直线与圆的方程单元练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线与圆的方程单元练习题 一、单选题 1．已知两点，过点的直线l与线段（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与平行，则m的值为（    ） A． B．3 C．2 D．或3 3．已知，两点到直线的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 4．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知直线和圆，若直线与圆相切，则（   ） A． B． C．或 D．或 6．已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知实数满足方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．若点，，直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是 D．设为直线上的动点，若圆上存在两点A，B，使，则的取值范围是 10．已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有两个交点 C．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 D．圆与圆恰有两条公切线 11．过定点的动直线和过定点的动直线点为两直线的交点，圆，则下列说法正确的有（    ） A．对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为1 B．直线与圆相交且最短弦长为 C．为定值 D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称 三、填空题 12．如图，在等腰直角中，，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于 . 13．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，圆、点和点为圆上的动点，则的最大值为 . 14．已知直线l与圆和都相切，则直线l的一般式方程为 ．（写出一个即可） 四、解答题 15．已知直线，直线与交于点 (1)求过点且与垂直的直线的方程； (2)点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求所在直线的方程. 16．已知直线：，： (1)求经过点且与直线平行的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 17．已知点，，动点满足，其轨迹为. (1)求动点轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 18．已知点，，曲线C上任意一点P满足． (1)求曲线C的方程； (2)已知直线与曲线C交于E，F两点，求的最小值； (3)是否存在满足以下两个条件的直线l：①直线l在y轴上的截距为4；②直线l被曲线C截得的弦为，以为直径的圆过坐标原点O．若存在这样的直线l，请求出其方程；若不存在，请说明理由． 19．已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与圆的方程单元练习题答案 一、单选题 1．已知两点，过点的直线l与线段（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】因，，，则斜率，， 如图所示，    直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到过程中，倾斜角变大到，斜率变大到正无穷，所以此时； 从转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始变大，所以此时， 综上可得直线的斜率的取值范围为. 故选：A. 2．已知直线与平行，则m的值为（    ） A． B．3 C．2 D．或3 【详解】由题意时，由得，则或， 当时，与，两条直线恰好重合，矛盾， 而时，与平行，且不重合，符合题意. 所以m的值为3. 故选：B． 3．已知，两点到直线的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【详解】由题意得，故， 两边平方得，解得或. 故选：D 4．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，圆，则圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 由，得点在圆内， 又定点到圆心的距离， 要使弦最小，则定点与圆心所在直线与AB垂直， 此时， 即的最小值为. 故选：D 5．已知直线和圆，若直线与圆相切，则（   ） A． B． C．或 D．或 【详解】圆，则圆心为，半径为， 因为直线即和圆相切， 所以，平方得，解得或. 故选：C 6．已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为. 故选：A 7．已知实数满足方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】可知， 两边平方整理可得，， 该方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，如下图： 设，则是通过定点的直线， 显然该直线通过时，斜率最大，最大斜率， 当直线和圆相切于时，斜率最小。 由圆心到直线的距离是，解得，即， 于是，即. 故选：A 8．已知动点M与两个定点，，且，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】设动点，则，化简得， 所以点M的轨迹为圆E：， 如图，过点O作圆E的切线，切点分别为M、，连接， 则，，所以，同理， 则直线的斜率范围为. 故选：C. 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．若点，，直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是 D．设为直线上的动点，若圆上存在两点A，B，使，则的取值范围是 【详解】A．“直线与直线互相垂直”等价于 “”，解得或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故错误； B．当与互相平行时，，解得或， 若，，满足条件， 若，，此时两直线重合，不满足条件， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故正确； C．如图所示，， 结合图象可知时，与线段相交，故正确；    D．当在圆上或圆内时，此时显然满足条件， 当在圆外时，过作圆的切线，此时只需，故只需， 又因为，所以，所以， 所以，解得，故正确；    故选：BCD. 10．已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有两个交点 C．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 D．圆与圆恰有两条公切线 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，直线，由，解得， 直线过定点，A正确； 对于B，，点在圆外， 故直线与圆可能没有交点，1个交点或两个交点， 比如时，， 圆心到直线的距离， 此时直线与圆无交点，B错误； 对于C，当时，直线，点到直线的距离，， 则圆上恰有三个点到直线的距离等于1，C正确； 对于D，圆的圆心，半径， ，两圆相交，有2条公切线，D正确． 故选：ACD 11．过定点的动直线和过定点的动直线点为两直线的交点，圆，则下列说法正确的有（    ） A．对任意，圆上恒有4个点到直线的距离为1 B．直线与圆相交且最短弦长为 C．为定值 D．当时，圆上存在无数对点关于直线对称 【详解】由圆知，圆心，半径 对A，直线的方程化为， 由得，所以，直线过定点， 当时，直线的方程为， 由图可知，此时圆上到直线的距离等于1的点有三个点，错误； 对B，直线的方程可化为：，所以，直线过定点， 易知圆心到直线的距离，当且仅当直线垂直于时取等号， 因为 所以，直线截圆的弦长的最小值为，正确； 对C，因为，所以直线与直线垂直， 所以，正确； 对D，当时，直线的方程为， 因为，所以直线过圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，正确. 故选：BCD 三、填空题 12．如图，在等腰直角中，，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于 . 【详解】以A为原点，AB、AC所在直线为x轴、y轴，建立如图所示平面直角坐标系， 可得，，且直线BC方程为， 的重心为，即， 设， 点P关于直线BC的对称点为，由， 解得，可得， 点关于y轴的对称点为， 根据光线反射的原理，可知，Q，R，四点共线，且，， 直线QR就是，其方程为，即， 根据直线QR经过点， 可得，解得不符合题意，舍去， 所以，，， 可得， 所以的周长 故答案为： 13．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，圆、点和点为圆上的动点，则的最大值为 . 【详解】设，令，则， 由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且， 设点，则， 整理得：， 比较两个方程可得，，，即，，点， 当点M位于图中的位置时，的值最大，最大为. 故答案为：. 14．已知直线l与圆和都相切，则直线l的一般式方程为 ．（写出一个即可） 【详解】设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切，    由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线的方程为， 直线与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为. 故答案为：.（答案不唯一，或填或填） 四、解答题 15．已知直线，直线与交于点 (1)求过点且与垂直的直线的方程； (2)点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求所在直线的方程. 【详解】（1）令，则，解得， 则，因为直线的斜率，则， 则直线的方程为，即. （2）取点，设其关于直线的对称点， 则，解得. 则点所在的直线的方程，即. 16．已知直线：，： (1)求经过点且与直线平行的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 求解即可． 【详解】（1）由直线：，可得，所以直线的斜率为. 故所求直线方程为：，化简得. 所以经过点且与直线平行的直线方程为. 方法二：由直线：，可设所求直线方程为：. 因为直线过点，所以，解得. 所以所求直线方程为. （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线的截距都不为0时，由题意可设直线方程为，依题意，解得. 此时直线方程为：； 当直线经过原点时，该直线在两坐标轴上的截距均为零，满足题意. 所以可设直线方程为. 代入得，此时直线方程为. 综上所述：所求直线方程为或 17．已知点，，动点满足，其轨迹为. (1)求动点轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 【详解】（1）设，则由可得， 化简得，即动点轨迹的方程为； （2）①若直线斜率不存在，则、分别为、， 此时，不符； 则直线斜率存在，设，、， 联立，消去得， 则，即， 有、， ， 即，则， 故直线的方程为或； ②若直线斜率不存在，此时不存在，不符，故直线斜率存在， ， 点到直线的距离， 则， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最大值为. 18．已知点，，曲线C上任意一点P满足． (1)求曲线C的方程； (2)已知直线与曲线C交于E，F两点，求的最小值； (3)是否存在满足以下两个条件的直线l：①直线l在y轴上的截距为4；②直线l被曲线C截得的弦为，以为直径的圆过坐标原点O．若存在这样的直线l，请求出其方程；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）设， ∵，，，∴， 则曲线C的方程：． （2）由，得，所以直线过定点， 由（1）知曲线C：． 当时，的值最小，因为，， 此时． （3）假设存在直线l满足要求，则由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，设，． 联立，则，∴， ∴判别式或（*） ，， 因为以为直径的圆过坐标原点O，故， ∴， ∴， ∴或，均满足（*）式， ∴直线l：或，即或． 19．已知圆C：与圆：． (1)若圆C与圆有3条公切线，求r的值． (2)若，试求： ①圆C与圆所得的公共弦长； ②经过圆C与圆的交点且过坐标原点O的圆M的方程． 【详解】（1）圆C：的圆心，半径为r， 圆：的圆心，半径为， 由圆C与圆有3条公切线，所以圆C与圆相外切， 故，所以； （2）①当时，圆C：， 则，故圆C与圆相交， 两圆方程相减得，点C到直线距离为， 所以圆C与圆所得的公共弦长为； ②，， 设圆M的方程为， 因为圆M过坐标原点，所以把代入，可得：，即， 故圆M的方程为， 所以圆M的方程为（或写：）． 学科网（北京）股份有限公司 $