2.3 导数的计算-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（北师大版）

数学　选择性必修　第二册　作业与测评（北师） 知识点一　利用定义求函数的导数 1．函数y＝f(x)＝x3＋2的导数f′(x)＝(　　) A．3x2 B．3x2＋2 C．x3 D．3x3 答案：A 解析：因为＝＝3x2＋3xΔx＋(Δx)2，所以当Δx趋于0时，3x2＋3xΔx＋(Δx)2趋于3x2，即f′(x)＝3x2．故选A． 2．求函数y＝f(x)＝2x2＋5x＋3的导数f′(x)，并求f′(－1)，f′(0)，f′(1)． 解：因为＝ ＝ ＝4x＋2Δx＋5， 当Δx趋于0时，得到导数f′(x)＝ ＝(4x＋2Δx＋5)＝4x＋5． 可得f′(－1)＝4×(－1)＋5＝1，f′(0)＝4×0＋5＝5，f′(1)＝4×1＋5＝9． 知识点二　求导公式的直接运用 3．给出下列结论：①(eln x)′＝ln x；②′＝cos；③若f(x)＝，则f′(3)＝－；④′＝－．其中正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：C 解析：因为eln x＝x，所以(eln x)′＝(x)′＝1，所以①错误；因为sin＝，而′＝0，所以②错误；因为′＝(x－2)′＝－2x－3，所以f′(3)＝－，所以③正确；因为′＝′＝－x－＝－，所以④正确． 4．求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝logx； (3)y＝；(4)y＝22x． 解：(1)y′＝()′＝(x)′＝x． (2)y′＝＝－． (3)y′＝′＝(x－5)′＝－5x－6＝－． (4)y′＝(22x)′＝(4x)′＝4xln 4． 知识点三　利用导数公式解决切线问题 5．已知直线y＝kx是曲线y＝tanx的切线，则k＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：C 解析：对函数y＝tanx求导，得y′＝，设切点坐标为(x0，tanx0)，则切线方程为y－tanx0＝(x－x0)，将(0，0)代入，得x0＝0，故k＝1．故选C． 6．[多选]若直线l为曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线，则直线l的斜率可能是(　　) A．0 B．2 C． D． 答案：AD 解析：曲线C1：y＝x2，则y′＝2x，曲线C2：y＝x3，则y′＝3x2，设直线l与曲线C1的切点坐标为(a，a2)，则切线方程为y＝2ax－a2．设直线l与曲线C2的切点坐标为(m，m3)，则切线方程为y＝3m2x－2m3，∴2a＝3m2，a2＝2m3，∴m＝0或m＝，∴直线l的斜率为0或． 7．已知曲线f(x)＝． (1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1，0)的切线方程． 解：因为f(x)＝，所以f′(x)＝－． (1)显然P(1，1)为切点，所求切线的斜率为k＝f′(1)＝－1． 所以曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)， 即y＝－x＋2． (2)显然Q(1，0)不在曲线f(x)＝上， 则可设过该点的切线的切点为A， 那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－． 则切线方程为y－＝－(x－a)．① 将Q(1，0)代入切线方程，得0－＝－(1－a)． 解得a＝，代入方程①，整理可得切线方程为y＝－4x＋4． 一、选择题 1．函数f(x)＝2x＋的导数f′(x)＝(　　) A．2－ B．2＋ C．2x－ D．2＋ln x 答案：A 解析：f′(x)＝ ＝ ＝＝2－．故选A． 2．若f(x)＝log2x，则f′(2)＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：因为f′(x)＝，所以f′(2)＝．故选C． 3．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值为(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 答案：A 解析：f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1，又f′(－1)＝－2，所以α＝2．故选A． 4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为(　　) A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 答案：C 解析：∵y＝ln x的导数y′＝，∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)，代入y＝x＋b，得b＝ln 2－1． 5．[多选]下列求导运算正确的是(　　) A．(4x)′＝4xln x B．()′＝ C．(cosx)′＝－sinx D．(log2e)′＝0 答案：BCD 解析：(4x)′＝4xln 4，故A错误；()′＝(x)′＝x－＝，故B正确；(cosx)′＝－sinx，故C正确；因为log2e是常数，所以(log2e)′＝0，故D正确．故选BCD． 二、填空题 6．函数f(x)满足条件f(x)＝f′(x)，写出一个满足条件的函数的解析式为________． 答案：f(x)＝ex(答案不唯一) 解析：若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，f(x)＝f′(x)，满足条件． 7．已知点P在曲线y＝sinx上，直线l是以点P为切点的切线，则a＝________，直线l的方程为________． 答案：　x－2y＋1－＝0 解析：由题意，得a＝sin＝．因为y＝sinx，所以y′＝cosx，所以y′|x＝＝cos＝，故直线l的方程为y－＝，即x－2y＋1－＝0． 8．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2…xn的值为________． 答案： 解析：对y＝xn＋1(n∈N＋)求导得y′＝(n＋1)xn．令x＝1，得在点(1，1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1x2…xn＝×××…××＝． 三、解答题 9．求下列函数的导数： (1)y＝x8；(2)y＝； (3)y＝x；(4)y＝logx． 解：(1)y′＝8x7． (2)y′＝ln ＝－ln 3． (3)∵y＝x＝x，∴y′＝x． (4)y′＝＝－． 10．已知函数y＝f(x)＝x2＋2x＋3． (1)利用导数的定义求f′(x)； (2)分别求曲线y＝f(x)在x＝－1和x＝0处的切线方程． 解： (1)f′(x)＝ ＝ ＝(2x＋Δx＋2) ＝2x＋2． (2)因为f(－1)＝2，f′(－1)＝0， 所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y－2＝0×(x＋1)，即y＝2． 因为f(0)＝3，f′(0)＝2， 所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝2×(x－0)，即y＝2x＋3． 6 学科网（北京）股份有限公司 $