专题11图形的旋转7大压轴题型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级上册

专题11 图形的旋转七类题型 典例详解 类型一、旋转位置不确定的分类讨论问题 类型二、旋转对应点不缺定的分类讨论问题 类型三、格点上的旋转作图问题 类型四、旋转的尺规作图问题 类型五、旋转全等模型--自旋转模型 类型六、旋转全等模型--旋转半角模型 类型七、旋转全等模型--共旋转模型 压轴专练 类型一、旋转位置不确定的分类讨论问题 例1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，正方形中，点为对角线上一点，．且，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，使，则的度数为（） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟记性质并求出的度数是解题的关键，根据旋转的性质可得,然后利用“边边边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得,然后分点在的下方和点在的上方，两种情况讨论即可得解． 【详解】解：如图， 线段绕点逆时针旋转得到线段, , 四边形是正方形， , , , 在和中， , , , 为正方形的对角线， , 当点在的下方时，, 当点在的上方时，, 综上所述，的度数为或， 故选：C. 变式1-1．（24-25九年级上·江西·期中）在中，，，点O是的中点，将绕点O向三角形外部旋转得到，当恰为等腰三角形时，的值为 【答案】或或 【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题.恰为等腰三角形时分三种情形①如图1中，当时，②如图2中，当时，③如图3中，当时，分别利用全等三角形的性质计算即可. 【详解】解：将绕点O向三角形外部旋转，即，，连接， ∵， ∴是直角三角形， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， 当恰为等腰三角形时，分为三种情形： ①如图1中，当时， 在与中， ∴， ∴， ∴； ②如图2中，当时， 同理：在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ③如图3中，当时， 同理：在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 故答案为或或. 变式1-2．（2025·福建厦门·二模）如图1，中，，，，点D，E分别为，的中点，连接．如图2，将逆时针绕点A在平面内旋转，连接，当点B，D，E恰好在一条直线上时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了图形的旋转、勾股定理、三角形中位线的性质，正确进行计算是解题关键．首先根据点，分别为，的中点，可以求出、、，是的中位线，当点B，D，E恰好在一条直线上时，，利用勾股定理可以求出，再分点D与点E的位置关系分情况求出的长度． 【详解】解：如下图所示，当点，，恰好在一条直线上时， ，，点，分别为，的中点， ， 是的中位线， ，， ， 在中，，，， ， 如下图所示， 当点，，恰好在一条直线上时，， 在中，， ； 如下图所示， 在中，， ； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 类型二、旋转对应点不缺定的分类讨论问题 例2．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，小明发现：线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的坐标可以是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．先证明≌，确定，则可以看作线段绕一点旋转得到线段，作和的垂直平分线交点为作和的垂直平分线交点为，可得结论． 【详解】解：延长交于，建立平面直角坐标系，如图所示： ， ，， ， ， 即， 可以看作线段绕一点旋转得到线段， 如图，作和的垂直平分线交点为，得， 如图，作和的垂直平分线交点为，得 故答案为：或． 变式2-1．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图，已知点，若在所给的网格中存在一点，使得与垂直且相等． （1）直接写出点的坐标 ； （2）将线段绕某一点旋转一定角度，使其与线段重合，则这个旋转中心的坐标为 ． 【答案】 或/或 【分析】本题主要考查作图-旋转变换，掌握旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据点D的位置直接写出坐标即可； （2）对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：（1）如图可知：． 故答案为：． （2）如图：旋转中心或． 故答案为：或． 变式2-2．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了旋转的性质；①当点的对应点为点时，②当点的对应点为点时，根据网格的特点得出旋转中心与旋转角，即可求解． 【详解】解：①当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为； 根据网格可得 ②当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为． 根据网格可得 综上所述：这个旋转中心的坐标为或，旋转角为 故答案为或；． 类型三、格点上的旋转作图问题 例3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转的． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查了画关于原点对称的图形、作旋转图形，画出正确的图象是解决本题的关键． （1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到A、B、C对应点、、的位置，再顺次连接即可； （2）先找到A、B、C对应点、、的位置，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求， 变式3-1．（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．若把向右平移5个单位长度得到，把绕点C逆时针旋转得到． (1)请直接写出的坐标； (2)画出，并求出的面积； 【答案】(1)， (2)作图见解析，面积为 【分析】本题考查了平移性质，旋转作图，求网格三角形的面积，解题的关键是熟练掌握平移性质和旋转作图的方法和步骤． （1）根据向右平移5个单位，则横坐标加5即可得到的坐标； （2）将点分别绕点C逆时针旋转得到，再顺次连接即可，然后再由割补法求解面积． 【详解】（1）解：∵把向右平移5个单位长度得到， ∴，， 即，； （2）解：如图，即为所求， 面积为 变式3-2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，将绕着原点顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别是点，，． (1)画出，写出点的坐标为______； (2)直接写出的面积为______． 【答案】(1)见详解， (2) 【分析】本题考查了作图—旋转变换、坐标与图形、勾股定理，熟练掌握旋转变换的定义和性质是解题的关键． （1）利用旋转变换的性质分别作出点A，B，C的对应点分别是点，，，再顺次连接即可； （2）利用网格和勾股定理可得，，判定为直角三角形，结合面积公式求得，利用旋转变换的性质即可得到的面积． 【详解】（1）解：如图， 解 ∵绕着原点顺时针旋转得到点， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， 则， ∵绕着原点顺时针旋转得到， ∴， 故答案为：． 类型四、旋转的尺规作图问题 例4．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）在中，，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)根据题意，将图形补充完整；（要求尺规作图，保留作图痕迹） (2)求的度数． 【答案】(1)图形见解析 (2)15° 【分析】（1）证明是等边三角形，分别以C、B为圆心，的长为半径画圆弧，两段圆弧在下方的交点即是D点； （2）证明是等边三角形，是等腰三角形，求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形， 故分别以C、B为圆心，CB的长为半径画圆弧，两段圆弧在下方的交点即是D点，如图： （2）解：由（1）可知，， ∴是等腰三角形，且顶角， ． 变式4-1．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，是等边三角形，． (1)尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为点C（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形是菱形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）作，然后截取，连接即可完成作图； （2）由（1）可得，，根据是等边三角形，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 证明：在和中，， ∴ ∴绕点A逆时针旋转得到； （2）证明：由（1）可知：，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 类型五、旋转全等模型--自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称 例5．（22-23九年级上·北京东城·期中）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明，由全等三角形的性质可知；再证明为等边三角形，可得，然后利用两角之差即可求解． 【详解】解：连接，如下图， ∵是等边三角形， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质以及图形的旋转等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 变式5-1．（22-23八年级下·山东济南·期中）问题：如图（1），在中，，，，试探究满足的等量关系． [探究发现] 小明同学利用图形变换，将绕点C逆时针旋转得到，连接，由已知条件易得，，根据“边角边”可证 ，得，在中，由 定理，可得，得，可得之间的等量关系是 ． [实验运用] （1）如图2，在正方形中，的顶点E、F分别在边上，高与正方形的边长相等，求的度数． （2）在（1）条件下，连接，分别交于点M、N，若，运用小明同学探究的结论，求正方形边长以及的长． 【答案】，勾股，；（1）；（2）正方形的边长为； 【分析】[探究发现]：根据题意，证明,通过勾股定理，可得，再通过全等三角形的性质进行转化，即可解答； [实验运用]：（1）根据，证明,即可证明； （2）通过（1）中的证明，得到，再通过勾股定理，列方程求得正方形的边长，根据[探究发现]中的结论，得到,再列方程，即可解答． 【详解】[探究发现]： 解： 绕点C逆时针旋转得到， ， ,，， , , 即， , ， 在与中， ， ， ， 在中，由勾股定理，可得， ． [实验运用]： （1）解：高与正方形的边长相等， ，，， 在直角与直角中， ， ， ， 同理可得， ， ； （2）由（1）得， 设正方形的边长为x，则，, 根据勾股定理，可得， 解得或（舍去） 正方形的边长为6， 根据[探究发现]中的结论，可得， 设，则 ， 可列方程， 解得， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握旋转后的两个三角形全等是解题的关键． 变式5-2．（23-24九年级上·湖北随州·阶段练习）如图①，在等腰直角三角形中，，D，E分别为的中点，F为线段上一动点（不与D，E重合），将线段绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．    (1)求证：． (2)如图②，连接，交于点H． ①证明：在点F的运动过程中，总有； ②若，直接写出当的长度是多少时，为为等腰三角形？ 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析，②1或 【分析】（1）由旋转的性质得：，，推出，是等腰直角三角形，得到，根据即可证明； （2）①证明，进一步可得结果；②分为，此时，进而求得结果；当时，推出，从而求得结果；当时，点F的点E重合，不合题意． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，， ，即， 是等腰直角三角形，， ， 在和中， ， ； （2）①证明：∵点D是的中点，点E是的中点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 同理（1）得，， ， ； ②解：由题意得：， ， 如图1，    当时，，， ， ， ； 如图2， 当时，， ， ， ， ， ， ； 当时，， ， 此时F点和E点重合，不符合题意， 综上所述：或1时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，找出条件． 类型六、旋转全等模型--旋转半角模型 旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 例6．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)A，90 (2)证明见解析 (3)正方形的边长为 【分析】（1）根据旋转定义结合正方形性质得出旋转中心和旋转角度即可； （2）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）解：在正方形中，， 又顺时针旋转一定角度后得到， 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到, 故答案为：A，90； （2）证明：由旋转的性质得：， 四边形是正方形， ，即， ，即， ， ， 在和中， ， ； （3）解：设正方形的边长为，则， ， ， 由旋转的性质得：， ， 由（2）已证：， ， 又四边形是正方形， ， 则在中，， 即， 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 变式6-1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图1，，分别是正方形的边，上的动点，且满足，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 小聪同学的想法：将顺时针旋转，得到，然后通过证明三角形全等可得出结论． 请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．    (1)线段，，之间的数量关系是______． (2)如图2，在正方形中，，连接，分别交，于点，，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转与三角形综合， （1）先证明三点共线，再证明，得到，即可证明； （2）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，先求出，由旋转的性质可知，则，证明，得到，利用勾股定理即可证明． 【详解】（1）解：结论： 理由：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴三点共线， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）结论：,证明如下：      如图所示，将绕点A顺时针旋转得到． ∵， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题涉及了旋转变换，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 变式6-2．（22-23九年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．    (1)当绕B点旋转到时，如题图1，易证． (2)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？ (3)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据可得，易求得，可得，即可求解； （2）将顺时针旋转，可得，易证，即可求解； （3）将顺时针旋转，可得，易证，即可求解． 【详解】（1）证明：∵在和中， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：不成立，新结论为， 将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及到30度角所对直角边是斜边的一半，本题中求证是关键． 类型七、旋转全等模型--共旋转模型 当图形中有两对相邻等线段时，可以直接寻找旋转全等，可适用于任意共顶角顶点或共底角顶点的等腰三角形旋转问题 例7．（23-24八年级上·重庆渝中·开学考试）已知、，其中，，，将绕着点B旋转．    (1)当旋转到图1位置，连接、交于点，连接； ①探究线段与线段的关系； ②证明：平分； (2)当旋转到图2位置，连接、，过点作于点，交于点，证明：． 【答案】(1)①，，见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①证明，即可得证；②证明，再根据全等三角形对应边上的高相等，推出，可得结论； （2）在上截取，使，连接，用证明，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：，， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， ； ②证明：如图，过点作于点，于点，    ， ， 又，， ， 又，， （全等三角形对应边上的高相等）， 平分； （2）证明：在上截取，使，连接    ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题属于旋转变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 变式7-1．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）已知:如图和都是等边角形．是延长线上一点，与相交于点．、相交于点，、相交于点．    (1)在图①中，求证:； (2)当绕点沿逆时针方向旋转到图②时，________． 【答案】(1)见详解． (2)60°． 【分析】（1）根据等边三角形性质得出，求出，根据推出，即可得到答案； （2）证明，得到，根据三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：和为等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：和都是等边三角形， ， ， 即， 在和中，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 变式7-2．（2024·山东济南·二模）如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． (1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长； (3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为______． 【答案】(1)依然成立，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短、二次根式的计算等知识，证明是解题的关键． （1）利用，证明，得． （2）证明，得，则，再利用勾股定理可得答案． （3）连接连接、，先根据勾股定理和直角三角形的性质求得，当绕点逆时针旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上运动，所以当点在直线上时，有最大和最小值，由图可得的最大值为，最小值为，即． 【详解】（1）解：依然成立，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴ 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在直线上时，有最大值和最小值， ∴由图可得的最大值为，最小值为， ∴， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 连接，证明，得到相等角和边，然后根据三角形的三边关系得出何时为最大值，然后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，, ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， 当点共线的时候，最大，最大值为6， 此时，， ∴， ∴， 由勾股定理得， 又∵， ∴, 故选：B． 2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，等边的边长为1，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，连接．对给出下面三个结论： ①对任意都有是等边三角形； ②存在唯一一点到点的距离相等； ③当时，的周长是． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】连接、、，先证 ，再证 ，据此可说明①正确，由线段垂直平分线的性质可知存在唯一一点到点的距离相等，故②正确，利用勾股定理可求，则可判断③的正误． 【详解】解：连接、、， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可得，， ， 在和中， ， ， 同理可证 ， ， 故是等边三角形，故①对； 到点的距离相等的点是三边的中垂线的交点， 存在唯一一点到点，，的距离相等，故②对； 当时，则、、共线， ，， 如图，过作于点， 则， ，， ， ， ，故③对， 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上． (1)根据题意，作(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）结合旋转的性质，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，即可． （2）由旋转得，，，，可得，，，则可得．根据，可得，即． 【详解】（1）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，， 则即为所求． （2）． 理由：由旋转得，，，， ，，， ． ， ， ， 即． 4．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，是等腰内一点，，连接，，． (1)如图1，当时，将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形； (2)在（1）中，若，，，求的大小； (3)当时，且，，，则的面积是　　（直接填答案） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由可知点A旋转到点C，在的下方过点B作的垂线，并且在垂线上截取，则为点P绕B点顺时针旋转以后的对应点，即为所求； （2）连接，求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，再利用勾股定理逆定理求出，然后计算即可得解； （3）根据全等三角形的面积相等求出与的面积之和等于四边形的面积，然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解，同理求出和的面积的和，和的面积的和，从而求出的面积，根据的面积的面积与的面积的和计算即可得解． 【详解】（1）解：如图1所示，即为所求； （2）解：如图2，连接． 将绕点顺时针旋转，与重合， ，， ，，， 是等腰直角三角形， ，． 在中，，，， ， △是直角三角形，， ； （3）如图3①，将绕A点逆时针旋转得到，连接， ， ，，， 是等边三角形， ， ，，， ， 是直角三角形，， ，， ； ， ； 如图3②，同理可求：和的面积的和， 和的面积的和， 的面积， 的面积的面积与的面积的和． 故答案为． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，其中（3）较为复杂，求出的面积是解题的关键． 5．（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【答案】（1）见详解（2），理由见详解，（3） 【分析】（1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； 【详解】（1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键． 6．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了旋转的性质、半角模型以及正方形的性质，掌握半角模型的条件以及结论是解题关键． （1）根据提示即可作图； （2）根据图形可得结论； （3）由旋转可知：，推出，进而得，证即可； （4）根据的周长，，推出的周长，即可； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：； （3）证明：由旋转可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵的周长，， ∴的周长 7．（25-26九年级上·广西·阶段练习）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，E、F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由全等三角形的性质得，，，，，再由等边三角形的性质与判定得，，根据勾股定理逆定理得，，进而求解即可； （2）将绕点A逆时针旋转得到，连接 、，由旋转的性质和等量代换得，从而证得，得，，证得，得，即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转得到，连接，由全等三角形的性质和旋转的性质证得，是等边三角形，得，进而得，再由直角三角形的性质和勾股定理求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ，，，， ∵是等边三角形， ， ，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接 、， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴点C、O、、在一条直线上， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 8．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，和均为等边三角形，连接，，则线段、之间的数量关系是_________： （2）【类比探究】如图②，和均为等腰直角三角形，，点在的内部，连接，． ①当点、、在同一直线上时，则的度数为_________ ②请写出线段、之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，若，，将绕点逆时针旋转，旋转的过程中点和点在边的两侧，连接，直接写出四边形的面积的最大值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）四边形的面积的最大值为2 【分析】（1）证明，得出即可； ②求出，根据即可得出答案； （2）①同（1）的方法，即可得出结论； ②由得出即可； （3）过点和作的垂线，垂足分别为点和，则四边形的面积，当点和重合时，取得最大值，即的长，通过计算即可求解． 【详解】解：（1）； ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； （3）过点和作的垂线，垂足分别为点和， 四边形的面积， 当点和重合时，取得最大值，即的长， ∵和均为等腰直角三角形，，， ∴，， ∴四边形的面积最大值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 9．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标 ； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标 ； (3)点P为x轴上一点，当最小时，则点P的坐标为 ． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的平移、旋转以及最短路径问题，涉及平移规律（右加左减、上加下减）、旋转坐标变换规则和轴对称，最短路径思想．解题关键是熟练掌握平移、旋转对坐标的影响，以及利用轴对称转化最短路径问题；易错点是平移或旋转时坐标计算错误，以及最短路径问题中对称点的选取失误． （1）根据“右加左减、上加下减”的平移规律，对的三个顶点分别进行横坐标加1、纵坐标加5的操作，得到的顶点坐标，进而确定的坐标并画图． （2）依据点绕原点逆时针旋转后变为的规则，对的顶点进行旋转操作，得到的顶点坐标，从而确定的坐标并画图． （3）利用轴对称的性质，作点A关于x轴的对称点，连接，其与x轴的交点即为P．通过待定系数法求出直线的解析式，再令求出P的坐标． 【详解】（1）如图所示，即为所求： 由题意得，点的横坐标变为，纵坐标变为，所以的坐标为． 故答案为：． （2）如图所示，即为所求： 点旋转后，横坐标为，纵坐标为4，所以的坐标为． 故答案为：． （3）作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为P（两点之间线段最短）． 设直线的解析式为，将、代入得： ， 解得，，即直线的解析式为． 令，则，解得，所以点P的坐标为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，与都是等腰三角形，，，且． (1)求证：； (2)如图2，若，试判断线段与的关系，并说明理由； (3)如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)的最小值为4，. 【分析】（1）根据题意得，即可求证； （2）根据题意得，再证，即可求解； （3）把绕点顺时针旋转 得到 （与 重合），则 ，，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵与都是等腰三角形， ∴ ∴ 在和中 ∴ （2） 理由：∵与都是等腰三角形， ∴ ∴ 在和中 ∴        ∴ （3）由题意得：，，把绕点顺时针旋转 得到 （与 重合），则 ，如图； ∵， ∴ ∵， ∴，即线段长度最小时，的长度最小， ∴当轴时，的长度最小，此时， ∴，的最小值为4 ∴. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，通过旋转变换，构造相似三角形或全等三角形，是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 图形的旋转七类题型 典例详解 类型一、旋转位置不确定的分类讨论问题 类型二、旋转对应点不缺定的分类讨论问题 类型三、格点上的旋转作图问题 类型四、旋转的尺规作图问题 类型五、旋转全等模型--自旋转模型 类型六、旋转全等模型--旋转半角模型 类型七、旋转全等模型--共旋转模型 压轴专练 类型一、旋转位置不确定的分类讨论问题 例1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，正方形中，点为对角线上一点，．且，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，使，则的度数为（） A． B． C．或 D．或 变式1-1．（24-25九年级上·江西·期中）在中，，，点O是的中点，将绕点O向三角形外部旋转得到，当恰为等腰三角形时，的值为 变式1-2．（2025·福建厦门·二模）如图1，中，，，，点D，E分别为，的中点，连接．如图2，将逆时针绕点A在平面内旋转，连接，当点B，D，E恰好在一条直线上时，的长为 ． 类型二、旋转对应点不缺定的分类讨论问题 例2．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，小明发现：线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的坐标可以是 ． 变式2-1．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图，已知点，若在所给的网格中存在一点，使得与垂直且相等． （1）直接写出点的坐标 ； （2）将线段绕某一点旋转一定角度，使其与线段重合，则这个旋转中心的坐标为 ． 变式2-2．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 类型三、格点上的旋转作图问题 例3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，请解答下列问题： (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转的． 变式3-1．（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．若把向右平移5个单位长度得到，把绕点C逆时针旋转得到． (1)请直接写出的坐标； (2)画出，并求出的面积； 变式3-2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，将绕着原点顺时针旋转得到，点A，B，C的对应点分别是点，，． (1)画出，写出点的坐标为______； (2)直接写出的面积为______． 类型四、旋转的尺规作图问题 例4．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）在中，，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)根据题意，将图形补充完整；（要求尺规作图，保留作图痕迹） (2)求的度数． 变式4-1．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，是等边三角形，． (1)尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为点C（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形是菱形； 类型五、旋转全等模型--自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称 例5．（22-23九年级上·北京东城·期中）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为 ． 变式5-1．（22-23八年级下·山东济南·期中）问题：如图（1），在中，，，，试探究满足的等量关系． [探究发现] 小明同学利用图形变换，将绕点C逆时针旋转得到，连接，由已知条件易得，，根据“边角边”可证 ，得，在中，由 定理，可得，得，可得之间的等量关系是 ． [实验运用] （1）如图2，在正方形中，的顶点E、F分别在边上，高与正方形的边长相等，求的度数． （2）在（1）条件下，连接，分别交于点M、N，若，运用小明同学探究的结论，求正方形边长以及的长． 变式5-2．（23-24九年级上·湖北随州·阶段练习）如图①，在等腰直角三角形中，，D，E分别为的中点，F为线段上一动点（不与D，E重合），将线段绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．    (1)求证：． (2)如图②，连接，交于点H． ①证明：在点F的运动过程中，总有； ②若，直接写出当的长度是多少时，为为等腰三角形？ 类型六、旋转全等模型--旋转半角模型 旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 例6．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 变式6-1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图1，，分别是正方形的边，上的动点，且满足，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 小聪同学的想法：将顺时针旋转，得到，然后通过证明三角形全等可得出结论． 请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．    (1)线段，，之间的数量关系是______． (2)如图2，在正方形中，，连接，分别交，于点，，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 变式6-2．（22-23九年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．    (1)当绕B点旋转到时，如题图1，易证． (2)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？ (3)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 类型七、旋转全等模型--共旋转模型 当图形中有两对相邻等线段时，可以直接寻找旋转全等，可适用于任意共顶角顶点或共底角顶点的等腰三角形旋转问题 例7．（23-24八年级上·重庆渝中·开学考试）已知、，其中，，，将绕着点B旋转．    (1)当旋转到图1位置，连接、交于点，连接； ①探究线段与线段的关系； ②证明：平分； (2)当旋转到图2位置，连接、，过点作于点，交于点，证明：． 变式7-1．（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）已知:如图和都是等边角形．是延长线上一点，与相交于点．、相交于点，、相交于点．    (1)在图①中，求证:； (2)当绕点沿逆时针方向旋转到图②时，________． 变式7-2．（2024·山东济南·二模）如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． (1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长； (3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为______． 1．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，的长为（    ） A．3 B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·阶段练习）如图，等边的边长为1，将边，，分别绕点，，逆时针旋转得到线段，连接．对给出下面三个结论： ①对任意都有是等边三角形； ②存在唯一一点到点的距离相等； ③当时，的周长是． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上． (1)根据题意，作(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由． 4．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，是等腰内一点，，连接，，． (1)如图1，当时，将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形； (2)在（1）中，若，，，求的大小； (3)当时，且，，，则的面积是　　（直接填答案） 5．（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 6．（25-26八年级上·山东·阶段练习）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 7．（25-26九年级上·广西·阶段练习）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，E、F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 8．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，和均为等边三角形，连接，，则线段、之间的数量关系是_________： （2）【类比探究】如图②，和均为等腰直角三角形，，点在的内部，连接，． ①当点、、在同一直线上时，则的度数为_________ ②请写出线段、之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，若，，将绕点逆时针旋转，旋转的过程中点和点在边的两侧，连接，直接写出四边形的面积的最大值． 9．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标 ； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标 ； (3)点P为x轴上一点，当最小时，则点P的坐标为 ． 10．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，与都是等腰三角形，，，且． (1)求证：； (2)如图2，若，试判断线段与的关系，并说明理由； (3)如图3，在直角坐标系中，x轴上有一点，点N是y轴上一个动点，连接，在下作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $