1.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（北师大版）

数学　选择性必修　第二册　作业与测评（北师） 第2课时　等差数列的性质及实际应用 知识点一　等差数列的函数特性 1．已知(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定 答案：B 解析：等差数列{an}的图象所在直线的斜率k＝＝－2<0，则直线呈下降趋势，故数列{an}递减．故选B． 2．已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点． (1)求这个数列的通项公式； (2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点？若是，求出n的值；若不是，说明理由； (3)判断这个数列的增减性，并求其最小正数项． 解：(1)设等差数列{an}的通项公式为an＝dn＋b， 由(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点， 可得解得所以an＝2n－3． (2)(n，17)是{an}图象上的点． 由2n－3＝17，得n＝10∈N＋， 所以(10，17)是{an}图象上的点． (3)由d＝2>0，知数列{an}为递增数列． 令2n－3>0，得n>，即n≥2． 所以数列{an}的最小正数项为a2＝1． 知识点二　等差中项及灵活设项的应用 3．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：设等差中项为x，由等差中项的定义知，2x＝a＋b＝＋＝(－)＋(＋)＝2，所以x＝．故选A． 4．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是(　　) A．a＝－b B．a＝3b C．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0 答案：C 解析：由等差中项的定义知，x＝，x2＝，所以＝，即a2－2ab－3b2＝0．故a＝－b或a＝3b． 5．已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数分别为________． 答案：3，5，7或7，5，3 解析：设这三个数分别为x－d，x，x＋d，则解得 故所求三个数分别为3，5，7或7，5，3． 6．四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解：解法一：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，依题意，得 解得 又这四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝1， 故所求的四个数分别为－2，0，2，4． 解法二：设这四个数分别为a，a＋d，a＋2d，a＋3d， 依题意，得 解得或 又这四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝2，a＝－2． 故所求的四个数分别为－2，0，2，4． 知识点三　等差数列性质的应用 7．已知{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝55，a2＋b2＝100，则a7＋b7＝(　　) A．100 B．120 C．200 D．220 答案：C 解析：设cn＝an＋bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋55＝80，c2＝a2＋b2＝100，所以{cn}的公差d＝c2－c1＝20，所以a7＋b7＝c7＝200． 8．设{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　) A．5 B．6 C．16 D．32 答案：B 解析：因为{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，所以a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…可以构成新的等差数列，该等差数列的首项为1，公差为1，a6＋a7＋a8为新等差数列的第6项，所以a6＋a7＋a8＝1＋5×1＝6． 9．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 答案：C 解析：∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8． 知识点四　等差数列的实际应用 10．某市出租车的计价标准为1．2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，求需要支付的车费． 解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1．2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费． 令a1＝11．2，表示4 km处的车费，公差d＝1．2， 那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付的车费a11＝11．2＋(11－1)×1．2＝23．2(元)． 一、选择题 1．已知等差数列{an}的公差为d，则“d>0”是“数列{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：若d>0，则an＋1－an＝d>0，即an＋1>an，此时数列{an}为递增数列，即d>0⇒数列{an}为递增数列；若等差数列{an}为递增数列，则d＝an＋1－an>0，即d>0⇐数列{an}为递增数列．因此“d>0”是“数列{an}为递增数列”的充要条件． 2．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，则a40＝(　　) A．40 B．70 C．80 D．90 答案：D 解析：在等差数列中，间隔相等的项成等差数列，∵a10＝30，a20＝50，∴a30＝70，a40＝90．故选D． 3．等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2 a2·…·2 a10)＝(　　) A．10 B．20 C．40 D．2＋log25 答案：B 解析：因为2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4＝220，所以原式＝log2220＝20． 4．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为10．5尺，立夏当日日影长为4．5尺，则春分当日日影长为(　　) A．4．5尺 B．5尺 C．5．5尺 D．7．5尺 答案：D 解析：设十二个节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为{an}，则立春当日日影长为a4＝10．5，立夏当日日影长为a10＝4．5，所以春分当日日影长为a7＝(a4＋a10)＝7．5． 5．[多选]已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2．若akak＋1＜0，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}的通项公式为an＝n＋ B．数列{an}是递增数列 C．k＝23 D．ak－2＋ak＋2＝ 答案：CD 解析：由3an＋1＝3an－2，得an＋1－an＝－．所以数列{an}是首项a1＝15，公差d＝－的等差数列，所以an＝15－(n－1)＝－n＋，故A，B错误；由akak＋1＜0得ak＞0，ak＋1＜0，令an＝－n＋＝0，得n＝，所以a23＞0，a24＜0，所以k＝23，故C正确；ak－2＋ak＋2＝2ak＝2a23＝，故D正确．故选CD． 二、填空题 6．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入的这7个数中的第4个数为________． 答案：15 解析：设这7个数分别为a1，a2，…，a7，易知a4是3与27的等差中项，∴a4＝＝15． 7．已知等差数列{an}图象上的点都在直线y＝3x＋b上，且a5＝20，则{an}的通项公式为________． 答案：an＝3n＋5 解析：由已知，得等差数列{an}的公差为3，又a5＝a1＋4×3＝20，得a1＝8，所以an＝8＋3(n－1)，即an＝3n＋5． 8．在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝________． 答案：4 解析：∵等差数列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16，∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16，∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4． 三、解答题 9．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解：设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20，n∈N＋，每年的利润构成一个等差数列{an}，从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n． 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损， 所以由an＝220－20n<0，得n>11． 即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损． 10．已知等差数列{an}，设bn＝，已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求数列{an}的通项公式． 解：∵b1＋b2＋b3＝，bn＝． ∴＋＋＝， ∵b1b2b3＝， ∴··＝， ∴＝， ∴a1＋a2＋a3＝3． 又a1，a2，a3成等差数列， 可设a1＝a2－d，a3＝a2＋d，于是a2＝1． 由＋＋＝， 得＋×＝， ∴×2d＋×2－d＝， ∴2d＋2－d＝，解得d＝2或d＝－2． 当d＝2时，a1＝1－d＝－1， ∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3； 当d＝－2时，a1＝1－d＝3， ∴an＝3－2(n－1)＝－2n＋5． ∴当a1＝－1，d＝2时，an＝2n－3； 当a1＝3，d＝－2时，an＝－2n＋5． 6 学科网（北京）股份有限公司 $