1.1.1 数列的概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评课件PPT（北师大版）

第一章　数列 §1　数列的概念及其函数特性 1.1　数列的概念 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　数列的概念 1．下列有关数列的说法正确的是(　　) A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列 C．数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，…是同一个数列 D．数列中的每一项都与它的序号有关 解析：A错误，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3；B错误，数列－1，0，1与数列1，0，－1中项的顺序不同，即表示不同的数列；C错误，数列1，3，5，7是有穷数列，数列1，3，5，7，…是无穷数列．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 4 知识点二　数列通项公式的简单应用 2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2，则123是该数列的(　　) A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 解析：由an＝n2＋2＝123，解得n＝11(n＝－11舍去)．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 5 解析：a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3－1＝8，a2a3＝16．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 6 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 7 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 8 知识点三　利用观察法求数列的通项公式 5．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是(　　) A．an＝(－1)n·(2n－1) B．an＝(－1)n· (2n－1) C．an＝(－1)n＋1· (2n－1) D．an＝(－1)n＋1· (2n－1) 解析：数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…，所以该数列的通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)． 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 9 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 10 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 11 1 2 3 4 5 6 7 知识对点练 12 40分钟综合练 解析：{2，4，6，8}是一个集合，故A错误；B中两数列的数虽相同，但顺序不同，不是相同的数列，故B错误；数列0，2，4，6，…可记为{2n－2}，故D错误．故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 15 3．已知an＝n2＋3，那么(　　) A．19是数列中的一项 B．10是数列中的一项 C．12是数列中的第4项 D．81是数列中的一项 解析：当n2＋3＝19时，n＝4，故A正确；当n2＋3＝10时，无正整数解，故B错误；当n2＋3＝12时，n＝3，故C错误；当n2＋3＝81时，无正整数解，故D错误． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 16 4．传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1，3，6，10，…叫作三角形数；把1，4，9，16，…叫作正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是(　　) A．36 B．49 C．64 D．81 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 17 解析： a5＝3×5＋1＝16，a6＝28－2×6＝16，a7＝3×7＋1＝22，a15＝3×15＋1＝46，所以a7>a6，a6＝a5，a15>0．故选BC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 18 二、填空题 6．已知一组数1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，按这组数的规律，x应为_____． 解析：由题意得1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8．所以x＝5＋8＝13． 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 19 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 25 　　　　　　　　　　　　　 R 3．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n－1，n为奇数，,2n－2，n为偶数，))则a2a3的值是(　　) A．70 B．28 C．20 D．16 4．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,n（n＋2）)(n∈N＋)． (1)计算a3＋a4的值； (2)eq \f(1,120)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 解：(1)∵an＝eq \f(1,n（n＋2）)， ∴a3＝eq \f(1,3×5)＝eq \f(1,15)，a4＝eq \f(1,4×6)＝eq \f(1,24)， ∴a3＋a4＝eq \f(1,15)＋eq \f(1,24)＝eq \f(13,120)． (2)若eq \f(1,120)是数列{an}中的项， 则eq \f(1,n（n＋2）)＝eq \f(1,120)，∴n(n＋2)＝120， ∴n2＋2n－120＝0， ∴n＝10或n＝－12(舍去)， 即eq \f(1,120)是数列{an}的第10项． 6．已知数列1，eq \r(3)，eq \r(5)，eq \r(7)，3，eq \r(11)，…，则eq \r(43)是这个数列的(　　) A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 解析：由eq \r(43)＝eq \r(2n－1)，解得n＝22，所以eq \r(43)是这个数列的第22项．故选B． 7．根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： (1)1，8，27，64，…； (2)1eq \f(1,2)，2eq \f(4,5)，3eq \f(9,10)，4eq \f(16,17)，…； (3)eq \f(\r(5),3)，eq \f(\r(10),8)，eq \f(\r(17),15)，eq \f(\r(26),24)，…； (4)eq \f(22－1,2)，eq \f(32－1,3)，eq \f(42－1,4)，eq \f(52－1,5)，…． 解：(1)各项均为相应序号的立方，即an＝n3． (2)1eq \f(1,2)＝1＋eq \f(12,12＋1)，2eq \f(4,5)＝2＋eq \f(22,22＋1)，3eq \f(9,10)＝3＋eq \f(32,32＋1)，4eq \f(16,17)＝4＋eq \f(42,42＋1)， 故an＝n＋eq \f(n2,n2＋1)． (3)因为eq \f(\r(5),3)＝eq \f(\r(4＋1),4－1)，eq \f(\r(10),8)＝eq \f(\r(9＋1),9－1)，eq \f(\r(17),15)＝eq \f(\r(16＋1),16－1)，eq \f(\r(26),24)＝eq \f(\r(25＋1),25－1)，所以各项与序号的对应关系为分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差，故通项公式为an＝eq \f(\r(（n＋1）2＋1),（n＋1）2－1)． (4)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为an＝eq \f(（n＋1）2－1,n＋1)． 一、选择题 1．下列说法中正确的是(　　) A．数列2，4，6，8可表示为{2，4，6，8} B．数列－1，0，1，2与2，1，0，－1是相同的数列 C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))的第k项为1＋eq \f(1,k) D．数列0，2，4，6，…可记为{2n} 解析：因为a1＝eq \f(\r(6)＋（－1）×\r(6),2)，a2＝eq \f(\r(6)＋（－1）2×\r(6),2)，a3＝eq \f(\r(6)＋（－1）3×\r(6),2)，a4＝eq \f(\r(6)＋（－1）4×\r(6),2)，所以该数列的一个通项公式为an＝eq \f(\r(6)＋（－1）n·\r(6),2)．故选C． 2．数列0，eq \r(6)，0，eq \r(6)，…的一个通项公式是(　　) A．an＝eq \r(6)＋(－1)n·eq \r(6) B．an＝eq \r(6)＋(－1)n＋1·eq \r(6) C．an＝eq \f(\r(6)＋（－1）n·\r(6),2) D．an＝eq \f(\r(6)＋（－1）n＋1·\r(6),2) 解析：三角形数：1，3，6，10，…，可得其通项公式为an＝eq \f(n（n＋1）,2)；正方形数：1，4，9，16，…，可得其通项公式为bn＝n2，∵an＝49，an＝64，an＝81均无正整数解，且b7＝49，b8＝64，b9＝81，∴49，64，81是正方形数不是三角形数，又a8＝36，b6＝36，∴36既是三角形数又是正方形数．故选A． 5．[多选]已知数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n＋1，n为奇数，,28－2n，n为偶数，))则(　　) A．a6＝19 B．a7>a6 C．a6＝a5 D．a15<0 7．已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，则eq \r(10)－3是此数列的第______项． 解析：an＝eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)，∵eq \r(10)－3＝eq \r(9＋1)－eq \r(9)，∴eq \r(10)－3是数列{an}的第9项． 8．猜想数列eq \f(1,3)，－eq \f(4,5)，eq \f(9,7)，－eq \f(16,9)，eq \f(25,11)，－eq \f(36,13)，…的通项公式为an＝____________． 解析：数列eq \f(1,3)，－eq \f(4,5)，eq \f(9,7)，－eq \f(16,9)，eq \f(25,11)，－eq \f(36,13)，…的偶数项为负，分子是相应项序号的平方，分母是以3为首项的奇数列，所以数列eq \f(1,3)，－eq \f(4,5)，eq \f(9,7)，－eq \f(16,9)，eq \f(25,11)，－eq \f(36,13)，…的通项公式为an＝eq \f(（－1）n＋1n2,2n＋1)． 三、解答题 9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)eq \f(2,1×3)，eq \f(4,3×5)，eq \f(6,5×7)，eq \f(8,7×9)，…； (2)1，11，111，1111，…； (3)11，101，1001，10001，…． 解：(1)由题意，分子是从2开始的偶数，分母是分子加1、减1所得两数之积，故通项公式为an＝eq \f(2n,（2n－1）（2n＋1）)． (2)原数列的各项可变为eq \f(1,9)×9，eq \f(1,9)×99，eq \f(1,9)×999，eq \f(1,9)×9999，…，易知数列9，99， 999，9999，…的一个通项公式为bn＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝eq \f(1,9)(10n－1)． (3)由题意，各项减1后是10的幂，故通项公式为an＝10n＋1． 10．数列{an}中，an＝eq \f(n2,n2＋1)． (1)求数列{an}的第7项； (2)求证：数列{an}的各项都在区间(0，1)内； (3)区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有无数列{an}中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由． 解：(1)a7＝eq \f(72,72＋1)＝eq \f(49,50)． (2)证明：∵an＝eq \f(n2,n2＋1)＝1－eq \f(1,n2＋1)， ∴0<an<1，故数列{an}的各项都在区间(0，1)内． (3)∵eq \f(1,3)<eq \f(n2,n2＋1)<eq \f(2,3)，∴eq \f(1,2)<n2<2． 又n∈N＋， ∴n＝1，即在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有且只有一项a1是数列{an}中的项． $