专题27.5 圆与圆的位置关系（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级下册

专题27.5 圆与圆的位置关系 教学目标 1. 了解圆与圆的位置关系； 2. 学会判断圆与圆的位置；并会根据圆与圆的位置求长度或距离等问题； 3. 掌握两圆连心线的性质，并会解其几何应用． 教学重难点 1.重点 （1）判断圆与圆的位置关系； （2）根据圆与圆的位置关系求参数； （3）两圆连心线的性质的应用。 2.难点 （1）圆与圆的位置关系界限问题，如求取值范围，最值问题等； （2）圆与圆的位置关系的综合应用。 知识点1 圆与圆的位置关系 1、 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的五种位置关系的定义 　　两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 　　两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 　　两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 　　两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 　　两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含. 　　　　　　　 2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 　　设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则： 　　两圆外离 d＞r1+r2 　　两圆外切 d=r1+r2 　　两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2) 　　两圆内切 d=r1-r2 (r1＞r2) 　　两圆内含 d＜r1-r2 (r1＞r2) 3. 两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距.经过两个圆的圆心的直线叫做连心线。 要点： 　　(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； 　　(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； 　　(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合. 二、两圆连心线的性质 1. 定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 我们来证明这个定理. 已知：如图27-39,⊙O1和⊙O2,相交于点A和点B.求证：直线O1O2垂直平分公共弦AB. 证明：分别联结AO1、BO1、AO₂、BO₂ AO1=BO1, ∴点O₁在线段AB的垂直平分线上.同理，点O₂在线段AB的垂直平分线上， 所以，直线O1O2是线段AB的垂直平分线，即直线O1O2垂直平分公共弦AB. 2.定理：相切两圆的连心线经过切点。 【即学即练】 1．如果两圆的直径长分别为 4 与 6，圆心距为 2，那么这两个圆的位置关系是（  ） A．内含 B．内切 C．外切 D．相交 2．若两个半径为2的等圆外离，则圆心距d的取值范围为 ． 3．两个相切的圆半径分别为和，若圆心距，那么的最小值为 ． 4．已知半径均为1的两圆外切，那么半径为2且与这两个圆都相切的圆有 个． 5．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相切，那么⊙D的半径等于 ． 题型01 判断圆与圆的位置Ⅰ 【典例1】．两圆的半径分别为和，圆心距为，则这两圆的位置关系为（） A．相交 B．内含 C．内切 D．外切 【变式1】．已知的半径是，的半径是，圆心距是，则与的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式2】．若两圆的半径分别为和，圆心距为2，那么这两圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．内含 【变式3】．已知和的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 题型02 根据圆与圆的位置关系求半径Ⅰ 【典例1】．已知和，的半径长为，．如果与相交，那么的半径长可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如果与内含，，的半径是3，那么的半径可以是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】．如图，和的半径分别为5和1，，点在直线上，与、都内切，那么半径是 ． 题型03 根据圆与圆的位置关系求圆心距 【典例1】．已知半径分别是和的两个圆相交，公共弦长是，那么这两个圆的圆心距是 ． 【变式1】．若相交两圆的半径分别为4和5，公共弦长为6，两圆圆心距长为 ． 【变式2】0．已知与相交于A、B两点，连心线交于点D，，，，则圆心距的长为 ． 题型04 判断圆与圆的位置关系Ⅱ 【典例1】．知和，的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外离 【变式1】．两圆的半径分别为，圆心距为，若关于的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（　　） A．外切 B．内切 C．相交 D．内切或外切 【变式2】．在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【变式3】．中，已知，，，以点、、为圆心的圆分别记作圆、圆、圆，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（　　） A．圆与圆相交 B．圆与圆外切 C．圆与圆外切 D．圆与圆外离 题型05 根据圆与圆的位置关系求半径Ⅱ 【典例1】．在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【变式1】．如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 【变式2】．已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06 圆与圆的位置关系说法综合辨析 【典例1】．下列命题中，真命题是（） A．内含两圆的圆心距大于零 B．没有公共点的两圆叫两圆外离 C．联结相切两圆圆心的线段必经过切点 D．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称 【变式1】．下列命题中，真命题是 A．没有公共点的两圆叫两圆外离； B．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称； C．联结相切两圆圆心的线段必经过切点； D．内含两圆的圆心距大于零. 【变式2】．下列命题中，真命题是（　　） A．如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离 B．如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切 C．如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切 D．如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离 题型07 讨论满足条件的个数、种类等 【典例1】．半径均为的两圆外切，作半径为且和这两圆都相切的圆可以作（  ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式1】．已知线段，则平面内与点的距离为5，且与点的距离为6的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型08 求取值范围问题综合 【典例1】．已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点在内，点在内，那么半径的取值范围是（　） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（     ） A．4OB7 B．5OB7 C．4OB9 D．2OB7 【变式2】．如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型09 锐角的三角比在圆与圆的位置的应用 【典例1】．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，圆心O1、O2在公共弦AB的两侧，AB＝O1O2＝4，sin∠AO1B＝，那么O2A的长是 ． 【变式1】．如图，已知和相交于、两点，延长连心线交于点，连接、，若，，那么的半径等于 ．    【变式2】．如图，在中，，，以点C为圆心作半径为1的圆C，P是上的一个点，以P为圆心，为半径作圆P，如果圆C和圆P有公共点，那么的取值范围是 ． 题型10 新定义题 【典例1】．在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆的圆心为，半径为，那么圆的所有“孪生圆”的圆心坐标为 ． 【变式1】．当相交的两个圆中有一个圆的圆心在另一圆的圆内部时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．已知点O在线段AB上，的半径为1，如果以OB为半径的与“内相交”，且，那么的取值范围是 【变式2】．已知两圆相交，当每个圆的圆心都在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型11 圆与圆的位置关系的综合应用 【典例1】．如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是（　　） A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【变式1】．如图，在中，，，．点在边上，，以点为圆心，为半径作．点在边上，以点为圆心，为半径作．如果和外切，那么的长为 ．    【变式2】．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=4，AD=，，圆O是以AB为直径的圆．如果以点C为圆心作圆C与直线AD相交，与圆O没有公共点，那么圆C的半径长可以是（  ） A．9 B． C．5 D． 【变式3】．如图，在中，，，分别以点B、C为圆心，1为半径长作、，D为边上一点，将和沿着翻折得到和，点B的对应点为点，与边相交，如果与外切，那么 ． 题型12 解答题 【典例1】．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B． (1)求证：O1AO2B； (2)若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长． 【变式1】．如图，等圆和相交于两点，经过的圆心．求的度数． 【变式2】．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB＝10，BC＝21，sinB＝． （1）求AC的长； （2）求⊙A、⊙B、⊙C半径． 【变式3】．如图，等圆⊙O1、⊙O2相交于AB，圆心O1、O2分别在另一个圆上 （1）求∠O1AB的大小； （2）若圆的半径为2cm，求公共弦AB的长． 【变式4】．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB=6． 求： (1)弦AC的长度； (2)四边形ACO1O2的面积． 一、单选题 1．如果两圆的直径分别为和，圆心距为，那么这两圆的位置关系是（     ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 2．如果与内含，，的半径是3，那么的半径可以是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．两圆的圆心坐标分别为（3，0）、（0，4），直径分别为4和6，则这两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 4．已知两圆内切，圆心距为5，其中一个圆的半径长为8 ，那么另一个圆的半径长是 A．3； B．13； C．3或13； D．以上都不对. 5．已知⊙的半径长是5，点在上，且，如果⊙与⊙有公共点，那么⊙的半径长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．对于命题：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离；②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含．下列说法正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 二、填空题 7．如果圆的半径为，圆的半径为，且，那么圆和圆的位置关系是 . 8．已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于 ． 9．已知与两圆外切，，的半径为3，那么的半径为 ． 10．已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为 ． 11．若两个圆的圆心距为1.5，而两个圆的半径是方程4x2﹣20x+21=0的两个实数根，则这两个圆的位置关系是 ． 12．如图，在中，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是 ． 13．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，延长连心线O1O2交⊙O2于点P，联结PA、PB，若∠APB=60°,AP=6，那么⊙O2的半径等于 ． 14．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ． 三、解答题 15．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB＝10，BC＝21，sinB＝． （1）求AC的长； （2）求⊙A、⊙B、⊙C半径． 16．如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AD＝AB，联结O1E． （1）求证：O1E＝O1C； （2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求AB的长． 17．如图，⊙和⊙相交于A、B两点，与AB交于点C，的延长线交⊙于点D，点E为AD的中点，AE=AC，连接． （1）求证：； （2）如果＝10，，求⊙的半径长． 18．设点、点，分别以O、A为圆心，半径为2r、r作圆，两圆在第一象限的交点为P． (1)当时，求点P的坐标； (2)当时，能否找到一定点Q，使为定值？若能找到，请求出Q点的坐标及定值；若不能找到，请说明理由． 19．如图，已知是与的公共弦，与交于点C，的延长线与交于点P，连接并延长，交于点D． (1)连接如果．求证： ； (2)如果，求证：． 20．二次函数的图像的顶点为，与轴交于点，以为边在第二象限内作等边三角形．    （1）求直线的表达式和点的坐标； （2）点在第二象限，且△的面积等于△的面积，求点的坐标； （3）以轴上的点为圆心，1为半径的圆，与以点为圆心，的长为半径的圆相切，直接写出点的坐标． 21．如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E. （1）求CE的长； （2）P是 CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q. ①如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的长； ②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.5 圆与圆的位置关系 教学目标 1. 了解圆与圆的位置关系； 2. 学会判断圆与圆的位置；并会根据圆与圆的位置求长度或距离等问题； 3. 掌握两圆连心线的性质，并会解其几何应用． 教学重难点 1.重点 （1）判断圆与圆的位置关系； （2）根据圆与圆的位置关系求参数； （3）两圆连心线的性质的应用。 2.难点 （1）圆与圆的位置关系界限问题，如求取值范围，最值问题等； （2）圆与圆的位置关系的综合应用。 知识点1 圆与圆的位置关系 1、 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的五种位置关系的定义 　　两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 　　两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 　　两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 　　两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 　　两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含. 　　　　　　　 2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 　　设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则： 　　两圆外离 d＞r1+r2 　　两圆外切 d=r1+r2 　　两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2) 　　两圆内切 d=r1-r2 (r1＞r2) 　　两圆内含 d＜r1-r2 (r1＞r2) 3. 两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距.经过两个圆的圆心的直线叫做连心线。 要点： 　　(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数 分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； 　　(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； 　　(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合. 二、两圆连心线的性质 1. 定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 我们来证明这个定理. 已知：如图27-39,⊙O1和⊙O2,相交于点A和点B.求证：直线O1O2垂直平分公共弦AB. 证明：分别联结AO1、BO1、AO₂、BO₂ AO1=BO1, ∴点O₁在线段AB的垂直平分线上.同理，点O₂在线段AB的垂直平分线上， 所以，直线O1O2是线段AB的垂直平分线，即直线O1O2垂直平分公共弦AB. 2.定理：相切两圆的连心线经过切点。 【即学即练】 1．如果两圆的直径长分别为 4 与 6，圆心距为 2，那么这两个圆的位置关系是（  ） A．内含 B．内切 C．外切 D．相交 【答案】D 【分析】求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较大小，根据得出的数量关系判断位置关系． 【详解】由题意得：∵两圆的直径长分别为 4 与 6， 两圆的半径长分别为 2 与 3，3-2=1，3+2=5，圆心距为2， ∴1<2<5， 根据两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间得：两圆相交， 故此题选：D． 【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系，本题利用两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间求解． 2．若两个半径为2的等圆外离，则圆心距d的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，重点考察由数量关系及两圆位置关系求圆心距的取值范围的方法．本题直接告诉了两圆的半径及两圆位置关系，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则．表示圆心距，，分别表示两圆的半径）． 【详解】解：根据题意，得 ， 两圆外离， 圆心距， 故答案为 3．两个相切的圆半径分别为和，若圆心距，那么的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆和圆的位置关系，熟练掌握两个相切的圆分外切和内切两种情况是解题的关键．根据两圆相切可分外切和内切两种情况：外切时，则圆心距等于两圆半径之和；内切时，则圆心距等于两圆半径之差，据此即可求得答案． 【详解】解：根据题意，当两圆外切时，则，即； 当两圆内切时，则，即； 那么的最小值为． 故答案为：． 4．已知半径均为1的两圆外切，那么半径为2且与这两个圆都相切的圆有 个． 【答案】5 【分析】运用半径为1cm的两个圆外切，画出图形半径为2cm且和这两个圆相外切的共有两个，与其中一个圆外切一个圆内切共有两个，与两圆都内切的有一个． 【详解】结合图形：⊙1、⊙2为半径为1cm的两外切圆， 则与两圆两两外切的有两种：⊙3、⊙4， 与其中一个圆外切，另一个圆内切的有：⊙6、⊙7， 与两小圆都内切的圆有：⊙5， 所以一共有5种， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了两圆相切是的几种位置关系，解题关键是能够想到两圆两两外切的这种情况． 5．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相切，那么⊙D的半径等于 ． 【答案】8或18 【分析】连接BD，由勾股定理求出圆心距BD＝13，分两圆外切时和两圆内切时两种情况，求出⊙D的半径． 【详解】解：连接BD 由勾股定理得，BD＝＝13， ∵点A在⊙B上 ∴⊙B的半径为5 当⊙D与⊙B外切时，⊙D的半径＝13﹣5＝8 当⊙D与⊙B内切时，⊙D的半径＝13+5＝18 故答案为：8或18． 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，理解题意连接两圆的圆心是解题的关键． 题型01 判断圆与圆的位置Ⅰ 【典例1】．两圆的半径分别为和，圆心距为，则这两圆的位置关系为（） A．相交 B．内含 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，根据圆心距等于两圆的半径的和可得两圆外切，即可求解． 【详解】解：∵两圆的半径分别为和，圆心距为，, ∴这两圆的位置关系为外切. 故选：D． 【变式1】．已知的半径是，的半径是，圆心距是，则与的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】本题考查圆与圆的位置关系，根据是相交直接判断即可得到答案； 【详解】解：∵的半径是，的半径是，圆心距是， ∴， ∴与的位置关系是相交， 故选：C． 【变式2】．若两圆的半径分别为和，圆心距为2，那么这两圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】A 【分析】本题考查圆与圆的位置关系．设两圆的圆心距为P，半径为R和r，则它们的位置如下：外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则．据此即可判断求解． 【详解】解：根据题意，圆心距， ∴两圆内切． 故选：A． 【变式3】．已知和的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（    ） A．当时，两圆没有公共点 B．当时，两圆有一个公共点 C．当时，两圆有公共点 D．当时，两圆有两个公共点 【答案】D 【分析】本题主要考查了两圆位置关系，掌握两圆半径、圆心距的关系以及两圆不同位置关系时的公共点数成为解题的关键． 根据圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系逐项判断即可． 【详解】解：∵和的半径分别是5和7， ∴． A、，则与内切，有一个公共点，故该选项错误； B、，且，则与相交，有两个公共点，故选项错误； C、，当时，与内含，没有公共点，故选项错误； D、时，，则与相交，有两个公共点，故选项正确． 故选：D． 题型02 根据圆与圆的位置关系求半径Ⅰ 【典例1】．已知和，的半径长为，．如果与相交，那么的半径长可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两圆相交的条件，解绝对值不等式以及解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由与相交得的半径满足不等式，解出的取值范围，即可得解． 【详解】解：的半径长为，，与相交， 的半径满足不等式：， 解得：， 故选：C． 【变式1】．如果与内含，，的半径是3，那么的半径可以是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由题意知与内含，则知两圆圆心距，代入数值进行计算即可． 【详解】解：根据题意两圆内含，则知两圆圆心距， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆的位置关系，熟记圆心距与两圆半径差之间的大小与圆的位置的关系是解题的关键． 【变式2】．如图，和的半径分别为5和1，，点在直线上，与、都内切，那么半径是 ． 【答案】1.5或4.5 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解此题的关键是熟练掌握由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为和，且，圆心距为；外离；外切；相交；内切；内含． 根据两圆内切时圆心距两圆半径之差的绝对值，分两种情况求解即可． 【详解】解：设半径是，根据题意， 分两种情况： 如图1，，， ， ， 解得； 如图2，，， ， ， 解得． 故答案为1.5或4.5． 题型03 根据圆与圆的位置关系求圆心距 【典例1】．已知半径分别是和的两个圆相交，公共弦长是，那么这两个圆的圆心距是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查相交两圆的性质，分类讨论是解题的关键． 结合已知，分两圆的圆心在弦的同侧和弦的异侧两种情况画出图形，根据勾股定理可得到圆心距的两部分分别是， ，然后根据两圆的位置关系确定圆心距，从而完成解答． 【详解】如图，，，， ∵公共弦长为， ， ， ， ∴①当公共弦在两个圆心之间时，圆心距， ②当公共弦在圆心的同侧时，圆心距， 故这两个圆的圆心距是或． 故答案为：或． 【变式1】．若相交两圆的半径分别为4和5，公共弦长为6，两圆圆心距长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相交两圆的性质，连心弦垂直平分公共弦，据此利用勾股定理分两种情况进行求解即可． 【详解】解：大圆圆心到公共弦的距离为：， 小圆圆心到公共弦的距离为：， ∵两圆相交， ∴两圆的圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的两侧， ∴两圆的圆心在公共弦的同侧时，两圆圆心距长为， 两圆的圆心在公共弦的两侧时，两圆圆心距长为， 故答案为： 【变式2】．已知与相交于A、B两点，连心线交于点D，，，，则圆心距的长为 ． 【答案】21或9 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，勾股定理等知识点．利用连心线垂直平分公共弦的性质，构造直角三角形利用勾股定理解题． 【详解】解：当点在外时，连接，交于点D， ∵与相交于A、B两点， ∴，且； 又∵， ∴， ∴在中，根据勾股定理知； 在中，根据勾股定理知， ∴； 当点在内时， 同理可得：． 故答案为：21或9． 题型04 判断圆与圆的位置关系Ⅱ 【典例1】．知和，的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米，如果两圆的圆心距为15厘米时，那么此时这两圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外离 【答案】C 【分析】根据圆心距在两圆半径差和两圆半径和之间，故判断出两圆相交． 【详解】解：的半径长为10厘米，当两圆外切时，两圆的圆心距为25厘米， 的半径为15厘米， ， 两圆的位置关系是相交. 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，熟练掌握两圆的圆心距大小和两圆的位置之间的关系是解题的关键． 【变式1】．两圆的半径分别为，圆心距为，若关于的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（　　） A．外切 B．内切 C．相交 D．内切或外切 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程根的情况得判别式为0，列方程可求出圆心距与两圆半径的关系，最后根据圆与圆的位置关系可确定两圆的位置关系；本题主要考查一元二次方程根的情况和两圆位置关系的判定，熟练掌握“一元二次方程有两个相等的实数根时判别式为0”、“时，两圆外切，时，两圆内切”是解题的关键． 【详解】解：因为方程有两个相等的实数根，所以判别式等于0， 则 或． 因此两圆外切或者内切． 故答案为：D． 【变式2】．在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键． 【详解】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切， 圆含在圆内，即， 在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示： 当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为， ， 圆与圆相交， 故选：B． 【变式3】．中，已知，，，以点、、为圆心的圆分别记作圆、圆、圆，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（　　） A．圆与圆相交 B．圆与圆外切 C．圆与圆外切 D．圆与圆外离 【答案】D 【分析】本题主要考查圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．根据已知条件画出图形即可得出三个圆的位置关系． 【详解】解：根据题意作图如下： 圆与圆外切，圆与圆外离，圆与圆相交， 故选：． 题型05 根据圆与圆的位置关系求半径Ⅱ 【典例1】．在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得；当与相交时，圆心距需满足条件，代入数值求解r的范围，进而确定选项． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E， ∵，D为中点， ∴，； ∵锐角三角形中，， ∴外接圆心O在上， 连接，由勾股定理得：；      设以D为圆心的圆的半径为，相交应满足：， 即，解得：； 在此范围的半径只有选项B； 故选：B． 【变式1】．如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，两个圆的半径差的绝对值小于圆心距离，那么这两个圆内含，据此分内含于和内含于两种情况，讨论求解即可． 【详解】解：当内含于时，则， ∴， ∴； 当内含于时，则， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选：C． 【变式2】．已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，注意掌握数形结合思想的应用． 求得内切于时的半径和内切于时的半径，根据图形即可求得． 【详解】解：如图，当内切于时，的半径为， 当内切于时，的半径为， ∴如果与有公共点，那么的半径的取值范围是， 故选：D． 题型06 圆与圆的位置关系说法综合辨析 【典例1】．下列命题中，真命题是（） A．内含两圆的圆心距大于零 B．没有公共点的两圆叫两圆外离 C．联结相切两圆圆心的线段必经过切点 D．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题，圆的有关知识，根据圆与圆的位置关系逐一判断即可． 【详解】解：A．内含两圆的圆心距大于或等于零，故原命题是假命题； B．没有公共点的两圆叫两圆外离或内含，故原命题是假命题； C．连接相切两圆圆心的线段可能不经过切点，原命题是假命题； D．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称，原命题是真命题； 故选：D． 【变式1】．下列命题中，真命题是 A．没有公共点的两圆叫两圆外离； B．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称； C．联结相切两圆圆心的线段必经过切点； D．内含两圆的圆心距大于零. 【答案】B 【详解】试题分析：根据两圆的位置关系，对各选项逐一作出判断： A．因为没有公共点的两圆包括外离和内含，所以命题不是真命题； B．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称，命题是真命题； C．因为联结内切两圆圆心的线段不经过切点，所以命题不是真命题； D．因为如果内含两圆同心，则圆心距等于零，所以命题不是真命题. 故选B． 考点：1.命题；2.两圆的位置关系. 【变式2】．下列命题中，真命题是（　　） A．如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离 B．如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切 C．如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切 D．如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离 【答案】D 【分析】根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可． 【详解】A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，A是假命题； B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切或内切或相交，B是假命题； C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切或相交，C是假命题； D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离，D是真命题； 故选D． 【点睛】本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r（R＞r）时两圆内含． 题型07 讨论满足条件的个数、种类等 【典例1】．半径均为的两圆外切，作半径为且和这两圆都相切的圆可以作（  ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了两圆相切是的几种位置关系，解题关键是能够想到两圆两两外切的这种情况． 运用半径为的两个圆外切，画出图形半径为且和这两个圆相外切的共有2个，与其中一个圆外切一个圆内切共有2个，与两圆都内切的有2个，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∴作半径为且和这两圆都相切的圆可以作6个． 故选：A． 【变式1】．已知线段，则平面内与点的距离为5，且与点的距离为6的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查圆的概念、两圆的位置关系及圆的切线，掌握圆的相关性质是关键．分别以点、为圆心，以、为半径画圆，由可知，两圆相外切，由此得出答案． 【详解】解：如图所示，作一个以点为圆心，以为半径的圆，以点为圆心，以为半径的圆． ∵， ∴两圆有一个交点，故和相切，其切线有条． 故选：C． 题型08 求取值范围问题综合 【典例1】．已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点在内，点在内，那么半径的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据以，为圆心的两圆外切得出的半径，最后根据点和圆的位置关系，求出的取值范围即可．本题主要考查了相切两圆的性质以及点和圆的位置关系，求出的半径是本题解题的关键． 【详解】解：连接， 四边形为矩形， ， 以，为圆心的两圆外切， 的半径为， 点在内， ， ， 在内， ， ， ． 故选：C． 【变式1】．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（     ） A．4OB7 B．5OB7 C．4OB9 D．2OB7 【答案】A 【分析】作⊙A半径AD，根据含30度角直角三角形的性质可得，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，即可得结论． 【详解】解：设⊙A与直线OP相切时的切点为D， ∴， ∵∠POQ=30°，⊙A半径长为2，即， ∴， 当⊙B与⊙A相切时，设切点为C，如下图， ∵， ∴， ∴若⊙B与⊙A内含，则OB的取值范围为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键． 【变式2】．如图，在中，，，，点在边BC上，，的半径长为3，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据勾股定理得到，根据圆与圆的位置关系得到， 由点在外，于是得到，即可得到结论． 【详解】解：连接AD， ∵，，， ∴ ∵的半径长为3，与相交， ∴， ∵， ∴， ∵点在外， ∴， ∴的半径长的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，则当时，点在圆上；当时，点在圆外；当时，点在圆内． 题型09 锐角的三角比在圆与圆的位置的应用 【典例1】．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，圆心O1、O2在公共弦AB的两侧，AB＝O1O2＝4，sin∠AO1B＝，那么O2A的长是 ． 【答案】 【分析】过点A作AE⊥O1B于E，由锐角三角函数和勾股定理可求AO1=13x=，可求O2H=1，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥O1B于E， ∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点， ∴O1O2垂直平分AB， ∴AH＝BH＝2， ∵sin∠AO1B＝， ∴设AE＝12x，AO1＝13x， ∴O1E＝＝5x， ∴BE＝8x， ∵AE2+BE2＝AB2， ∴144x2+64x2＝16， ∴x＝， ∴AO1＝13x＝， ∴O1H＝＝， ∴O2H＝1， ∴O2A＝＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，相交两圆的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【变式1】．如图，已知和相交于、两点，延长连心线交于点，连接、，若，，那么的半径等于 ．    【答案】 【分析】连接AB交于C，根据相交两圆的性质得到AB⊥,AC=BC,得到∠APC=∠APB=30°，根据直角三角形的性质得到AC=AP=3，连接，解直角三角形即可得到结论. 【详解】连接AB交于C，则AB⊥，AC=BC， ∴AP=PB， ∴∠APC=∠APB=30°， ∴AC=AP=3， 连接， ∵=， ∴, ∴， ∴的半径等于， 故答案为：.    【点睛】此题考查相交两圆的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，利用三角函数解直角三角形. 【变式2】．如图，在中，，，以点C为圆心作半径为1的圆C，P是上的一个点，以P为圆心，为半径作圆P，如果圆C和圆P有公共点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆和圆的位置关系，解直角三角形的应用．分圆P与圆C外切和圆P与圆C内切时，两种情况讨论，画出图形，解直角三角形即可求解． 【详解】解：当圆P与圆C外切时，如图，作，垂足为， 设， ∵，， ∴， ∴，， ∴，，，， 由勾股定理得， 解得，即， 当圆P与圆C内切时，如图，此时， ∴圆C和圆P有公共点，那么的取值范围是． 故答案为：． 题型10 新定义题 【典例1】．在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆的圆心为，半径为，那么圆的所有“孪生圆”的圆心坐标为 ． 【答案】/ 【分析】如图，与外切半径相等且连心线与直线平行的两个圆分别为，运用两圆外切的性质和点的坐标特点，数形结合求出图形中的长，进而得到两圆心的坐标． 【详解】解：画出图如图所示： 点的坐标为过点的直线与平行并过点， 过点的直线与平行， 过点的直线与两坐标轴围成等腰直角三角形， 与外切半径相等且连心线与直线平行的两个圆分别为，， 如图，，都是等腰直角三角形，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了两圆外切的性质，点的坐标特征，等腰直角三角形，熟练的运用数形结合思想是解决本题的关键． 【变式1】．当相交的两个圆中有一个圆的圆心在另一圆的圆内部时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．已知点O在线段AB上，的半径为1，如果以OB为半径的与“内相交”，且，那么的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了新定义，圆与圆的位置关系，根据题意画出草图，确定临界点，即可求解． 【详解】解：如图所示，设为的中点，则 当与重合时，，如图所示，此时在上，则时，两圆“内相交”． 当时，两圆“内切”． ∴ 故答案为：． 【变式2】．已知两圆相交，当每个圆的圆心都在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据两圆“外相交”的定义，得到圆心距是大于较大圆的半径且小于两个圆的半径之和，进行解答即可. 【详解】解：设圆心距为d，由题意得，圆心距是大于较大圆的半径且小于两个圆的半径之和，即5<d<5+2 ∴ 5<d<7 A．4＜5，故选项错不可以，不符合题意； B,5＝5，故选项不可以，不符合题意； C．5<6<7，故选项可以，符合题意； D．7＝7，故选项不可以，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系两圆“外相交”，得出圆心距d满足5<d<7是解答此题的关键． 题型11 圆与圆的位置关系的综合应用 【典例1】．如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是（　　） A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【答案】C 【分析】两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，得圆的半径等于5，由勾股定理得，由点与圆的位置关系，可得结论．本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置． 【详解】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值， 设圆的半径为， 则：， ，圆半径为1， ，即圆的半径等于5， ，， 由勾股定理可知， ，， 点在圆上，点在圆内， 故选：C． 【变式1】．如图，在中，，，．点在边上，，以点为圆心，为半径作．点在边上，以点为圆心，为半径作．如果和外切，那么的长为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查的是圆和圆的位置关系、解直角三角形的知识，作于点H，连接，先求出，设，在中，根据勾股定理列方程即可解决． 【详解】解：作于点H，连接，   ，， ， 在中，， ， ， 设， 和外切，半径为2， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2】．如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=4，AD=，，圆O是以AB为直径的圆．如果以点C为圆心作圆C与直线AD相交，与圆O没有公共点，那么圆C的半径长可以是（  ） A．9 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的边角关系求出FC，进而求出BC，再根据勾股定理求出两个圆心之间的距离OC，由⊙C与直线AD相交，⊙C与⊙O没有公共点，确定⊙C半径的取值范围，进而得出答案． 【详解】如图，连接OC交⊙O于点E，过点D作DF⊥BC于点F， 则DF＝AB＝4，BF＝AD＝2， 在Rt△DCF中，DF＝4，cotC＝， ∴FC＝cotC•DF＝， ∴BC＝BF＋FC＝3， 在Rt△BOC中，， 由于⊙C与直线AD相交， 因此⊙C的半径要大于4， 又⊙C与⊙O没有公共点， 因此⊙C与⊙O外离或内含， 当⊙C与⊙O外离时，⊙C的半径要小于CE＝7−2＝5， 此时⊙C的半径4＜r＜5； 当⊙C与⊙O内含时，⊙C的半径要大于7＋2＝9， 此时⊙C的半径r＞9； 所以⊙C的半径为4＜r＜5或r＞9， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，掌握勾股定理，圆与圆的位置关系的判定方法是正确解答的前提． 【变式3】．如图，在中，，，分别以点B、C为圆心，1为半径长作、，D为边上一点，将和沿着翻折得到和，点B的对应点为点，与边相交，如果与外切，那么 ． 【答案】 【分析】作，，根据余弦的定义，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，在中，得到，的长，，由折叠的性质得到，，由与外切，得到，在中得到， 当在内部时， ，，由此即可求解 【详解】解：过点作交于点，连接，过点作，交于点， ∵，， 在中，，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∵，， ∴， ∵与外切， ∴，， 在中，，， 如图所示，与边相交， 与外切， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形，等腰三角形三线合一，勾股定理，折叠的性质，圆与圆的位置关系，理解题意作图分析，掌握三角函数的计算方法是解题的关键． 题型12 解答题 【典例1】．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B． (1)求证：O1AO2B； (2)若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1AO2B，只需推知∠A＝∠B； （2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到，通过计算求得AT的值． 【详解】（1）证明：联结O1O2，即O1O2为连心线， 又∵⊙O1与⊙O2外切于点T， ∴O1O2经过点T． ∵O1A＝O1T，O2B＝O2T． ∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB． ∵∠O1TA＝∠O2TB， ∴∠A＝∠B． ∴O1AO2B； （2）∵O1AO2B， ∴． ∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握圆与圆的位置关系是解题的关键． 【变式1】．如图，等圆和相交于两点，经过的圆心．求的度数． 【答案】∠O1AB＝30°． 【分析】连接O1O2，O1B，BO2，AO2，证明四边形AO1BO2是菱形，然后证明△AO1O2是等边三角形，即可得出∠O1AO2＝60°，进而得出答案． 【详解】连接O1O2，O1B，BO2，AO2， 由题意知O1O2与AB互相垂直且平分， ∴四边形AO1BO2是菱形， ∵O1O2＝O2A＝O1A， ∴△AO1O2是等边三角形， ∴∠O1AO2＝60°， ∴∠O1AB＝∠O1AO2＝30°． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，菱形的判定，等边三角形的性质，垂直平分线的性质等知识点，求出∠O1AO2＝60°是解本题的关键． 【变式2】．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB＝10，BC＝21，sinB＝． （1）求AC的长； （2）求⊙A、⊙B、⊙C半径． 【答案】（1）17；（2）rA＝3，rB＝7，rC＝14 【分析】（1）如图作AH⊥BC于H，分别在，中，解直角三角形即可解决问题； （2）如图设切点分别为D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z，则有，解方程组即可解决问题； 【详解】 解：（1）如上图作AH⊥BC于H， 在中，∵AB＝10，＝， ∴AH＝8，BH＝6， ∵BC＝21， ∴CH＝15， 在中，AC＝＝＝17． ∴AC＝17 （2）如图设切点分别为D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z， 则有，解得 ∴＝3，＝7，＝14． 【点睛】本题考查了两圆外切的基本性质之一：如果有两圆外切，则两圆的圆心距为两圆的半径之和；直角三角形的勾股定理：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．在一个三角形中作出一条边上的高后就可以得到一个直角三角形，进而通过勾股定理进行求解． 【变式3】．如图，等圆⊙O1、⊙O2相交于AB，圆心O1、O2分别在另一个圆上 （1）求∠O1AB的大小； （2）若圆的半径为2cm，求公共弦AB的长． 【答案】（1）∠O1AB＝30°；（2）AB＝2． 【分析】（1）连接AO2，O1O2，设AB交O1O2于点D，由于两圆为等圆可得出AO1＝AO2＝O1O2，进而可得出△AO1O2为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出∠O1AO2＝60°，利用相交两圆的性质可得出O1O2⊥AB，利用等腰三角形的三线合一可得出BA平分∠O1AO2，进而可求出∠O1AB的大小； （2）在Rt△O1AD中，通过解直角三角形可求出AD的长，由O1O2⊥AB利用垂径定理可得出AB＝2AD＝2，此题得解． 【详解】解：（1）连接AO2，O1O2，设AB交O1O2于点D，如图所示． ∵⊙O1、⊙O2为等圆， ∴AO1＝AO2＝O1O2， ∴△AO1O2为等边三角形， ∴∠O1AO2＝60°． 又∵O1O2⊥AB， ∴BA平分∠O1AO2， ∴∠O1AB＝∠O1AO2＝30°． （2）在Rt△O1AD中，O1A＝2，∠O1AD＝30°， ∴AD＝O1A•cos∠O1AD＝． ∵O1O2⊥AB， ∴AB＝2AD＝2． 【点睛】本题考查了圆的性质、等边三角形的性质与判定以及解直角三角形的相关性质，解答关键是根据题意做到数形结合． 【变式4】．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB=6． 求： (1)弦AC的长度； (2)四边形ACO1O2的面积． 【答案】(1)8 (2)21 【分析】（1）连接，过作于点D，设AB与交于点E，由圆的对称性可得AE的长，由勾股定理可求得，从而可得AD的长，由垂径定理即可得AC的长； （2）由勾股定理可求得，从而可得的长，则可分别求得、的面积，则可求得四边形ACO1O2的面积． 【详解】（1）解：连接，过作于点D，设AB与交于点E，如图 由圆的对称性知：， 在中，由勾股定理得： ∵，AC∥O1O2 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形，且AD=CD ∴， ∴AC=2AD=8 （2）解：在中，由勾股定理得： ∴ ∴， ∴四边形ACO1O2的面积为： 【点睛】本题考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，熟练掌握并正确运用是关键． 一、单选题 1．如果两圆的直径分别为和，圆心距为，那么这两圆的位置关系是（     ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】B 【分析】求出两圆的半径，求出和的值，与比较即可． 【详解】两圆直径分别为和， 两圆半径分别为和， 圆心距为，，， 两圆位置关系为内切． 故选：B． 【点睛】本题考查了对两圆的位置关系的应用，注意：外离时；相交时；外切时；内切时． 2．如果与内含，，的半径是3，那么的半径可以是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由题意知与内含，则知两圆圆心距，代入数值进行计算即可． 【详解】解：根据题意两圆内含，则知两圆圆心距， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆的位置关系，熟记圆心距与两圆半径差之间的大小与圆的位置的关系是解题的关键． 3．两圆的圆心坐标分别为（3，0）、（0，4），直径分别为4和6，则这两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）． 【详解】解：∵两圆的直径分别为4和6，∴两圆的半径分别为2和3. ∵两圆的圆心坐标分别为（3，0）、（0，4），∴根据勾股定理,得两圆的圆心距离为5. ∵2+3=5，即两圆圆心距离等于两圆半径之和, ∴这两圆的位置关系是是外切． 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理，两圆的位置关系． 4．已知两圆内切，圆心距为5，其中一个圆的半径长为8 ，那么另一个圆的半径长是 A．3； B．13； C．3或13； D．以上都不对. 【答案】C 【分析】试题分析：若两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则；内切，则d=R-r；内含R-r＜d＜R+r，则d＜R-r． ∵两圆内切，圆心距为5，其中一个圆的半径长为8 ∴另一个圆的半径长是8-5=3或8+5=13 故选C. 考点：圆与圆的位置关系 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆与圆的位置关系，即可完成. 【详解】请在此输入详解！ 5．已知⊙的半径长是5，点在上，且，如果⊙与⊙有公共点，那么⊙的半径长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定点到⊙的最大距离为8，最小距离为2，利用⊙与⊙相交或相切确定的范围． 【详解】解：∵⊙的半径长是5，点在上，且， ∴点到⊙的最大距离为8，最小距离为2， ∵⊙与⊙有公共点， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为、两圆的半径分别为、：①两圆外离⇔；②两圆外切⇔；③两圆相交⇔（）；④两圆内切⇔（）；⑤两圆内含⇔（）． 6．对于命题：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离；②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含．下列说法正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 【答案】B 【分析】本题考查了命题的判断，圆与圆的位置关系，掌握命题的定义及分类并能运用所学知识判断命题的真假是解题的关键．根据圆与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，①错误； ②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，②正确． 故选：B． 二、填空题 7．如果圆的半径为，圆的半径为，且，那么圆和圆的位置关系是 . 【答案】外切 【分析】根据两圆的圆心距和两圆的半径之和作出判断即可． 【详解】∵圆O的半径为3，圆P的半径为2，且OP=5， ∴OP=R+r=2+3=5， ∴两圆外切， 故答案为外切． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）． 8．已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于 ． 【答案】7 【分析】设另一个圆的半径长为，根据两圆内切得出或，再求出即可． 【详解】解：设另一个圆的半径长为， 内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2， 或， 解得：或（半径不能为负，舍去）， 所以另一个圆的半径长是7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，能熟练掌握圆与圆的位置关系的内容是解此题的关键，已知两圆的半径分别为，，两圆的圆心距为，那么当时，两圆的位置关系是内切． 9．已知与两圆外切，，的半径为3，那么的半径为 ． 【答案】2 【分析】由两圆外切，圆心距等于两圆半径的和，即可求得结果． 【详解】与两圆外切， , ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了两圆的位置关系：两圆外切时两圆的圆心距与两圆半径的关系，掌握这一关系是解题的关键． 10．已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为 ． 【答案】． 【分析】根据相交两圆的性质，两圆的公共弦垂直于两圆心连接的直线上，又知两圆的半径，进而可以在直角三角形中解得公共弦长． 【详解】解：在以两圆的一个交点和两圆圆心为顶点的三角形中， 其三边分别为8，15，17， 由于172＝152+82， ∴这个三角形是以17为斜边的直角三角形， 斜边上的高＝＝， 故公共弦长＝2×＝， 故答案为． 【点睛】本题考查相交两圆的性质，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11．若两个圆的圆心距为1.5，而两个圆的半径是方程4x2﹣20x+21=0的两个实数根，则这两个圆的位置关系是 ． 【答案】内含 【分析】由两圆的半径分别是方程4x2﹣20x+21=0的两根，利用因式分解法即可求得两圆的半径，又由两圆的圆心距为1.5，即可求得这两个圆的位置关系． 【详解】解：∵4x2﹣20x+21=0， ∴（2x﹣3）（2x﹣7）=0， 解得：x1=1.5，x2=3.5， ∴两圆的半径分别是1.5，3.5， ∵两圆的圆心距等于， ∴这两个圆的位置关系是内含． 故答案为：内含 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解一元二次方程，熟练掌握圆与圆的位置关系，一元二次方程的解法是解题的关键． 12．如图，在中，，如果以点为圆心的与以边为直径的外切，那么的半径长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系和勾股定理，明确两圆相切时，两圆的圆心连线过切点是解题的关键．连接，由与外切，则经过切点，利用勾股定理求得，然后利用勾股定理求得，进一步即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 与外切， 经过切点， 在中，，，， ， 为的直径， ， ， ， ， 的半径长是； 故答案为：． 13．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，延长连心线O1O2交⊙O2于点P，联结PA、PB，若∠APB=60°,AP=6，那么⊙O2的半径等于 ． 【答案】2 【分析】由题意得出△ABP为等边三角形，在Rt△ACO2中，AO2=即可. 【详解】由题意易知：PO1⊥AB，∵∠APB=60°∴△ABP为等边三角形，AC=BC=3 ∴圆心角∠AO2O1=60°  ∴在Rt△ACO2中，AO2==2. 故答案为2. 【点睛】本题考查的知识点是圆的性质，解题的关键是熟练的掌握圆的性质. 14．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据题意可得的最小值为圆P与相切，切点为M；最大值为圆与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示： ∴， 在直角梯形中， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 最大值为圆与圆E内切，切点为Q， ∴， 当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意， 设，则， ∴， ∴， 则长度的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系． 三、解答题 15．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB＝10，BC＝21，sinB＝． （1）求AC的长； （2）求⊙A、⊙B、⊙C半径． 【答案】（1）17；（2）rA＝3，rB＝7，rC＝14 【分析】（1）如图作AH⊥BC于H，分别在，中，解直角三角形即可解决问题； （2）如图设切点分别为D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z，则有，解方程组即可解决问题； 【详解】 解：（1）如上图作AH⊥BC于H， 在中，∵AB＝10，＝， ∴AH＝8，BH＝6， ∵BC＝21， ∴CH＝15， 在中，AC＝＝＝17． ∴AC＝17 （2）如图设切点分别为D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z， 则有，解得 ∴＝3，＝7，＝14． 【点睛】本题考查了两圆外切的基本性质之一：如果有两圆外切，则两圆的圆心距为两圆的半径之和；直角三角形的勾股定理：在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．在一个三角形中作出一条边上的高后就可以得到一个直角三角形，进而通过勾股定理进行求解． 16．如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AD＝AB，联结O1E． （1）求证：O1E＝O1C； （2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）6 【分析】（1）联结O1A，根据垂径定理得到AE＝AD，根据相交两圆的性质得到O1C⊥AB，得AC＝AB，进而证明Rt△O1EA≌Rt△O1CA，根据全等三角形的性质证明结论； （2）设⊙O2的半径长为r，根据勾股定理列出方程解答便可得到答案． 【详解】（1）证明：联结O1A， ∵点E为AD的中点， ∴O1E⊥AD，AE＝， ∵⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C， ∴O1C⊥AB， ∴AC＝AB， ∵AB＝AD， ∴AE＝AC， 在Rt△O1EA和Rt△O1CA中， ∴Rt△O1EA≌Rt△O1CA（HL） ∴O1E＝O1C； （2）解：设⊙O2的半径长为r， ∵O1E＝O1C＝6， ∴O2C＝10﹣6＝4， 在Rt△O1EO2中，O2E＝＝8， ∵Rt△O1EA≌Rt△O1CA， ∴AC＝AE＝8﹣r， 在Rt△ACO2中，O2A2＝AC2+O2C2，即r2＝（8﹣r）2+42， 解得，r＝5， ∴AC＝8﹣5＝3， ∴AB＝2AC＝6． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆的性质，勾股定理等知识点，利用全等三角形的性质等量代换出边的值，再通过勾股定理建立等式是解题的关键． 17．如图，⊙和⊙相交于A、B两点，与AB交于点C，的延长线交⊙于点D，点E为AD的中点，AE=AC，连接． （1）求证：； （2）如果＝10，，求⊙的半径长． 【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【分析】（1）连接，利用垂径定理，连心线与公共弦关系原理，证明△E≌△即可； （2）利用△E∽△CA即可解答． 【详解】（1）⊙和⊙相交于A、B两点， ∴是AB的垂直平分线， ∴∠CA=90°， ∵E为AD的中点， ∴E⊥AD， ∴∠EA=90°， ∴∠CA=∠EA， 如图,连接 ∵AE＝AC，A=A ∴△E≌△C， ∴E＝C. （2）∵E⊥AD， ∴∠E＝90°， 在Rt△E中，∠E＝90°，＝10，E＝6， ∵， ∴， ∴E＝8， ∵∠E＝∠CA＝90°，∠＝∠， ∴△E∽△CA， ∴, ∵＝10，AC＝AE＝E－A＝8－A，E＝6， ， ∴＝5， 即⊙的半径长为5. 故答案为5. 【点睛】本题考查圆，圆与圆的位置关系，三角形的相似，勾股定理，熟记圆垂径定理，连心线与公共弦的关系定理，三角形相似判定定理是解题的关键. 18．设点、点，分别以O、A为圆心，半径为2r、r作圆，两圆在第一象限的交点为P． (1)当时，求点P的坐标； (2)当时，能否找到一定点Q，使为定值？若能找到，请求出Q点的坐标及定值；若不能找到，请说明理由． 【答案】(1)； (2)定点为，定值为 【分析】（1）过P点作x轴的垂线，把分割成两个直角三角形，设，在两个三角形中使用勾股定理，列方程组，解答本题； （2）根据勾股定理，列方程求解． 【详解】（1）设， 由勾股定理，得， 解得（舍去负值） ∴； （2）设， 由题意，得， 化简，得， 即， ∴定点为，定值为． 【点睛】考查了运用勾股定理解二元二次方程组（二元二次方程）、圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．此类题为中考热点，需重点掌握． 19．如图，已知是与的公共弦，与交于点C，的延长线与交于点P，连接并延长，交于点D． (1)连接如果．求证： ； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相交圆的性质，综合运用垂径定理、直角三角形的判定以及平行线分线段成比例是本题解题的关键． （1）连接，由直角三角形的判定可知为直角三角形，然后根据圆周角定理求出的度数即可证明； （2）过作于E，过作于F，根据垂径定理和平行线分线段成比例来证明即可． 【详解】（1）连接，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 由圆周角定理可知，， ∵是与的公共弦，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）过作于E，过作于F，如图： ∴， ∴， ∴， 由垂径定理可知，， ∴， ∴． 20．二次函数的图像的顶点为，与轴交于点，以为边在第二象限内作等边三角形．    （1）求直线的表达式和点的坐标； （2）点在第二象限，且△的面积等于△的面积，求点的坐标； （3）以轴上的点为圆心，1为半径的圆，与以点为圆心，的长为半径的圆相切，直接写出点的坐标． 【答案】（1），（2）（3），，， 【分析】（1）已知抛物线的解析式，其顶点以及函数图象与y轴交点坐标易求得．在求点C的坐标时，要把握住Rt△AOB的特殊性（含30°角），显然，若△ABC是等边三角形，那么AC与x轴垂直，无论通过勾股定理求边长还是根据B点在AC的中垂线上，都能比较容易的求出点C的坐标． （2）“M点在第二象限内”确定了点M的大致范围，若“△ABM的面积等于△ABC的面积”，以AB为底边进行分析，那么点C、点M到直线AB的距离是相同的，即CM∥AB，直线AB的解析式易求，两直线平行则斜率相同，再代入点C的坐标就能通过待定系数法求出直线CM的解析式，然后代入点M的纵坐标即可得出结论． （3）首先求出⊙C的半径，即CM的长．若⊙C与⊙N相切，就要分两种情况来考虑：①外切，CN长等于两圆的半径和；②内切，CN长等于两圆的半径差． 在明确CN长的情况下，在Rt△CAN中，通过勾股定理求出AN的长，进一步即可确定点N的坐标． 【详解】解：（1）二次函数的图像的顶点，与轴的交点， 设直线的表达式为， 可求得，．所以直线的表达式为． 可得，∵， ∴． 在Rt△中，由勾股定理得：． ∴．点． （2）∵点、都在第二象限，且△的面积等于△的面积， ∴∥． 设直线的表达式为，点在直线上， 可得． ∴直线的表达式为． 可得点的坐标：． （3）由、M（-5，1）可得： CM= ①当⊙C与⊙N外切时，CN=CM+1=7； 在Rt△CAN中，AN=； ∴ON=AN+OA=+2 或ON=AN-OA=-2 即：点N的坐标为：（--2，0）（-2，0）． ②当⊙C与⊙N内切时，CN=CM-1=5； 在Rt△CAN中，CN=5，CA=4，则AN=3； ∴ON=AN+OA=3+2 或ON=OA-AN=2-3 即：点N的坐标为：（-3-2，0），（3-2，0）． 综上可知：点的坐标，，，． 21．如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E. （1）求CE的长； （2）P是 CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q. ①如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的长； ②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长. 【答案】（1）CE=；（2）①；② 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得：．再由BC=DC，得到BE=AE．设CE=x，则AE=BE=x+2．在Rt△ACE中，由勾股定理即可得出结论． （2）①由△ACQ ∽△CPQ，得到∠ACQ=∠P．再由平行线的性质得到∠ACQ=∠CAE，则∠CAE=∠P，即可证明△ACE ∽△PCA，由相似△的性质即可得到结论． ②设CP=t，则 ．在Rt△ACP中，由勾股定理得： ．再由平行线分线段成比例定理得，可求出．然后分两种情况讨论：①若两圆外切，则，②若两圆内切，则，解方程即可． 【详解】详解：（1）∵AE∥CD， ∴． ∵BC=DC， ∴BE=AE． 设CE=x，则AE=BE=x+2． ∵ ∠ACB=90°， ∴ ， 即， ∴，即． （2）①∵△ACQ ∽△CPQ，∠QAC>∠P， ∴∠ACQ=∠P． 又∵AE∥CD， ∴∠ACQ=∠CAE， ∴∠CAE=∠P， ∴△ACE ∽△PCA， ∴， 即， ∴ ． ②设CP=t，则 ． ∵∠ACB=90°，∴ ． ∵AE∥CD， ∴，即， ∴． 若两圆外切，那么，此时方程无实数解． 若两圆内切，那么， ∴  ， 解得． 又∵， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题．考查了圆与圆的位置关系、平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质．解答（2）②注意要分两种情况讨论． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $