3.2.1双曲线及其标准方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程 基础巩固 一、单选题 1．（2025高二上·全国·专题练习）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹为（ ） A．双曲线左支 B．双曲线右支 C．双曲线上支 D．双曲线下支 【答案】B 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】由双曲线的定义可判断. 【详解】因, 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支. 故选：B． 2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线， 因为，，所以， 所以其轨迹方程为. 故选：B 3．（25-26高三上·河南南阳·开学考试）已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、判断方程是否表示双曲线、根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据双曲线方程的特点分焦点在轴或轴两种情况进行讨论分析，可得到正确答案. 【详解】当表示双曲线时，均不为0. 若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以 若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以 当时，若则表示焦点在轴上的双曲线， 若则表示焦点在轴上的双曲线. 所以“”是“为双曲线方程”的充要条件． 故选：C. 4．（24-25高二下·湖南永州·期末）已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】求双曲线的焦距 【分析】根据双曲线的标准方程求出，再计算即可得出答案. 【详解】由双曲线方程可知， 所以，则，． 故选：C. 5．（24-25高二下·浙江·开学考试）已知双曲线的焦距为，则m的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据已知条件得出及双曲线的性质，即可求出m的值. 【详解】由焦距为，， 则，解得：， 故m的值为1. 故选：C. 6．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 7．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 8．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】结合双曲线的定义和余弦定理得，在和中，由余弦定理得，求解即可. 【详解】由题意得，，所以①， 在中，由余弦定理得， 即②，联立①②，解得， 因为， 所以在和中，由余弦定理，得， 结合，可得， 所以， 所以， 所以，得， 所以， 所以，解得． 故选：A 二、多选题 9．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是（   ） A．一个点 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】ACD 【知识点】轨迹问题——椭圆、双曲线定义的理解 【分析】根据分类讨论思想，分点A在圆内、圆上、圆外三种情况，结合椭圆、双曲线的定义，可得答案 【详解】分以下几种情况讨论：设定圆的半径为， ①当点在圆上，连接，则，所以点在线段的中垂线上， 由中垂线的性质可知．又因为点是线段的中垂线与的公共点， 此时点与点重合，此时，点的轨迹为圆心；故A正确； ②当点在圆内，且点不与圆心重合，连接， 由中垂线的性质可得，所以， 此时，点的轨迹是以点A，O为焦点，且长轴长为的椭圆，故C正确； ③当点在圆外：连接， 由中垂线的性质可得，所以，此时，点的轨迹是以点A，O为焦点，且实轴长为的双曲线．故D正确． 故选：ACD． 10．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 【答案】CD 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、判断方程是否表示椭圆、判断方程是否表示双曲线 【分析】根据抛物线标准方程、双曲线标准方程、圆的标准方程、直线的方程的定义和性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】当时，由得，，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，A选项错误； 当时，曲线可化为，得，此时曲线是圆，半径为，B选项错误； 当时，曲线可化为，此时曲线是双曲线，C选项正确； 当，时，曲线可化为，得，此时曲线是两条直线，D选项正确； 故选：CD. 11．已知点为双曲线右支上一点，、分别为圆：、：上的动点，则的值可能为（    ） A．2 B．6 C．9 D．12 【答案】BC 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、双曲线定义的理解、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离，结合双曲线的定义可求出的范围，从而可得答案 【详解】由双曲线的方程可得，焦点为， 圆：的圆心为，半径为2， 圆：的圆心为，半径为1， 所以，， 所以, ， 所以， 故选：BC 三、填空题 12．（2025高二上·全国·专题练习）双曲线的焦距为 . 【答案】或 【知识点】求双曲线的焦距 【分析】分、两种情况，将其化为双曲线的标准方程，得出即可. 【详解】当时，化双曲线的方程为标准方程为， 则，所以，所以焦距为； 当时，化双曲线的方程为标准方程为， 则，所以，所以焦距为， 故双曲线的焦距为或. 故答案为：或. 13．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【知识点】求双曲线的轨迹方程 【分析】设点，根据斜率之积是列出关系式即可. 【详解】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 14．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）双曲线的光学性质如下：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（三点共线），满足，，则 ． 【答案】或 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设，由双曲线定义表示出，解三角形求出，，结合双曲线定义利用表示，从而建立关系式求出（用表示），可求得． 【详解】由题可知三点共线， 三点共线，如图，连接，， 设，则，因为，所以， 又，所以，， 所以，， 所以，得， 则． 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）当为何值时，方程表示下列曲线： (1)圆； (2)椭圆； (3)双曲线． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、根据方程表示椭圆求参数的范围、根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】（1）根据圆的方程的特征求解即可； （2）根据椭圆的标准方程求解即可； （3）根据双曲线的标准方程求解即可. 【详解】（1）因为方程表示圆， 所以，解得； （2）因为方程表示椭圆 所以，解得且， 所以的范围为； （3）因为方程表示双曲线， 所以，解得或. 16．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用、求椭圆的焦点、焦距、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. （2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 17．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知双曲线，、分别是其左右焦点，点，是上的动点，求的取值范围． 【答案】 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】考虑点P在双曲线的两支，左支时，由双曲线定义可得，右支时，，据此可得答案. 【详解】因双曲线为，则. 为双曲线上一点，当在左支上时，由双曲线定义可得: , 当且仅当三点共线时取等号； 当在右支上时，， 所以， 当且仅当三点共线时取等号. 又，则的取值范围为． 18．（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知定点，定直线，曲线上有一动点，过点作直线的垂线，垂足为，且． (1)求曲线的方程； (2)若点在轴的右侧，，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】（1）根据，利用两点间的距离公式计算可得答案； （2）设曲线的左焦点为，由双曲线定义得，当Ｑ，Ｐ，三点共线时，取得最小即周长的最小． 【详解】（1）设．因为，所以， 整理得，即曲线的方程为； （2）设曲线的左焦点为，则． 因为点在双曲线的右支上，所以，所以． 因为， 所以的周长为． 当Ｑ，Ｐ，三点共线时，取得最小值， 所以周长的最小值为． 19．（23-24高二下·上海·期中）已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．    (1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程； (2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？ 【答案】(1)在以为焦点的双曲线右支上， (2)炮击的方位角为北偏东. 【知识点】利用双曲线定义求方程、双曲线的其他应用、求直线与双曲线的交点坐标 【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知在以、为焦点的双曲线右支上，即可求出轨迹方程； （2）首先求出点坐标，依题意点在线段的垂直平分线上，求出的垂直平分线方程，再联立（1）中轨迹方程，求出点坐标，即可求出，从而确定方向. 【详解】（1）依题意，， 又，即， 故在以、为焦点的双曲线右支上， 设双曲线方程为，则且， 所以，所以双曲线方程为. （2）因为且，所以，， 所以， 因为，所以点在线段的垂直平分线上， 因为，中点， 所以直线的方程为， 由 （1） 知点还在上， 由，解得（负值已舍去），所以， 因此，则，所以， 故炮击的方位角为的北偏东.    能力提升 一、单选题 1．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】D 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】不妨设，，，根据面积关系和双曲线的定义可求，即可求解. 【详解】由题意，则， 不妨设，，，设到轴的距离为， 因为为的角平分线，则， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以的周长为. 故选：D 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则最小值为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、由标准方程确定圆心和半径、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接 所以 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：B 3．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点为中点，若，且，则直线的斜率＝（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】通过双曲线的定义以及勾股定理求出，再结合几何关系求出直线的斜率. 【详解】设，因为，所以， 根据双曲线的定义，可得，即， 解得，所以，， 又， 因为为中点，且，所以， 那么， 所以，则， 则， ， 设直线的倾斜角为，则， 则， 所以直线的斜率. 故选：. 4．（2025·安徽蚌埠·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据同角三角函数关系可得，再根据双曲线的定义，设，则，结合余弦定理计算可得与，进而可得，从而得到. 【详解】如图，因为直线的斜率为，所以， 所以，. 设，则，又， 所以，在中， 由余弦定理得， 即，整理得. 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以，即，所以，所以.    故选：B. 二、填空题 5．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M在C上，若，则 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设，，，利用向量得，进而得，在中，由余弦定理得，进而得，最后利用双曲线的定义得，进而得，即可求解. 【详解】设，，，因为， 所以，所以， 即， 在中，由余弦定理得， 两式联立得，，又， 又， 所以，即． 故答案为：.    6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 【答案】/ 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据，得，设，则，利用双曲线定义得，再利用求出可得答案. 【详解】由已知得，所以，， 因为，所以，， 因为，所以， 设，则， 由，得， 又， 所以， 可得， 所以. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1双曲线及其标准方程 题型1 双曲线的定义及应用 4 题型2 求双曲线的标准方程 4 考点1 定义法求方程 4 考点2 待定系数法 5 考点3 共焦点双曲线方程求解 6 题型3 双曲线中的焦点三角形问题 7 题型4 由双曲线方程求参数 8 题型5 双曲线中的最值问题 8 题型6 双曲线与几何性质的综合应用 9 题型7 双曲线方程的实际应用问题 10 知识点一 双曲线的定义 平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线,分左右两支,常数用表示. 两个定点,叫做双曲线的焦点. 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距,用 表示. 双曲线定义用集合表示为：双曲线可看作点集 注：(1)在双曲线定义中,若,即“去掉绝对值符号”,则动点的轨迹为双曲线的一支(靠近点). (2)的大小与点的轨迹如下表所示. 条件 结论 动点的轨迹是双曲线 动点的轨迹是分别以,为端点,与,同向的射线 动点不存在,因而轨迹不存在 动点的轨迹为线段的垂直平分线 知识点二 双曲线的标准方程 1．双曲线的两种标准方程 标准方程 图形 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 焦点坐标 , , 焦距 异同点 相同点：大小、形状相同,都有,,,,的关系都满足 不同点：焦点的位置和坐标不同. 2．双曲线与椭圆的比较 曲线 椭圆 双曲线 定义 标准方程 或 或 图形特征 封闭的连续曲线 分两支,不封闭,不连续 根据标准方程确定,的方法 以大小分,(如中,,则) 以正负分,(如中,,,则) ,,的关系 (最大) (最大) 方程 既可以表示椭圆又可以表示双曲线. (1)当方程表示椭圆时,,应满足或. (2)当方程表示双曲线时,,应满足,当,时,方程表示焦点在轴上的双曲线；当,时,方程表示焦点在轴上的双曲线.若不确定焦点位置,则可设双曲线的方程为或. 知识点三 双曲线方程的其他形式 1．双曲线的一般方程 当时,方程可以变形为.由此可以看出方程表示双曲线的充要条件是,且,异号.此时称方程为双曲线的一般方程. 在求解双曲线的标准方程时,如果我们无法准确判定双曲线的焦点位置,我们可以设双曲线的一般方程为 .当,时,表示焦点在轴上;当,时,表示焦点在轴上. 2．共焦点的双曲线系方程 与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为;(保证分母相加之和不变) 与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为. 知识点四 双曲线的焦点三角形问题 如图,是双曲线上任意一点, ,分别是双曲线的左、右焦点,当点, ,不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形. 设,,,, ,则焦点三角形中有以下常用关系式： (1)定义:. (2)余弦定理的应用：. (3)面积公式：.(注意与椭圆中焦点三角形面积公式的异同). (4)正弦定理的应用： 设的外接圆半径为,则, 所以. (同时也可得到,此即下节学习的双曲线的离心率) 题型1 双曲线的定义及应用 1．（25-26高二上·全国·课后作业）与圆及圆都内切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 2．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．2 B．10 C．2或9 D．2或10 3．（24-25高二下·河南·阶段练习）双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（    ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 4．（多选题）（2025·四川攀枝花·三模）圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 题型2 求双曲线的标准方程 考点1 定义法求方程 5．（23-24高二上·北京·阶段练习）化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 考点2 待定系数法 7．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 8．求焦点在x轴上，且经过点与的双曲线的标准方程为 ． 9．（24-25高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 10．已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 考点3 共焦点双曲线方程求解 11．与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 12．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 13．如果方程表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（    ） A． B． C． D． 14．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为. 题型3 双曲线中的焦点三角形问题 15．（2025高三·全国·专题练习）为双曲线上的任意一点，为焦点，若，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 17．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 18．（2025·宁夏银川·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 19．（2025·陕西安康·二模）设双曲线的左、右焦点分别为，，坐标原点为，第一象限的点在双曲线上，连接并延长交双曲线另一点，若，则（   ） A． B．8 C． D． 题型4 由双曲线方程求参数 20．（24-25高一下�上海奉贤�期中）若双曲线的一个焦点为，则 ． 21．（2025·陕西渭南·二模）若双曲线的焦距为6，则（    ） A．5或 B．3 C．5 D． 22．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高三上·江西·阶段练习）“”是方程“”表示双曲线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型5 双曲线中的最值问题 26．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 27．（2025高三�全国�专题练习）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是 . 28．（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 29．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 30．设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 31．过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 题型6 双曲线与几何性质的综合应用 32．已知双曲线的左、右焦点分别为，，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为I，过作直线PI的垂线，垂足为B，则点B的轨迹是（    ） A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．双曲线 33．（24-25高二上�湖北�阶段练习）双曲线（，）的左、右焦点分别为，.是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高二下�陕西�阶段练习）已知双曲线，，分别为其左、右焦点，O为坐标原点，为E上一点，且，M为的中点，则 . 35．已知点，点是双曲线的右焦点，点是双曲线右支上一动点，则当的周长取得最小时的面积为 ; 36．（24-25高二下�广东东莞�阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线第一象限上一点，的角平分线为，过点作的平行线，分别与，交于，两点，若，则的面积为 . 题型7 双曲线方程的实际应用问题 37．（24-25高二下·上海浦东新·期中）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是 .      38．（24-25高二上·北京西城·期末）某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为 cm. 39．（23-24高二下·浙江·阶段练习）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 40．（24-25高二上·辽宁·期中）如图A､B､C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6km，C在A的北偏东30°，两地相距4km，在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐标 . 41．（24-25高二上�上海闵行�阶段练习）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由； (2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1双曲线及其标准方程 题型1 双曲线的定义及应用 5 题型2 求双曲线的标准方程 8 考点1 定义法求方程 8 考点2 待定系数法 9 考点3 共焦点双曲线方程求解 12 题型3 双曲线中的焦点三角形问题 14 题型4 由双曲线方程求参数 19 题型5 双曲线中的最值问题 21 题型6 双曲线与几何性质的综合应用 26 题型7 双曲线方程的实际应用问题 31 知识点一 双曲线的定义 平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线,分左右两支,常数用表示. 两个定点,叫做双曲线的焦点. 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距,用 表示. 双曲线定义用集合表示为：双曲线可看作点集 注：(1)在双曲线定义中,若,即“去掉绝对值符号”,则动点的轨迹为双曲线的一支(靠近点). (2)的大小与点的轨迹如下表所示. 条件 结论 动点的轨迹是双曲线 动点的轨迹是分别以,为端点,与,同向的射线 动点不存在,因而轨迹不存在 动点的轨迹为线段的垂直平分线 知识点二 双曲线的标准方程 1．双曲线的两种标准方程 标准方程 图形 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 焦点坐标 , , 焦距 异同点 相同点：大小、形状相同,都有,,,,的关系都满足 不同点：焦点的位置和坐标不同. 2．双曲线与椭圆的比较 曲线 椭圆 双曲线 定义 标准方程 或 或 图形特征 封闭的连续曲线 分两支,不封闭,不连续 根据标准方程确定,的方法 以大小分,(如中,,则) 以正负分,(如中,,,则) ,,的关系 (最大) (最大) 方程 既可以表示椭圆又可以表示双曲线. (1)当方程表示椭圆时,,应满足或. (2)当方程表示双曲线时,,应满足,当,时,方程表示焦点在轴上的双曲线；当,时,方程表示焦点在轴上的双曲线.若不确定焦点位置,则可设双曲线的方程为或. 知识点三 双曲线方程的其他形式 1．双曲线的一般方程 当时,方程可以变形为.由此可以看出方程表示双曲线的充要条件是,且,异号.此时称方程为双曲线的一般方程. 在求解双曲线的标准方程时,如果我们无法准确判定双曲线的焦点位置,我们可以设双曲线的一般方程为 .当,时,表示焦点在轴上;当,时,表示焦点在轴上. 2．共焦点的双曲线系方程 与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为;(保证分母相加之和不变) 与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为. 知识点四 双曲线的焦点三角形问题 如图,是双曲线上任意一点, ,分别是双曲线的左、右焦点,当点, ,不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形. 设,,,, ,则焦点三角形中有以下常用关系式： (1)定义:. (2)余弦定理的应用：. (3)面积公式：.(注意与椭圆中焦点三角形面积公式的异同). (4)正弦定理的应用： 设的外接圆半径为,则, 所以. (同时也可得到,此即下节学习的双曲线的离心率) 题型1 双曲线的定义及应用 1．（25-26高二上·全国·课后作业）与圆及圆都内切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 【答案】B 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、双曲线定义的理解 【分析】设所求圆的圆心为，半径为，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 设所求圆的圆心为，半径为，如图所示， ，， 所以，且， 所以圆心的轨迹是以分别为左、右焦点的双曲线的左支． 故选：B. 2．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．2 B．10 C．2或9 D．2或10 【答案】B 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】根据双曲线的定义求解. 【详解】，，，， 由，由得或10， 又. 所以. 故选：B. 3．（24-25高二下·河南·阶段练习）双曲线：上的点到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（    ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 【答案】C 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的定义来求解点到左焦点的距离. 【详解】对于双曲线，可得，则. 设双曲线的左右焦点分别为，已知点到右焦点的距离为19，即. 根据双曲线的定义，则有. 可得或. 当时，； 当时，. 所以点到左焦点的距离为或. 故选：C. 4．（多选题）（2025·四川攀枝花·三模）圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【知识点】轨迹问题——圆、轨迹问题——椭圆、双曲线定义的理解 【分析】由题设条件线段和垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）若为圆内的一定点，P是圆O上一个动点，线段AP的垂直平分线l与 直线OP相交于点Q，可得，， 即动点到两定点的距离之和为定值， ①当不重合时，根据椭圆的定义，可知点的轨迹是：以为焦点的椭圆； ②当重合时，点的轨迹是以为圆心的圆； （2）若为圆外的一定点，为圆上的一动点，线段的垂直平分线交直线于点， 可得，，即动点到两定点 的距离之差绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是： 以为焦点的双曲线； （3）若为圆上的一定点，为圆上的一动点，此时点的轨迹是圆心. 综上可得即点的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线. 故选：ABC 题型2 求双曲线的标准方程 考点1 定义法求方程 5．（23-24高二上·北京·阶段练习）化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】由双曲线定义即可求解. 【详解】设动点，则由题意可得， 所以动点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数8，又， 所以由双曲线定义可知P点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 6．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】根据题意得且，则，根据双曲线定义得点的轨迹是以为焦点的双曲线，求出其方程即可得解. 【详解】如图，连接，由题意可得，且为的中点， 又为的中点，所以且． 连接，因为点关于点的对称点为， 线段的垂直平分线与直线相交于点， 由垂直平分线的性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，，， 所以，所以曲线的方程为， 令可得，即． 考点2 待定系数法 7．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）利用求出双曲线的标准方程. （2）设出双曲线的标准方程，结合给定点的坐标求出即可. （3）设方程为，建立方程组求解即得. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 8．求焦点在x轴上，且经过点与的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】设出双曲线方程，代入点的坐标，待定系数法求出标准方程. 【详解】设双曲线的标准方程为（，）， 因为点，在双曲线上， 所以有，解得 所以双曲线的标准方程为． 故答案为： 9．（24-25高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【详解】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 10．已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据条件设，，由条件求得，即可求得双曲线方程. 【详解】设，则由已知得，，又，，又，，双曲线的标准方程为. 故选：D 考点3 共焦点双曲线方程求解 11．与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】首先设出双曲线方程，求出的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出的值即可求解. 【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为， 则，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为， 由双曲线的定义可知， 所以， 所以所求双曲线的标准方程为. 故选：C. 12．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【详解】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 13．如果方程表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 【分析】分和，再结合双曲线、椭圆的标准方程，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】若，则方程表示焦点为的双曲线， 此时选项A和选项B中的方程表示的曲线不存在， 选项C和选项D中的方程表示焦点在轴的椭圆，所以不合题意， 若，则方程表示焦点为的双曲线， 此时选项C和选项D中的方程表示的曲线不存在， 又表示焦点为的椭圆，符合题意， 表示焦点为的椭圆，不合题意， 故选：A. 14．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】结合题意，利用待定系数法即可求取双曲线的标准方程. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）椭圆的两个焦点为、， 故该双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为， 令，即有，解得， 故有，解得， 故双曲线的标准方程为. 题型3 双曲线中的焦点三角形问题 15．（2025高三·全国·专题练习）为双曲线上的任意一点，为焦点，若，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义和余弦定理以及三角函数二倍角公式即可求解. 【详解】设，，， 列， 所以． ， 故选：A． 16．（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解． 【详解】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 17．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义确定的长，再由定义可得，由得为等腰直角三角形，从而可求得的面积. 【详解】由双曲线的实轴长为4，得， 所以， 又，所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以为等腰直角三角形， 由，得， 所以的面积为. 故选：A. 18．（2025·宁夏银川·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，得即可求解. 【详解】设，由在以为直径的圆上可得， 所以，四边形为矩形，则， 由双曲线，得， 所以，又由双曲线的定义有， 所以，得， 所以， 即，而， 所以，所以的周长为. 故选：C. 19．（2025·陕西安康·二模）设双曲线的左、右焦点分别为，，坐标原点为，第一象限的点在双曲线上，连接并延长交双曲线另一点，若，则（   ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】连接，可得四边形为平行四边形，则，设，则，然后结合双曲线的定义可求出，再利用余弦定理求出，再由两边平方化简可求出，从而可求出. 【详解】连接，由题意可得，， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以， 设，则，， 所以，得， 所以，， 在中，由余弦定理得， 因为为的中点，所以， 所以 ， 所以，即， 所以. 故选：C 题型4 由双曲线方程求参数 20．（24-25高一下�上海奉贤�期中）若双曲线的一个焦点为，则 ． 【答案】 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据双曲线即可求解． 【详解】由题得，， 故答案为：4． 21．（2025·陕西渭南·二模）若双曲线的焦距为6，则（    ） A．5或 B．3 C．5 D． 【答案】D 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、求双曲线的焦距 【分析】根据双曲线焦点的不同位置分类，列出不等式组，解之即得. 【详解】若双曲线的焦点在轴上， 依题意可得，解得； 若双曲线的焦点在轴上， 依题意可得，解得. 综上可得：. 故选：D. 22．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】利用双曲线方程的特征列式求解即得. 【详解】方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，解得， 所以实数m的取值范围是 故选：C 23．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 24．（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】利用双曲线的标准方程即可得到结果. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 故的取值范围为． 故选：B. 【点睛】对于方程，我们并不能确定它所表示的曲线是否为双曲线，需要对参数m，n进行讨论．只有时，方程才表示双曲线，且当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上． 25．（25-26高三上·江西·阶段练习）“”是方程“”表示双曲线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据方程表示双曲线，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若方程表示双曲线，则满足，解得或， 所以“”是方程“”表示双曲线的充分不必要条件. 故选：A. 题型5 双曲线中的最值问题 26．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值； 【详解】设双曲线的右焦点为. 对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为. 故答案为： 27．（2025高三�全国�专题练习）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是 . 【答案】6 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 设是的下焦点，则，由双曲线定义可得，如图：    所以，又， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故答案为：6 28．（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 【答案】8 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、双曲线定义的理解、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据给定条件，求出圆心及半径，利用圆的性质及双曲线定义求出最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 29．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据双曲线定义可得，结合圆的切线性质可得，结合图形，即得答案. 【详解】如图所示，双曲线方程的两焦点坐标为，， 连接，，，，则， 因为，， 所以 ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故选：B. 30．设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据双曲线的方程求出的值，由双曲线的定义可得，由双曲线的性质可知，利用函数的单调性即可求得最小值. 【详解】由双曲线：可得 ，，所以， 所以，， 由双曲线的定义可得，所以， 所以， 由双曲线的性质可知：，令，则， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，此时点为双曲线的右顶点， 即的最小值为， 故选：C. 31．过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．32 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、切线长、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，且双曲线左右焦点为两圆圆心，连接，应用勾股定理及双曲线定义及已知确定相关线段和差最值，即可求结果. 【详解】由题设中圆心，半径， 中圆心，半径， 根据双曲线方程知其左右焦点为，连接， 所以， 所以 ， ， 当且仅当为双曲线右顶点时等号成立， 故的最小值为30. 故选：C. 题型6 双曲线与几何性质的综合应用 32．已知双曲线的左、右焦点分别为，，e为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为I，过作直线PI的垂线，垂足为B，则点B的轨迹是（    ） A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．双曲线 【答案】B 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线定义的理解 【分析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把，转化为，从而求得点A的横坐标．再在三角形中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形中，利用中位线定理得出，即可得到结论．． 【详解】、，内切圆与轴的切点是点， ，及圆的切线长定理知，，设内切圆的圆心横坐标为，则，；， 在中，由题意得，于，延长交于点，易得PB是的中垂线，故点B是线段的中点，在三角形中， 有：． 即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 故选：B． 33．（24-25高二上�湖北�阶段练习）双曲线（，）的左、右焦点分别为，.是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】由所给条件可转化为中角的正弦值，利用正弦定理由正弦值之比得出边长之比，再由面积 求出边长，利用双曲线定义求得解. 【详解】如图：由题可知，点必落在第四象限，， 设，，，由，求得， 因为，所以，求得，即，， 由正弦定理可得：， 则由得，， 由得， 则，，，， 由双曲线定义可得：，，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 34．（24-25高二下�陕西�阶段练习）已知双曲线，，分别为其左、右焦点，O为坐标原点，为E上一点，且，M为的中点，则 . 【答案】1或7 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由双曲线方程得到的值，根据双曲线的定义，分在左支和右支两种情况分别求出并讨论是否成立，再利用三角形的中位线即可求出. 【详解】因为双曲线，所以，， 故焦点坐标为. ①若在左支上， ，， 由双曲线的定义可知， 因为，所以，而，所以符合题意. 因为M为的中点，所以在中， 由三角形中位线定理可知； ②若在右支上， ，， 由双曲线的定义可知， 因为，所以，而，所以符合题意. 因为M为的中点，所以在中， 由三角形中位线定理可知； 故答案为：1或7 35．已知点，点是双曲线的右焦点，点是双曲线右支上一动点，则当的周长取得最小时的面积为 ; 【答案】 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】先求得左焦点的坐标，根据双曲线的定义求得的周长，根据直线的方程和双曲线方程，求得点的纵坐标，进而求得的面积. 【详解】双曲线，， 右焦点，设其左焦点为， 则， 当且仅当三点共线时等号成立，此时在第一象限， 此时直线的方程为， 由，以及点在第一象限，可得点P的纵坐标， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解双曲线上的点到焦点和定点的距离的和差的最值，可以通过双曲线的定义进行转化，转化为三点共线等情况来求解最值.求三角形的面积，可利用三角形的面积公式直接求解，也可以利用割补法来进行求解. 36．（24-25高二下�广东东莞�阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线第一象限上一点，的角平分线为，过点作的平行线，分别与，交于，两点，若，则的面积为 . 【答案】 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的焦距、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】由条件可得，由此得到，利用三角形相似可得，推出，结合角平分线定理得到，结合双曲线的定义求出，分析出为直角三角形可得结果. 【详解】如图，记与轴交于点， 由题意得，，，故，. ∵，为中点， ∴为的中位线， ∴，， 由得与相似，∴， ∴，， ∵的角平分线为， ∴由角平分线定理得，， 由双曲线的定义得，， ∴， ∴，故为直角三角形， ∴的面积为. 故答案为：. 题型7 双曲线方程的实际应用问题 37．（24-25高二下·上海浦东新·期中）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是 .      【答案】 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】设双曲线的标准方程为，分析可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上，由此可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出双曲线的标准方程. 【详解】以双曲线最小口径所在直线为轴，轴与该双曲线两交点连线线段的中点为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，    由题意可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上， 设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，因此，该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 38．（24-25高二上·北京西城·期末）某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状. 由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为 cm. 【答案】 【知识点】双曲线的其他应用 【分析】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求得双曲线方程，令，可求结论. 【详解】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意，，所以， 因双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为， 又点在双曲线上，所以，解得， 所以双曲线方程为，因为斧高12cm， 令，得，所以，解得， 所以，所以. 故答案为：. 39．（23-24高二下·浙江·阶段练习）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 【答案】D 【知识点】双曲线与桥梁问题 【分析】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系，水面上升5米后，设水面宽为CD，设D.由题可得，代入方程可得，后可得x，即可得答案. 【详解】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系. 水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中. 又由题可得，代入双曲线方程可得： ，则D. 将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D. 又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米. 故选：D 40．（24-25高二上·辽宁·期中）如图A､B､C是三个雷达观察哨，A在B的正东，两地相距6km，C在A的北偏东30°，两地相距4km，在某时刻，B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为1km/s，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的点P的坐标 . 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、利用双曲线定义求方程 【分析】由条件分析可得点在线段的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点在以､为焦点的双曲线的左支上，联立方程即可得解. 【详解】由题意，点，，即， 则线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线的斜率，故其方程为，即， 因为B观察哨发现某种信号，测得该信号传播速度为，4s后A､C两个观察哨同时发现该信号， 所以，. 设，由可得点在线段的垂直平分线上， 又，则点在以､为焦点的双曲线的左支上， 故该双曲线的方程为，即， 由，解得. 所以点的坐标为. 故答案为： 41．（24-25高二上�上海闵行�阶段练习）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由； (2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程. 【答案】(1)的长度最短，理由见解析 (2) 【知识点】求平面两点间的距离、利用双曲线定义求方程 【分析】（1）利用两点距离公式，通过比较，可得答案； （2）由题意整理等量关系，结合双曲线方程，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，，， ，， 路线的长度：， 路线的长度：， 因为，则路线的长度最短. （2）设点，已知， 可得， 所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分， 则，即，又因为，， 则点的轨迹方程为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1双曲线及其标准方程 基础巩固 一、单选题 1．（2025高二上·全国·专题练习）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹为（ ） A．双曲线左支 B．双曲线右支 C．双曲线上支 D．双曲线下支 2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南南阳·开学考试）已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二下·湖南永州·期末）已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 5．（24-25高二下·浙江·开学考试）已知双曲线的焦距为，则m的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 6．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 8．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知点P为定圆O上的动点，点A为圆O所在平面上异于点O的定点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则点Q的轨迹可能是（   ） A．一个点 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 10．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 11．已知点为双曲线右支上一点，、分别为圆：、：上的动点，则的值可能为（    ） A．2 B．6 C．9 D．12 三、填空题 12．（2025高二上·全国·专题练习）双曲线的焦距为 . 13．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为 ． 14．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）双曲线的光学性质如下：从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（三点共线），满足，，则 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）当为何值时，方程表示下列曲线： (1)圆； (2)椭圆； (3)双曲线． 16．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 17．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知双曲线，、分别是其左右焦点，点，是上的动点，求的取值范围． 18．（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知定点，定直线，曲线上有一动点，过点作直线的垂线，垂足为，且． (1)求曲线的方程； (2)若点在轴的右侧，，求周长的最小值． 19．（23-24高二下·上海·期中）已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．    (1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程； (2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？ 能力提升 一、单选题 1．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则最小值为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 3．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点为中点，若，且，则直线的斜率＝（   ） A． B．或 C． D．或 4．（2025·安徽蚌埠·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M在C上，若，则 ． 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $