第二十四章 圆（高效培优单元测试·强化卷）数学人教版九年级上册

第二十四章 圆（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．战国时期的著作《墨经》中“…，一中同长也”描述的图形是（　　） A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆 2．下列语句，错误的是（　　） A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠A＝35°，∠ABO＝15°，则∠ACO的度数为（　　） A．55° B．70° C．20° D．30° 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝56°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则的长为（　　） A． B． C．π D． 5．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP＝2cm，则OP等于（　　） A．cm B．3 cm C．cm D．cm 6．嘉嘉同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA＝20cm，OB＝5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC＝120°．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（　　） A．150π B．125π C．75π D． 7．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列说法错误的是（　　） A．1＜AB＜7 B．S△ABC≤6 C．△ABC内切圆的半径r＜1 D．当AB时，△ABC是直角三角形 8．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2.5，直线l的解析式为，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 9．如图，点O为正六边形ABCDEF的外接圆圆心，四边形AGHF为正方形，则∠GOC的度数为（　　） A．50° B．45° C．35° D．30° 10．如图，在圆O中，点C是弧AB的中点，CD垂直平分半径OA，，则该圆的半径为（　　） A．4 B．2 C． D． 11．如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A，B两点，点C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连结OM，则线段OM的最小值是（　　） A．1 B．1 C．2 D． 12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论： ①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（　　） A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤ 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．将一张半径为13cm的扇形纸片卷成一个圆锥形桶（不重叠，无缝隙），通过测量，知该圆锥形桶高为12cm，则扇形纸片的面积为 　 　 cm2（结果保留π）． 14．如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点A，B，连接并确定AB的中点C，弧AB的中点D．若测得AB为20分米，CD为5分米，则半径为 　 　 分米． 15．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为 　 　 ． 16．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 　 　 s． 17．如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，若∠ABC＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积为 　 　 ． 18．如图，已知AC是圆O的直径，弦BD⊥AC于点H，过点B作圆O的切线交AC的延长线于点E，连接CD，F为CD的中点，连接FB．若圆O的半径为2，∠E＝30°，则BD＝　 　 ，BF＝　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD． （1）求证：． （2）若的度数为58°，求∠AOD的度数． 20．（8分）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于M，BN⊥AC于N，BN与CD相交于E． （1）求证：MD＝ME； （2）若AB＝8，OE＝1，求⊙O的半径． 21．（8分）某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道口的水平宽AB为12m，AB离地面的高度AE＝5m，连接OA，拱顶最高处C离地面的高度CD为9m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度均为8.5m． （1）求AO的长； （2）求MN的长． 22．（8分）学生活动节乐乐使用塑料制作了一个水火箭模型（如图），它的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知圆柱的底面积为3.14dm2，母线AD＝6dm，圆锥的高SO＝2dm，母线SD＝2.24dm． （1）制作一个这样的模型（接缝忽略不计）至少需要多少塑料（模型的底部是封闭的，π取3.14，结果精确到0.1dm2）？ （2）模型的最大注水量大约是多少（π取3.14，结果精确到0.1dm3）？ 23．（10分）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点M，N． （1）当∠M＝∠N＝42°时，求∠A的度数； （2）若∠DMC＝α，∠BNC＝β且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的度数． 24．（10分）如图，AC为⊙O的直径，D，E为⊙O上两点，连接ED，EC，EA，延长EA，CD交于点B，∠EDC＝2∠ACB． （1）求证：AB＝AC； （2）过点D作⊙O的切线，交AB于点F，若，，求BE的长． 25．（10分）如图1和图2，O为内、外两个圆的圆心，大圆被八等分，分点为A，B，C，D，E，F，G，H．已知两个圆的半径分别为6，2． （1）如图1，若大圆中的弦AP与小圆相切于点M，求AP的长； （2）通过计算比较的长和小圆的周长的大小； （3）如图2，连接OB，AG，通过说理判断OB和AG的位置关系，并求点B到AG的距离． 26．（10分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．已知∠A＝100°，∠C＝20°． （1）则∠DFE的度数＝　 　 °． （2）连接OA、OC，则∠AOC的度数＝　 　 °． （3）连接DE，若△ABC的周长为20cm，AC＝6cm，求DE的长． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 二次函数（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．战国时期的著作《墨经》中“…，一中同长也”描述的图形是（　　） A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆 【答案】D 【解答】解：战国时期的《墨经》一书中记载：“圜（圆），一中同长也”．表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等； 故选：D． 2．下列语句，错误的是（　　） A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 【答案】B 【解答】解：直径是弦，A正确，不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意； 弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意； 平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意； 故选：B． 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠A＝35°，∠ABO＝15°，则∠ACO的度数为（　　） A．55° B．70° C．20° D．30° 【答案】C 【解答】解：如图，连接AO并延长到点D， ∴∠BOC＝2∠BAC＝∠ACO+∠ABO+∠BAC， ∵∠BAC＝35°，∠ABO＝15°， ∴∠ACO＝20°， 故选：C． 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝56°，∠ACD＝40°．若⊙O的半径为5，则的长为（　　） A． B． C．π D． 【答案】B 【解答】解：连接OC，OD，如图所示： ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝56°， ∴∠ADC＝180°﹣∠B＝124°， ∵∠ACD＝40°， ∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝16°， ∴∠COD＝2∠CAD＝32°， ∴， 故选：B． 5．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB的延长线上一点，BP＝2cm，则OP等于（　　） A．cm B．3 cm C．cm D．cm 【答案】D 【解答】解：过O作OC⊥AB于C， 则∠OCP＝∠ACO＝90°， ∵OC⊥AB，OC过O， ∴AC＝BCAB8cm＝4cm， ∵BP＝2cm， ∴PC＝BC+BP＝6cm， 在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC3（cm）， 在Rt△PCO中，由勾股定理得：OP3（cm）， 故选：D． 6．嘉嘉同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA＝20cm，OB＝5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC＝120°．现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（　　） A．150π B．125π C．75π D． 【答案】B 【解答】解：由题知，， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 答：山水画所在纸面的面积为125πcm2， 故选：B． 7．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列说法错误的是（　　） A．1＜AB＜7 B．S△ABC≤6 C．△ABC内切圆的半径r＜1 D．当AB时，△ABC是直角三角形 【答案】C 【解答】解：A、由三角形三边关系得，4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，故A正确，不符合题意； B、当BC⊥AC时，S△ABC最大，此时S△ABC3×4＝6，故B正确，不符合题意； C、三角形内切圆半径r，当S△ABC＝6时，则此时r1，所以r＜1错误，故C错误，符合题意； D、当AB时，BC2＝AC2﹣AB2，所以△ABC时直角三角形，故D正确，不符合题意． 故选：C． 8．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2.5，直线l的解析式为，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：如图，直线分别与x、y轴交于A、B， 过O作OH⊥AB于H， 当x＝0时，y＝3， ∴OA＝3， 当y＝0时，x+3＝0， ∴x＝﹣4， ∴OB＝4， ∴AB5， ∵△AOB的面积AB•OHOB•OA， ∴5×OH＝3×4， ∴OH＝2.4， ∴O到直线l的距离d＝2.4， ∵⊙O的半径r＝2.5， ∴d＜r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交． 故选：C． 9．如图，点O为正六边形ABCDEF的外接圆圆心，四边形AGHF为正方形，则∠GOC的度数为（　　） A．50° B．45° C．35° D．30° 【答案】B 【解答】解：如图，连接OA、OD、OF、OH， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴∠AOF＝∠COD60°，OA＝OF＝OC＝OD， ∴△AOF、△COD是正三角形， ∴∠OAF＝∠OFA＝60°， ∵四边形AFHG是正方形， ∴AF＝HF＝AG，∠AFH＝∠FAG＝90°， ∴∠OFH＝∠OAG＝90°﹣60°＝30°， ∴∠FOH＝∠FHO＝∠AGO＝∠AOG75°， ∴∠OHG＝∠OGH＝90°﹣75°＝15°， ∴∠GOH＝180°﹣15°﹣15°＝150°， 有对称轴可知，45°． 故选：B． 10．如图，在圆O中，点C是弧AB的中点，CD垂直平分半径OA，，则该圆的半径为（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解答】解：连接AC，OC，OB，过B作BH⊥AO交AO的延长线于H， 设圆的半径是r， ∵CD垂直平分半径OA， ∴AC＝OC，ODOAr， ∵OA＝OC， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∵C是弧AB的中点， ∴∠BOC＝∠AOC＝60°， ∴∠BOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠OBH＝90°﹣60°＝30°， ∴OHOBr， ∴BHOHr，DH＝OD+OH＝r， ∵BH2+DH2＝BD2， ∴r2， ∴r＝4， ∴该圆的半径为4． 故选：A． 11．如图，直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A，B两点，点C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连结OM，则线段OM的最小值是（　　） A．1 B．1 C．2 D． 【答案】B 【解答】解：如图，∵直线y＝﹣x+6与坐标轴交于A，B两点， ∴A（6，0），B（0，6）， ∴OA＝OB＝6， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝2， ∴C在⊙B上，且半径为2， 取OD＝OA＝6，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD， 当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，当C在线段DB上时，OM最小， ∵OB＝OD＝6，∠BOD＝90°， ∴BD＝6， ∴CD＝62． ∴OMCD＝31． 即OM的最小值为：31． 故选：B． 12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论： ①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（　　） A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤ 【答案】D 【解答】解：①、∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD， ②假设∠AOC＝∠AEC， ∴∠A＝∠C， ∵∠ABC＝∠C， ∴∠A＝∠ABC， ∴， ∵OC∥BD ∴∠C＝∠CBD， ∴∠ABC＝∠DBC， 即： ∴C，D是半圆的三等分点， 而与“C，D是⊙O上的点”矛盾， ∴∠AOC≠∠AEC， ③、∵OC∥BD， ∴∠OCB＝∠DBC， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠OBC＝∠DBC， ∴BC平分∠ABD， ④、∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD， ∵OC∥BD， ∴∠AFO＝90°， ∵点O为圆心， ∴AF＝DF， ⑤、由④有，AF＝DF， ∵点O为AB中点， ∴OF是△ABD的中位线， ∴BD＝2OF， ⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边， ∴△CEF与△BED不全等， 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．将一张半径为13cm的扇形纸片卷成一个圆锥形桶（不重叠，无缝隙），通过测量，知该圆锥形桶高为12cm，则扇形纸片的面积为 　65π　 cm2（结果保留π）． 【答案】65π． 【解答】解：∵扇形的半径为13cm，高为12cm， ∴圆锥的底面半径为5cm， ∴圆锥的侧面积为13×5π＝65πcm2， 故答案为：65π． 14．如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点A，B，连接并确定AB的中点C，弧AB的中点D．若测得AB为20分米，CD为5分米，则半径为 　　 分米． 【答案】． 【解答】解：由题意，圆心O在CD上，连接AO． ∵AC＝CB＝10分米，， ∴直线CD经过圆心O，OD⊥AB， 设OA＝OD＝r分米，则有r2＝102+（r﹣5）2， 解得r． 故答案为：． 15．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为 　44　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形， ∴AD+BC＝AB+CD＝22， ∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44， 故答案为：44． 16．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 　4或8　 s． 【答案】4或8． 【解答】解：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD于E， ∴PE＝1cm， ∵∠AOC＝30°， ∴OP＝2PE＝2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间4（秒）； 当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F， ∴PF＝1cm， ∵∠AOC＝∠DOB＝30°， ∴OP＝2PF＝2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间8（秒）． 当⊙P的运动时间为4或8时，⊙P与直线CD相切． 故答案为：4或8． 17．如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，若∠ABC＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接AC，CO ∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠OAB＝30°． 又∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝60°，∠ABC＝∠OAB， ∴AO∥BC， ∴S△ABC＝S△AOC， ∴S阴影＝S扇形OAC． 又∵， ∴． 故答案为：． 18．如图，已知AC是圆O的直径，弦BD⊥AC于点H，过点B作圆O的切线交AC的延长线于点E，连接CD，F为CD的中点，连接FB．若圆O的半径为2，∠E＝30°，则BD＝　2　 ，BF＝　　 ． 【答案】2，． 【解答】解：如图所示，连接OB， ∵BE与⊙O相切， ∴∠OBE＝90°， ∵圆O的半径为2，∠E＝30°， ∴OE＝2OB＝2×2＝4， ∴BE2， ∵BD⊥AC， ∴BD＝2BH，∠BHE＝90°， ∴BHBE2， ∴BD＝2BH＝2； 如图，过点F作FG⊥BD于点G， ∵∠E＝30°， ∴∠BOE＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∵BD⊥AC， ∴， 又∵F为CD的中点， ∴FG是△DCH的中位线， ∴，， ∴， 由勾股定理得； 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD． （1）求证：． （2）若的度数为58°，求∠AOD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接OC．∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACO． ∵AC∥OD， ∴∠OAC＝∠BOD． ∴∠DOC＝∠ACO． ∴∠BOD＝∠COD， ∴． （2）∵， ∴ ∴∠BOD∠BOC（180°﹣58°）＝61°． ∴∠AOD＝58°+61°＝119° 20．（8分）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于M，BN⊥AC于N，BN与CD相交于E． （1）求证：MD＝ME； （2）若AB＝8，OE＝1，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解答； （2）． 【解答】（1）证明：连结BD，如图， ∵AB⊥CD，BN⊥AC， ∴∠BME＝∠CNE＝90°， ∵∠BEM＝∠CEN， ∴∠EBM＝∠C， ∵∠DBM＝∠C， ∴∠EBM＝∠DBM， ∴∠BEM＝∠BDM， ∴BE＝BD， ∵BM⊥DE， ∴MD＝ME； （2）解：连结OA，如图，设⊙O的半径为r， ∵ME＝DM＝OE+OM＝1+OM， 而DM＝r﹣OM， ∴r﹣OM＝1+OM， ∴OM， ∵OM⊥AB， ∴AM＝BMAB＝4， 在Rt△OAM中，（）2+42＝r2， 解得r， 即⊙O的半径为． 21．（8分）某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道口的水平宽AB为12m，AB离地面的高度AE＝5m，连接OA，拱顶最高处C离地面的高度CD为9m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度均为8.5m． （1）求AO的长； （2）求MN的长． 【答案】（1）m； （2）5m． 【解答】解：（1）如图，设CD交AB于点G、交MN于点H． 根据题意，得AB⊥CD， ∵AB＝12m， ∴AGAB＝6m， 设AO＝CO＝r m， ∵CD＝9m，GD＝AE＝5m， ∴CG＝CD﹣GD＝4m， ∴GO＝CO﹣CG＝（r﹣4）m， 在Rt△AGO中利用勾股定理，得AO2＝AG2+GO2， ∴r2＝62+（r﹣4）2， ∴r， ∴AO的长是m． （2）如上图，连接MO． ∵M，N离地面的高度均为8.5m， ∴MN⊥CD， ∴MHMN，HD＝8.5m， ∵DO＝CD﹣COm， ∴HO＝HD﹣DO＝6m， 在Rt△OHM中利用勾股定理，得MH（m）， ∴MN＝2MH＝5m． 22．（8分）学生活动节乐乐使用塑料制作了一个水火箭模型（如图），它的上半部是圆锥形，下半部是圆柱形．已知圆柱的底面积为3.14dm2，母线AD＝6dm，圆锥的高SO＝2dm，母线SD＝2.24dm． （1）制作一个这样的模型（接缝忽略不计）至少需要多少塑料（模型的底部是封闭的，π取3.14，结果精确到0.1dm2）？ （2）模型的最大注水量大约是多少（π取3.14，结果精确到0.1dm3）？ 【答案】（1）47.9dm2； （2）20.9dm3． 【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为r dm， ∴3.14＝3.14r2， ∴r＝1（dm）， ∴圆锥侧面积＝πrl ＝3.14×1×2.24 ＝7.0336 ≈7.03（dm2）， 圆柱侧面积＝2πr1 ＝2×3.14×1×6 ＝37.68（dm2）， ∴7.03+37.68+3.14＝47.85≈47.9（dm2）， 答：制作一个这样的模型（接缝忽略不计）至少需要47.9dm2塑料； （2）3.14×63.14×2 ＝18.84+2.09 ＝20.93 ≈20.9（dm3）， 答：模型的最大注水量大约是20.9dm3． 23．（10分）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点M，N． （1）当∠M＝∠N＝42°时，求∠A的度数； （2）若∠DMC＝α，∠BNC＝β且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的度数． 【答案】（1）∠A＝48°； （2）． 【解答】解：（1）在△CDM与△CBN中，∵∠M＝∠N＝42°，∠MCD＝∠NCB， ∴∠CDM＝∠CBN， ∴180°﹣∠CDM＝180°﹣∠CBN，即∠ADC＝∠ABC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝90°； ∵∠M＝42°， ∴∠A＝90°﹣∠M＝48°； （2）∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠MDC+∠NBC＝180°， ∵∠M+∠MDC+∠MCD＝180°，∠N+∠NCB+∠NBC＝180°， ∴∠M+∠N+∠MCD+∠NCB＝180°， 又∠DMC＝α，∠BNC＝β， ∴∠MCD+∠NCB＝180°﹣（α+β）， ∴∠BCD+∠NCM＝360°﹣（∠MCD+∠NCB）＝180°+（a+β）， ∵∠BCD＝∠NCM， ∴， ∵∠A+∠BCD＝180°， ∴． 24．（10分）如图，AC为⊙O的直径，D，E为⊙O上两点，连接ED，EC，EA，延长EA，CD交于点B，∠EDC＝2∠ACB． （1）求证：AB＝AC； （2）过点D作⊙O的切线，交AB于点F，若，，求BE的长． 【答案】（1）见解析； （2）12． 【解答】（1）证明：∵∠CAE＝∠CDE，∠EDC＝2∠ACB， ∴∠CAE＝2∠ACB， ∵∠CAE＝∠B+∠ACB＝2∠ACB， ∴∠B＝∠ACB， ∴AB＝AC； （2）解：连接AD，OD， ∵AC为⊙O的直径， ∴AD⊥BC，AE⊥CE， ∴BD＝CD， AO＝CO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AB， ∵DF是⊙O的切线， ∴DF⊥OD， ∴DF⊥BE， ∴DF∥CE， ∴BF＝EF， ∵，， ∴EF6， ∴BE＝2EF＝12． 25．（10分）如图1和图2，O为内、外两个圆的圆心，大圆被八等分，分点为A，B，C，D，E，F，G，H．已知两个圆的半径分别为6，2． （1）如图1，若大圆中的弦AP与小圆相切于点M，求AP的长； （2）通过计算比较的长和小圆的周长的大小； （3）如图2，连接OB，AG，通过说理判断OB和AG的位置关系，并求点B到AG的距离． 【答案】（1）8； （2）弧AD的长大于小圆的周长； （3）． 【解答】解：（1）如图1.1，连接OA，OM，则OM⊥AP， ∴AM＝PM， 在Rt△AOM中，OA＝6，OM＝2， ∴， ∴； （2）如图1.2，连接OD， 由题意得3＝135°， ∴弧AD的长为， ∴小圆的周长为2π×2＝4π， ∵， ∴弧AD的长大于小圆的周长； （3）如图2，连接OA，OG． 由题意得 ，2＝90°，OA＝OG， ∴∠OAG＝∠OGA＝45°， ∴∠OAG＝∠AOB， ∴OB∥AG， 过点O作ON⊥AG于点N，则ON＝OA•sin45°． ∵OB∥AG， ∴点B到AG的距离为． 26．（10分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．已知∠A＝100°，∠C＝20°． （1）则∠DFE的度数＝　60　 °． （2）连接OA、OC，则∠AOC的度数＝　120　 °． （3）连接DE，若△ABC的周长为20cm，AC＝6cm，求DE的长． 【答案】（1）60； （2）120； （3）4cm． 【解答】解：（1）∵∠A＝100°，∠C＝20°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝20°， ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F， ∴∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE＝180°﹣∠B＝120°， ∴∠DFE∠DOE＝60°； （2）连接OA、OC， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴AO，CO分别是△ABC的角平分线， ∴∠CAOBAC100°＝50°，∠ACOACB10°， ∴∠AOC＝180°﹣∠CAO﹣∠ACO＝120°； （3）连接DE， ∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F， ∴AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE， ∵AC＝6cm， ∴AF+CF＝AD+CE＝AC＝6cm， ∵△ABC的周长为20cm， ∴BD+BE＝20﹣6×2＝8cm， ∴BD＝BE＝4cm， ∵∠A＝100°，∠C＝20°， ∴∠B＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴DE＝BD＝4cm． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $