，故④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的判定，垂线段最短，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 11．如图，直线l：y1x﹣1与y轴交于点A，与一次函数y2x+3的图象交于点B． （1）求点B的坐标； （2）列表并画出一次函数y2x+3的图象； （3）如果y1＞y2，写出x的取值范围． 【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题；一次函数的性质 【分析】（1）将两个一次函数解析式联立得到方程组，解方程组即可得到点B的坐标； （2）列出表格，根据描点法即可画出图象； （3）根据图象，找出y1落在y2上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【解答】解：（1）联立得：， 解得：， ∴点； （2）画表如下： x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 y2 0 3 描点画图如下： （3）由题意和（2）中图可知，如果y1＞y2，那么x的取值范围是x＜﹣2． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，两直线交点坐标的求法，一次函数与一元一次不等式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 12．河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg） 方式一：金卡会员 500 1600 方式二：银卡会员 200 1800 设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元． （1）请直接写出y1，y2关于x的函数解析式； （2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量； （3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 【考点】一次函数的应用 【分析】（1）根据方式一、方式二的总费用的组成列式即可； （2）根据方式一、方式二的费用相等列出方程，解方程即可； （3）根据方式一、方式二的费用＝6500，解方程求出x进行比较即可． 【解答】解：（1）根据题意得：y1＝500+1600x，y2＝200+1800x， ∴y1关于x的函数解析式为y1＝500+1600x，y2关于x的函数解析式为y2＝200+1800x； （2）根据题意得：500+1600x＝200+1800x， 解得x＝1.5， 答：该公司此次购买茶叶的质量为1.5kg； （3）按照第一种方式购买茶叶：500+1600x＝6500， 解得x； 按照第二种方式购买茶叶：200+1800x＝6500， 解得x． ∵， ∴按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶． 【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两种方式的费用表达式是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k、b的值； （2）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标． 【考点】两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点C的坐标，根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，设点D的坐标为（0，m），根据三角形的面积公式结合，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点D的坐标． 【解答】解：（1）当x＝1时，y＝3， ∴点C的坐标为（1，3）． 将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y＝kx+b， 得：， 解得：k＝﹣1，b＝4； （2）当y＝0时，有﹣x+4＝0， 解得：x＝4， ∴点B的坐标为（4，0）． 设点D的坐标为（0，m）， ∵，即， 解得：m＝±4， ∴点D的坐标为（0，±4）． 【点评】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数解析式直线与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握以上知识点是关键． 14．已知小华家、文具店、书店依次在同一条直线上，文具店、书店离小华家的距离分别为1km，1.6km．小华从家出发，先匀速骑行8min到达书店，在书店停留了12min，之后匀速骑行3min到达文具店，在文具店停留7min后，再匀速骑行5min返回家．下面图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）①填表： 小华离开家的时间/min 4 15 23 30 小华离家的距离/km 　0.8　 　1.6　 1 　1　 ②填空：小华从文具店返回家的速度为 　0.2　 km/min； ③当0≤x≤23时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式； （Ⅱ）若小华的哥哥与小华同时离开书店，小华的哥哥匀速步行直接返回家，他到家的时间比小华到家的时间晚1min．在从书店返回家的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为y1，小华的哥哥离家的距离为y2，当y1＞y2时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【考点】一次函数的应用 【分析】（Ⅰ）①根据图象及速度＝路程÷时间、路程＝速度×时间计算即可； ②根据速度＝路程÷时间计算即可； ③根据路程＝速度×时间计算即可； （Ⅱ）在同一坐标系中画出小华的哥哥离家的距离y与x之间的函数图象，求出两图象交点的坐标，再根据图象写出当y1＞y2时x的取值范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）①小华从家到书店过程中的速度为1.6÷8＝0.2（km/min）， ∴当x＝4时，y＝0.2×4＝0.8； 当x＝15时，y＝1.6； 当x＝30时，y＝1． 故答案为：0.8，1.6，1． ②小华从文具店返回家的速度为1÷（35﹣30）＝0.2（km/min）． 故答案为：0.2． ③当0≤x≤8时，y＝0.2x， 当8＜x≤20时，y＝1.6， 当20＜x≤23时，小华的速度为（1.6﹣1）÷（23﹣20）＝0.2（km/min），则y＝1.6﹣0.2（x﹣20）＝﹣0.2x+5.6， ∴当0≤x≤23时，小华离家的距离y关于时间x的函数解析式为y． （Ⅱ）小华的哥哥离家的距离y与x之间的函数图象如图所示： 当30≤x≤35时，小华的速度为1÷（35﹣30）＝0.2（km/min），则y1＝1﹣0.2（x﹣30）＝﹣0.2x+7（30≤x≤35）， 小华哥哥的速度为1.6÷（36﹣20）＝0.1（km/min），则y2＝1.6﹣0.1（x﹣20）＝﹣0.1x+3.6（20≤x≤36）， 设点A的坐标为（a，b），则， 解得， 设点B的坐标为（m，n），则， 解得， 根据图象，当y1＞y2时，x的取值范围为26＜x＜34． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 15．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠25% 乙商场 每台优惠20% （1）设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别求出y1，y2与x之间的关系式． （2）什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？ （3）现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为w元，从甲商场购买a台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？ 【考点】一次函数的应用 【分析】（1）根据题意列出算式即可； （2）①若甲商场购买更优惠，可得不等式6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＜（1﹣20%）×6000x，解此不等式，即可求得答案； ②若乙商场购买更优惠，可得不等式6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＞（1﹣20%）×6000x，解此不等式，即可求得答案； ③若两家商场收费相同，可得方程6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＝（1﹣20%）×6000x，解此方程，即可求得答案； （3）根据题意列出算式，再求出即可． 【解答】解：（1）y1＝6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）； y2＝（1﹣20%）×6000x； （2）设学校购买x台电脑， 则若两家商场收费相同，则： 6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＝（1﹣20%）×6000x， 解得：x＝5， 即当购买5台时，两家商场的收费相同； 若到甲商场购买更优惠，则： 6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＜（1﹣20%）×6000x， 解得：x＞5， 即当购买电脑台数大于5时，甲商场购买更优惠； 若到乙商场购买更优惠，则： 6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＞（1﹣20%）×6000x， 解得：x＜5， 即当购买电脑台数小于5时，乙商场购买更优惠； （3）w＝50a+（10﹣a）60＝600﹣10a， 当a取最大时，费用最小， ∵甲商场只有4台， ∴a取4，W＝600﹣40＝560， 即从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是560元． 【点评】此题考查了一元一次不等式实际应用问题，涉及了不等式与方程的解法，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解，此题难度适中． 1 / 68 学科网（北京）股份有限公司 $