1.1.2 数列的函数特性-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评课件PPT（北师大版）

第一章　数列 §1　数列的概念及其函数特性 1.2　数列的函数特性 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 4 ① ②③④⑤ ①② ③ ⑤ 解析：①是有穷数列，也是递增数列；②是无穷数列，也是递增数列；③是无穷数列，也是递减数列；④是无穷数列；⑤是无穷数列，也是常数列． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 5 3．在数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}是递增数列，则实数k的取值范围为_________． 解析：因为an＝n2－kn，所以an＋1＝(n＋1)2－k(n＋1)，所以an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k．又数列{an}是递增数列，所以an＋1－an>0，即2n＋1－k>0，即k<2n＋1，又n∈N＋，所以k<3，故实数k的取值范围为(－∞，3)． (－∞，3) 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 6 4．已知数列{an}中，an＝n2－8n． (1)画出{an}的图象；(2)根据图象写出数列{an}的增减性． 解：(1)列表如下： 描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象． (1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，…，图象如图所示． n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 … (2)数列{an}的图象既不是上升的，也不是下降的，所以{an}既不是递增数列，也不是递减数列． 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 7 知识点二　求数列中的最大(小)项 5．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中数值最大的项是(　　) A．第5项 B．第6项 C．第4项或第5项 D．第5项或第6项 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 8 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 9 [9，12] 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 10 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 11 1 2 3 4 5 6 7 8 知识对点练 12 40分钟综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 15 解析：由|an＋1|>an可得an＋1>an或－an＋1>an，所以充分性不成立；若数列{an}为递增数列，则|an＋1|≥an＋1>an，所以必要性成立，所以“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 19 二、填空题 6．数列{an}中，an＝2n2－11n，则数列{an}的最小项是________． －15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 20 7．已知数列{an}满足an＝2n＋kn，若{an}为递增数列，则k的取值范围是___________． (－2，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 21 44 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 22 三、解答题 9．在数列{an}中，an＝n(n－8)－20． (1)数列{an}共有几项为负？ (2)数列{an}从第几项开始递增？ (3)数列{an}中有无最小项？若有，求出最小项；若没有，请说明理由． 解：(1)由an＝n(n－8)－20<0，得－2<n<10． ∴当1≤n<10时，an<0，∴数列{an}共有9项为负． (2)∵an＋1－an＝2n－7，∴当n>3时，an＋1－an>0， 故数列{an}从第4项开始递增． (3)由(2)知，当n≤3时，an＋1<an，故有(an)min＝a4＝－36． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 23 10．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n． (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：数列{an}是递减数列． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 25 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点一　数列增减性的判断 1．已知数列{an}的通项公式是an＝eq \f(2n,n＋1)，那么这个数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．先增后减数列 D．常数列 解析：an＝eq \f(2n,n＋1)＝2－eq \f(2,n＋1)，则这个数列是递增数列．故选A． 2．已知下列数列： ①1，3，5，7，…，2n－1；②1，4，7，10，…；③1，eq \f(1,4)，eq \f(1,16)，…，eq \f(1,4n－1)，…；④－2，0，－2，0，…，(－1)n－1，…；⑤a，a，a，a，…． 其中，有穷数列是______，无穷数列是__________，递增数列是_______，递减数列是______，常数列是______．(将正确的序号填在横线上) 解析：an＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(21,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(441,8)，因为n∈N＋，5＜eq \f(21,4)＜6，且a5＝55，a6＝54，所以数值最大的项为第5项．故选A． 6．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(n－1)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(n－1)－1))，则下列关于数列{an}中的最大项、最小项，叙述正确的是(　　) A．最大项为a1，最小项为a3 B．最大项为a1，最小项不存在 C．最大项不存在，最小项为a3 D．最大项为a1，最小项为a4 解析：令f(n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(n－1)，当n∈N＋时，0＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(n－1)≤1，且f(n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(n－1)单调递减． an＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up15(n－1)－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)，n∈N＋，则当n＝1，2，3，4，…时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(n－1)的值分别为1，eq \f(3,4)，eq \f(9,16)，eq \f(27,64)，…．又eq \f(9,16)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,16)，eq \f(1,2)－eq \f(27,64)＝eq \f(5,64)，eq \f(1,16)＜eq \f(5,64)，结合函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)的图象与性质即知数列{an}中的最大项为a1＝0，最小项为a3＝－eq \f(63,256)．故选A． 7．数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2n－1，n≤4，,－n2＋（a－1）n，n≥5，))若a5是{an}中的最大项，则a的取值范围是________． 解析：当n≤4时，an＝2n－1单调递增，因此n＝4时，取得最大值为a4＝15，当n≥5时，an＝－n2＋(a－1)n＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(a－1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(（a－1）2,4)，因为a5是{an}中的最大项，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,2)≤5.5，,－25＋5（a－1）≥15，))解得9≤a≤12． 8．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10))) eq \s\up12(n)，数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由． 解：根据题意，数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq \s\up12(n)，则an＋1＝(n＋3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq \s\up12(n＋1)， 则有eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n＋3,n＋2)×eq \f(9,10)＝eq \f(9n＋27,10n＋20)， ∵an＝(n＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq \s\up12(n)，∴数列{an}为正项数列． 当1≤n≤6时，eq \f(an＋1,an)>1，则有a1<a2<a3<a4<a5<a6<a7， 当n＝7时，eq \f(an＋1,an)＝1，则有a7＝a8， 当n≥8时，eq \f(an＋1,an)<1，则有a8>a9>…， 又由a7＝a8＝eq \f(98,107)， 故数列{an}中的最大项为eq \f(98,107)． 一、选择题 1．若数列{an}是递增数列，则{an}的通项公式可能是(　　) A．an＝－eq \f(1,n) B．an＝n2－8n C．an＝2-n D．an＝(－n)n 解析：对于A，由an＝－eq \f(1,n)(n∈N＋)，易知数列{an}是递增数列，A正确；对于B，an＝n2－8n＝(n－4)2－16(n∈N＋)，当1≤n≤4时，数列{an}递减，当n>4时，数列{an}递增，B错误；对于C，an＝eq \f(1,2n)，故数列{an}是递减数列，C错误；对于D，an＝(－n)n，数列{an}是摆动数列，不具有单调性，D错误．故选A． 2．若数列{an}的通项公式为an＝eq \f(n,n2＋196)(n∈N＋)，则这个数列中的最大项是(　　) A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项 解析：an＝eq \f(n,n2＋196)＝eq \f(1,n＋\f(196,n))，∵n＋eq \f(196,n)≥2eq \r(n·\f(196,n))＝28，当且仅当n＝eq \f(196,n)，即n＝14时，等号成立，∴当n＝14时，eq \f(1,n＋\f(196,n))取得最大值eq \f(1,28)．故选C． 3．在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,11)))eq \s\up12(n)，下列说法正确的是(　　) A．{an}有最大项，但没有最小项 B．{an}没有最大项，但有最小项 C．{an}既有最大项，又有最小项 D．{an}既没有最大项，也没有最小项 解析：数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,11)))eq \s\up12(n)，当n＝2k，k∈N＋时，a2(k＋1)－ a2k＝eq \f(－42k＋179,121)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq \s\up12(2k)，当1≤k≤4时，a2(k＋1)－a2k>0，a2k递增；当k≥5时，a2(k＋1)－a2k<0，a2k递减，故a10最大．当n＝2k－1，k∈N＋时，a2k－1＝－2k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq \s\up12(2k－1)， a2(k＋1)－1＝－(2k＋2) ·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq \s\up12(2k＋1)，a2k＋1－a2k－1＝eq \f(42k－200,121)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq \s\up12(2k－1)，当1≤k≤4时， a2k＋1－a2k－1<0，a2k－1递减；当k≥5时，a2k＋1－a2k－1>0，a2k－1递增，故a9最小．综上，{an}既有最大项，又有最小项．故选C． 5．[多选]费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有如下形式：Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)．若bn＝eq \f(1,log2（Fn－1）－36)(n∈N＋)，则(　　) A．数列{bn}的最大项为b1 B．数列{bn}的最大项为b6 C．数列{bn}的最小项为b1 D．数列{bn}的最小项为b5 解析： bn＝eq \f(1,log2（Fn－1）－36)＝eq \f(1,2n－36)，因为函数f(n)＝2n－36单调递增，且当n≤5时，bn<0，当n≥6时，bn>0，所以数列{bn}的最大项为b6，最小项为b5． 解析：an＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(11,4)))eq \s\up12(2)－eq \f(121,8)，2<eq \f(11,4)<3，又a2＝－14，a3＝－15，则数列{an}的最小项为－15． 解析：若{an}为递增数列，则an＋1－an>0，则2n＋1＋k(n＋1)－(2n＋kn)＝2n＋1－2n＋k＝2n＋k>0对于n∈N＋恒成立，∴k>－2n对于n∈N＋恒成立，∴k>－2． 8．数列{an}满足an＝eq \f(n－\r(2025),n－\r(2024))，若ap最大，aq最小，则p＝______，q＝_____． 解析：an＝eq \f(n－\r(2025),n－\r(2024))＝1＋eq \f(\r(2024)－\r(2025),n－\r(2024))．由于44＜eq \r(2024)＜45，则当n≤44时，an＝1＋eq \f(\r(2025)－\r(2024),\r(2024)－n)>1且递增；当n≥45时，an＝1－eq \f(\r(2025)－\r(2024),n－\r(2024))<1且递增．所以a44最大，a45最小，即p＝44，q＝45． 解：(1)因为f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n， 所以2log2an－2－log2an＝－2n，an－eq \f(1,an)＝－2n， 所以aeq \o\al(2,n)＋2nan－1＝0， 解得an＝－n±eq \r(n2＋1)． 因为an>0，所以an＝eq \r(n2＋1)－n． (2)证明：eq \f(an＋1,an)＝eq \f(\r(（n＋1）2＋1)－（n＋1）,\r(n2＋1)－n) ＝eq \f(\r(n2＋1)＋n,\r(（n＋1）2＋1)＋（n＋1）)<1． 又因为an>0，所以an＋1<an，所以数列{an}是递减数列． $