拓展03 圆锥曲线二级结论秒杀选填题（期中复习讲义核心8大题型）高二数学上学期人教A版

拓展03 圆锥曲线二级结论秒杀选填题（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 通径公式 掌握椭圆、双曲线、抛物线的通径公式. 基础必考点，常出现在小题或者大题第一问 双曲线焦点到渐近线的距离为b 理解双曲线焦点到渐近线的距离为b，会自己推导. 基础必考点，常出现在小题或者大题第一问 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式 理解椭圆、双曲线焦点三角形面积公式，会自己推导. 高频易错点，注意识记公式 中点弦公式（点差法） 掌握利用点差法推导椭圆、双曲线、抛物线的中点弦公式. 基础必考点，常出现在小题或者大题第一问 离心率秒杀公式 掌握椭圆、双曲线的离心率秒杀公式. 重难必考点，记住公式使用的条件 椭圆的焦半径秒杀公式 理解椭圆的焦半径公式. 重难必考点，常出现在小题压轴 双曲线的焦半径秒杀公式 理解双曲线的焦半径公式. 重难必考点，常出现在小题压轴 抛物线的焦半径、焦点弦秒杀公式 理解抛物线的焦半径公式，会自己推导. 高频易错点，常出现在多选题压轴 知识点01 通径 1、通径的定义 （1）焦点弦 过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦. （2）通径 与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径. 2、通径的性质 【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为. 【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为. 性质1、性质2的证明： ①如图1，不妨设过右焦点，且在第一象限，把，代入椭圆方程，得到，，，进一步可得通径长.若过左焦点，同理可得通径的端点坐标为. ②对于双曲线，证明过程同椭圆. ③对于抛物线，如图2，把，带入抛物线方程得到，，通径. 知识点02 焦点三角形 1、椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 证明：设 ． 2、双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 知识点03 中点弦问题（点差法）秒杀公式 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似． 直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有． 两式相减得，所以． 中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得 ． 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 知识点04 离心率秒杀公式 1、椭圆 （1）已知椭圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 （2）以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外) 为顶点 , 则 （3）点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 2、双曲线 （1）已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 （2）以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率 （3）点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 （4）已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点. 情形1.如图1.若,则 图1 图2 如图2.若，则 知识点05 椭圆、双曲线中的焦点弦、焦半径公式 1、椭圆的焦半径和焦点弦公式 【焦半径形式1】椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦. 【焦半径形式3（过右焦点）】：过椭圆的右焦点的直线交椭圆于,(其中在轴上方),记直线的倾斜角为(即为直线与轴正方向所成的角),有以下性质: ①焦半径的表示 坐标形态:, 角参形态:,； ②过焦点弦长 ；当且仅当时,,此时称为“通径” ③焦半径之比 . 2、双曲线的焦半径和焦点弦公式 【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负） 【焦半径形式3（过右焦点）】双曲线焦半径：过双曲线的右焦点的直线交双曲线的右支于,(其中在轴上方),记直线的倾斜角为(即为直线与轴正方向所成的角),有以下性质: ①焦半径的表示 坐标形态:,； 角参形态:, ②焦点弦长的表示 角参形态:；当且仅当时,,此时称“通径” ③焦半径之比 知识点06 抛物线中的焦点弦、焦半径公式 1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式 已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 ①. ②. ③,. 2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式 ①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：. ②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 . ③若恒过定点. 3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 题型一 通径公式 解｜题｜技｜巧 椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为. 1．已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，求解即可 【详解】由题意可知双曲线方程为且， 解得， 所以双曲线的标准方程为， 故选：B 2．（23-24高二上·全国·期中）已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，根据平行关系得到方程，得到，从而求出离心率. 【详解】由已知得：， 将代入椭圆中，，解得， 因为A，B分别是椭圆的右、上顶点，且，所以， 其中， 由得：， 解得， 由得：， 所以椭圆C的离心率为. 故选：C. 3．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆 ，过右焦点的直线交 于 两点，则 的最小值为 . 【答案】3 【分析】过焦点的弦长最短的是通径，通径为． 【详解】由已知，，通径长为， 则 的最小值． 故答案为：3. 4．过抛物线的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A，B两点，则以F为圆心，AB为直径的圆的方程是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线方程可求得点的坐标，即可写出圆的方程． 【详解】因为抛物线的焦点F为，通径长为，所以以F为圆心，AB为直径的圆的方程是． 故答案为：． 5．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是 ． 【答案】/ 【分析】 利用双曲线通径长和与渐近线交点情况可得,,由和关系可求得，，由此可求得离心率． 【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：， 直线 为双曲线的通径，则 由得，则， 由得，则 由得： 即 所以， 所以离心率 故答案为： 题型二 双曲线焦点到渐近线的距离为b 1．等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式进行求解即可． 【详解】设等轴双曲线方程为，代入点，可得，所以双曲线方程为， 所以双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点到渐近线的距离为. 故选：C． 2．（24-25高二下·四川成都·期中）已知F是双曲线的一个焦点，且点F到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】取焦点，再利用点到直线距离的公式列式求解. 【详解】双曲线的渐近线为，由对称性不妨设， 依题意，，即， 所以的离心率. 故选：C 3．（24-25高二上·河北石家庄·期末）设，分别是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线E的一条渐近线的垂线，垂足为P，若为焦距，设双曲线E的离心率为e，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出渐近线方程再结合点到直线距离公式得出进而求出，再应用两点间距离公式化简得出离心率即可. 【详解】由双曲线的方程可得双曲线渐近线方程：，右焦点， 到渐近线的距离， 由渐近线的对称性，设渐近线为①， 则直线方程为：②， 由①②可得，，则， 左焦点，所以， 因为，所以，得， 所以，则C的离心率为 故选: 4．（24-25高二上·江西南昌·期末）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点在C的渐近线上，过点F作，垂足为，，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点距离公式及向量运算得，根据点线距离求出，由点在C的渐近线上得，. 【详解】由知，又，所以. 由，则为焦点F到渐近线即的距离， 所以，在中，， 由点在C的渐近线上，所以，即，所以， 所以C的方程为. 故选：A 题型三 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式 解｜题｜技｜巧 1、椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 2、双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 1．（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解． 【详解】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 2．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式、完全平方公式、关系式及双曲线定义即可求解. 【详解】因为，所以， 即， 由双曲线定义可得， 所以，即， 又，所以， 所以，解得.    故选：. 3．（25-26高二上·山西吕梁·月考）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是 . 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】在椭圆中，，，， 由椭圆的定义可得，， 在中，， 由余弦定理得 ，解得， 因此，. 故答案为：. 4．（25-26高二上·云南玉溪·月考）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 ． 【答案】3 【分析】利用正弦定理、余弦定理结合等积法可求的值. 【详解】 由椭圆的标准方程可得. 设，则, 在中，由余弦定理有， 故，故， 故， 而，故即， 由正弦定理可得，故. 故答案为：. 题型四 中点弦公式（点差法） 1．（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法来求得正确答案. 【详解】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B 2．（24-25高二上·湖北·期末）已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出弦的中点坐标，再利用点差法列式求出离心率. 【详解】设，中点，则，， ，两式相减得，经检验成立. 所以该双曲线的离心率为. 故选：B 3．（25-26高二上·江苏连云港·月考）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【详解】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故选：B. 4．（24-25高二上·广东深圳·月考）已知中心在原点，半焦距为 4 的椭圆 被直线方程 截得的弦的中点横坐标为-4，则椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法可得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率关系，运算可得解. 【详解】设直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标是，则， 直线的斜率. 由，得， 得，所以， 即，， ，，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 5．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 【答案】 【分析】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，联立方程组结合弦长公式即可求解. 【详解】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为， 联立，则， 所以， 故答案为： 6．椭圆的动弦所在直线的斜率为2，则中点的轨迹方程是 ． 【答案】（曲线内部的线段） 【分析】设，由点差法可得答案. 【详解】如图，设，则 两式相减整理可得：．因， 则，又，则. 结合在椭圆内部，则中点的轨迹方程为（曲线内部的线段）． 故答案为：（曲线内部的线段）． 题型五 离心率秒杀公式 1．已知、是双曲线的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为（ ） A. B. C. D.2 【答案】A 【解析】 . 2．（24-25高二上·重庆铜梁·月考）若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直关系写出过点F的直线AB的方程，分别联立直线AB与两渐近线的方程求出点A、B的横坐标，由知，从而得，带入、可得a、c的关系式，化简方程即可求得离心率. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为：， 设过点与渐近线垂直的方程为， 由，得， 由，得， 因为，所以，则， 所以，化简得，即， 解得（舍去）或，则. 故选：D 【点睛】与斜率为k的直线垂直的直线斜率为. 3．设、是椭圆的左、右焦点，过且斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，，则椭圆C的离心率为_______. 【答案】 【解析】解法l：如图，直线的斜率为， 又，所以，， 不妨设，则，， 所以椭圆C的离心率. 解法2：如图，直线的斜率为， 又，所以，， 故椭圆C的离心率. 题型六 椭圆的焦半径秒杀公式 1．（24-25高二上·江苏南通·月考）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（   ）    A． B． C． D．（0，1） 【答案】D 【分析】根据对称可得，．设点．由两点间的距离公式转化求解的表达式，然后根据椭圆范围求解取值范围． 【详解】如图所示，点在轴右边，    因为为的垂直平分线，所以，． 由中位线定理可得． 设点．由两点间的距离公式， 得 ， 同理可得， 所以，故， 因为，，所以，故， 所以． 因为，所以，故的取值范围为． 故选：D． 2．（多选题）已知椭圆：（）的长轴顶点分别为，，左、右焦点分别为，，斜率为正的直线过点，交椭圆的上半部分于点．若椭圆上存在点，使得且，则椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】如图，由椭圆的对称性可知，根据相似三角形的性质和焦点弦的性质可得，，对化简计算即可求解. 【详解】如图，延长交椭圆于点．由椭圆的对称性，可知．    因为，所以． 设直线的倾斜角为．由焦点弦的推导公式，得，， 所以，即， 所以．因为直线的斜率为正， 所以，所以， 解得． 故选：ABC． 3．已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，则满足（其中为坐标原点）的点的个数为 ． 【答案】4 【分析】设点，由焦半径公式表示出、，即可得到，再由得到方程，解得即可判断. 【详解】设点，则．由焦半径公式得， 故． ∵，∴，即． 又∵，解得，∴满足条件的点有4个． 故答案为： 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ． 【答案】3 【分析】解法一：由已知条件得到直线的方程，联立直线和椭圆方程求得点横坐标，再由相似性质可得结果；解法二：由椭圆的焦半径公式表示出，化简可得结果；解法三：由焦比定理代入化简可得结果. 【详解】解法一：由题意知，，，所以，即，故直线为， 联立直线与椭圆方程得消去整理得，解得或， 又，所以，，由相似的性质可知，． 解法二：如图所示，设直线的倾斜角为，结合知，．    由题意知，，则．因为斜率，所以，所以． 解法三：由题意知，直线的斜率，设， 由焦比定理知，即，解得，即，所以． 故答案为：3. 5．若直线：（其中）与圆相切，与椭圆：交于点，，为其右焦点，则的周长为 . 【答案】4 【分析】先根据直线与圆相切求得的关系，设切点为，利用勾股定理分别求出，再根据两点间的距离公式分别求出，从而可得出答案. 【详解】解：由直线与圆相切， 可得，则， 联立，消得， 则，故， ， 因为，所以， 所以， 设切点为，则，， ， 同理， ， 因为，所以， 同理， 则的周长为. 故答案为：4. 6．已知椭圆方程为：，为椭圆过右焦点的弦，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合椭圆第二定义，，设倾斜角为，可得，联立可得，同理得，则化简得，令，结合配方法和均值不等式即可求解 【详解】 如图所示，由， 由椭圆第二定义可得，① 又， 即，② 联立①②解得，同理可得， 则， 设，则，， ，当且仅当，即取到等号，所以的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查求椭圆中焦半径和值的最值求解，椭圆第二定义的使用，换元法，配方法与均值不等式求最值问题，综合性强，难度大.对于椭圆的焦半径，也可当成常规结论进行记忆. 题型七 双曲线的焦半径秒杀公式 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可 【详解】    如图所示，设双曲线实轴长为，则， 所以， 又M在第一象限，即，故， 因为，过M作MD⊥轴于D，， 由条件故， 即，故， 解之得（负值舍去）. 故选：A 2．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据得，，再换元利用函数的单调性求解. 【详解】解：由双曲线的第二定义可知，， 右支上的点，满足， 由，解得， 在右支上，可得，可得，即，则， 令，，可得 而在，单调递减，，，， 故选：B 3．（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则 . 【答案】2 【分析】利用焦半径公式可证，从而可得结论. 【详解】设，则，由焦半径公式， ， 所以， 从而，即. 故答案为：. 4．过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ． 【答案】8 【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可.（也可以直接使用双曲线焦点弦长公式代值求解） 【详解】由双曲线，得，， 焦点为，倾斜角， 法一：直线斜率，直线方程为， 联立消得，， 由韦达定理知， 代入弦长公式， 得. 法二：. 故答案为：8. 题型八 抛物线的焦半径、焦点弦秒杀公式 1．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】    由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即. 故选：D. 2．（多选题）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，在上的射影分别为，则下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B． C． D．若，则直线的斜率为 【答案】ABC 【分析】对于A，由抛物线的定义结合梯形中位线的定义判断，根据抛物线定义得出计算判断B，根据焦点弦和焦半径公式和弦长公式，可判定C正确，根据抛物线定义结合同角三角函数关系计算判断D. 【详解】对于A，如图，假设点位于第四象限，根据抛物线的定义可得， 设中点为，点在抛物线的准线上的射为，所以， 则以为直径的圆与准线相切，故A正确； 对于B：因为，所以 又因为，所以，所以，B选项正确； 设，由抛物线的定义，可得， 当直线的斜率不存在时，可设直线的方程为， 联立方程组，解得，此时 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得，所以， 综上可得，线段AB长度的最小值是，所以C正确； 对于D，因为，， 所以过作，, 设直线的斜率为， , ，所以，故D错误； 故选：ABC. 3．（23-24高二下·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，交准线于点，则下面结论正确的是：（    ） A．以为直径的圆与轴相切 B． C． D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A选项，设，由焦半径公式得到，求出的中点的横坐标为，得到相切关系；B选项，联立直线与抛物线方程，得到与，故；C选项，证明出为直径的圆与准线相切，故切点为，得到，结合向量数量积公式得到C正确；D选项，由垂径定理求出，求出最小值. 【详解】A选项，由题意得，准线， 设，由焦半径可得， 设的中点为，则，显然到轴的距离等于， 故以为直径的圆与轴相切，A正确； B选项，直线过点， 联立与得， 设，则， 故，， 由A选项知，，同理可得， 故，B错误； C选项，由B选项得， 设的中点为，则， 故点到准线的距离为， 故为直径的圆与准线相切，故切点为， 故，则 ，C正确； D选项，点到轴的距离为， 由垂径定理得 ， 故当时，取得最小值，最小值为，D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：抛物线的相关结论， 中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切； 中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切. 4．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为5，则 . 【答案】12 【分析】设，根据A、B中点的横坐标为5得到，由焦点弦长公式得到答案. 【详解】由题意得， 设， 因为A、B中点的横坐标为5，所以， 由焦点弦长公式得 故答案为：12 5．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）过点作直线与交于A，B两点，若，则直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】联立直线与抛物线方程可求得，再利用抛物线的焦点弦公式得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为抛物线的焦点坐标，准线为， 则直线过抛物线的焦点，且由题意可知直线的斜率不为0， 不妨设直线为，，， 联立，消去，得， 易知，则，故， 因为，所以，即，故， 所以直线的方程为，则直线的倾斜角为. 故答案为：. 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】不妨设一个焦点为，一条渐近线方程为：，即，由点到直线的距离求解． 【详解】解：依题意得，，得，得， 不妨设一个焦点为， 一条渐近线方程为：，即， 则焦点到渐近线方程的距离为：． 故选：C 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线（，）的焦点到渐近线的距离等于，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】由题可知，焦点在轴上， 其中一个焦点坐标为，利用点到直线的距离公式可得,代入可得. 【详解】由题可知双曲线的焦点在轴上，其中一个焦点为，其中一条渐近线方程为. 所以焦点到渐近线的距离为所以,代入可得离心率为 . 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得两点的纵坐标，由此求得. 【详解】抛物线的焦点为， 直线的方程为， 由，解得， 所以. 故选：D 4．（24-25高二上·北京·月考）若直线与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C．2 D．-2 【答案】B 【分析】利用点差法计算即可. 【详解】设，则 由题易知 两式求差可得， 故选：B 5．（24-25高二上·广东肇庆·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点（点在点上方），若，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直线和抛物线联立，设，运用韦达定理和抛物线的定义，解方程即可得到答案. 【详解】由题意，抛物线的焦点， 直线和抛物线联立，可得. 设，可得， 由抛物线的定义可得， 因为，可得与， 得到，所以方程为. 故选：C. 6．已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得，，再根据已知列式，结合椭圆的关系，求出离心率即可. 【详解】为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点， 由椭圆的性质，可得. 过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点， . 等于的最小值的3倍， . 椭圆中， ，即， 则. ， ，解得或（舍）. 故选：B. 7．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的方程为并与抛物线联立，由中点坐标可得，求得直线方程. 【详解】易知直线的斜率不为0，设方程为，， 联立，整理可得， ， 由中点为可得，可得， 因此直线的方程为，即. 故选：A 8．（24-25高二下·湖南·开学考试）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作斜率为正且与双曲线的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图利用点线距和勾股定理求出，过点作于，推理可得，根据解三角形和双曲线的定义可得，即可求离心率. 【详解】令双曲线的半焦距为，则， 令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为， 于是，， 如图，过点作于，则， 而为线段的中点，所以，， 因为，所以， ，， 由双曲线定义得，即，解得． 故该双曲线的离心率为． 故选：A． 9．已知动点P在双曲线C：上，双曲线C的左、右焦点分别为，，则下列结论： ①C的离心率为2；             ②C的焦点弦最短为6； ③动点P到两条渐近线的距离之积为定值； ④当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算即可. 【详解】由题意可得，即①正确； 显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2＜6，即②错误； 易知双曲线的渐近线方程为，设点，则，且到两条双曲线的距离之积为是定值，故③正确； 对于④，先推下双曲线的焦半径公式： 对双曲线上任意一点及双曲线的左右焦点， 则， 同理， 所以，此即为双曲线的焦半径公式. 设点，由双曲线的焦半径公式可得， 故， 其中，则， 由二次函数的性质可得其最大值为，当且仅当，即时取得，故④错误； 综上正确的是①③两个. 故选：B 10．已知是椭圆的左、右焦点，为上第一象限内一点，的平分线经过抛物线的焦点，且与轴交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线的焦点为，，根据圆锥曲线的统一定义得，再由角平分线定理得，通过化简变形得到，从而得，再根据∥，求得，将代入求出代入即得结果. 【详解】因为椭圆，所以， 所以，，，离心率. 设抛物线的焦点为，由题意得， 设，则 由角平分线定理得，所以， 所以，即 所以，所以， 所以 由题意，得∥，所以，解得. 将代入，得，解得， 所以. 故选：D. 11．（2024高二上·全国·专题练习）（多选题）以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意设、，根据已知可得，即可得抛物线方程. 【详解】由题意，若，则焦点为，故，所以，即； 若，则焦点为，故，所以，即； 综上，，则. 故选：AB 12．（24-25高二上·江苏南京·月考）（多选题）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的中点到轴的距离为 C． D． 【答案】AC 【分析】选项A：将焦点坐标代入直线中求出的值即可；选项B：联立直线与抛物线方程，结合韦达定理以及抛物线定义，得出线段的中点到轴的距离为；选项C：利用抛物线定义结合平行性质即可求解；选项D结合选项B中的韦达定理的结论以及抛物线定义化简代入即可. 【详解】对于A：由题可知在直线上， 所以， 故抛物线的方程为， 故选项A正确； 对于B，设， 联立，整理得： ， 由， 所以， 根据抛物线定义得： ， 所以线段的中点到y轴的距离为线段， 故选项B错误； 对于C，如图所示，    因为，     所以， 因为轴，轴， 所以， 所以 ， 故选项C正确； 选项D：因为 故选项D错误， 故选：AC. 13．（24-25高二上·福建南平·期末）（多选题）已知直线经过拋物线：的焦点，且与交于，两点.记点为坐标原点，直线为的准线，则以下结论正确的是（   ） A． B．以为直径的圆与相切 C． D．的面积为 【答案】ABD 【分析】由焦点坐标，得到抛物线方程，联立直线方程，结合焦点弦长公式，逐个判断即可. 【详解】直线过抛物线的焦点， 可得焦点， 所以，则，所以A正确； 抛物线方程为，准线的方程为， 直线与抛物线交于两点，设， 直线方程代入抛物线方程消去可得， 则，得，所以C错误； 的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为， 则以为直径的圆与相切，所以B正确； 点到直线的距离，，所以D正确． 故选：ABD 14．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么 ． 【答案】10 【分析】由焦半径公式求得焦点弦长. 【详解】由题设抛物线焦点坐标为， 则由抛物线定义易知：， 故. 故答案为：10 15．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，得，然后可求出，从而可求出椭圆方程，再将代入椭圆方程中求出，从而可求得. 【详解】由题意可知，得，所以， 所以椭圆方程为， 椭圆的右焦点为，当时，，得， 所以. 故答案为： 16．过点作直线与抛物线相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是 ． 【答案】 【分析】设，当若直线的斜率存在，，将点代入抛物线方程后作差，将点代入可得直线的斜率，再检验所得结果，再补充考虑斜率不存在的情况，最后可得结论. 【详解】设， 若直线的斜率存在，则， 点P是线段的中点，， ∴， ，两式作差可得， 即，又， ， 直线的方程是，即， 联立，可得， 方程的判别式， 所以方程有两个根，故方程组有两组解，满足条件， 若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时线段AB的中点为矛盾， 故答案为：. 17．（23-24高二下·广西南宁·期中）抛物线的焦点为，直线与交于两点，则 . 【答案】1 【分析】先求得两点的坐标，再利用抛物线定义求得的值，进而求得的值． 【详解】抛物线的焦点，准线为， 直线可化为， 由，整理得， 解之得或，则或 当时，，此时 当时，，此时 综上所述： 故答案为：1 18．双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，根据题意利用点差法，中点公式等化简即可. 【详解】设， 设直线为，代入，化简得 ， 由，得， 因为为的中点，所以， 所以，所以， 由题意得： ， 两式相减得， 由中点公式，整理得： ，又， 所以，即， 所以中点的轨迹方程为， 故答案为：. 19．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为 . 【答案】 【分析】利用三角形面积公式及已知可得，再由余弦定理求得，最后由椭圆参数关系求参数，即可得. 【详解】由题设，可得， 又为上顶点，则，故， 所以，则，故标准方程为. 故答案为： 20．（23-24高二上·陕西咸阳·月考）已知双曲线，，分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线上且，则的面积是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义、余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算作答. 【详解】如图， 双曲线的实半轴长，半焦距，有， 在中，由余弦定理得， 即有， 因此，解得， 所以的面积为. 故答案为： 21．设是椭圆上的一点，，分别是该椭圆的左、右焦点.若，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据椭圆定义和长度关系可求得，，利用焦半径公式可构造方程求得点横坐标，进而得到点坐标. 【详解】由椭圆定义可得：， 又，，， 设点横坐标为，由椭圆焦半径公式可得：， 解得：，为椭圆右顶点，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆定义和焦半径公式的应用，关键是熟练掌握椭圆的焦半径公式：左焦半径：；右焦半径：. 22．（2024高二·全国·专题练习）过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 . 【答案】2 【分析】设，利用焦半径公式可得，进而计算可求得. 【详解】设，因为，所以点必在双曲线右支上， 由焦半径公式，，解得，所以， 从而，双曲线的渐近线的斜率为，因为， 所以点也在双曲线的右支上.如图，由图可知，， 所以. 23．如图所示，过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两直线，两直线与双曲线分别交于两点，若，双曲线的离心率为表示不超过的最大整数，则的值为 .    【答案】3 【分析】设，利用焦半径公式及直角三角形性质建立方程化简得，进而，令，构造，利用导数法研究函数单调性求出，即可得，根据函数新定义求解即可. 【详解】设，则，因此. 又，从而，不妨设， 则，令，则. 令，则. 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 又， 所以，于是.所以的值为3. 故答案为：3 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得，设，可得，由已知向量关系可得，从而得到，即，由离心率公式可得答案． 【详解】已知双曲线的渐近线方程为， 双曲线右焦点到渐近线的距离为， 在中，，，则， 设，则，， 因为，则，， 在中，则， 可得，即，即， 所以双曲线离心率． 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 2．已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与在第一象限的交点为，直线与交于另一点．若的面积为，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线与轴正方向的夹角为，利用双曲线的第二定义表示出,，根据的面积以及即可求解. 【详解】设双曲线的右准线与轴的交点为，则， 设直线与轴正方向的夹角为， 由双曲线的第二定义可得， ，， ， 即， 由，①②，可得整理，③ 由①可得，即，④ 将④代入③，整理可得，即. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系，双曲线的第二定义，解题的关键是利用第二定义表示出，，考查了计算能力. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量关系得到，根据椭圆的定义及线段间的关系求出、、，解法一，再利用三角知识求出的值，进而求得的值；解法二，再利用二级结论求出的值，进而求的值. 【详解】如图，由，得． 设，则，，由， 得，． 解法一， ，由，得， 整理得，得，（，舍去） 所以； 解法二， 如下图，直线过椭圆的右焦点， 交椭圆于点，， 椭圆的右准线方程为，根据椭圆的第二定义， 即有，， 设与轴的夹角为，则有， 于是有， 可得 ， ，可得， 同理可得，所以. 根据椭圆的焦半径倒数和公式得， 即， 整理得，得，（ ，舍去） 所以. 故选：A． 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线焦点三角形有关的问题，常利用圆锥曲线的定义及余弦定理求解，有时需要在两个三角形中分别使用余弦定理建立关系式，求解此类问题要重视整体思想的应用，尽量减少不必要的计算． 4．（24-25高二上·云南玉溪·月考）（多选题）已知F是抛物线C：的焦点，直线经过点F交抛物线于A，B两点，则下列说法正确的是（   ） A．以为直径的圆与抛物线的准线相切 B．若，则直线的斜率 C．若，，则为定值 D．若，则的最小值为18 【答案】ACD 【分析】由焦点弦的性质可得，再求得的中点到准线的距离，即可判断A，联立直线与抛物线的方程代入计算，即可判BC，由抛物线的焦半径公式以及基本不等式代入计算，即可判断D 【详解】A：由抛物线的方程可得焦点，准线方程为：， 设，，则的中点， 利用焦点弦的性质可得， 而的中点M到准线的距离， ∴以为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A正确； B：设直线的方程为，， 联立，整理可得：， 可得，， ∵，∴，解得，， ∴，解得，则，因此B不正确，C正确； D：若，则抛物线C：，不妨设，， ∴， 当且仅当，时取等号，因此D正确. 故选：ACD. 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）（多选题）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，自两点向准线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．以为直径的圆与直线相切 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据题目条件和抛物线的性质，逐一判断选项，即可得出结果. 【详解】根据题意抛物线为开口向右的抛物线，，焦点，准线为，设. 对于A，直线过最短的弦为通径，所以A错误； 对于B，以为直径的圆，圆心为的中点，半径， 圆心到准线的距离，又，即， 故圆与直线相切，所以B正确； 设直线的方程为，且有， ，联立得， 则， ，所以，所以C正确； 设直线的倾斜角为，若， 因为，所以，所以， 同理若，则， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 6．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知双曲线：（，）的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由确定与线段的位置关系，求出到渐近线的距离，接着由的关系，结合以及离心率公式即可求解. 【详解】已知双曲线：（，）的渐近线方程为， 双曲线右焦点到渐近线的距离为， 在中，，，所以， 设，则，， 因为， 所以，所以，所以， 在中，， 所以，即，即， 所以双曲线的离心率. 故答案为：.    【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 7．已知双曲线的左、右焦点分别为双曲线上存在M，N两点（在x轴同侧）使得，且与交于P点，则 ，的最小值为 . 【答案】 【分析】第一空，根据对称性转化为同一焦点弦的两条焦半径之间的关系，利用焦半径公式即可求得定值； 第二空，通过相似比求出为定值，即点的轨迹为椭圆的一部分，从而求得的最小值. 【详解】延长交双曲线于点，由可知，点与点关于原点对称，即，设直线的倾斜角为，由焦半径公式可知： ， 所以. 又因为，所以，设， 则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为椭圆的一部分，椭圆方程为， 所以， 故答案为：，. 8．（24-25高二上·全国·课后作业）过椭圆的右焦点作相互垂直的弦．若四边形的面积的取值范围为，则 ． 【答案】2 【分析】先利用余弦定理证明焦点弦长，即可由面积公式，结合三角函数的性质以及放缩法，可得，即可求解. 【详解】先证明：在椭圆中，点为椭圆上一点． 如图，设，则，， ，．    在中，根据余弦定理，有， 由椭圆定义得， 整理得． 在中，， 整理得．所以， ． 设弦所在直线与轴正方向的夹角为，则，， 所以四边形的面积，； ，， ． 故答案为：2    【点睛】关键点点睛：由余弦定理椭圆的焦半径，，得焦点弦长. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展03 圆锥曲线二级结论秒杀选填题（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 通径公式 掌握椭圆、双曲线、抛物线的通径公式. 基础必考点，常出现在小题或者大题第一问 双曲线焦点到渐近线的距离为b 理解双曲线焦点到渐近线的距离为b，会自己推导. 基础必考点，常出现在小题或者大题第一问 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式 理解椭圆、双曲线焦点三角形面积公式，会自己推导. 高频易错点，注意识记公式 中点弦公式（点差法） 掌握利用点差法推导椭圆、双曲线、抛物线的中点弦公式. 基础必考点，常出现在小题或者大题第一问 离心率秒杀公式 掌握椭圆、双曲线的离心率秒杀公式. 重难必考点，记住公式使用的条件 椭圆的焦半径秒杀公式 理解椭圆的焦半径公式. 重难必考点，常出现在小题压轴 双曲线的焦半径秒杀公式 理解双曲线的焦半径公式. 重难必考点，常出现在小题压轴 抛物线的焦半径、焦点弦秒杀公式 理解抛物线的焦半径公式，会自己推导. 高频易错点，常出现在多选题压轴 知识点01 通径 1、通径的定义 （1）焦点弦 过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦. （2）通径 与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径. 2、通径的性质 【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为. 【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为. 性质1、性质2的证明： ①如图1，不妨设过右焦点，且在第一象限，把，代入椭圆方程，得到，，，进一步可得通径长.若过左焦点，同理可得通径的端点坐标为. ②对于双曲线，证明过程同椭圆. ③对于抛物线，如图2，把，带入抛物线方程得到，，通径. 知识点02 焦点三角形 1、椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 证明：设 ． 2、双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 知识点03 中点弦问题（点差法）秒杀公式 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似． 直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有． 两式相减得，所以． 中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得 ． 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 知识点04 离心率秒杀公式 1、椭圆 （1）已知椭圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 （2）以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外) 为顶点 , 则 （3）点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则 当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 2、双曲线 （1）已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 （2）以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率 （3）点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 （4）已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点. 情形1.如图1.若,则 图1 图2 如图2.若，则 知识点05 椭圆、双曲线中的焦点弦、焦半径公式 1、椭圆的焦半径和焦点弦公式 【焦半径形式1】椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦. 【焦半径形式3（过右焦点）】：过椭圆的右焦点的直线交椭圆于,(其中在轴上方),记直线的倾斜角为(即为直线与轴正方向所成的角),有以下性质: ①焦半径的表示 坐标形态:, 角参形态:,； ②过焦点弦长 ；当且仅当时,,此时称为“通径” ③焦半径之比 . 2、双曲线的焦半径和焦点弦公式 【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负） 【焦半径形式3（过右焦点）】双曲线焦半径：过双曲线的右焦点的直线交双曲线的右支于,(其中在轴上方),记直线的倾斜角为(即为直线与轴正方向所成的角),有以下性质: ①焦半径的表示 坐标形态:,； 角参形态:, ②焦点弦长的表示 角参形态:；当且仅当时,,此时称“通径” ③焦半径之比 知识点06 抛物线中的焦点弦、焦半径公式 1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式 已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 ①. ②. ③,. 2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式 ①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：. ②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 . ③若恒过定点. 3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 题型一 通径公式 解｜题｜技｜巧 椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为. 1．已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，满足，，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·期中）已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知椭圆 ，过右焦点的直线交 于 两点，则 的最小值为 . 4．过抛物线的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A，B两点，则以F为圆心，AB为直径的圆的方程是 ． 5．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是 ． 题型二 双曲线焦点到渐近线的距离为b 1．等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（    ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高二下·四川成都·期中）已知F是双曲线的一个焦点，且点F到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 3．（24-25高二上·河北石家庄·期末）设，分别是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线E的一条渐近线的垂线，垂足为P，若为焦距，设双曲线E的离心率为e，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江西南昌·期末）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点在C的渐近线上，过点F作，垂足为，，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 题型三 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式 解｜题｜技｜巧 1、椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 2、双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 1．（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 3．（25-26高二上·山西吕梁·月考）已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是 . 4．（25-26高二上·云南玉溪·月考）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 ． 题型四 中点弦公式（点差法） 1．（24-25高二上·福建泉州·期末）斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北·期末）已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏连云港·月考）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东深圳·月考）已知中心在原点，半焦距为 4 的椭圆 被直线方程 截得的弦的中点横坐标为-4，则椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 6．椭圆的动弦所在直线的斜率为2，则中点的轨迹方程是 ． 题型五 离心率秒杀公式 1．已知、是双曲线的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为（ ） A. B. C. D.2 2．（24-25高二上·重庆铜梁·月考）若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 3．设、是椭圆的左、右焦点，过且斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，，则椭圆C的离心率为_______. 题型六 椭圆的焦半径秒杀公式 1．（24-25高二上·江苏南通·月考）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（   ）    A． B． C． D．（0，1） 2．（多选题）已知椭圆：（）的长轴顶点分别为，，左、右焦点分别为，，斜率为正的直线过点，交椭圆的上半部分于点．若椭圆上存在点，使得且，则椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的焦点为，，若点在椭圆上，则满足（其中为坐标原点）的点的个数为 ． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则 ． 5．若直线：（其中）与圆相切，与椭圆：交于点，，为其右焦点，则的周长为 . 6．已知椭圆方程为：，为椭圆过右焦点的弦，则的最小值为 ． 题型七 双曲线的焦半径秒杀公式 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则 . 4．过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ． 题型八 抛物线的焦半径、焦点弦秒杀公式 1．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 2．（多选题）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，在上的射影分别为，则下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B． C． D．若，则直线的斜率为 3．（23-24高二下·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，交准线于点，则下面结论正确的是：（    ） A．以为直径的圆与轴相切 B． C． D．的最小值为 4．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为5，则 . 5．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）过点作直线与交于A，B两点，若，则直线的倾斜角为 . 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．2 C． D．1 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线（，）的焦点到渐近线的距离等于，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．5 3．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京·月考）若直线与椭圆交于点A，B，线段AB的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C．2 D．-2 5．（24-25高二上·广东肇庆·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点（点在点上方），若，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·湖南·开学考试）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作斜率为正且与双曲线的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．已知动点P在双曲线C：上，双曲线C的左、右焦点分别为，，则下列结论： ①C的离心率为2；             ②C的焦点弦最短为6； ③动点P到两条渐近线的距离之积为定值； ④当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知是椭圆的左、右焦点，为上第一象限内一点，的平分线经过抛物线的焦点，且与轴交于点，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二上·全国·专题练习）（多选题）以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为（　　） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·江苏南京·月考）（多选题）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的中点到轴的距离为 C． D． 13．（24-25高二上·福建南平·期末）（多选题）已知直线经过拋物线：的焦点，且与交于，两点.记点为坐标原点，直线为的准线，则以下结论正确的是（   ） A． B．以为直径的圆与相切 C． D．的面积为 14．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么 ． 15．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ． 16．过点作直线与抛物线相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是 ． 17．（23-24高二下·广西南宁·期中）抛物线的焦点为，直线与交于两点，则 . 18．双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是 ． 19．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，且的面积为，则C的标准方程为 . 20．（23-24高二上·陕西咸阳·月考）已知双曲线，，分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线上且，则的面积是 . 21．设是椭圆上的一点，，分别是该椭圆的左、右焦点.若，则点的坐标为 . 22．（2024高二·全国·专题练习）过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 . 23．如图所示，过双曲线的一个焦点作平行于渐近线的两直线，两直线与双曲线分别交于两点，若，双曲线的离心率为表示不超过的最大整数，则的值为 .    期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与在第一象限的交点为，直线与交于另一点．若的面积为，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·云南玉溪·月考）（多选题）已知F是抛物线C：的焦点，直线经过点F交抛物线于A，B两点，则下列说法正确的是（   ） A．以为直径的圆与抛物线的准线相切 B．若，则直线的斜率 C．若，，则为定值 D．若，则的最小值为18 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）（多选题）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，自两点向准线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．以为直径的圆与直线相切 C． D．若，则 6．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知双曲线：（，）的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为 . 7．已知双曲线的左、右焦点分别为双曲线上存在M，N两点（在x轴同侧）使得，且与交于P点，则 ，的最小值为 . 8．（24-25高二上·全国·课后作业）过椭圆的右焦点作相互垂直的弦．若四边形的面积的取值范围为，则 ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $