1.3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（北师大版）

数学　选择性必修　第二册　作业与测评（北师） 3．2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 知识点一　等比数列前n项和的基本计算 1．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1＝(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 答案：A 解析：由已知得S5＝＝11a1＝44，所以a1＝4．故选A． 2．在等比数列{an}中，其前n项和为Sn． (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q； (3)已知S4＝1，S8＝17，求an． 解：(1)由题意知 解得或 ∴Sn＝×5n＋1－或Sn＝． (2)由a1＝≠an，得q≠1，∴Sn＝， 则11＝，∴q＝－2， 又由an＝a1qn－1，得16＝×(－2)n－1， ∴n＝5． (3)若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意， ∴q≠1，∴S4＝＝1，S8＝＝17， 两式相除，得＝17＝1＋q4， ∴q＝2或－2． 当q＝2时，a1＝， 当q＝－2时，a1＝－， ∴an＝·2n－1或an＝－·(－2)n－1． 知识点二　等比数列前n项和性质的应用 3．等比数列{an}中，已知前3项和为4，前6项和为36，则此等比数列的公比q为(　　) A．2 B．4 C．2或－2 D． 答案：A 解析：∵S3＝4，S6＝S3＋q3S3＝4＋4q3＝36，∴q＝2． 4．[多选]在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　　) A．q＝2 B．数列{Sn＋2}是等比数列 C．S8＝510 D．S10＝31S5 答案：ABC 解析：因为数列{an}为等比数列，又a1a4＝32，所以a2a3＝32，又a2＋a3＝12，所以或又公比q为整数，则即an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2．对于A，由上述可得q＝2，A正确；对于B，Sn＋2＝2n＋1，＝＝2，则数列{Sn＋2}是等比数列，B正确；对于C，S8＝29－2＝510，C正确；对于D，由等比数列前n项和的性质可得，＝q5＝25＝32，所以S10＝33S5，D错误．故选ABC． 5．已知等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________． 答案：24 解析：设M＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，N＝a1＋a3＋a5＋…＋a79，则＝q＝3，即M＝3N．∵M＋N＝S80＝32，∴M＝32，解得M＝24，即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24． 6．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________． 答案：2 解析：由题意，得解得S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝＝2． 7．正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20＝________． 答案：40 解析：由S30＝13S10，知q≠1，由得由等比数列的前n项和的性质得S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，则(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)，解得S20＝40或S20＝－30(舍去)． 8．在等比数列{an}中，前n项和为2，紧接着后面的2n项和为12，再紧接着后面的3n项和S是多少？ 解：设数列{an}的公比为q，首项为a1，显然q≠1，则 解得或 当n为偶数时，只有qn＝2，＝－2符合题意， 故S＝－(2＋12)＝(－2)×(1－26)－14＝112； 当n为奇数时，qn＝2，＝－2或qn＝－3，＝， 相应地，有S＝－(2＋12)＝(－2)×(1－26)－14＝112或S＝－(2＋12)＝[1－(－3)6]－14＝－378． 故所求的和为112或－378． 知识点三　等比数列前n项和性质的实际应用问题 9．某单位制作了一个热气球用于广告宣传．已知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，求该气球上升到70米至少要经过多少分钟． 解：由题意，知热气球在每分钟上升的高度构成等比数列{an}，则an表示热气球在第n分钟上升的高度(单位：米)，a1＝30，公比q＝． 经过n分钟，热气球上升的总高度 Sn＝＝＝90×． 因为S3＝90×≈63．3＜70， S4＝90×≈72．2＞70， 所以该气球至少要经过4分钟才能上升到70米． 10．新能源汽车的发展有着诸多的作用，不仅能够帮助国家减少对石油的依赖，同时还能够减轻环境的污染．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆． (1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)(不必写出n的范围)； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值． 解：(1)设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量， 依题意，数列{an}是首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列，{bn}是首项为400，公差为a的等差数列，于是得{an}的前n项和Sn＝＝256，{bn}的前n项和Tn＝400n＋a， 所以经过n年，该市被更换的公交车总数为S(n)＝Sn＋Tn＝256＋400n＋a． (2)若计划7年内完成全部更换，则S(7)≥10000， 于是得256×＋400×7＋a≥10000， 即21a≥3082，解得a≥146， 而a∈N＋，所以a的最小值为147． 一、选择题 1．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋S3＝0，则公比q＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案：A 解析：因为a2＋S3＝0，所以a1q＋(a1＋a1q＋a1q2)＝a1(1＋2q＋q2)＝a1(1＋q)2＝0，因为a1≠0，所以q＝－1．故选A． 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S9＝39，则S6＝(　　) A．24或－16 B．18或－3 C．12或－9 D．36或－12 答案：C 解析：∵{an}为等比数列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，设S6＝x，则(x－3)2＝3(39－x)，解得x＝12或－9． 3．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5＝(　　) A．33 B．72 C．84 D．189 答案：C 解析：∵S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，∴q2＋q－6＝0，又q>0，∴q＝2．∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22×21＝84．故选C． 4．设Sn是等比数列{an}的前n项和，公比q＞0，则Sn＋1an与Snan＋1的大小关系是(　　) A．Sn＋1an＞Snan＋1 B．Sn＋1an＜Snan＋1 C．Sn＋1an≥Snan＋1 D．Sn＋1an≤Snan＋1 答案：A 解析：当q＝1时，Sn＋1an＝(n＋1)a，Snan＋1＝na，Sn＋1an－Snan＋1＝a＞0．当q＞0且q≠1时，Sn＋1an－Snan＋1＝－＝＝aqn－1＞0．∴Sn＋1an＞Snan＋1．综上可得，Sn＋1an＞Snan＋1．故选A． 5．[多选]已知等比数列{an}，其前n项和为Sn，若a1＝1，a5＝a2，则下列说法正确的是(　　) A．{an}的公比为 B．S4＝ C．存在正整数n使得Sn为 D．数列{Sn－2}是等比数列 答案：ABD 解析：设{an}的公比为q，∵a5＝a2，且a5＝a2q3，∴q3＝，∴q＝，A正确；∵{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴Sn＝＝2－，S4＝2－＝，B正确；令Sn＝，即2－＝，得2n＝－4，该方程无解，∴不存在正整数n使得Sn为，C不正确；Sn－2＝－，＝＝，∴数列{Sn－2}是等比数列，D正确．故选ABD． 二、填空题 6．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于________． 答案：6 解析：设每天植树的棵数构成的数列为{an}，由题意可知，{an}是首项为2，公比为2的等比数列，可得≥100，即2n≥51．而25＝32，26＝64，n∈N＋，所以需要的最少天数n＝6． 7．已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N＋，总有＝，则＝________． 答案：9 解析：设{an}，{bn}的公比分别为q，q′，∵＝，∴n＝1时，a1＝b1．n＝2时，＝＝．n＝3时，＝＝7，∴2q－5q′＝3，7(q′)2＋7q′－q2－q＋6＝0，解得或(舍去)，∴＝＝9． 8．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S4－2S2＝2，则S6－S4的最小值为________． 答案：8 解析：在等比数列{an}中，根据等比数列的性质，可得S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，所以(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，所以S6－S4＝．因为S4－2S2＝2，即S4－S2＝S2＋2，所以S6－S4＝＝S2＋＋4，又S2>0，所以S6－S4＝S2＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当S2＝，即S2＝2时，等号成立，所以S6－S4的最小值为8． 三、解答题 9．为保护我国的稀土资源，国家自2024年起实施稀土出口管制．某矿区计划从2026年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%． (1)以2026年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； (2)国家计划10年后终止该矿区的出口，且10年的出口总量不能超过80吨，问2026年最多出口多少吨？(0．910≈0．35，精确到0．1) 解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列， 且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0．9， ∴an＝a·0．9n－1． (2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0．910)． ∵S10≤80，∴10a(1－0．910)≤80， 即a≤≈≈12．3． 故2026年最多出口12．3吨． 10．已知等比数列前n项、前2n项、前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)． 证明：证法一：设此等比数列的公比为q，首项为a1， 当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1， ∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a， Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a， ∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)． 当q≠1时，Sn＝(1－qn)， S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)， ∴S＋S＝[(1－qn)2＋(1－q2n)2] ＝(1－qn)2(2＋2qn＋q2n)． 又Sn(S2n＋S3n) ＝(1－qn)(2－q2n－q3n) ＝(1－qn)2(2＋2qn＋q2n)， ∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)． 证法二：根据等比数列的性质有 S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)， S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn， ∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)， Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n)． ∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)． 8 学科网（北京）股份有限公司 $