1.2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（北师大版）

数学　选择性必修　第二册　作业与测评（北师） 2．1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 知识点一　等差数列的概念 1．下列数列不是等差数列的是(　　) A．6，6，6，…，6，… B．－2，－1，0，…，n－3，… C．5，8，11，…，3n＋2，… D．0，1，3，…，，… 答案：D 解析：利用等差数列的定义去判断．故选D． 2．判断下列数列是否为等差数列． (1)an＝6n－4；(2)an＝； (3)an＝n2－2n． 解：(1)an＋1－an＝6(n＋1)－4－(6n－4)＝6，由n的任意性知，这个数列是等差数列． (2)a2－a1＝－＝， a3－a2＝－＝－． 因为a2－a1≠a3－a2，所以这个数列不是等差数列． (3)a2－a1＝22－2×2－(12－2×1)＝1， a3－a2＝32－2×3－(22－2×2)＝3． 因为a2－a1≠a3－a2，所以这个数列不是等差数列． 知识点二　等差数列的通项公式 3．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1＝(　　) A．－9 B．－8 C．－7 D．－4 答案：B 解析：设等差数列{an}的公差为d， 则解得故选B． 4．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝1－ B．an＝－ C．an＝＋ D．an＝1＋ 答案：B 解析：根据题意，得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，∴a1＝1．又a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－．∴an＝a1＋(n－1)d＝－． 5．在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式． 解：设等差数列{an}的公差为d， 则解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1． 所以这个数列的公差为2，通项公式为an＝2n＋1． 6．在等差数列{an}中，a1＋a5＝6，a16＝55． (1)求数列{an}的公差及通项公式； (2)2025是否为数列{an}中的项？若是，则为第几项？若不是，请说明理由． 解：(1)由题意，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d． 因为a1＋a5＝6，a16＝55， 所以解得 所以数列{an}的通项公式为an＝－5＋4(n－1)＝4n－9． (2)令an＝4n－9＝2025， 解得n＝508．5， 又n∈N＋，所以2025不是数列{an}中的项． 知识点三　等差数列的证明及应用 7．设正项数列{an}满足a1＝1，且na－(n＋1)a＝n2＋n(n∈N＋)． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：因为na－(n＋1)a＝n2＋n＝n(n＋1)， 所以－＝1， 又a1＝1，故＝1， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)得＝1＋(n－1)×1＝n， 则an＝±n， 因为数列{an}是正项数列，所以an＝n． 8．数列{an}满足a1＝1，4anan＋1＋1＝3an＋an＋1． (1)求a2，a3； (2)证明是等差数列，并求{an}的通项公式． 解：(1)由a1＝1，4anan＋1＋1＝3an＋an＋1， 得4a2＋1＝3＋a2，解得a2＝， 又4a2a3＋1＝3a2＋a3，解得a3＝． (2)由已知得，an＋1＝， ∵－＝－ ＝－＝－＝2， 又＝＝1， ∴是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴＝2n－1，解得an＝． 一、选择题 1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 答案：C 解析：因为数列{an}为等差数列，所以公差为an－an－1＝3－2n－(3－2n＋2)＝－2．故选C． 2．等差数列－5，－，－2，－，…的第23项是(　　) A．－38 B．－28 C．28 D． 答案：C 解析：由a1＝－5，d＝－－(－5)＝，得a23＝a1＋22d＝－5＋22×＝28． 3．等差数列{an}的公差d<0，且a2a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是(　　) A．an＝2n－2 B．an＝2n＋4 C．an＝－2n＋12 D．an＝－2n＋10 答案：D 解析：⇒⇒所以an＝8＋(n－1)×(－2)，即an＝－2n＋10． 4．等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满足bn＝．若对任意n∈N＋，bn≤b6，则实数a的取值范围是(　　) A．(－8，－6) B．(－7，－6) C．(－6，－5) D．(6，7) 答案：B 解析：∵{an}是首项为a，公差为1的等差数列，∴an＝n＋a－1．∴bn＝＝1－．又对任意的n∈N＋，都有bn≤b6成立，可知≤，则必有6＋a＜0且7＋a＞0，∴－7＜a＜－6．故选B． 5．[多选]在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N＋)，则下列说法正确的是(　　) A．数列{an}是等差数列 B．数列是等差数列 C．an＝ D．an＝n 答案：BC 解析：由＝＋，得－＝－，所以数列是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝．故选BC． 二、填空题 6．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值为________． 答案： 解析：∵n－m＝3d1，d1＝(n－m)．又n－m＝4d2，d2＝(n－m)，∴＝＝． 7．等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n＝________． 答案：50 解析：∵a1＝，a2＋a5＝2a1＋5d＝＋5d＝4，∴d＝，又an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝33，∴n＝50． 8．等差数列{an}中，首项为33，若第12项为0，则数列的通项公式为________；若公差为整数，前7项均为正数，第7项以后各项均为负数，则数列的通项公式为________． 答案：an＝36－3n　an＝38－5n 解析：由于a1＝33，a12＝0，则33＋11d＝0，得d＝－3，这时an＝33＋(n－1)×(－3)＝36－3n．若公差为整数，且前7项均为正数，第7项以后各项均为负数，则 即解得－<d<－，又d∈Z，∴d＝－5， ∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n． 三、解答题 9．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7． (1)求数列{an}的第10项； (2)112是数列{an}的第几项？ (3)在80到110之间有多少项？ 解：(1)设{an}的公差为d， 则解得 a10＝a1＋9d＝－2＋9×3＝25． (2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 由112＝3n－5，解得n＝39． 所以112是数列{an}的第39项． (3)由80<3n－5<110，解得28<n<38， 因为n∈N＋， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项． 10．已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N＋时，有＝，设bn＝，n∈N＋． (1)求证：数列{bn}为等差数列； (2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由． 解：(1)证明：当n>1，n∈N＋时， 由＝得＝， 即－2＝2＋， ∴－＝4，即bn－bn－1＝4，且b1＝＝5， ∴数列{bn}是首项为5，公差为4的等差数列． (2)由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1， ∴an＝＝，n∈N＋， ∴a1＝，a2＝，∴a1a2＝． 令an＝＝，解得n＝11，即a1a2＝a11， ∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项． 6 学科网（北京）股份有限公司 $