课时作业16 导数的计算（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十六)　导数的计算 　　　　　　　　　　　　　　　 [基础达标练] 1．函数y＝3x在x＝2处的导数为(　　) A．9 B．6 C．9ln 3 D．6ln 3 解析：选C　y′＝(3x)′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3. 2．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为(　　 ) A．(1，1) B．(－1，－1) C．(－1，1) D．(1，1)或(－1，－1) 解析：选D　切线的斜率k＝tan π＝－1， 设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1， 又f′(x)＝－，∴－＝－1， ∴x0＝1或－1， ∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1).故选D. 3．若函数f(x)＝cos x，则f′＋f的值为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 解析：选A　因为f(x)＝cos x， 所以f′(x)＝－sin x. 所以f′＋f＝－sin ＋cos ＝0. 4．(多选)下列结论中，正确的是(　　) A．若y＝，则y′＝－ B．若y＝，则y′＝ C．若y＝，则y′＝－2x-3 D．若f(x)＝3x，则f′(1)＝3 解析：选ACD　由(xn)′＝nxn-1知， 选项A，y＝＝x-3， 则y′＝－3x-4＝－； 选项B，y＝＝x，则y′＝x－≠； 选项C，y＝＝x-2，则y′＝－2x-3； 选项D，由f(x)＝3x知f′(x)＝3， ∴f′(1)＝3. ∴选项A、C、D正确． 5．已知f(x)＝ln x，且f′(x0)＝，则x0＝________． 解析：f′(x)＝，所以f′(x0)＝， 又f′(x0)＝，所以＝， 即x0＝1. 答案：1 6．若曲线f(x)＝，g(x)＝xa在点P(1，1)处的切线分别为l1，l2，且l1⊥l2，则a的值为________． 解析：f′(x)＝，g′(x)＝axa-1，所以两条曲线在点P处的斜率分别为k1＝，k2＝a， 因为l1⊥l2，所以k1k2＝＝－1， 所以a＝－2. 答案：－2 7．求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝－2sin ；(3)y＝log2x2－log2x. 解：(1)y′＝()′＝(x)′＝x-1 ＝x－＝ . (2)∵y＝－2sin ＝2sin ＝2sin cos ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x. (3)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝. 8．设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 解：如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小． 设与直线y＝x平行的直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0). 因为y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0. 代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1). 所以点P到直线y＝x的最小距离为＝. [能力提升练] 9．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　 ) A．e2 B．2e2 C．e2 D． 解析选D　因为y′＝ex，所以切线的斜率k＝e2， 所以切线方程为y＝e2x－e2，它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－e2)，(1，0)， 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 10．(多选)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中不具有T性质的是(　　) A．y＝sin x B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x3 解析：选BCD　A．对于函数y＝sin x，y′＝cos x，设图象上存在这样两点(x1，sin x1)，(x2，sin x2)，那么两切线的斜率k1＝cos x1，k2＝cos x2，令k1·k2＝cos x1·cos x2＝－1，则x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(x2＝2kπ，x1＝2kπ＋π)，k∈Z，即存在这样的两点，所以具有T性质． B．对于函数y＝ln x，y′＝，k1·k2＝·，而x1>0，x2>0，所以k1·k2≠－1，所以函数y＝ln x不具有T性质． C．对于函数y＝ex，y′＝ex，k1＝ex1，k2＝ex2，显然均大于0.所以函数y＝ex不具有T性质． D．对于函数y＝x3，y′＝3x2，k1＝3x，k2＝3x，显然k1·k2≠－1，所以函数y＝x3不具有T性质． 11．点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是________． 解析：与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小． 设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1， ∴x0＝，y0＝， 即P到直线y＝x－1的距离最短． ∴d＝＝. 答案： 12．设曲线y＝xn+1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·x2021的值为________． 解析：对y＝xn+1(n∈N＋)求导得y′＝(n＋1)xn，令x＝1，得在点(1，1)处的切线的斜率k＝n＋1，在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1). 因为切线与x轴的交点的横坐标为xn，令y＝0，得xn＝，所以x1·x2·…·x2021＝×××…××＝. 答案： 13．求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公共切线的斜率． 解：(1)当公共切线切点相同时，对C1，C2分别求导得y′＝2x，y′＝3x2.令2x＝3x2，解得x＝0或x＝. ①当x＝0时，2x＝3x2＝0； ②当x＝时，2x＝3x2＝. 此时C1的切线方程为y－＝，而C2的切线方程为y－＝.显然两者不是同一条切线，所以x＝舍去． (2)当公共切线切点不同时，在曲线C1、C2上分别任取一点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有y′＝2x1，y′＝3x. ∵AB的斜率为kAB＝， ∴有2x1＝3x＝. 由2x1＝3x，得x1＝x，代入3x＝中， 解得x2＝，x1＝. 此时公共切线的斜率为2x1＝. 综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，. [素养拓展练] 14．点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C：x2 ＝2y上的不同两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P(x0，y0).求证：x0是x1与x2的等差中项． 证明：对y＝x2，求导，根据导数的定义可得y′＝x， 所以直线PA：y＝x1(x－x1)＋y1， 即y＝x1x－x， 同理，直线PB：y＝x2x－x， 因为两条切线交于点P(x0，y0)， 所以令x1x－x＝x2x－x， 解得x0＝. 所以x0是x1与x2的等差中项． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$