9.2.2 用坐标表示平移 教学设计 2024--2025学年人教版七年级数学下册

初中数学人教版（2024）七年级下册 9.2.2 用坐标表示平移 课标分析 课标分析：本节内容要求学生掌握平面直角坐标系中点与图形平移的坐标变化规律，理解平移变换与坐标运算之间的对应关系。具体包括：1）能根据平移方向和距离确定点的坐标变化，如点向右平移个单位得到；2）理解图形平移的本质是所有点进行相同变换，能通过坐标运算（如横坐标减6表示向左平移6个单位）描述图形平移；3）掌握连续平移的合成法则，认识到两次平移可等效为一次平移。这些要求体现了数形结合思想，培养学生运用坐标系定量描述几何变换的能力，为后续函数图像变换奠定基础。 教材分析 本节课“用坐标表示点的平移”是在学生已经掌握平面直角坐标系和图形平移的基本概念基础上展开的，通过具体点的平移操作，引导学生发现坐标变化与平移方向、距离之间的对应关系，并进一步推广到图形的整体平移。教学过程从动手操作、观察规律入手，逐步归纳出点平移的坐标变化规律，再推广到图形平移的坐标表示。本节内容承接了前面对图形平移的直观认识，也为后续学习图形变换（如旋转、轴对称）的坐标表示打下基础。本节课有助于提升学生的数形结合能力、归纳推理能力和空间观念，为后续学习函数图像变换、几何变换等内容提供重要支撑。 学情分析 七年级学生已经学习了平面直角坐标系的基本概念以及点的坐标表示，掌握了图形平移的初步知识，具备一定的几何直观和逻辑思维能力，此阶段的学生好奇心强，动手操作能力和探究意识较强，但对于坐标变化与图形运动之间的关系仍需进一步建立联系，本节课要求学生通过具体点的平移操作，观察坐标变化并归纳规律，进而理解坐标表示平移的本质，教学中应注重引导学生从具体实例中抽象出数学规律，提升其归纳推理能力和数形结合思想，同时为后续图形变换的学习奠定基础。 教学目标 1. 理解点的平移与坐标变化之间的关系，掌握沿坐标轴方向平移点的坐标变化规律，提升数学抽象与逻辑推理能力，发展空间观念和符号意识。 2. 能通过平移图形顶点的坐标变化判断图形的整体平移方式，理解图形平移的几何意义，增强几何直观与数形结合能力，培养观察与归纳思维。 3. 能运用坐标变化描述图形的平移过程，体会坐标变化与图形运动的对应关系，提高分析问题与解决问题的能力，激发探索数学规律的兴趣。 重点难点 重点：掌握用坐标表示点与图形平移的规律，能运用规律解决平移问题。 难点：理解图形平移与点坐标变化的内在联系，归纳总结出平移规律。 课前任务 1.知识回顾： 上节课学习了平面直角坐标系，回忆什么是平面直角坐标系？如何确定点的坐标？在坐标系中找出点和。 2.预习教材： 阅读教材中用坐标表示点的平移相关内容。了解点在坐标轴方向平移时坐标的变化规律，记录点平移后的坐标表达式，标记出不理解的地方。 3.问题思考： 已知点，将它向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，猜猜平移后点的坐标是多少？想想图形平移时，其各顶点坐标变化有何规律？ 课堂导入 同学们，想象一下，在一张方格纸上有一个可爱的小图案，我们把方格纸看作平面直角坐标系。现在，小图案开始“移动”啦，从一个位置跑到了另一个位置。比如，这个小图案上有个点，一开始在这个位置，眨眼间，它向右跑了 3 格，又向上跑了 2 格，那它现在的位置坐标会变成什么样呢？其实，生活中也有很多类似平移的现象，像电梯上下移动、汽车在笔直道路上行驶。这节课，我们就一起来探究如何用坐标表示点的平移，看看坐标与图形平移之间究竟藏着怎样的奥秘。 用坐标表示点的平移 探究新知 （一）知识精讲 首先，我们来探究点的平移与坐标变化的关系。观察图： 将点向右平移5个单位长度后，得到点的坐标为。可以发现，点的横坐标增加了5，纵坐标不变。同理，将点A向上平移4个单位长度，得到点的坐标为，这时纵坐标增加了4，横坐标不变。 通过多次平移实验，我们可以总结出一般规律：在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，得到对应点；向左平移个单位长度，得到对应点；向上平移个单位长度，得到对应点；向下平移个单位长度，得到对应点。 接下来观察图形的平移。如图 正方形ABCD先向下平移7个单位，再向右平移8个单位后，四个顶点的坐标分别变为、、、。这说明图形的连续平移可以等效为一次平移，即平移具有可加性。 （二）师生互动 教师提问：同学们，如果将点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，最后得到的坐标是什么？这个结果与直接平移到是否相同？ 学生回答：按照平移规律，先向左平移2个单位得到，再向下平移3个单位得到。这与直接平移到的结果相同。 教师追问：很好！那如果将一个三角形先向右平移4个单位，再向上平移5个单位，与先向上平移5个单位再向右平移4个单位，最终位置是否相同？为什么？ 学生思考后回答：最终位置相同，因为平移的顺序不影响最终结果，平移具有交换性。 （三）设计意图 通过具体实例的观察和操作，帮助学生理解点的平移与坐标变化的关系，培养数形结合的思想。通过师生互动的问题设计，引导学生发现平移的性质，包括平移的可加性和交换性，发展学生的逻辑推理能力。采用从具体到抽象的教学方式，让学生在探究中掌握知识，体会数学的严谨性和实用性，为后续学习图形变换打下基础。 新知应用 例1题目： (1) 如图，长方形可以由长方形经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？ (2) 点是长方形上一点，写出点的对应点的坐标。 解答： (1) 分析图形平移方式及坐标变化： 观察图中长方形与长方形的位置关系，可以发现： · 点平移到点； · 点平移到点； · 点平移到点； · 点平移到点。 我们以点为例分析坐标变化： · 原坐标： · 平移后坐标： 计算坐标变化： · 横坐标：，说明向右平移了3个单位； · 纵坐标：，说明向上平移了2个单位。 验证其他点也符合这一规律，因此可以得出结论： 将长方形先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，可以得到长方形。 对应点的坐标变化规律是：横坐标都加3，纵坐标都加2。 (2) 求点的对应点的坐标： 根据第(1)问中得出的平移规律： · 横坐标： · 纵坐标： 所以点的坐标为：。 总结： 1.题目考查内容 ① 用坐标表示点的平移； ② 图形平移的坐标规律； ③ 由图形变化反推平移方式。 2.题目求解要点 ① 通过观察图形对应点的坐标变化，判断平移的方向和单位长度； ② 掌握“向右平移加横坐标，向上平移加纵坐标”的基本规律； ③ 能够将图形的平移规律应用于任意点，求出其对应点的坐标。 新知巩固 题目：在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点，则点的坐标是（  ） 解答： 我们知道，点经过两次平移后变为点。 我们从结果出发，逆向还原点的坐标。 1. 向下平移3个单位长度的逆操作是向上平移3个单位长度： 所以，将点向上平移3个单位长度，得到中间点的坐标为： 2. 向右平移2个单位长度的逆操作是向左平移2个单位长度： 所以，将点向左平移2个单位长度，得到点的坐标为： 因此，点的坐标是： 总结： 1. 题目考查内容： 本题考查的是点的平移与逆向还原，即根据平移后的点反推原始点的坐标。涉及的知识点包括： · 平面直角坐标系中点的平移规律； · 平移的逆操作（即反向平移）； · 坐标的加减运算。 2. 题目求解要点： · 理解平移的方向与坐标变化的关系： · 向右平移 → 横坐标加； · 向左平移 → 横坐标减； · 向上平移 → 纵坐标加； · 向下平移 → 纵坐标减。 · 逆向操作时，方向相反，即： · 向右平移的逆操作是向左； · 向下平移的逆操作是向上。 3. 同类型题目解题步骤： 1. 明确题目中给出的最终点坐标； 2. 分析每一步平移的方向和单位长度； 3. 从最终点出发，逆向执行每一步平移操作； 4. 每一步操作都对应坐标的变化（加或减）； 5. 最终得到原始点的坐标。 探究新知 （一）知识精讲 同学们，让我们一起来探究图形平移与坐标变化的关系。三角形ABC的三个顶点坐标分别是A(4,3)，B(3,1)，C(1,2)。 当我们把三角形ABC的三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变时，得到的新三角形A₁B₁C₁与原来的三角形ABC有什么联系呢？通过观察可以发现，两个三角形的大小和形状完全相同，只是位置发生了变化。具体来说，三角形A₁B₁C₁可以看作是三角形ABC向左平移了6个单位长度。 同样地，如果我们保持横坐标不变，将纵坐标都减去5，得到的新三角形A₂B₂C₂与原来的三角形ABC也是大小形状完全相同，只是向下平移了5个单位长度。这个现象在图中可以清楚地看到。 由此我们可以总结出一般规律：在平面直角坐标系中，图形上所有点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相当于将图形向右（或左）平移a个单位长度；所有点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相当于将图形向上（或下）平移a个单位长度。 （二）师生互动 教师提问：同学们，如果我们将三角形ABC的三个顶点的横坐标都加上4，纵坐标都减去3，那么新的三角形会出现在什么位置呢？ 学生回答：新的三角形会向右平移4个单位，同时向下平移3个单位。 教师追问：很好！那如果我们将一个图形的横坐标都减去2，纵坐标都加上5，这个图形会如何移动呢？ 学生思考后回答：这个图形会向左平移2个单位，同时向上平移5个单位。 教师继续引导：非常正确！那么请大家思考一下，如果只改变图形上部分点的坐标，这个图形会发生什么变化呢？ 学生讨论后回答：这样图形的大小和形状可能会发生变化，不再是平移了。 （三）设计意图 通过具体实例的观察和操作，帮助学生建立图形平移与坐标变化之间的直观联系，培养学生的空间观念和数形结合思想。引导学生从具体到抽象，归纳总结出图形平移的一般规律，发展学生的逻辑思维能力和数学表达能力。通过师生互动的问题设置，加深学生对知识点的理解，培养其应用数学知识解决实际问题的能力。 新知应用 例2题目：如图，将三角形平移，得到三角形，其中任意一点平移后的对应点为，写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式，以及点、、的坐标。 解答： 我们知道，图形的平移可以通过点的坐标变化来体现。 题目中给出任意一点平移后的对应点为，这说明： · 横坐标增加了5，表示图形向右平移了5个单位； · 纵坐标增加了3，表示图形向上平移了3个单位。 因此，我们可以得出： 将三角形先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形。 接下来，我们根据这个平移方式，写出原三角形顶点、、平移后的坐标： 1. 点的坐标是， 平移后变为： 2. 点的坐标是， 平移后变为： 3. 点的坐标是， 平移后变为： 所以，三角形的三个顶点坐标分别是： · · · 总结： 1.题目考查内容 ① 图形平移与坐标变化之间的关系； ② 利用坐标变化确定图形的平移方向和距离； ③ 根据平移规律写出图形上点的新坐标。 2.题目求解要点 ① 理解平移的本质是图形上所有点的坐标发生相同的变化； ② 横坐标加5表示向右平移5个单位，纵坐标加3表示向上平移3个单位； ③ 根据平移规律，逐个写出原三角形顶点平移后的坐标； ④ 注意坐标的加减运算要准确，避免符号错误。 板书设计 用坐标表示点的平移 点的平移规律 左右平移：点右移个单位得，左移个单位得 上下平移：点上移个单位得，下移个单位得 图形的平移 依次沿两坐标轴平移 = 一次平移 横 +（或 -），图形右（或左）移个单位 纵 +（或 -），图形上（或下）移个单位 教学反思 本节课围绕“用坐标表示点的平移”展开，通过探究点的平移引起坐标变化的规律，引导学生归纳出平移的坐标表示方法，并通过图形的连续平移与单次平移的关系，深化对平移变换的理解。教学设计符合课标要求，学生能积极参与探究活动，基本掌握了点平移与坐标变化的关系，达到了教学目标。成功之处在于通过具体实例引导学生发现规律，增强了数形结合意识；不足在于对图形连续平移后的坐标计算指导不够充分，部分学生在操作中出现误差，今后应加强此类问题的训练与反馈。 学科网（北京）股份有限公司 $