1.3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评课件PPT（北师大版）

第一章　数列 §3　等比数列 3.1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列的概念及其通项公式 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　等比数列的概念 1．[多选]下列说法正确的是(　　) A．等比数列中的项不能为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…成等比数列 解析：A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确；当q＝1时，数列为0，0，0，0，…，故不是等比数列，D错误． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 5．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式为an＝________． 3×2n－3 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N＋)． (1)求a1，a2，a3的值； (2)设bn＝an＋3，证明数列{bn}为等比数列，并求数列{an}的通项公式． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 12 40分钟综合练 一、选择题 1．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 14 2．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．16 解析：∵点(an，an＋1)在直线y＝2x上，∴an＋1＝2an．∵a1＝1≠0，∴an≠0．∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a4＝1×23＝8． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 17 5．[多选]下列说法正确的是(　　) A．已知数列{an}是等差数列，则数列{ean}是等比数列 B．已知数列{an}是等比数列，则数列{ln an}是等差数列 C．已知数列{an}是等差数列且an∈N＋，数列{bn}是等比数列，则数列{ban}是等比数列 D．已知数列{an}是等比数列且an∈N＋，数列{bn}是等差数列，则数列{ban}是等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 19 二、填空题 6．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 20 7．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为_______． 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 21 8．各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1．当a3取最小值时，等比数列的公比q＝____，此时数列{an}的通项公式为an＝_______． 2 2n－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 22 三、解答题 9．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 24 10．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…)． (1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；(2)求an． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 25 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：A中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是等比数列；B中，eq \f(42,22)≠eq \f(62,42)，所以该数列不是等比数列；C中的数列是首项为1，公比为－eq \f(1,2)的等比数列；D中的数列是首项为eq \f(1,a)，公比为eq \f(1,a)的等比数列．故选ACD． 2．[多选]下列数列为等比数列的是(　　) A．b，b，b，b，…(b为常数，b≠0) B．22，42，62，82，… C．1，－eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，－eq \f(1,8)，… D．eq \f(1,a)，eq \f(1,a2)，eq \f(1,a3)，eq \f(1,a4)，… 知识点二　等比数列的通项公式及应用 3．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项与第2项分别为(　　) A．2和8 B．6和8 C．8和10 D．eq \f(16,3)和8 解析：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么a1q2＝12　①，a1q3＝18　②，由②÷①可得q＝eq \f(3,2)　③，把③代入①可得a1＝eq \f(16,3)，∴a2＝a1q＝8． 4．[多选]下列通项公式可以作为等比数列通项公式的是(　　) A．an＝(－1)n32n－1 B．an＝eq \r(n) C．an＝2－n D．an＝log2n 解析：对于A，an＝(－1)n32n－1，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(（－1）n＋132n＋1,（－1）n32n－1)＝－9，是常数，成立；对于B，an＝eq \r(n)，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(\r(n＋1),\r(n))，不是常数，不成立；对于C，an＝2－n，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2－n－1,2－n)＝eq \f(1,2)，是常数，成立；对于D，an＝log2n，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(log2（n＋1）,log2n)，不是常数，不成立．故选AC． 解析：由已知得eq \f(a10,a3)＝eq \f(a1q9,a1q2)＝q7＝128＝27，故q＝2．所以an＝a3qn－3＝3×2n－3． 6．已知一个等比数列的前4项之积为eq \f(1,16)，第2项与第3项的和为eq \r(2)，则这个等比数列的公比为____________________． 3±2eq \r(2)或－5±2eq \r(6) 解析：设这四个数为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)，由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·aq·aq2·aq3＝\f(1,16)，,aq＋aq2＝\r(2)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2q3＝±\f(1,4)，,a2q2（1＋q）2＝2.))所以eq \f(a2q3,a2q2（1＋q）2)＝±eq \f(1,8)，整理得q2－6q＋1＝0或q2＋10q＋1＝0，解得q＝3±2eq \r(2)或q＝－5±2eq \r(6)． 知识点三　等比数列的判断与证明 7．已知数列{an}的首项a1＝eq \f(3,5)，an＋1＝eq \f(3an,2an＋1)，n∈N＋，求证数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是等比数列，并求出{an}的通项公式． 解：由题意知an>0， eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2an＋1,3an)＝eq \f(1,3an)＋eq \f(2,3)， eq \f(1,an＋1)－1＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))，eq \f(1,a1)－1＝eq \f(2,3)， 所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－1))是首项为eq \f(2,3)，公比为eq \f(1,3)的等比数列． eq \f(1,an)－1＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(n－1)＝eq \f(2,3n)，an＝eq \f(3n,3n＋2)． 解：(1)因为数列{an}的前n项和为Sn， 且Sn＝2an－3n(n∈N＋)， 所以n＝1时，由a1＝S1＝2a1－3×1，解得a1＝3， n＝2时，由S2＝2a2－3×2，得a2＝9， n＝3时，由S3＝2a3－3×3，得a3＝21． (2)因为Sn＝2an－3n， 所以Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)， 两式相减，得an＋1＝2an＋3， 又bn＝an＋3，所以bn＋1＝an＋1＋3， 所以eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(an＋1＋3,an＋3)＝eq \f(2an＋3＋3,an＋3)＝2， 得bn＋1＝2bn(n∈N＋)，且b1＝6， 所以数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以bn＝6×2n－1， 所以an＝bn－3＝6×2n－1－3＝3(2n－1)． 解析：由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16， ∴q＝±4．∵a1a2＝aeq \o\al(2,1)q＝16＞0，∴q＞0，∴q＝4． 3．已知数列{an}是递增的等比数列，a6－a2＝40，a4＋a2＝10，则a1＝(　　) A．eq \f(\r(5),3) B．eq \f(\r(5),2) C．eq \f(5,3) D．eq \f(5,2) 解析：由条件知，a2(q4－1)＝40　①，且a2(q2＋1)＝10　②，①÷②得q2－1＝4， 又{an}是递增的等比数列，∴q＝eq \r(5)，代入②，得a2＝eq \f(5,3)，∴a1＝eq \f(a2,q)＝eq \f(5,3×\r(5))＝eq \f(\r(5),3)． 4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝aeq \o\al(2,n)，则数列{an}的通项公式为an＝(　　) A．2n－1 B．2n－1 C．22n－1 D．n2 解析：易知an>0，且an≠1，在an＋1＝aeq \o\al(2,n)的两边同时取常用对数，得lg an＋1＝2lg an，故eq \f(lg an＋1,lg an)＝2，所以数列{lg an}是以lg 2为首项，2为公比的等比数列，所以lg an＝2n－1×lg 2＝lg 22n－1，所以an＝22n－1． 解析：设an＝nd＋k，ean＝end＋k＝ek·(ed)n，故A正确；数列{ln an}中，an>0，但数列{an}中可能an<0，不成立，故B错误；设an＝nd＋k，d∈N，k∈Z，且an∈ N＋，bn＝m·qn(q≠0)，则ban＝m·qnd＋k，eq \f(ban＋1,ban)＝qd为常数，故C正确；设an＝m·qn(q≠0)，an∈N＋，bn＝nd＋k，则ban＝(m·qn)d＋k，ban＋1－ban＝mqnd(q－1)．当q≠1时，mqnd(q－1)不恒为定值，故D错误．故选AC． 解析：设该直角三角形的三边分别为a，aq，aq2(q＞1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝eq \f(\r(5)＋1,2)．较小锐角记为θ，则sinθ＝eq \f(a,aq2)＝eq \f(\r(5)－1,2)． 解析：设等比数列{an}的公比为q，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a3＝10，,a2＋a4＝5，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1（1＋q2）＝10，,a1q（1＋q2）＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝8，,q＝\f(1,2).))所以a1a2…an＝aeq \o\al(n,1)q1＋2＋…＋(n－1)＝8n×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(\f(n（n－1）,2))＝2－eq \s\up7(\f(1,2))n2＋eq \s\up7(\f(7,2))n，于是当n＝3或4时，a1a2…an取得最大值26＝64． 解析：由a2－a1＝1，得a1(q－1)＝1，所以a1＝eq \f(1,q－1)．a3＝a1q2＝eq \f(q2,q－1)＝eq \f(1,－\f(1,q2)＋\f(1,q))(q＞0)，而－eq \f(1,q2)＋eq \f(1,q)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,4)　①，当q＝2时，①式有最大值eq \f(1,4)，所以当q＝2时，a3有最小值4．此时a1＝eq \f(1,q－1)＝eq \f(1,2－1)＝1．所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1． 解：(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2， ∴an＝a1qn－1＝2n． (2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32， 设{bn}的公差为d，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8，,b1＋4d＝32，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝－16，,d＝12.)) 从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28， ∴数列{bn}的前n项和Sn＝eq \f(n（－16＋12n－28）,2)＝6n2－22n． 解：(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15． 下面证明数列{an－n}是等比数列： 因为a1－1＝－2≠0，所以an－n≠0． 所以eq \f(an＋1－（n＋1）,an－n)＝eq \f(3an－2（n＋1）＋3－（n＋1）,an－n)＝eq \f(3an－3n,an－n)＝3(n＝1，2，3，…)． 又a1－1＝－2，所以数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知an－n＝－2×3n－1，所以an＝n－2×3n－1． $