2.1.1 平均变化率-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（北师大版）

数学　选择性必修　第二册　作业与测评（北师） 1．1　平均变化率 知识点一　平均速度 1．一质点的位移s与时间t之间的关系是s＝4－2t2，则时间t从1变为1＋Δt的平均速度为(　　) A．2Δt＋4 B．－2Δt＋4 C．2Δt－4 D．－2Δt－4 答案：D 解析：平均速度＝＝＝－2Δt－4． 2．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．6 答案：B 解析：由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1．故选B． 3．已知某物体运动的位移x(单位：m)是时间t(单位：s)的函数，而且t＝0．2时，x＝0．32；t＝0．7时，x＝4．52． (1)当时间t从0．2变为0．7时，这个物体的平均速度是多少？ (2)估计出t＝0．4时物体的位移． 解：(1)所求平均速度为＝＝8．4(m/s)． (2)将t在[0．2，0．7]上的图象看成直线，则由(1)可知，直线的斜率为8．4，且直线通过点(0．2，0．32)，因此x与t的关系可近似地表示为x－0．32＝8．4(t－0．2)． 在上式中令t＝0．4，可求得x＝2，即物体的位移可以估计为2 m． 知识点二　函数的平均变化率 4．函数f(x)＝x3的自变量x从－1变为1的平均变化率为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：C 解析：由函数的平均变化率的公式，可得＝＝＝1．故选C． 5．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的自变量x从－2变为1的平均变化率为________，函数f(x)的自变量x从－2变为3的平均变化率为________． 答案：　 解析：从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)的自变量x从－2变为1的平均变化率为＝＝，从－2变为3的平均变化率为＝＝． 6．四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝，当自变量x从1变为1．3时，平均变化率最大的是________(填序号)． 答案：③ 解析：当自变量x从1变为1．3时，函数y＝x的平均变化率k1＝1，函数y＝x2的平均变化率k2＝2．3，函数y＝x3的平均变化率k3＝3．99，函数y＝的平均变化率k4＝－．∵k3>k2>k1>k4，∴当自变量x从1变为1．3时，函数y＝x3的平均变化率最大． 知识点三　平均变化率的实际应用 7．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，上面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？ 解：山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝＝，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝＝，∴hBC>hAB． ∴山路从B到C比从A到B要陡峭得多． 一、选择题 1．函数y＝f(x)＝的自变量x从变为2的平均变化率为(　　) A．2 B． C． D． 答案：B 解析：由题意，知Δy＝f(2)－f＝－＝2－1＝1，∴函数f(x)＝的自变量x从变为2的平均变化率为＝＝．故选B． 2．质点运动规律s(t)＝t2＋3，当时间t从3变为3．3时，质点运动的平均速度为(　　) A．6．3 B．36．3 C．3．3 D．9．3 答案：A 解析：s(3)＝12，s(3．3)＝13．89，∴平均速度＝＝＝6．3．故选A． 3．已知函数y＝f(x)＝－x2＋2x，当自变量x从2变为2＋Δx时，函数f(x)的平均变化率为(　　) A．2－Δx B．－2－Δx C．2＋Δx D．(Δx)2－2Δx 答案：B 解析：＝ ＝ ＝ ＝＝－Δx－2．故选B． 4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，当时间t从t0变为t1，从t1变为t2，从t2变为t3时，平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为(　　) A．1>2>3 B．3>2>1 C．2>1>3 D．2>3>1 答案：B 解析：1＝＝kOA，2＝＝kAB，3＝＝kBC，由图象知kBC＞kAB＞kOA．故选B． 5．[多选]一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h(t)＝2t2＋2t，则下列说法正确的是(　　) A．前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δh＝20 m B．当时间t从2变为3时，球滚下的垂直距离的增量Δh＝12 m C．前3 s内球在垂直方向上的平均速度为8 m/s D．当时间t从2变为3时，球在垂直方向上的平均速度为12 m/s 答案：BCD 解析：前3 s内，Δt＝3 s，Δh＝h(3)－h(0)＝24 m，此时球在垂直方向上的平均速度为＝＝8 m/s，A错误，C正确；当时间t从2变为3时，Δt＝1 s，Δh＝h(3)－h(2)＝12 m，此时球在垂直方向上的平均速度为＝＝12 m/s，B，D正确．故选BCD． 二、填空题 6．已知曲线y＝5x2＋3上的两点P(1，8)和Q，点Q的横坐标为1＋Δx，则割线PQ的斜率是________(用含Δx的式子表示)． 答案：10＋5Δx 解析：割线PQ的斜率kPQ＝＝＝10＋5Δx． 7．一质点的位移s与时间t之间的关系为s＝t2＋3，当时间t从1变为m时，该质点运动的平均速度为3，则m的值为________． 答案：2 解析：由已知得＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2． 8．如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则下列说法正确的是________(填序号)． ①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度； ③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度． 答案：②③ 解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故①错误，②正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为．因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故③正确，④错误． 三、解答题 9．已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝3x，f4(x)＝x3，当自变量x从2变为4时，分别计算这四个函数的平均变化率，并比较它们的大小． 解：当自变量x从2变为4时，设fn(x)的平均变化率为kn，则k1＝＝＝6，k2＝＝＝6，k3＝＝＝36，k4＝＝＝28．所以当自变量x从2变为4时，平均变化率由大到小依次为k3>k4>k2＝k1． 10．路灯距地面8 m，一个身高为1．6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上射影点C沿某直线离开路灯． (1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式； (2)求人离开路灯的第一个10 s内身影的长度y相对于x的平均变化率． 解：(1)如图所示，设人从点C运动到点B的路程为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m， 由于CD∥BE，则＝， 即＝，所以y＝x． (2)84 m/min＝1．4 m/s，Δx＝x2－x1＝1．4×10－1．4×0＝14， 所以＝＝， 即人离开路灯的第一个10 s内身影的长度y相对于x的平均变化率为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $