2.2.1-2.2.2 导数的概念 导数的几何意义-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（北师大版）

数学　选择性必修　第二册　作业与测评（北师） 2．1　导数的概念 2．2　导数的几何意义 知识点一　导数的定义 1．函数f(x)在x0处可导，则 (　　) A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0，h均无关 答案：B 解析：由导数的概念可知， ＝f′(x0)，仅与x0有关，与h无关，故选B． 2．若f′(x0)＝1，则＝(　　) A． B．－ C．1 D．－1 答案：B 解析：∵f′(x0)＝ ＝1，∴ ＝－1， ∴＝×(－1)＝－． 3．设函数f(x)在x＝x0附近有定义，且f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则f′(x0)＝(　　) A．－a B．－b C．a D．b 答案：C 解析：∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，∴＝a＋bΔx． ∴ ＝ (a＋bΔx)＝a．∴f′(x0)＝a．故选C． 知识点二　导数的实际意义 4．柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的．铺路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体，如果开始加热后第x h的沥青温度(单位：℃)为y＝f(x)＝80x2＋20，0≤x≤1，求f′(0．25)，并说明它的实际意义． 解：因为f(x)＝80x2＋20，0≤x≤1， 所以＝ ＝ ＝＝40＋80Δx． 所以f′(0．25)＝(40＋80Δx)＝40． 它表示在开始加热后的第0．25 h附近，沥青的温度以40 ℃/h的速率上升． 知识点三　导数的几何意义 5．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是(　　) 答案：D 解析：由f′(x1)>0，f′(x2)<0，可知f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．对于A，f(x)的图象在x1和x2处切线的斜率都为负；对于B，f(x)的图象在x1处切线的斜率为负，在x2处切线的斜率为正；对于C，f(x)的图象在x1和x2处切线的斜率都为正；对于D，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．故选D． 6．如图，点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))在函数f(x)的图象上，且x2<x1，则f′(x1)与f′(x2)的大小关系是(　　) A．f′(x1)>f′(x2) B．f′(x1)<f′(x2) C．f′(x1)＝f′(x2) D．不能确定 答案：A 解析：如图，根据导数的几何意义，f′(x1)为曲线f(x)在点A处切线的斜率，设该斜率为k1，f′(x2)为曲线f(x)在点B处切线的斜率，设该斜率为k2，由图象可得0>k1>k2，即有f′(x1)>f′(x2)． 知识点四　曲线的切线问题 7．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：设切点坐标为(x0，1)，则f′(x0)＝ ＝(4x0＋2Δx－4)＝4x0－4＝0，∴x0＝1，即切点坐标为(1，1)．∴2－4＋a＝1，即a＝3． 8．求曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线方程． 解：联立两曲线方程，得解得 即交点坐标为(1，1)． 因为曲线y＝在点(1，1)处的切线斜率为 y′|x＝1＝＝＝－1， 所以曲线y＝在点(1，1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2． 因为曲线y＝x2在点(1，1)处的切线斜率为 y′|x＝1＝＝ ＝(2＋Δx)＝2， 所以曲线y＝x2在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1． 一、选择题 1．若函数f(x)的图象过原点，f(x)在x＝0处可导，且满足＝－1，则f′(0)＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：B 解析：∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝＝＝－1．故选B． 2．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值为(　　) A．－4 B．2 C．－2 D．±2 答案：D 解析：因为f′(m)＝＝－，所以有－＝－，m2＝4，解得m＝±2． 3．一物体的运动满足曲线方程s(t)＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，其实际意义是(　　) A．物体5 s内共走过42 m B．物体每5 s运动42 m C．物体从开始运动到第5 s运动的平均速度是42 m/s D．物体以t＝5 s时的瞬时速度运动的话，每经过1 s，物体运动的路程为42 m 答案：D 解析：由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5 s时的瞬时速度为42 m/s．故选D． 4．已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) 答案：B 解析：由导数的几何意义可得0<f′(3)<f′(2)．f(3)－f(2)＝表示直线AB的斜率．由题图可知，直线AB的斜率大于f′(3)，小于f′(2)．故选B． 5．[多选]设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标可能为(　　) A．(1，0) B．(2，8) C．(－1，－4) D．(－1，4) 答案：AC 解析：f′(x)＝ ＝＝3x2＋1．设P0(x0，y0)，由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则有f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，所以点P0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．故选AC． 二、填空题 6．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，f(2))处的切线为l，则f(2)＝________，f′(2)＝________． 答案：　－ 解析：由题图可知，函数y＝f(x)的图象在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝－x＋，所以f(2)＝，f′(2)＝－． 7．已知直线x＋y＝b是函数f(x)＝ax＋的图象在点(1，m)处的切线，则a＋b－m＝________． 答案：2 解析：由题意，知m＝a＋2，1＋m＝b．因为f′(1)＝ ＝＝a－2，所以曲线f(x)在点(1，m)处的切线斜率为a－2．由a－2＝－1，得a＝1，m＝3，b＝4，所以a＋b－m＝2． 8．过点P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线方程是________． 答案：2x－y＋4＝0 解析：曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线斜率k＝＝(3Δx＋2)＝2．∴过点P(－1，2)的直线的斜率为2，由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0．∴所求直线方程为2x－y＋4＝0． 三、解答题 9．已知函数f(x)＝求f′(1)·f′(－1)的值． 解：当x＝1时，＝＝． 由导数的定义，得f′(1)＝＝． 当x＝－1时， ＝＝Δx－2． 由导数的定义，得f′(－1)＝(Δx－2)＝－2． 所以f′(1)f′(－1)＝×(－2)＝－1． 10．已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标． 解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)， ∵f′(x)＝ ＝ ＝[3x2－4x＋(3x－2)Δx＋(Δx)2] ＝3x2－4x， ∴k＝f′(x0)＝3x－4x0． 由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4， 解得x0＝－或x0＝2， ∴切点的坐标为或(2，3)． 当切点为时，有＝4×＋a， 解得a＝． 当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a， 解得a＝－5． ∴当a＝时，切点坐标为； 当a＝－5时，切点坐标为(2，3)． 7 学科网（北京）股份有限公司 $