专题27.4 直线与圆的位置（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级下册

专题27.4 直线与圆的位置 教学目标 1. 了解直线与圆的三种位置关系； 2. 会判定直线与圆的三种位置关系，并根据位置关系求长度或距离； 3. 掌握切线的判定定理；直线与圆的位置关系的综合应用。 教学重难点 1.重点 （1）判断直线与圆的位置关系； （2）根据直线与圆的位置关系求解； （3）切线的判定及其应用。 2.难点 （1）根据直线与圆的位置关系求参数范围； （2）直线与圆的位置关系的综合应用。 知识点1 直线与圆的位置 一、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： 　　(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 　　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　　 　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 　　 要点： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 二、切线的判定定理 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 【即学即练】 1．已知的半径为7，直线上有一点满足，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相交 2．已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是 ． 4．在平面直角坐标系中，以点为圆心，以R为半径作圆A与x轴相切，则圆A的半径R是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 5．如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型01 判断直线与圆的位置关系Ⅰ 【典例1】．已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离 【变式1】．已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【变式2】．已知的半径为1，直线l上有一点P满足，则直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相切或相离 D．相切或相交 题型02 判断直线与圆的位置关系Ⅱ 【典例1】．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【变式1】．已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【变式2】．在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 题型03 根据直线与圆的位置求半径 【典例1】．已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ） A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm 【变式2】．如果一圆的半径为，圆心到直线的距离为，且这个圆与这条直线有公共点，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，的半径可取的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 题型04 根据直线与圆的位置求圆心到直线的距离 【典例1】．已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【变式1】．的直径为，直线l与相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知的半径为，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为 ，则（　　） A． B． C． D． 题型05 直线与圆的位置的综合应用 【典例1】．在中，，若与相离，则半径为r满足（　　） A． B． C． D． 【变式1】．在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个． 【变式2】．如图，已知Rt△ABC，AC=8，AB=4，以点B为圆心作圆，当⊙B与线段AC只有一个交点时，则⊙B的半径的取值范围是（  ）    A．rB = B．4 < rB ≤ C．rB = 或4 < rB ≤ D．rB为任意实数 【变式3】．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】．如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是 ． 【变式5】．如图，在中，为边上的中线，，以点为圆心，r为半径作．如果与中线有且只有一个公共点，那么的半径r的取值范围为 ． 题型06 切线有关说法辨析 【典例1】．下列说法中，正确的是（     ） A．垂直于半径的直线是圆的切线； B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线； D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线． 【变式1】．下列说法正确的是（    ） A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径外端的直线是圆的切线 【变式2】．下列说法正确的是（　　） A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 题型07 切线的判定 【典例1】．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 【变式1】．如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（    ）时，直线是的切线． A． B． C． D． 【变式2】．如图所示，中，点M在上，点P在外，交于点N，以下条件不能判定是的切线的是（   ） A． B． C． D．点N是OP的中点 题型08 解答题 【典例1】．如图，直线经过上的点，并且，． (1)求证：直线是的切线； (2)若的直径为，求的值． 【变式1】．如图，，以为半径的交于点C，且，求证：是的切线．    【变式2】．如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式3】．如图，是的外接圆，直径． (1)以点C为顶点，BC为边，在的右侧作，交的延长线于点P：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：是的切线． 【变式4】．如图，为的直径，弦，垂足为点E，直线与延长线交于点F，且．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的半径． 【变式5】．如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 一、单选题 1．在中，，，，以点C为圆心，2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．已知中，，若以2为半径作，则斜边与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 3．若⊙O的半径为R，直线l与⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离为d，则d与R的大小关系是（     ）． A．d＞R B．d＜R C．d≥R D．d≤R 4．已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1 O2=3,那么O2A的长等于（  ） A．2 B．3 C．8 D．2或8 5．如图，若的直径为2，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 6．在平面直角坐标系中有点A(3，4)，以点A为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y=－x与⊙A的位置关系是(    ) A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 7．已知等边三角形的边长为，以点A为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．外离 8．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直线BC相交，且与⊙B没有公共点，那么⊙A的半径可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7. 10．如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如图1，已知中，，，，点O在边上．如果与直线相切，以为半径的与“内相交”，那么的长度可以是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为 ．（只写一个） 12．已知一条直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是 ． 13．已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的公共点有 个． 14．已知，P是OA上的一点，cm，以r为半径作⊙P，若cm，则⊙P与的位置关系是 ，若⊙P与相离，则r满足的条件是 ． 15．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 16．如图，直线AB，CD相交于点O，，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 s． 17．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径，直线的解析式为．若直线与半圆有交点，则的取值范围是 ．    18．如图，在中，，，，点O在边上，且，以点O为圆心，r为半径作圆，如果与的边共有4个公共点，那么半径r取值范围是 . 三、解答题 19．如图，在中，是的弦，点A是的中点，过点A作直线．求证：是的切线． 20．如图，是上一点，点在直径的延长线上，的半径为，，. 求证：是的切线. 21．（1）如图1，点在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的切线； （2）如图2，点在圆O外，用圆规直尺作出过点的圆的一条切线． 22．如图，在中，，以点O为圆心，长为半径的圆交于点C，点D在边上，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 23．如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作于点，，的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，且，求的半径与线段的长． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，已知． (1)求b、c的值； (2)将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P． ①如果平移后的新抛物线经过点，且它的对称轴与以O为圆心，长度为半径的相切，求平移后新抛物线的解析式； ②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在CE的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 25．已知，在中，，，，是边上一动点，连接．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． (1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； (2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； (3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.4 直线与圆的位置 教学目标 1. 了解直线与圆的三种位置关系； 2. 会判定直线与圆的三种位置关系，并根据位置关系求长度或距离； 3. 掌握切线的判定定理；直线与圆的位置关系的综合应用。 教学重难点 1.重点 （1）判断直线与圆的位置关系； （2）根据直线与圆的位置关系求解； （3）切线的判定及其应用。 2.难点 （1）根据直线与圆的位置关系求参数范围； （2）直线与圆的位置关系的综合应用。 知识点1 直线与圆的位置 一、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： 　　(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 　　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　　 　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 　　 要点： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 二、切线的判定定理 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 【即学即练】 1．已知的半径为7，直线上有一点满足，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相交 【答案】D 【分析】本题考查圆与直线的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．圆心到直线的距离等于半径相切，圆心到直线距离小于半径时相交，圆心到直线距离大于半径时相离，据此解答即可． 【详解】解：由题意可得， ， 即点到直线的距离小于或等于5， 点到直线的距离小于半径7， 直线与的位置关系是相交， 故选：D． 2．已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟知判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离是解题的关键．根据，圆和直线相交即可求解， 【详解】解：直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4， 的半径大于4， 故选：． 3．已知圆的半径等于5，直线l与圆没有交点，则圆心到直线l的距离d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：因为直线l与圆没有交点，所以直线l与圆相离， 所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即． 故答案为：. 4．在平面直角坐标系中，以点为圆心，以R为半径作圆A与x轴相切，则圆A的半径R是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】由圆A与x轴相切可知圆的半径即为圆心A到x轴的距离．本题重点考查坐标与图形性质、切线的性质等知识，正确地画出图形及辅助线是解题的关键． 【详解】解：设以R为半径作圆A与x轴相切于点B，连接AB，则轴， ， ， 圆A的半径R是3， 故选：A． 5．如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．过点O作直线l的垂线，垂足为A．当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．从距离角度看，圆的半径r要满足：，即，得出答案． 【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2． 过点O作直线l的垂线，垂足为A． 当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上． 从距离角度看，圆的半径r要满足：，即． 故选：D 题型01 判断直线与圆的位置关系Ⅰ 【典例1】．已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离 【答案】B 【分析】此题考查的是圆与直线的位置关系．判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为．①直线和相交，②直线和相切，③直线和相离．圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切． 【详解】解：圆心到直线的距离圆的半径3， 直线与圆的位置关系为相交． 故选：B 【变式1】．已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关键． 直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于2． 此时和半径2的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能． 故选：D． 【变式2】．已知的半径为1，直线l上有一点P满足，则直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相切或相离 D．相切或相交 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键； 根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和相交得；②直线l和相切得；③直线l和相离得．分垂直于直线l，不垂直直线l两种情况讨论． 【详解】解：当垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与l相切； 当不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与直线l相交． 所以，直线l与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 题型02 判断直线与圆的位置关系Ⅱ 【典例1】．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，一元二次方程根的判别式；点O到直线a的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．由方程无实数根，求出，从而得出答案． 【详解】解：∵点O到直线l距离是方程无实数根， ∴， ∴， ∴直线l与圆相交， 故选：C． 【变式1】．已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的增根以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．根据题意得到，求出，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：的半径是关于的方程的增根 ∴ ∴ ∴的半径是2， ∵圆心到直线的距离， 直线与的位置关系是相切． 故选：A． 【变式2】．在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长．求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 题型03 根据直线与圆的位置求半径 【典例1】．已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4，则的半径可能是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟知判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离是解题的关键．根据，圆和直线相交即可求解， 【详解】解：直线l与相交，圆心O到直线l的距离为4， 的半径大于4， 故选：． 【变式1】．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（ ） A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【详解】解：如图所示，过C作CD⊥AB，交AB于点D， Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm； 由勾股定理，得：AB2=32+42=25， ∴AB=5； 又∵AB是⊙C的切线， ∴CD⊥AB， ∴CD=r； ∵S△ABC=AC•BC=AB•r； ∴r=2.4cm， 故选B． 【点睛】直线与圆的位置关系． 【变式2】．如果一圆的半径为，圆心到直线的距离为，且这个圆与这条直线有公共点，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解答本题的关键． 根据这个圆与这条直线有公共点，可判断出直线与圆相切或相交，即可得到与的大小关系． 【详解】解：这个圆与这条直线有公共点， 直线与圆相切或相交， 圆心到直线的距离为， ， 故选：B． 【变式3】0．已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，的半径可取的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆的位置关系可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：， ， 或， ，， 的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线相离， 的半径，即， 故选：A． 题型04 根据直线与圆的位置求圆心到直线的距离 【典例1】．已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交，即可判断． 【详解】的半径为5，直线与相交， 圆心到直线的距离的取值范围是， 故选：A． 【变式1】．的直径为，直线l与相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系的性质． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，得． 【详解】解：∵的直径为，直线l与相交，点O到直线l的距离为d， ∴，即， 故选：B． 【变式2】．已知的半径为，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一般地，直线到圆心的距离为d，圆的半径为r，则当时，直线与圆没有交点；当时，直线与圆有一个交点；当时，直线与圆有两个交点，据此求解即可． 【详解】解：∵直线l与圆有公共点， ∴直线l与圆的圆心的距离小于等于半径， ∵的半径为， ∴， 故选：B． 题型05 直线与圆的位置的综合应用 【典例1】．在中，，若与相离，则半径为r满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆与直线的位置关系，过C作于D，含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据圆与直线相离得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过C作于D， ∵， ∴， ∵与相离， ∴半径r满足， 故选：C． 【变式1】．在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d、r法则，熟练掌握法则是解题的关键．根据面积公式计算点C到的距离d，比较d与半径的大小判断即可． 【详解】解：如图， ∵在平行四边形中，，， 设点C到的距离为d， ∴点C到的距离， ∴直线与圆C相交，即有2个交点， 故选：B． 【变式2】．如图，已知Rt△ABC，AC=8，AB=4，以点B为圆心作圆，当⊙B与线段AC只有一个交点时，则⊙B的半径的取值范围是（  ）    A．rB = B．4 < rB ≤ C．rB = 或4 < rB ≤ D．rB为任意实数 【答案】C 【分析】作BD⊥AC于D，如图，利用勾股定理计算出BC＝4，再利用面积法计算出BD＝2，讨论：当⊙B与AC相切时得到r＝2；当直线AC与⊙B相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，BA＜r≤CB． 【详解】解：作CD⊥AB于D，如图，    在Rt△ABC中，BC＝， ∵BD•AC＝AB•BC， ∴CD＝ 当⊙C与AB相切时，r＝2； 当直线AC与⊙B相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，4＜r≤4．， 综上所述，当r＝2或4＜r≤4 故选C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 【变式3】．如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 【变式4】．如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作于E，找到两个临界状态，一个是恰好与相切时，此时点D是切点，得到半径为，另一个是经过点A时，则，建立方程求解即可． 【详解】解：作于E，则，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， 当点运动到点E时，，此时与相切， ∴， 当经过点A时，    设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ∴以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理，矩形的判定与性质等知识，注意分情况讨论是解题的关键． 【变式5】．如图，在中，为边上的中线，，以点为圆心，r为半径作．如果与中线有且只有一个公共点，那么的半径r的取值范围为 ． 【答案】或/或 【分析】根据直线与圆的位置关系，判断出符合题意的的半径r的取值范围的临界值并求解即可； 【详解】解：在中，为边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴边的高， ∵与中线有且只有一个公共点， ∴的半径的取值范围为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的面积、直角三角形斜边上的中线、解直角三角形等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由三角函数求出BC是解决问题的关键． 题型06 切线有关说法辨析 【典例1】．下列说法中，正确的是（     ） A．垂直于半径的直线是圆的切线； B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线； D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线． 【答案】B 【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，逐项分析即可． 【详解】由切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得出只有答案B符合， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，属于基础性题目，难度不大． 【变式1】．下列说法正确的是（    ） A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径外端的直线是圆的切线 【答案】B 【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可判定C、D错误；由切线的定义：到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，可判定A错误，B正确．注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线，故本选项错误； B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故本选项正确； C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误； D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】此题考查了切线的判定．此题难度不大，注意掌握切线的判定定理与切线的定义是解此题的关键． 【变式2】．下列说法正确的是（　　） A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 【答案】D 【分析】逐一进行判断即可． 【详解】A，与圆有公共点的直线不一定是圆的切线，还可能与圆相交，故该选项错误； B，三角形的外心到三角形三个顶点距离相等，故该选项错误； C，和半径垂直的直线不一定是圆的切线，有可能是圆内的一条弦，故该选项错误； D，到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线，故该选项正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查与圆有关的结论，掌握圆的有关性质是解题的关键． 题型07 切线的判定 【典例1】．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 【答案】A 【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判定直线与相切，符合题意； B、由，得到，且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； C、点O到直线的距离是5，等于半径，能判定直线与相切，不符合题意； D、且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定；熟练掌握切线的判定是解题的关键． 【变式1】．如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（    ）时，直线是的切线． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，直线是的切线．连接OA．结合题意可知，从而得出．再根据，即得出，从而即可求出，即证明直线是的切线． 【详解】解：当时，直线是的切线． 证明：如图，连接OA． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴直线是的切线． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质．连接常用的辅助线是解题关键． 【变式2】．如图所示，中，点M在上，点P在外，交于点N，以下条件不能判定是的切线的是（   ） A． B． C． D．点N是OP的中点 【答案】D 【分析】根据切线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A.∵，且，∴，可知是的切线，故选项A不符合题意； B. ∵，且，∴，可知是的切线，故选项B不符合题意； C.∵，∴是直角三角形，且，可知是的切线，故选项C不符合题意； D. 点N是OP的中点不能得出，即不能判断出是的切线，故选项D符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理的逆定理、正确理解切线的判定定理是解答本题的关键． 题型08 解答题 【典例1】．如图，直线经过上的点，并且，． (1)求证：直线是的切线； (2)若的直径为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了求一个角的余弦值，全等三角形的判定与性质，切线的判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据切线的判定即可得出答案； （2）根据勾股定理进行计算得出，再结合求一个角的余弦值进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 为的半径， 直线是的切线． （2）解：， ， ∵的直径为， ∴， 由（1）得， ， 在中，． ∴． 【变式1】．如图，，以为半径的交于点C，且，求证：是的切线．    【答案】见解析 【分析】此题考查了证明直线是圆的切线，等边三角形的判定和性质，连接，得到是等边三角形，推出，由此求出，得到，即可得到结论是的切线． 【详解】证明：连接，    ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【变式2】．如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理和含直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定和性质，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得出，根据直角三角形性质得出，求出，得出，根据切线的判定得出即可； （2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∵为的斜边上的中线， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：∵为的斜边上的中线， ． 【变式3】．如图，是的外接圆，直径． (1)以点C为顶点，BC为边，在的右侧作，交的延长线于点P：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图（作一个角等于已知角）以及切线的判定．解题关键在于掌握尺规作图的基本方法完成（1）小题；对于（2）小题，要熟练运用圆的性质（同弧所对圆心角与圆周角的关系、半径相等得出角相等 ），通过计算角度来证明直线与半径垂直，从而判定切线． （1）题要求用尺规作图作出 ．需要利用尺规作图的基本方法，比如作一个角等于已知角的方法来完成．具体操作是先以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点，然后以点为圆心，同样长为半径画弧，再通过一定的操作确定 ． （2）要证明是的切线，根据切线的判定定理，需证明 ．连接后，通过圆的性质求出相关角度，进而证明 ．已知，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得 ，又根据 ，在中通过角度计算得出 ． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：连接： ∵（同圆半径相等）， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ， ， ∴ ，即 ． ∵是的半径， ∴是的切线． 【变式4】．如图，为的直径，弦，垂足为点E，直线与延长线交于点F，且．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定定理，勾股定理， （1）利用圆周角定理，等量代换，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）设的半径为R，连接，利用垂径定理求得线段，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径． ∴直线是的切线； （2）解：设的半径为R，连接，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得：， 即的半径为． 【变式5】．如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后利用角平分线的性质和等边对等角可证，从而利用平行线的性质可得，即可解答； （2）先在中，利用勾股定理求出的长，然后证明字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质可求出，的长，进而在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）， ， ， 在中，， ，， , ， ， ，， ， 在中，， ， 的值为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质以及角平分线的定理，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 一、单选题 1．在中，，，，以点C为圆心，2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再利用三角形的面积公式求得点C到AB的距离，进而判定圆与AB的位置关系. 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴点C到AB的距离=， 则该圆与AB的位置关系是相离. 故选C. 【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，勾股定理，三角形的面积公式等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 2．已知中，，若以2为半径作，则斜边与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 过点C作于D，先利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，最后根据与半径的大小关系判断斜边与的位置关系即可． 【详解】解：过点C作于D， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴以2为半径作与斜边相离． 故选：B． 3．若⊙O的半径为R，直线l与⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离为d，则d与R的大小关系是（     ）． A．d＞R B．d＜R C．d≥R D．d≤R 【答案】D 【分析】直线l与⊙O有公共点，则可得圆与直线相交或相切，根据圆和直线的位置关系，可以得出d与R的大小关系. 【详解】∵直线l与⊙O有公共点， ∴直线l与⊙O相交或相切. ∵圆心到直线l的距离是d， ∴可得d≤R. 故选D. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的知识，解决本题的关键是熟记位置关系及名称. 在判断直线与圆的位置关系时，通常要得到圆心到直线的距离d和圆的半径r，然后再利用d与r的大小关系进行判断.直线与圆的位置关系：①当d＞r时，直线与圆相离；②当d=r时，直线与圆相切；③当d＜r时，直线与圆相交. 4．已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1 O2=3,那么O2A的长等于（  ） A．2 B．3 C．8 D．2或8 【答案】D 【分析】根据题意可知分两种情况讨论即可求解. 【详解】根据题意可知分两种情况讨论： ①O1A＞O2A，∵O1A =5，O1 O2=3, ∴O2A= O1A-O1 O2=2 ①O2A＞O1A，∵O1A =5，O1 O2=3, ∴O2A= O1A+O1 O2=8 故选D. 【点睛】此题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是根据题意分情况讨论. 5．如图，若的直径为2，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键．根据圆心到直线的距离大于半径的长，即可得出判断． 【详解】解：∵的直径为2， ∴的半径为1， ∵点到某条直线的距离为， ∴直线与圆相离； ∴这条直线可能是； 故选：A． 6．在平面直角坐标系中有点A(3，4)，以点A为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y=－x与⊙A的位置关系是(    ) A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】可作出图形，根据勾股定理可得AO=5，联系直角三角形斜边与直角边的大小关系可得到点A到直线的距离与圆的半径的大小关系，从而判断出直线和圆的位置关系. 【详解】如图， ∵A(3,4)，∴AO=5， ∵点A到直线y=−x的距离为AB的长小于圆的半径r，即AB<AO， ∴直线y=−x与A的位置关系是相交. 故选:C. 【点睛】考查本题考查了直线与圆，当圆心到直线的距离d＞圆的半径r，直线与圆相离；当圆心到直线的距离d＜圆的半径r，直线与圆相交；当圆心到直线的距离d=圆的半径r，直线与圆相切； 7．已知等边三角形的边长为，以点A为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．外离 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】过点A作于点D， 根据等腰三角形三线合一得：， 根据勾股定理得：， ∴， 以长为半径作，则与的位置关系是相交， 故选：A． 8．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直线BC相交，且与⊙B没有公共点，那么⊙A的半径可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7. 【答案】D 【详解】分析：根据勾股定理得AB=5，⊙A与直线BC相交，从而求得⊙A的半径的取值范围；再根据⊙A与⊙B没有公共点，则两圆外离或内含，从而求得r的取值范围． 详解：根据勾股定理得：AB=5，根据题意，⊙A与直线BC相交，所以⊙A的半径的取值范围是大于3；     又⊙A与⊙B没有交点，则 r＜5-1=4或r＞5+1=6，∴3＜r＜4或r＞6． 故选D． 点睛：本题综合考查了直线和圆以及两圆的位置关系与数量之间的联系．本题需注意两圆没有公共点，应分外离和内含两种情况． 10．如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如图1，已知中，，，，点O在边上．如果与直线相切，以为半径的与“内相交”，那么的长度可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求得，两个三角形面积公式求得，即可得出的半径，根据“内相交”的定义得出，即可得出结论． 【详解】解：中，，，， ∴， 作于D，以C为圆心，以为半径的圆C与直线相切于D， ∴是半径， ∵，即， ∴， ∴的半径为， ∵，，， ∴． ∴B符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理的应用，三角形的面积，求得的半径是解题的关键． 二、填空题 11．已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为 ．（只写一个） 【答案】6（或其他值） 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆和直线相交即可求解，掌握直线和圆的位置与圆心距d与半径r之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线l与相交，圆心O到直线l的距离为， ∴的半径大于， 故答案为：6（或其他值）． 12．已知一条直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是 ． 【答案】r＞2 【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d＝2， ∴r＞2． 故答案为：r＞2． 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的三种位置关系的判定方法是解题的关键. 13．已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的公共点有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，时，圆和直线相离；时，圆和直线相切；时，圆和直线相交． 【详解】解：∵圆心到直线的距离是圆的半径4， ∴直线和圆相交，即有2个公共点． 故答案为：2． 14．已知，P是OA上的一点，cm，以r为半径作⊙P，若cm，则⊙P与的位置关系是 ，若⊙P与相离，则r满足的条件是 ． 【答案】 相离 【分析】过点P作，利用的直角边是斜边的一半，求出，再根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系进行判断即可． 【详解】解：过点P作，垂足为D，则， ∵，cm， ∴． 当cm时，， ∴⊙P与相离， 即⊙P与位置关系是相离． 当⊙P与相离时，， ∴r需满足的条件是：． 故答案为：相离；． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系判断直线与圆的位置关系，是解题的关键． 15．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，本题先求解圆心到直线的距离与圆的半径，再根据可得答案；熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 【详解】解：根据题意，得圆心到直线的距离等于，圆的半径是， ∴圆心到直线的距离小于半径，得直线和圆相交． 故答案为：相交． 16．如图，直线AB，CD相交于点O，，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 s． 【答案】4或8/8或4 【分析】求得当⊙P位于点O的左边与CD相切时t的值和⊙P位于点O的右边与CD相切时t的值即可． 【详解】解：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图1，过P作PE⊥CD于E ∴PE＝1cm， ∵∠AOC＝30° ∴OP＝2PE＝2cm ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切 ∴⊙P移动所用的时间＝＝4（秒）； 当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图2，过P作PE⊥CD于E ∴PF＝1cm ∵∠AOC＝∠DOB＝30° ∴OP＝2PF＝2cm ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间＝＝8（秒） ∴当⊙P的运动时间为4或8秒时，⊙P与直线CD相切． 故答案为：4或8． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，含30°的直角三角形，解题的关键在于分点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算． 17．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径，直线的解析式为．若直线与半圆有交点，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】此题考查了直线和圆的位置关系，以及用待定系数法求解直线的解析式等方法，若直线与半圆有交点，则直线和半圆相切于点开始到直线过点结束（不包括直线过点），当直线和半圆相切于点时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是，从而求得，即可得出点的坐标，进一步得出t的值；当直线过点时，直线根据待定系数法求得的值，进而即可求解． 【详解】若直线与半圆有交点，则    直线和半圆相切于点开始到直线过点结束，当直线和半圆相切于点时，直线与轴所形成的锐角是， ∴， 又∵半圆的半径， ∴， ∴代入解析式，得， 当直线过点时，把代入直线解析式，得， 即当，直线和半圆有交点． 18．如图，在中，，，，点O在边上，且，以点O为圆心，r为半径作圆，如果与的边共有4个公共点，那么半径r取值范围是 . 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，，作交于点D，以O为圆心作圆，结合图形可知： 的时候，交点为4个． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， 作交于点D，以O为圆心作圆，如图： ∵，， ∴， ∴，即解得：， 结合图形可知：当半径等于3的时候，交点为3个，当半径等于5的时候，交点为A、E、F3个，当的时候，交点为4个， ∴半径r取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，圆的性质，解题的关键是作出图形，结合图形分析求解． 三、解答题 19．如图，在中，是的弦，点A是的中点，过点A作直线．求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，平行线的性质，先由垂径定理得到，再由，即可证明，进而可证明是的切线． 【详解】证明：如图，连接， 点A是的中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 20．如图，是上一点，点在直径的延长线上，的半径为，，. 求证：是的切线. 【答案】见解析 【分析】连接，证明得是直角三角形，即，则是的切线． 【详解】证明：如图，连接， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理的逆定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． 21．（1）如图1，点在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的切线； （2）如图2，点在圆O外，用圆规直尺作出过点的圆的一条切线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，基本作图； （1）先确定直径，进而根据网格的特点作，即可求解； （2）连接，以为直径作圆，交于点，连接，则即为所求的切线． 【详解】（1）如图1所示， 即为圆的切线， （2）如图所示，即为所求的切线 22．如图，在中，，以点O为圆心，长为半径的圆交于点C，点D在边上，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、正切的应用等知识点，掌握相关几何结论是解题关键． （1）连接，由得，结合，即可求解； （2）设的半径为，可得，根据可得，即可求解； 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接，如图所示： 则 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为半径， ∴直线与相切 （2）解：设的半径为， ∵ ∴, ∴ ∵ ∴， 解得： 23．如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作于点，，的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，且，求的半径与线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为6， 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用直角三角形的边角关系定理列出比例式即可求得圆的半径，利用相似三角形的判定和性质列出比例式即可求得的长． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ． ， ． ． ∴, ， ． 是的半径， 是的切线； （2）解：在中， ，， ， ． 即的半径为6． ， ， ． ，， ∴， ∴， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定和性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A、与x轴正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，已知． (1)求b、c的值； (2)将抛物线平移，平移后得到新抛物线与y轴负半轴交于点P． ①如果平移后的新抛物线经过点，且它的对称轴与以O为圆心，长度为半径的相切，求平移后新抛物线的解析式； ②在原抛物线对称轴右侧部分上取一点E，使得，记点E在新抛物线上的对应点为F，如果点F在CE的延长线上，且，求平移后的新抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）由题意得，，根据，可知，，再利用待定系数法即可求解； （2）①设平移后的解析式为，且经过，可得；由题意可知，其在轴负半轴，则，可得，，平移后的对称轴为直线，根据切线的性质可知，求出，即可求解； ②连接交轴于，由（1）可知原抛物线的解析式为，根据，结合解直角三角形求得，即，进而求得，直线的解析式为，可得，过点作，则轴，结合解直角三角形可知，新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，即，新抛物线解析式为：，由题意知，代入解析式求得的值，即可求得解析式，进而可得顶点坐标． 【详解】（1）解：令时，，即， ∴， ∵， ∴，， 将，代入， 得：，解得：， 即：，； （2）①设平移后的解析式为，且经过， ∴，即：； 令，则，即：， 又∵在轴负半轴，则，即， ∴，， 平移后的对称轴为直线 ∵它的对称轴与以O为圆心，长度为半径的相切， ∴，即， 解得：，则， ∴平移后新抛物线的解析式； ②连接交轴于， 由（1）可知原抛物线的解析式为， ∵， ∴，则， ∵，则， ∴，即， 设直线的解析式为，代入，， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， 可得：，解得：或， ∴， 过点作，则轴， ∴， 设，则， ∴新抛物线是由原抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 即，新抛物线解析式为：， 又∵， ∴，则， 解得：，（舍去）， ∴平移后的新抛物线解析式为：， ∴新抛物线的顶点坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析，二次函数的平移问题，解直角三角形，切线的性质，理解题意，作出草图，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． 25．已知，在中，，，，是边上一动点，连接．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． (1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； (2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； (3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 【答案】(1)相切，见解析 (2) (3)或 【分析】（1）过点C作于点，先解求出，的度数，过点O作于点，则当点与点重合时，，由，得到，故，即可判断； （2）由垂径定理的推论可得，可得为等腰直角三角形，证明，则，设，则，由，得到，那么，代入即可求解； （3）当与线段相切时，过点作于点，过点作于点，导角证明，则，那么；当经过点时，过点分别作，垂足分别为，由平行线分线段成比例定理得到，设，则，则，那么，解得到，再由平行线分线段成比例定理得到，即，求出，即可求解． 【详解】（1）解：与边相切，理由如下： 过点C作于点， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点O作于点, ∵，当点与点重合时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而为半径，为点O到边的距离， ∴与边相切； （2）解：∵，经过圆心， ∴， ∵经过圆心， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵为半径，， ∴， ∴一定不经过点， 当与线段相切时，如图： 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当经过点时，过点分别作，垂足分别为， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，符合题意， 综上所述，当与线段只有一个交点时，或． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，直线与圆的位置关系，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，难度较大，解题的关键在于两个临界情况进行分析． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $