3.1.2椭圆的简单几何性质讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高二上·全国）椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据椭圆方程求得椭圆的焦点在轴上，且，即可求得焦点坐标. 【详解】由可知椭圆的焦点在轴上，且，， 则，故椭圆焦点的坐标为，． 故选：D 2．（2025高三�全国�专题练习）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”正式亮相后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在科技课上，老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为（    ）. A．15 B．20 C．22 D．25 【答案】B 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【分析】求出大椭圆的离心率，根据两个椭圆离心率相等，得到小椭圆的离心率，结合小椭圆的短轴长，即可得小椭圆的长轴长. 【详解】根据题意，在大椭圆中，，解得， 则在大椭圆中，， 又两个椭圆扁平度相同，即离心率相等， 根据题意，在小椭圆中，，解得， 则在小椭圆中，， 即，解得，， 所以小椭圆的长轴长为. 故选：B． 3．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】根据长短轴的比值可得，再由以及，可求得椭圆方程. 【详解】由题意可得，即， 又，即， 联立并代入可得， 解得 所以椭圆方程为. 故选：B 4．（25-26高二上�重庆�阶段练习）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，且的面积为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】利用三角形面积公式及已知可得，再由余弦定理求得，最后由椭圆参数关系求参数，即可得解. 【详解】由题设， 可得，又为上顶点，则， 故， 所以，则，故标准方程为. 故选：A. 5．（25-26高二上�江苏连云港�阶段练习）设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、由椭圆的离心率求参数的取值范围 【分析】设，求得，根据椭圆的离心率为，求得，再由斜率公式，化简得到，即可求解. 【详解】由椭圆，可得， 设，由，可得， 因为椭圆的离心率为，可得，解得， 又因为，可得. 故选：C. 6．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由已知条件得出，再利用公式可求出椭圆的离心率. 【详解】因为椭圆的长轴长是短轴长的倍，则，即， 故椭圆的离心率为. 故选：C. 7．（25-26高三上�四川泸州�开学考试）设椭圆的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线上但不同于右顶点.连接FP交椭圆于点Q，且.连接QO（O为坐标原点）交椭圆于另一点且A，，P三点共线，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中向量共线比例问题 【分析】根据给定条件，设点，结合椭圆对称性求出点的坐标，再利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】设椭圆的半焦距为，则，设， 由，得，于是，， 而，则，由三点共线，得， 于是，解得，此时或符合题意， 所以椭圆的离心率为. 故选：B    8．（25-26高二上�河南驻马店�阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．存在点满足 D．若△的面积为，则点的横坐标为 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】根据椭圆的概念和几何性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A，由椭圆的方程可得，所以， 所以，故A错误； 对选项B，设，则，所以， 由题意得， 所以，故B错误； 对选项C，因为椭圆， 可得，，所以，因为，所以， 所以，所以为直径的圆与椭圆无交点， 故不存在点满足，故C错误； 对选项D，，则， 则，解得，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上�重庆�阶段练习）已知椭圆：，下列选项正确的是（   ） A．当时，的焦点在轴上 B．的长轴长为 C．的短轴长与长轴长的平方和为定值 D．当时，的焦点在轴上 【答案】AC 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的长轴、短轴 【分析】根据椭圆标准方程的形式、性质及焦点所在的位置分情况讨论即可． 【详解】对于A，时，，的焦点在轴上，故A正确； 对于B，若，则椭圆焦点在轴上， ，长轴长为：，B错误； 对于C，因为，所以，C正确； 对于D，椭圆的焦点在轴上的充分必要条件是，解得， 所以当时得不出椭圆的焦点在轴上，故D错误； 故选：AC． 10．（25-26高二上�重庆�阶段练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列结论正确的有（   ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的长轴长为2 C．若A， B为左右顶点，则直线PA， PB斜率乘积为 D．的面积的最大值为 【答案】ACD 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】AB选项，根据椭圆方程得到，，从而求出离心率和长轴长；C选项，设求得的斜率，利用点在椭圆上得到，代入化简即得；D选项，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，求出两根之和、两根之积，求出和点到直线的距离为，表达出的面积，求出最大值. 【详解】AB选项，由题意得，故， 故椭圆的离心率为，长轴长为，A正确，B错误； C选项，∵ A,B 为的左、右顶点，∴, 设由题意得，则， 的斜率为 则，故C正确；    D选项，设不过原点且斜率为1的直线为， 联立得，， 由，解得， 设，则， 则， ， 点到直线的距离为， 故的面积为 ， 因为，所以， 故当时，的面积取得最大值，最大值为，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高二上�黑龙江大庆�阶段练习）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆，其左、右焦点分别是，直线与椭圆相切于点，且关于直线的对称点为，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点在以为圆心，16为半径的圆上 D． 【答案】ABC 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】对A：根据椭圆的定义结合余弦定理计算即可得；对B：根据题意结合椭圆的光学性质可得为的角平分线，再利用等面积法计算即可得；对C：借助椭圆的光学性质计算即可得；对D：根据题意结合正弦定理运算即可得. 【详解】对A：由题意可得，， 则，， 则，故A正确； 对B：由椭圆光学性质结合可得为的角平分线， 又， 则， 化简得，即，故B正确； 对C：由椭圆光学性质可得在直线上，且， 则，故点在以为圆心，16为半径的圆上，故C正确； 对D：由正弦定理可得，， 即有，， 又、， 故，则， 即，故，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（25-26高二上�上海�期中）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是 【答案】 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】由题意直线恒过的定点在椭圆上或椭圆内，结合表示焦点在轴上的椭圆，即可列不等式求解. 【详解】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点， 则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或， 又表示焦点在轴上的椭圆，故，. 故答案为：. 13．（25-26高二上�黑龙江哈尔滨�阶段练习）若椭圆上一动点，为圆的任意一直径，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、根据椭圆方程求a、b、c、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】首先得到椭圆的、、，以及圆心坐标与半径，再由数量积的运算律得到，利用椭圆的性质求解的范围，从而可得答案. 【详解】椭圆的，，则， 圆的圆心为，半径，则为椭圆的右焦点， 又 ， 由椭圆的性质可得，即， 所以． 故答案为： 14．（2025高二�全国�专题练习）设椭圆的左焦点为，动点在轴上，直线交椭圆于两点，若，，则实数 ． 【答案】 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中向量共线比例问题 【分析】利用，得到代入椭圆方程，借助韦达定理计算即可. 【详解】设，，，易知， 因为，， 所以，， 整理得：， 因为，在椭圆上， 将代入椭圆方程， 整理可得， 所以． 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上�内蒙古通辽�阶段练习）已知椭圆的离心率为，焦距为2. (1)求椭圆的方程； (2)求椭圆中以为中点的弦所在的直线方程. 【答案】(1)； (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）利用离心率和焦距概念即可求解椭圆方程； （2）利用点差法来求中点弦方程. 【详解】（1）由题意，解得， 由，所以椭圆方程为； （2）设椭圆中以为中点的弦为，且， 由点在椭圆上得，两式相减得， 整理得，又， 所以上式可化为， 所以中点弦的斜率为, 则中点弦的方程为，整理得. 16．（25-26高三上�云南昭通�阶段练习）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆相交于点，，若的面积是，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据面积公式及离心率公式计算得出，，即可得出标准方程； （2）先分直线的斜率为0和直线的斜率不为0设直线方程，再联立方程计算面积结合韦达定理计算求参即可. 【详解】（1）由题意：，所以．     又因为，，所以，，    即椭圆的方程为． （2）当直线的斜率为0时，，，三点共线，不符合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，，， 联立方程组得， ∴         ，    ∴，    ∴                      ∴直线的方程为或， 即直线的方程为或． 17．（25-26高三上�天津红桥�阶段练习）已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，离心率为，过椭圆的左焦点F且倾斜角为的直线与圆相切. (1)求椭圆的方程； (2)过点且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】已知切线求参数、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）由题意可得，进而得到，，再结合直线与圆的位置关系求解即可； （2）设直线l的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求得，再由、两点关于轴对称，得到直线的方程，令，代入求得的表达式，代入即可求证． 【详解】（1）由题意知，离心率，即， 则，即，则， 由圆，则圆心为，半径为， 过椭圆的左焦点F且倾斜角为的直线方程为，即，， 由于此直线与圆相切， 则，解得，则，， 所以椭圆的方程为． （2）由题意设直线l的方程为， 由，得， 设，，则，， 因为、两点关于轴对称，所以， 直线的方程为， 令得： ， 所以直线与轴交于定点．    18．（25-26高三上�贵州贵阳�阶段练习）动点与定点的距离与到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过点F的直线（不与x轴重合）与C交于P，Q两点，过点的直线和，与直线的交点分别为M，N，记直线和的斜率分别为和，证明：为定值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】斜率公式的应用、轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据给定条件，列出方程并化简即得. （2）设出直线方程及点坐标，求出点的坐标，联立直线与的方程，利用韦达定理及斜率坐标公式求解即得. 【详解】（1）设点，依题意，，化简整理得，即， 所以曲线C的方程为. （2）设直线的方程为，， 由消去得，显然， 则，直线的方程为，则，同理， 则， 所以为定值. 19．（25-26高三上�陕西西安�阶段练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设为坐标原点，过点且与坐标轴不垂直的直线与轨迹交于两点.线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在， 【知识点】轨迹问题——椭圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据圆与圆的位置关系可得圆心距与半径的关系，结合椭圆的定义判断轨迹为椭圆，利用椭圆的定义求解． （2）联立直线与椭圆方程，由已知条件推导出直线的方程，求出点横坐标，判断其取值范围，由此得出结论． 【详解】（1）设圆的半径为，圆的半径为，，圆的半径为， 因为：，： 所以，，，， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，为长轴长的椭圆，， 故轨迹的方程为； （2）设直线的方程为，，代入，得，恒成立， 设，，线段的中点为， 则，， 由，得， 所以直线的方程为， 令，点横坐标， 因为，所以， 所以， 所以线段上存在点，使得，其中。 五、能力提升 1．（24-25高二下�湖北荆门�期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】根据面积公式结合定义计算求解得出或，再联立方程结合判别式计算求解. 【详解】设直线与x轴的交点为M，则． 所以，． 因为，所以． 由得，即，，． 所以，解得或． 因为与C有两个交点，联立消y得， 则，解得．所以 故选：C. 2．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可. 【详解】设， 因为为线段的中点，所以， 由，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，则，即椭圆的焦点在轴上， 即，则， 所以. 故选：B. 3．（25-26高三上�山西大同�开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，的平分线交轴于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用等面积法可得，结合可得，继而利用比例的性质可得，即得答案. 【详解】由题意知的平分线交轴于点，故， 故，（d为的边上的高）， 即得，结合可得， 所以， 对于有， 故，即的离心率为. 故选：A 4．（24-25高二上�浙江�期中）自19世纪之后，折纸艺术与自然科学结合到了一起，它开始在西方成为教育教学和科学研究的工具.随着折纸过程中的数学之迷被解开，折纸发展成为了现代几何学的一个分支.现有一张半径为，圆心为的圆形纸片，在圆内选定一点且.将圆形纸片翻折一角，使圆周正好过点，把纸片展开后，留下一条折痕，折痕上到两点距离之和最小的点为.如此反复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线，线段的中点为，在上任取一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、轨迹问题——椭圆 【分析】利用折叠的几何性质及椭圆的定义先判定曲线的轨迹，再建立直角坐标系，结合向量的坐标运算和函数的最值的求法即可求解. 【详解】 如图所示，设折痕为直线，点与关于折痕对称，，在上任取一点， 由中垂线的性质可知：， 当且仅当与重合时取等号. 即折痕上到两点距离之和最小的点为，且. 故的轨迹是以为焦点，且长轴长为的椭圆，焦距，， 故， 以所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系， 则曲线的方程为，则，， 设，则，， 则，， 因此可得，， 由二次函数的性质知，当时，取得最小值为 故选：A. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法， （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解． （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)． 5．（多选题）（24-25高三上�云南�阶段练习）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【知识点】椭圆的对称性、椭圆定义及辨析、圆锥曲线新定义 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 6．（多选题）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔•蒙日最先发现，已知长方形R的四条边均与椭圆相切，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为 C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积的最大值为 【答案】ACD 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的最值问题 【分析】根据题意，根据椭圆离心率公式即可判断A；联立直线与椭圆方程结合韦达定理即可得到椭圆方程，从而判断BC；根据三角形面积公式即可判断D. 【详解】 椭圆C的离心率为， 设两条互相垂直的切线的交点为， 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是，或. 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是，（，且）， 所以可设曲线C的过点P的切线方程是. 由，得， 由其判别式的值为0，得， 因为，（，为过P点互相垂直的两条直线的斜率）是这个关于k的一元二次方程的两个根， 所以， 由此，得， 即的蒙日圆方程为：； 因为蒙日圆为长方形的外接圆，设，， 则矩形面积公式为，显然， 即矩形四条边都相等，为正方形时，. 故选:ACD. 7．（25-26高三上�湖南长沙�阶段练习）已知 为坐标原点， ，为椭圆 的左、右焦点， ，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰三角形的内切圆圆心，过 作，垂足为， ，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】根据椭圆的定义及三角形内切圆的几何性质，以及三角形中位线的性质可得出. 【详解】在等腰中，. 分别延长与，交于点，因为点是三角形的内切圆圆心，所以为的平分线，如图： 又因，故与全等，所以为的中点且. 又因为为的中点，为三角形的中位线， 所以，得. 所以由椭圆的定义可得，得，所以离心率为. 故答案为： 8．（24-25高二上�江西新余�阶段练习）已知椭圆，其长轴长为4且离心率为，在椭圆上任取一点，过点作圆的两条切线．切点分别为，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的最值问题 【分析】先求得，设，得，换元，利用函数单调性即可求解． 【详解】依题意，，解得，所以椭圆方程为. 设点，则，可得，点， ， ，则 不妨设， 则 ， 令，， 则， 由对勾函数的性质可知，在递增， 故，此时， 故的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题以椭圆的基本性质为基础，通过构造函数的方法求最值，综合考查了几何与代数的结合能力．解题过程中，通过换元将几何问题代数化，利用函数单调性进行最值分析，充分展示了数学中的抽象与简化技巧 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2椭圆的简单几何性质 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高二上·全国）椭圆的标准方程为，其焦点的坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025高三�全国�专题练习）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”正式亮相后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在科技课上，老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为（    ）. A．15 B．20 C．22 D．25 3．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高二上�重庆�阶段练习）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，且的面积为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上�江苏连云港�阶段练习）设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上�四川泸州�开学考试）设椭圆的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线上但不同于右顶点.连接FP交椭圆于点Q，且.连接QO（O为坐标原点）交椭圆于另一点且A，，P三点共线，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D．   8．（25-26高二上�河南驻马店�阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．存在点满足 D．若△的面积为，则点的横坐标为 二、多选题 9．（25-26高二上�重庆�阶段练习）已知椭圆：，下列选项正确的是（   ） A．当时，的焦点在轴上 B．的长轴长为 C．的短轴长与长轴长的平方和为定值 D．当时，的焦点在轴上 10．（25-26高二上�重庆�阶段练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列结论正确的有（   ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的长轴长为2 C．若A， B为左右顶点，则直线PA， PB斜率乘积为 D．的面积的最大值为 11．（25-26高二上�黑龙江大庆�阶段练习）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线通过椭圆的另一个焦点.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆，其左、右焦点分别是，直线与椭圆相切于点，且关于直线的对称点为，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点在以为圆心，16为半径的圆上 D． 三、填空题 12．（25-26高二上�上海�期中）若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是 13．（25-26高二上�黑龙江哈尔滨�阶段练习）若椭圆上一动点，为圆的任意一直径，则的取值范围为 ． 14．（2025高二�全国�专题练习）设椭圆的左焦点为，动点在轴上，直线交椭圆于两点，若，，则实数 ． 四、解答题 15．（25-26高二上�内蒙古通辽�阶段练习）已知椭圆的离心率为，焦距为2. (1)求椭圆的方程； (2)求椭圆中以为中点的弦所在的直线方程. 16．（25-26高三上�云南昭通�阶段练习）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆相交于点，，若的面积是，求直线的方程． 17．（25-26高三上�天津红桥�阶段练习）已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，离心率为，过椭圆的左焦点F且倾斜角为的直线与圆相切. (1)求椭圆的方程； (2)过点且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点. 18．（25-26高三上�贵州贵阳�阶段练习）动点与定点的距离与到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过点F的直线（不与x轴重合）与C交于P，Q两点，过点的直线和，与直线的交点分别为M，N，记直线和的斜率分别为和，证明：为定值． 19．（25-26高三上�陕西西安�阶段练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设为坐标原点，过点且与坐标轴不垂直的直线与轨迹交于两点.线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 五、能力提升 1．（24-25高二下�湖北荆门�期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 2．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上�山西大同�开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，的平分线交轴于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上�浙江�期中）自19世纪之后，折纸艺术与自然科学结合到了一起，它开始在西方成为教育教学和科学研究的工具.随着折纸过程中的数学之迷被解开，折纸发展成为了现代几何学的一个分支.现有一张半径为，圆心为的圆形纸片，在圆内选定一点且.将圆形纸片翻折一角，使圆周正好过点，把纸片展开后，留下一条折痕，折痕上到两点距离之和最小的点为.如此反复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线，线段的中点为，在上任取一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（24-25高三上�云南�阶段练习）如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（    ） A．点在曲线上 B．点在上，则 C．点在椭圆上，若，则 D．过作轴的垂线交于两点，则 6．（多选题）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔•蒙日最先发现，已知长方形R的四条边均与椭圆相切，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为 C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积的最大值为 7．（25-26高三上�湖南长沙�阶段练习）已知 为坐标原点， ，为椭圆 的左、右焦点， ，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰三角形的内切圆圆心，过 作，垂足为， ，则椭圆的离心率为 ． 8．（24-25高二上�江西新余�阶段练习）已知椭圆，其长轴长为4且离心率为，在椭圆上任取一点，过点作圆的两条切线．切点分别为，则的最小值为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2椭圆的简单几何性质 题型1 由椭圆的标准方程研究其几何性质 8 题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值 11 题型3 椭圆的离心率问题 17 考点1求椭圆的离心率 17 考点2 求椭圆离心率的取值范围 24 题型4 直线与椭圆的位置关系 30 考点1 直线与椭圆位置关系的判断 30 考点2 由直线与椭圆的位置关系求参数的值 31 题型5 椭圆的弦长问题 34 题型6 椭圆的中点弦问题 38 题型7 椭圆中的定点与定值问题 43 知识点一 椭圆的简单几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 范围 , , 对称性 关于轴、轴对称,关于原点对称 顶点 椭圆与它的对称轴的四个交点叫做椭圆的顶点 ,,, ,,, 轴长 长轴长,短轴长 焦距 离心率 注：椭圆离心率的范围、几何意义及其他表示方式 (1)椭圆离心率的取值范围： (2),和之间可以相互转化,由可推出.由可知,当越趋近于时,越趋近于,此时椭圆越扁平；当越趋近于时,越趋近于,此时,椭圆越接近于圆.因此,椭圆的离心率刻画了椭圆的“扁平程度”,离心率越大,椭圆越扁平,离心率越小,椭圆越接近于圆.(当且仅当,时,两个焦点重合,椭圆就变为圆,它的方程为) (3)如图所示,在中,,,令,则; 在中,设,,由正弦定理得, (4)若焦点三角形的内切圆圆心为,如图,延长交轴与点,易知为的平分线,由角平分线定理可知. (5)椭圆离心率与顶角为直角的焦点三角形个数的关系： 设椭圆的左、右焦点分别为,,为椭圆上任意一点,若焦点三角形的顶角,即为以线段为直径的圆与椭圆的交点. ①当时,,满足题意的焦点三角形有个； ②当时,,满足题意的焦点三角形有个； ③当时,,满足题意的焦点三角形有个. 知识点二 直线与椭圆的位置关系 1．直线与椭圆的三种位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图示 交点个数 判定方法 注：为联立直线与椭圆方程,消去一个变量后所得一元二次方程的判别式. 2．弦长公式 设直线交椭圆于点,两点, 则 . 同理可得. 3．中点弦问题 设直线交椭圆于,)两点,为坐标原点,记弦的中点为0). 将点的坐标,点的坐标代入椭圆方程得两式作差并整理得 若,则,即,(这种方法为点差法) 从而,即. 知识点三 椭圆定义的拓展 1．椭圆的第二定义 (1)定义：平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比为常数的点的轨迹为椭圆.定点为椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数是椭圆的离心率. 如图, (2)准线方程： ①椭圆的准线方程为; ②椭圆的准线方程为; 两准线间的距离为,焦点到相应准线的距离为. (3)焦半径公式： ①为椭圆上任意一点,,分别为椭圆的左、右焦点,则有,; ②为椭圆上任意一点,,分别为椭圆的上、下焦点,则有,. 2．椭圆的第三定义 (1)定义：若平面内一动点与两顶点,连线的斜率的乘积等于常数,则动点的轨迹为椭圆(不包含两定点). (2)椭圆的中心弦性质 若点,是椭圆上任意关于椭圆中心对称的两点,点是椭圆上除,以外的任意一点. ①当椭圆为时,; ②当椭圆为时,. 知识点四 椭圆的焦点弦 过焦点的直线与椭圆相交形成的弦叫做焦点弦(如图中的弦). 1．椭圆的通径 过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦叫做椭圆的通径.通径的长度记为. (无论椭圆的焦点是在轴上还是在轴上,椭圆的通径长均为) 2．椭圆的焦点弦长公式 椭圆的左焦点为,倾斜角为的直线经过点,且与椭圆交于,两点. 如图,连接,,,设,, 由椭圆定义得,, 在中,由余弦定理得, 即, 则,解得. 同理在中,由余弦定理可求得, 则弦长 若规定,则焦半径, , 焦点弦长公式. 易得,当时,焦点弦最短,且,即最短的焦点弦是通径. 同理可得,当为椭圆的下焦点时,,, (倾斜角余弦值变为正弦值) 3．焦半径之间的数量关系 焦点在轴上时,(定值,其中). 焦点在轴上时,(不变). 4．焦点弦被焦点分成定比问题 焦点在轴上时,焦点弦满足,直线的倾斜角为,则,,间满足. 题型1 由椭圆的标准方程研究其几何性质 1．（多选题）（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（    ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的焦距为8 D．的周长为10 【答案】AC 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆方程可以得到椭圆的基本性质，即可判断. 【详解】由椭圆方程可知，焦点在轴，， 所以椭圆长轴长为，离心率为， 焦距为，的周长为，所以AC正确，BD错误. 故选：AC. 2．（多选题）（24-25高二上·广西百色·期末）已知椭圆，则下列正确的是（    ） A．焦点在x轴 B．焦点在y轴 C．焦距是 D．焦距是2 【答案】BD 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴 【分析】先把椭圆方程转化为标准方程，再分别判断各个选项即可. 【详解】方程可化为， 表示焦点在y轴的椭圆，A错误，B正确； 由方程可得，，， 故焦距，C错误，D正确. 故选：BD. 3．（多选题）（2025·贵州·二模）已知椭圆：，：，则（   ） A．与的离心率相等 B．与的焦距相等 C．与的长轴长相等 D．的短轴长是的短轴长的两倍 【答案】BD 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】求出给定的两个椭圆的长短半轴长、半焦距及离心率，再逐项判断即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，椭圆的离心率，A错误； 对于B，椭圆与的焦距长都为6，相等，B正确； 对于C，椭圆与的长轴长不相等，C错误； 对于D，椭圆的短轴长是的短轴长的两倍，D正确. 故选：BD 4．（24-25高二上·江苏南通·期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】分别由两个椭圆方程求出对应的，由此得到长轴长、短轴长、焦距和离心率的值，然后得到结果. 【详解】椭圆中，，即，，∴， 即长轴长，短轴长，焦距，离心率， 椭圆中，，即，，∴， 即长轴长，短轴长，焦距，离心率， ∴两个椭圆中只有焦距相等. 故选：C. 5．（多选题）（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的焦点坐标为 B．当时，椭圆的离心率为 C．当时，的周长为 D．若椭圆的离心率为，则的面积的最大值是 【答案】ACD 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】求出焦点坐标判断A；求出离心率、焦点三角形周长、面积最大值判断BCD. 【详解】由题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，    对于A，椭圆的焦点坐标为，故 A正确； 对于B，当时，，离心率，故 B错误； 对于C，当时，，则的周长为，故 C正确； 对于D，由椭圆的离心率为，得，解得， 设，则的面积， 当，即点在短轴的顶点时，取得最大值，故 D正确. 故选：ACD. 题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值 6．（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】椭圆中x、y的取值范围、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 7．（25-26高二上·上海·阶段练习）点在曲线上运动，则的最大值为 【答案】/ 【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】结合已知消元得，再由得，最后利用二次函数性质求解最值. 【详解】因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以当时，最大值为. 故答案为： 8．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的一个焦点为，点是上关于原点对称的两点．则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆的对称性、椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】由对称性和椭圆定义可知，将表达式化简表示成的形式，再求出的取值范围并利用二次函数性质即可求出其取值范围. 【详解】由对称性和椭圆定义可知，其中， 故， 不妨设， 则 故当时，取得最小值，最小值为4， 当时，取得最大值，最大值为64，故， 故当时，取得最小值，最小值为51， 当时，取得最大值，最大值为， 故的取值范围是． 故选：C 9．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】椭圆定义及辨析、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】设，，根据椭圆定义得到，将整理为，然后根据范围求的范围即可. 【详解】椭圆，则，，所以， 设，，则， 所以， 又， 所以当时，，当时，， 即的取值范围是. 故答案为：. 10．（23-24高二下·上海·期中）已知点在椭圆上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】由椭圆方程进行代换得，再结合三角函数的知识即可求得答案. 【详解】椭圆上的点可设为，即， 所以， 故答案为：. 11．（23-24高二上�湖北省直辖县级单位�阶段练习）已知点是椭圆上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离、椭圆定义及辨析、根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】设出点的坐标，利用两点间距离公式求出焦半径，再结合几何特征及椭圆的范围求解即得. 【详解】令直线与相交于点，连接，    由，且为的角平分线，得，且点为的中点， 而为的中点，则， 设点，椭圆的长短半轴长、半焦距分别为， 显然且，且有，， ， 则，所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 12．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、椭圆中向量点乘问题 【分析】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 13．（2025·安徽池州·二模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且左､右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求的最小值，并指出此时点的坐标. 【答案】(1) (2)，或 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆的有界性求范围或最值、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据题意，列出方程求出的得解； （2）法一，设点，由结合点在椭圆上求出点的轨迹方程，由两点间距离公式，利用转化为二次函数求最值，得解；法二，由，解得，将用表示，利用椭圆范围求出答案. 【详解】（1）由题意可设椭圆，且 所以，解得 所以的方程为. （2）解法一：设点，所以， 由，得，解得. 又，所以，化解得， 所以，由得，解得， 所以， 当且仅当时，取“=”，则，即， 所以的最小值为，此时点的坐标为或. 解法二：设点，所以， 由，得，解得. 由得，解得， 所以， 当且仅当时，取“=”，即， 所以的最小值为，此时点的坐标为或. 题型3 椭圆的离心率问题 考点1求椭圆的离心率 14．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，根据条件求得，由椭圆定义得，从而利用求得离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为，依题意，，又， 如图，    设，四边形为等腰梯形， ，即，； 由椭圆定义知，，， 解得. 故选：B. 15．（25-26高二上·上海·阶段练习）已知，是椭圆：的左右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】过点作轴，分别求得和的方程，联立方程组求得，得到，结合，求得，即可求得椭圆的离心率. 【详解】由椭圆，可得， 过点作轴，垂足为， 因为点在过且斜率为的直线上，可得直线的方程为， 又因为，可得，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为, 联立方程组，解得，所以， 因为，所以， 又因为为等腰三角形，且，所以， 即，可得，所以椭圆的离心率为. 故选：D. 16．已知椭圆的右焦点为，点P，Q在直线上，，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算公式和离心率公式求解. 【详解】依题意，设，，则， 又， 两式做差可得即， 所以. 故选；B 17．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】设，得，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理列方程可得答案. 【详解】 设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中由勾股定理得，解得 所以，， 在中由勾股定理得，从而可得. 故选：A 18．（24-25高三上�江苏南京�开学考试）已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，设，，延长交于， 由题意知，为的中点，故为中点， 又，即，则， 又点在的平分线上,则，故是等腰直角三角形， 因此， 则， 可得，， 又，则， 因此可得， 又在中，，则， 将， 代入得， 即，由所以， 所以，. 故选：A. 19．（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先根据题意写出直线的方程，进而点到直线的距离化简并转化离心率的表达式，从而解方程可得结果. 【详解】设椭圆上顶点的坐标，右顶点的坐标，左焦点，    则直线的方程为，即， 由到直线AB的距离为b，得， 又，化简得，即， 所以，解得或（舍去）． 故椭圆E的离心率为. 故选：C 20．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】首先求出反射点的坐标，再求反射光线的斜率，根据几何关系，结合余弦定理，构造关于的齐次方程，即可求解离心率. 【详解】设从点射出的一条光线射到直线的点为，反射后经过点，    所以点，所以直线的斜率为， 所以 由，得，， 中，根据余弦定理可知，整理为， 即，， 解得： 所以椭圆的离心率为. 故选：B 21．设分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】依据题意求出点坐标，利用所给条件构造齐次方程求解离心率即可. 【详解】 由题意得，，，则， 直线的斜率为，即，联立方程组，， 可得，而， 故，代入直线中得，故, 可得，由题意得， 可得，化简得， 即，化简得， 同除得，且，解得. 故答案为： 考点2 求椭圆离心率的取值范围 22．若椭圆上存在一点M，使得（，分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为 . 【答案】 【知识点】向量垂直的坐标表示、根据椭圆的有界性求范围或最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】方法一：设点M的坐标是，则，由题意，即，结合点M在椭圆上，可得，即可求出椭圆的离心率的取值范围； 方法二：设点M的坐标是，由已知可得出关于、的方程组，求出，可得出关于、、的不等式组，由此可解得椭圆的离心率的取值范围； 方法三：设椭圆的一个短轴端点为P，由题意，则，进而可求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】方法一：设点M的坐标是，则. ∵，，∴，. ∵，∴，即. 又点M在椭圆上，即， ∴，即， ∴，即， 又，∴， 故椭圆的离心率e的取值范围是. 方法二：设点M的坐标是， 由方法一可得消去，得， ∵，∴， 由②得，此式恒成立. 由①得，即，∴，则. 又，∴. 综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是. 方法三：设椭圆的一个短轴端点为P， ∵椭圆上存在一点M，使， ∴，则，（最大时，M为短轴端点） ∴，即， 又，∴， 故椭圆的离心率e的取值范围为. 故答案为：. 23．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ． 【答案】 【知识点】轨迹问题——圆、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】探求动点的轨迹，找出满足的不等关系，再转化为离心率解之即可. 【详解】因为动点满足，所以在以为直径的圆上. 又因为在椭圆上运动时，至少有两个位置使得， 所以， 则，即， 同除得，解之得. 故答案为： 24．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）已知椭圆的焦距为2c，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围是 . 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式，可得离心率. 【详解】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点， 可知点在椭圆内部， 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即， 解得，. 故答案为：. 25．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是 ． 【答案】 【知识点】椭圆的对称性、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据角平分线定理求出的关系，根据定义得出或，再由求解即可. 【详解】如图，当在O点同侧时，根据椭圆对称性，假设点P在第一象限，   ，，是的平分线， ，则，由， 可得，由，可得，由， 可得； 当在O点异侧时，由角平分线定理可得， 则，可得，所以； 综上，. 故答案为： 26．（24-25高二上·天津南开·期中）已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据对称性，令，则，若结合斜率的两点式及椭圆上点得，再由已知及离心率公式求其范围. 【详解】由题意，和均关于原点对称，令，则， 若，则， 所以椭圆离心率. 故选：A 27．（2025高三·全国·专题练习）已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】把点坐标设为参数形式，再由及三角函数性质得到离心率的范围. 【详解】设，，， ． 化简得，因，所以， 整理得，，所以．即. 故选：B． 28．（23-24高二上�湖南长沙�期中）焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆的标准方程为，不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设），与椭圆方程联立可得矩形的面积，变形利用基本不等式结合题意求解即可. 【详解】设椭圆的标准方程为， 不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设）， 联立，则，解得：，， 所以矩形的面积为：， 当且仅当时取等， 因为点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是， 所以，则，即， ，即， 解得：，即. 故选：C. 题型4 直线与椭圆的位置关系 考点1 直线与椭圆位置关系的判断 29．直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【知识点】讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 30．（25-26高二上·全国·单元测试）若直线与圆O：相切，则过点的直线与椭圆的交点个数是 ． 【答案】2 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】根据直线和圆的位置关系得出，再结合点与椭圆的位置关系计算判断. 【详解】因为直线与圆O：相切， 所以圆心到直线的距离，所以， 而，所以点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2． 故答案为：2. 考点2 由直线与椭圆的位置关系求参数的值 31．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知椭圆，若直线与椭圆有唯一的公共点，求实数的值. 【答案】或 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】把直线方程代入椭圆方程，利用判别式法直接求解. 【详解】由直线的方程特征可知，随着的变化，直线平行移动， 若直线与椭圆有唯一的公共点，则直线方程和椭圆方程联立方程组应有唯一解. 联立直线与椭圆的方程，得 消去，并整理，得③ 因为方程③是一元二次方程， 所以它有唯一的实数解的充要条件是， 解得或. 所以当直线与椭圆有唯一的公共点时，实数的值为或. 32．（25-26高二上·全国·单元测试）若直线与椭圆没有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】直线与椭圆联立方程进行消元, ，求解即可. 【详解】由，可得， 因为直线与椭圆没有公共点， 故，故或， 则的取值范围为， 故答案为：. 33．（2025高二·全国·专题练习）已知，为椭圆上的两个动点，，且的垂直平分线的方程为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】设直线的中点坐标为，讨论、，结合，，，由点在直线上得，点在椭圆内有，即可得. 【详解】设直线的中点坐标为，直线的垂直平分线为直线， ①当时，，符合题意； ②当时，因为，而，则， 所以，即， 因为点在直线上，故，可得， 又因为点在椭圆内，故，解得且； 综上，. 故选：B 34．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，若椭圆上存在两个不同点关于直线对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】据题意可设直线的方程为，，，的中点为，联立直线与椭圆方程，可得，结合韦达定理可得，代入直线可得，进而求解即可. 【详解】根据题意可设直线的方程为， 设，，的中点为， 联立方程组，得， 则，解得， 由韦达定理得，则，所以． 又点在直线上，即，则， 而，则. 所以实数的取值范围是. 故选：B． 题型5 椭圆的弦长问题 35．（2025·云南昆明·一模）已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于椭圆长轴的直线与的一个交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆中的弦长、椭圆中的通径问题 【分析】把代入椭圆方程，即可得解. 【详解】不妨设为右焦点，则， 联立，解得，故． 故选：B． 36．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆中的弦长、求椭圆中的最值问题 【分析】根据椭圆的定义证明当直线过点时，的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点横坐标，根据弦长公式求结论. 【详解】椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为， 由椭圆的定义可得，， 所以的周长为， 又，所以，当且仅当在线段上时取等号， 所以当直线过点时，的周长最大， 又直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，消可得，所以或， 所以， 所以当的周长最大时，， 故选：C.    37．（24-25高二下·河南新乡·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的弦长 【分析】（1）根据离心率和过点，代入计算得到答案； （2）将直线的方程与椭圆方程联立得，利用根的判别式求解即可； （3）由（2）结合，利用韦达定理和弦长公式即可求解. 【详解】（1）因为点在椭圆C上，所以． 椭圆C的离心率为，解得． 故椭圆C的标准方程为． （2）联立得． ①，解得， 所以m的取值范围为． ②因为，所以，解得． ． 38．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）直接由离心率定义求解； （2）设直线与椭圆交于，两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求解. 【详解】（1）由椭圆的方程为， 可得， 所以； （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组， 得， 则， 由于即， 解得. 39．（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. (1)求的方程； (2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，解出即可； （2）先联立直线方程和椭圆方程，得出根与系数的关系，再结合弦长公式代入计算求解参数. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故的方程为. （2）联立，得. ，解得. 设，则， ， 解得，即的值为. 题型6 椭圆的中点弦问题 40．（25-26高二上·天津红桥·阶段练习）已知椭圆，直线交椭圆于、两点，则线段的中点坐标是 . 【答案】 【知识点】求椭圆中的弦长、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】先把椭圆和直线方程联立，化为关于的一元二次方程，在根据根与系数的关系求出中点的横坐标，进而代入直线求出纵坐标即可. 【详解】椭圆，直线交椭圆于、两点, 联立可得， 设，则， 故线段的中点的横坐标是，且中点在直线上，代入可得的中点的纵坐标为， 故答案为： . 41．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）直线l过点且与椭圆相交于A、B两点，若线段的中点为M则直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设点坐标，代入椭圆中，作差化简可得答案. 【详解】设 和 为直线与椭圆的交点，且 为 中点，因此： ， 点 和 满足椭圆方程： ， 将方程 (1) 减去 (2)：， 因式分解：， 代入中点坐标：， 得：， 整理得：， 因此，斜率 . 故选：B 42．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【详解】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故选：B. 43．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可. 【详解】设， 因为为线段的中点，所以， 由，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，则，即椭圆的焦点在轴上， 即，则， 所以. 故选：B. 44．（24-25高三上�云南普洱�阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在C上. (1)求C的离心率； (2)设恒过点D的直线交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）由题意得到关于的方程组，从而得到椭圆方程，进而求得其离心率； （2）设，，直线与椭圆联立，由根与系数关系可得k，从而得直线AB的方程. 【详解】（1）由题意得，解得，， 所以椭圆C的方程为， 故C的离心率； （2）设，， 联立，消去y得， 故， 由直线化为，恒过， 故，即，所以，解得， 此时二次方程为，满足题意， 故所求直线的方程为 45．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段练习）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，且满足条件． (1)求椭圆C的离心率； (2)若坐标原点O到直线AB的距离为，求椭圆C的方程； (3)在（2）的条件下，过点的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P恰为线段的中点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）根据题意列方程即可求解； （2）结合点到直线的距离公式列方程，再结合的关系即可求解； （3）由点差法即可求解. 【详解】（1）由题意，所以， 又，解得， （2）由题意直线的方程为：， 若坐标原点O到直线AB的距离为，则， 因为，所以，解得， 所以椭圆C的方程为； （3）设，直线l的斜率为，则， 所以， 因为点恰为线段的中点， 所以， 故直线的方程为，即， 联立与，消去得， ，故直线与椭圆有两个交点， 综上，所求为. 题型7 椭圆中的定点与定值问题 46．（25-26高三上·天津西青·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若点，直线l与椭圆交于A，B两点（异于点），直线与的斜率之积恒为.求证：直线l过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）由离心率、点在椭圆上列方程求参数值，即可得方程； （2）法一：设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理及列方程求参数，即可证；法二：设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理及列方程求参数关系，即可证； 【详解】（1）令的半焦距为， 由离心率为，得，解得，， 由点在椭圆上，则，则，，， 所以的方程是； （2）法一：点，设直线的方程为，，， 由，消去得，且， 则，， 直线与的斜率分别为，， 于是 ， 整理得，解得或， 当时，直线过点Q，不符合， 因此，直线恒过定点. 法二：设，，， 则，消去得， ，则，， ，，则， ∴，整理得， ∴， ∴，可得或， 因为直线不过Q点，所以，故， 所以，恒过定点. 47．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）设，，，表示出，故最大值为，又，从而得到，求出，得到椭圆方程； （2）法一：设，直线的方程为，直线的方程为，分别联立椭圆方程，求出的坐标，得到直线的方程为，所以直线过定点； 法二：设，求出，所以，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到，由得到方程，求出，所以直线过定点. 【详解】（1）设，则，，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 又为椭圆上顶点时，为等边三角形，故， 联立，解得， 因为，所以椭圆的标准方程为． （2）法一：由（1）可知， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，化简得， 因为，所以，即， 联立，化简得， 因为，所以，即， 则， 所以直线的方程为， 整理得， 所以直线过定点． 法二：设，又由（1）知， 所以， 则有， 又，则，代入上式可得. 又因为，所以. 设直线的方程为， 联立，得， 所以， 且， 所以， 由， 化简得且， 即，解得或（舍），所以直线过定点． 48．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴， (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，点在直线上，满足x轴. ①证明直线过定点； ②设定点坐标为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）由题可得右焦点为，结合点在椭圆上，可得，据此可得答案； （2）①设直线方程为，，，将直线与椭圆方程联立可得，结合韦达定理，可得.注意到直线方程为：，令，可得，利用化简可得定点坐标； ②由①可得，令，，，随后利用单调性可得最值. 【详解】（1）由题可得椭圆右焦点为，则， 由已知得：，解得，， 则椭圆的方程为. （2）①由x轴，则直线斜率不为0，设直线方程为，，， 联立方程组，整理得， 则 ，，则 直线， 令，则 ②， 令，，，设， 则， 即，在上单调递增， 则当时，，则.    49．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）椭圆短轴长为2，离心率为. (1)求椭圆方程； (2)过点的直线与椭圆交于,两点，点，直线,的斜率为，，求的值. 【答案】(1) (2)． 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意列出，即可直接写出椭圆的标准方程； （2）设过点的直线方程为，与椭圆方程联立方程组，设，，利用根于系数的关系化简即可得解. 【详解】（1）由题意得，得， 故椭圆为； （2）由已知直线过，设的方程为， 联立两个方程得，消去得：， 得， 设，，则，（*）， 因为，故， 将（*）代入上式，可得：， ∴直线与斜率之积为定值． 50．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点，的坐标分别为，，将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线. (1)求曲线方程； (2)上关于原点对称的两点，，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，. ①求与的斜率的乘积； ②问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)①；②为定值 【知识点】已知两点求斜率、轨迹问题——椭圆、椭圆中的定值问题 【分析】（1）设是曲线上任意点，在圆上的对应点为，根据中点得到与的关系，代入计算即可； （2）①设出M、N坐标，运用点M、N在椭圆上进行等量代换及斜率公式计算即可； ②设出直线AM与直线AN的方程，联立直线AM方程与椭圆方程可得、，进而求得，联立直线AM方程与圆方程可得、，同理可得、，进而求得，代入计算可得结果. 【详解】（1）设是曲线上任意点，在圆上的对应点为， 则，即，将其代入圆方程得，即， 所以曲线的方程为：. （2）①设，，，则， ､在椭圆上，，即， 直线与直线的斜率存在且不为， ， 则直线与直线的斜率的乘积为. ②设，则直线的方程为， 联立 由韦达定理，，则，， 则， 同理，设，则点， 直线的斜率，， 由①知，所以， ， 由轨迹方程，得，代入得 因此， 于是 故为定值. 51．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为4的等边三角形． (1)写出椭圆的标准方程； (2)当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足：．求证：与面积之比为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据题设条件列出关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）依题求出直线的方程，与椭圆方程联立，求出点，即可求得以为直径的圆的方程； （3）设直线的斜率分别为，写出直线的方程并与椭圆方程联立，求出点的坐标，即可推得，由，写出直线的方程，与直线的方程联立，求出点的坐标，结合图形，利用三角形面积公式代入化简求解即得证. 【详解】（1）因是边长为4的等边三角形，则得，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）因，直线的斜率为，则直线的方程为 联立，解得和，即， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为：. （3）设直线的斜率分别为，则直线的方程为． 由，直线的方程为． 将代入，得， 因为是椭圆上异于点的点，所以．则， 所以． 由，所以直线的方程为． 由，解得． 所以， 即与面积之比为定值．    52．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为1，且，求的值； (3)是否存在，使恒为定值？若存在，求出与的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，． 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用椭圆长轴长和离心率概念，即可列式求解； （2）利用联立方程组，结合韦达定理和向量，即可求值； （3）利用联立方程组，结合韦达定理来表达，通过定值思想可求得参数. 【详解】（1）由题意知，，解得，， 所以的标准方程为． （2）由的斜率为1，则直线的方程为． 设，， 联立，消去得，， 其中，解得， 所以，， 所以， 因为，所以，解得． （3）①当直线的斜率不为0时，设其方程为， 联立，消去得，， 其中， 所以，， 所以 ． 当，即时，，即； ②当直线的斜率为0时，不妨取，， 若，则， 此时 ，即． 综上，存在，使得恒为定值，即，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2椭圆的简单几何性质 题型1 由椭圆的标准方程研究其几何性质 8 题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值 9 题型3 椭圆的离心率问题 11 考点1求椭圆的离心率 11 考点2 求椭圆离心率的取值范围 12 题型4 直线与椭圆的位置关系 13 考点1 直线与椭圆位置关系的判断 13 考点2 由直线与椭圆的位置关系求参数的值 14 题型5 椭圆的弦长问题 14 题型6 椭圆的中点弦问题 16 题型7 椭圆中的定点与定值问题 18 知识点一 椭圆的简单几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 范围 , , 对称性 关于轴、轴对称,关于原点对称 顶点 椭圆与它的对称轴的四个交点叫做椭圆的顶点 ,,, ,,, 轴长 长轴长,短轴长 焦距 离心率 注：椭圆离心率的范围、几何意义及其他表示方式 (1)椭圆离心率的取值范围： (2),和之间可以相互转化,由可推出.由可知,当越趋近于时,越趋近于,此时椭圆越扁平；当越趋近于时,越趋近于,此时,椭圆越接近于圆.因此,椭圆的离心率刻画了椭圆的“扁平程度”,离心率越大,椭圆越扁平,离心率越小,椭圆越接近于圆.(当且仅当,时,两个焦点重合,椭圆就变为圆,它的方程为) (3)如图所示,在中,,,令,则; 在中,设,,由正弦定理得, (4)若焦点三角形的内切圆圆心为,如图,延长交轴与点,易知为的平分线,由角平分线定理可知. (5)椭圆离心率与顶角为直角的焦点三角形个数的关系： 设椭圆的左、右焦点分别为,,为椭圆上任意一点,若焦点三角形的顶角,即为以线段为直径的圆与椭圆的交点. ①当时,,满足题意的焦点三角形有个； ②当时,,满足题意的焦点三角形有个； ③当时,,满足题意的焦点三角形有个. 知识点二 直线与椭圆的位置关系 1．直线与椭圆的三种位置关系 位置关系 相离 相切 相交 图示 交点个数 判定方法 注：为联立直线与椭圆方程,消去一个变量后所得一元二次方程的判别式. 2．弦长公式 设直线交椭圆于点,两点, 则 . 同理可得. 3．中点弦问题 设直线交椭圆于,)两点,为坐标原点,记弦的中点为0). 将点的坐标,点的坐标代入椭圆方程得两式作差并整理得 若,则,即,(这种方法为点差法) 从而,即. 知识点三 椭圆定义的拓展 1．椭圆的第二定义 (1)定义：平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比为常数的点的轨迹为椭圆.定点为椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数是椭圆的离心率. 如图, (2)准线方程： ①椭圆的准线方程为; ②椭圆的准线方程为; 两准线间的距离为,焦点到相应准线的距离为. (3)焦半径公式： ①为椭圆上任意一点,,分别为椭圆的左、右焦点,则有,; ②为椭圆上任意一点,,分别为椭圆的上、下焦点,则有,. 2．椭圆的第三定义 (1)定义：若平面内一动点与两顶点,连线的斜率的乘积等于常数,则动点的轨迹为椭圆(不包含两定点). 证明:设点,由, 得, 将上式整理得. 同理,当定点为,,常数为时,所得椭圆方程为. (2)椭圆的中心弦性质 若点,是椭圆上任意关于椭圆中心对称的两点,点是椭圆上除,以外的任意一点. ①当椭圆为时,; ②当椭圆为时,. 知识点四 椭圆的焦点弦 过焦点的直线与椭圆相交形成的弦叫做焦点弦(如图中的弦). 1．椭圆的通径 过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线被椭圆截得的弦叫做椭圆的通径.通径的长度记为. (无论椭圆的焦点是在轴上还是在轴上,椭圆的通径长均为) 2．椭圆的焦点弦长公式 椭圆的左焦点为,倾斜角为的直线经过点,且与椭圆交于,两点. 如图,连接,,,设,, 由椭圆定义得,, 在中,由余弦定理得, 即, 则,解得. 同理在中,由余弦定理可求得, 则弦长 若规定,则焦半径,, 焦点弦长公式. 易得,当时,焦点弦最短,且,即最短的焦点弦是通径. 同理可得,当为椭圆的下焦点时,,, (倾斜角余弦值变为正弦值) 3．焦半径之间的数量关系 焦点在轴上时,(定值,其中). 焦点在轴上时,(不变). 4．焦点弦被焦点分成定比问题 焦点在轴上时,焦点弦满足,直线的倾斜角为,则,,间满足. 题型1 由椭圆的标准方程研究其几何性质 1．（多选题）（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（    ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的焦距为8 D．的周长为10 2．（多选题）（24-25高二上·广西百色·期末）已知椭圆，则下列正确的是（    ） A．焦点在x轴 B．焦点在y轴 C．焦距是 D．焦距是2 3．（多选题）（2025·贵州·二模）已知椭圆：，：，则（   ） A．与的离心率相等 B．与的焦距相等 C．与的长轴长相等 D．的短轴长是的短轴长的两倍 4．（24-25高二上·江苏南通·期中）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 5．（多选题）（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的焦点坐标为 B．当时，椭圆的离心率为 C．当时，的周长为 D．若椭圆的离心率为，则的面积的最大值是 题型2 根据椭圆的有界性求范围或最值 6．（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 . 7．（25-26高二上·上海·阶段练习）点在曲线上运动，则的最大值为 . 8．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的一个焦点为，点是上关于原点对称的两点．则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是 . 10．（23-24高二下·上海·期中）已知点在椭圆上运动，则的取值范围是 . 11．（23-24高二上�湖北省直辖县级单位�阶段练习）已知点是椭圆上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围为 . 12．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·安徽池州·二模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且左､右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求的最小值，并指出此时点的坐标. 题型3 椭圆的离心率问题 考点1求椭圆的离心率 14．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·上海·阶段练习）已知，是椭圆：的左右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 16．已知椭圆的右焦点为，点P，Q在直线上，，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 17．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高三上�江苏南京�开学考试）已知是椭圆上一点，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与在第四象限交于点．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 21．设分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆的离心率为 . 考点2 求椭圆离心率的取值范围 22．若椭圆上存在一点M，使得（，分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为 . 23．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ． 24．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）已知椭圆的焦距为2c，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围是 . 25．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是 ． 26．（24-25高二上·天津南开·期中）已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（2025高三·全国·专题练习）已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上�湖南长沙�期中）焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 题型4 直线与椭圆的位置关系 考点1 直线与椭圆位置关系的判断 29．直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 30．（25-26高二上·全国·单元测试）若直线与圆O：相切，则过点的直线与椭圆的交点个数是 ． 考点2 由直线与椭圆的位置关系求参数的值 31．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知椭圆，若直线与椭圆有唯一的公共点，求实数的值. 32．（25-26高二上·全国·单元测试）若直线与椭圆没有公共点，则的取值范围为 ． 33．（2025高二·全国·专题练习）已知，为椭圆上的两个动点，，且的垂直平分线的方程为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，若椭圆上存在两个不同点关于直线对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5 椭圆的弦长问题 35．（2025·云南昆明·一模）已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于椭圆长轴的直线与的一个交点为，则（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高二下·河南新乡·期中）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程． (2)直线与椭圆C交于M，N两点． ①求m的取值范围； ②若，求的值． 38．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆的方程为，、为其左、右焦点． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值． 39．（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. (1)求的方程； (2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 题型6 椭圆的中点弦问题 40．（25-26高二上·天津红桥·阶段练习）已知椭圆，直线交椭圆于、两点，则线段的中点坐标是 . 41．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）直线l过点且与椭圆相交于A、B两点，若线段的中点为M则直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 42．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25高三上�云南普洱�阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在C上. (1)求C的离心率； (2)设恒过点D的直线交C于A，B两点，且D为AB的中点，求直线AB的方程. 45．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段练习）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，且满足条件． (1)求椭圆C的离心率； (2)若坐标原点O到直线AB的距离为，求椭圆C的方程； (3)在（2）的条件下，过点的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P恰为线段的中点，求直线l的方程． 题型7 椭圆中的定点与定值问题 46．（25-26高三上·天津西青·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若点，直线l与椭圆交于A，B两点（异于点），直线与的斜率之积恒为.求证：直线l过定点. 47．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 48．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且轴， (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，点在直线上，满足x轴. ①证明直线过定点； ②设定点坐标为，求面积的最大值. 49．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）椭圆短轴长为2，离心率为. (1)求椭圆方程； (2)过点的直线与椭圆交于,两点，点，直线,的斜率为，，求的值. 50．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点，的坐标分别为，，将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线. (1)求曲线方程； (2)上关于原点对称的两点，，射线，分别与圆交于，两点，记直线和直线的斜率分别为，. ①求与的斜率的乘积； ②问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由. 51．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为4的等边三角形． (1)写出椭圆的标准方程； (2)当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足：．求证：与面积之比为定值． 52．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为1，且，求的值； (3)是否存在，使恒为定值？若存在，求出与的值；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $