1.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（北师大版）

数学　选择性必修　第二册　作业与测评（北师） 第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 知识点一　等差数列前n项和性质的应用 1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 答案：B 解析：由题意知S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝45．故选B． 2．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为{an}，{bn}为等差数列，所以S15＝＝15a8，T15＝＝15b8，所以＝＝＝．故选D． 3．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2025，－＝－5，则S2025＝________． 答案：－2025 解析：∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴是等差数列，设其公差为d，∵－＝－5，∴－5d＝－5，解得d＝1．∵a1＝－2025，∴＝－2025，∴＝－2025＋(n－1)×1＝－2026＋n，∴＝－2026＋2025＝－1，∴S2025＝－2025． 知识点二　等差数列前n项和的最值问题 4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15>0，S16<0，则Sn取最大值时n的值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．13 答案：C 解析：∵S15＝＝15a8>0，S16＝＝8(a8＋a9)<0，∴a8>0，a9<0，因此，当n＝8时，Sn取最大值．故选C． 5．[多选]等差数列{an}中，S6<S7，S7>S8，则下列结论中正确的是(　　) A．d<0 B．S9<S6 C．a7是数列{an}中最大的项 D．S7是Sn中最大的值 答案：ABD 解析：由S6<S7，S7>S8，得a7>0，a8<0，d<0成立，数列{an}中最大的项是a1，A正确，C错误；S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，S9<S6，B正确；S7是Sn中最大的值成立，D正确．故选ABD． 6．在等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，a5＝3a7，前n项和为Sn，若Sn取得最大值，则n＝________． 答案：7或8 解析：在等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，∵a5＝3a7，∴a1＋4d＝3(a1＋6d)，∴a1＝－7d，∴Sn＝n(－7d)＋d＝(n2－15n)＝－d，∴n＝7或8时，Sn取得最大值． 知识点三　等差数列奇(偶)项和问题 7．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：设该等差数列为{an}，其首项为a1，前n项和为Sn，则S奇＝，S偶＝，∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝．故选B． 8．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________． 答案：3 解析：由等差数列前n项和的性质，得S偶－S奇＝×d(d为该数列的公差)，即30－15＝5d，解得d＝3． 知识点四　等差数列前n项和在实际中的应用 9．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是(　　) A．174斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤 答案：B 解析：用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小分到的绵数，由题意知，数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a1＋×17＝996，解得a1＝65，∴a8＝65＋7×17＝184．故选B． 10．从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售．4月1日该款服装售出10件，第二天售出25件，第三天售出40件，以后每一天售出的服装都比前一天多15件，直到4月12日日销售量达到最大，然后每一天售出的服装都比前一天少9件． (1)记从4月1日起该款服装日销售量为an，销售天数为n，1≤n≤30且n∈N＋，求an关于n的函数关系式； (2)求4月份该款服装的总销售量； (3)按规律，当该商场销售此服装超过1200件时，该款服装在社会上就开始流行；当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，此服装在社会上不再流行．试问：该款服装在社会上流行是否超过10天？请说明理由． 解：(1)由题意知，数列a1，a2，…，a12是首项为10，公差为15的等差数列，所以an＝15n－5(1≤n≤12且n∈N＋)． 而a13，a14，a15，…，a30是首项为a13＝a12－9＝166，公差为－9的等差数列，所以an＝166＋(n－13)×(－9)＝－9n＋283(13≤n≤30且n∈N＋)． 所以an＝ (2)4月份该款服装的总销售量为 ＋18a13＋ ＝＋18×166＋ ＝2721(件)． (3)4月1日至4月12日的销售总量为 S12＝＝＝1110(件)<1200(件)，S13＝S12＋166＝1276(件)>1200(件)， 故4月13日前该款服装在社会上还没有流行． 由－9n＋283<100，得n>． 故从4月21日开始该款服装在社会上不再流行，即该款服装在社会上流行没有超过10天． 一、选择题 1．一个等差数列共有60项，其公差d＝－2，且奇数项之和为390，则此数列前60项和为(　　) A．720 B．740 C．760 D．780 答案：A 解析：由等差数列前n项和的性质可知，S偶＝S奇＋30d＝390＋30×(－2)＝330，所以S60＝S奇＋S偶＝390＋330＝720．故选A． 2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18＝(　　) A．36 B．18 C．72 D．9 答案：A 解析：由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列知，S18＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋…＋(S18－S15)＝＝36． 3．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是(　　) A．14斤 B．15斤 C．16斤 D．18斤 答案：B 解析：由题意可知，等差数列中a1＝4，a5＝2，则S5＝＝＝15，∴金杖重15斤．故选B． 4．已知等差数列{an}是无穷数列，若a1<a2<0，则数列{an}的前n项和Sn(　　) A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 答案：A 解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a1<a2<0，所以d＝a2－a1>0，所以数列{an}为递增数列，且a1<0，所以Sn有最小值，无最大值．故选A． 5．[多选]设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12>0，a7<0，则(　　) A．a6>0 B．－<d<－3 C．S6与S7均为Sn的最大值 D．当Sn<0时，n的最小值为13 答案：ABD 解析：等差数列{an}中S12>0，则12·>0，即a1＋a12>0，所以由等差数列的性质可得a1＋a12＝a6＋a7>0，又a7<0，所以a6>0，故A正确；因为a3＝12，a6>0，a7<0，a6＋a7>0，所以a6＝a3＋3d＝12＋3d>0，a7＝a3＋4d＝12＋4d<0，a6＋a7＝12＋3d＋12＋4d>0，解得－<d<－3，故B正确；等差数列{an}中a6>0，a7<0，可知Sn的最大值为S6，故C错误；等差数列{an}中a7<0，所以2a7＝a1＋a13<0，继而可得S13＝13·<0，又S12>0，故D正确．故选ABD． 二、填空题 6．在等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________． 答案：6或7 解析：由|a5|＝|a9|且d>0，得a5<0，a9>0，且a5＋a9＝0，即a7＝0，所以使得Sn取得最小值的正整数n的值为6或7． 7．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则使得为整数的n的个数是________． 答案：5 解析：由等差数列的性质，知＝＝＝＝∈Z，则n－2只能取－1，1，3，11，33这5个数，故满足题意的n有5个． 8．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的项数是________，中间项的值是________． 答案：7　11 解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，所以＝＝，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7．S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项． 三、解答题 9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝24，S11＝0． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn； (3)当n为何值时，Sn最大？并求Sn的最大值． 解：(1)∵a3＝24，S11＝0，∴a1＋2d＝24，a1＋5d＝0， 解得a1＝40，d＝－8， ∴an＝48－8n． (2)由(1)知，a1＝40，an＝48－8n， ∴Sn＝＝－4n2＋44n． (3)由于Sn＝－4n2＋44n＝－4(n－5．5)2＋121， 故当n＝5或n＝6时，Sn最大，且最大值为120． 10．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：养鸡场个数由第1年的30个减少到第6年的10个． 请您根据提供的信息，解决下列问题： (1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由； (3)哪一年的规模最大？请说明理由． 解：设第n年平均每个养鸡场出产an万只鸡，养鸡场的个数为bn，全县总共出产cn万只鸡，则cn＝anbn，由题图，知数列{an}，{bn}均为等差数列，设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2． (1)由a1＝1，a6＝2，得 ∴⇒a2＝1．2； 由b1＝30，b6＝10，得 ∴⇒b2＝26． ∴c2＝a2b2＝1．2×26＝31．2(万只)． ∴第2年养鸡场的个数为26，全县出产鸡的总只数为31．2万． (2)c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30， ∴到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了． (3)∵an＝1＋(n－1)×0．2＝0．2n＋0．8(1≤n≤6，n∈N＋)， bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6，n∈N＋)， ∴cn＝anbn＝(0．2n＋0．8)(－4n＋34)＝－0．8n2＋3．6n＋27．2(1≤n≤6，n∈N＋)． ∵抛物线y＝－0．8x2＋3．6x＋27．2的对称轴为直线x＝2．25， ∴当n＝2时，cn最大． ∴第2年的规模最大． 7 学科网（北京）股份有限公司 $