3.1.2 第1课时 排列与排列数-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“排列与排列数”第1课时，核心知识点涵盖排列概念、列举方法及排列数计算与证明。通过数字运算、座位安排等实例辨析排列与顺序的关系，构建从概念理解到树形图列举，再到公式应用的递进式学习支架。 其亮点在于以问题链驱动核心素养培养，如用“数字除法是否为排列”培养数学眼光的抽象能力，树形图列举4人照相（A不站两端）发展几何直观，排列数计算（如解Aₙ²=132）提升数学思维的推理能力，用A₁₈¹⁵表示连乘积强化数学语言的符号意识。分层练习助力学生逐步掌握，教师可直接用于课堂巩固，提升教学效率。

第三章　排列、组合与二项式定理 3.1　排列与组合 3.1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 知识对点练 40分钟综合练 目录 知识对点练 知识点一　排列的概念 1．下列问题是排列问题吗？ (1)从1，3，5，7四个数字中，任选两个做乘法，其结果有多少种不同的可能？ (2)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？ (3)会场有50个座位，从中选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？ 解：(1)从1，3，5，7四个数字中，任选两个做乘法，其结果与顺序无关，不是排列问题． (2)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法,其结果与顺序有关,是排列问题． (3)会场有50个座位，选出3个座位不是排列问题，而选出3个座位安排3位客人入座，是排列问题． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 4 知识点二　排列的列举问题 2．(1)写出从4个对象a，b，c，d中任取3个对象的所有排列； (2)写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法． 解： (1)由题意作出树形图如图所示． 故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb， adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad， cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，Dca，dcb，共24个． (2)由题意作出树形图如图所示．故所有可能 的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD， CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC， DCAB，共12种． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 5 210 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 6 348 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 7 5．18×17×…×4用排列数可表示为____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 8 480 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 9 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 知识对点练 12 40分钟综合练 一、单项选择题 1．下列问题不属于排列问题的是(　　) A．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 B．从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数 C．从10个不同的质数中取2个数求其商 D．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量 解析：从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题；从10个不同的质数中取2个数求其商，2个数谁作被除数谁作除数结果不同，与顺序有关，是排列问题；确定向量涉及顺序问题，是排列问题．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 20 三、填空题 8．从a，b，c，d，e 5人中选出1名组长和1名副组长，共有____种不同的选法． 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 21 18或22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 22 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 24 解： (1)根据题意，不同挂法的所有可能情况如下： (2)根据题意，不同试种方法的所有可能情况如下： 12．(1)从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，用树形图表示出不同挂法的所有可能情况； (2)某农场要在3块不同类型的土地上分别试种A，B，C 3个不同品种的小麦，用树形图表示出不同试种方法的所有可能情况． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40分钟综合练 11 12 13 14 28 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点三　与排列数有关的计算、证明问题 3．Aeq \o\al(3,7)＝______，4！＝____． 解析：Aeq \o\al(3,7)＝7×6×5＝210，4！＝1×2×3×4＝24. 4．4Aeq \o\al(2,4)＋5Aeq \o\al(3,5)＝_____． 解析：4Aeq \o\al(2,4)＋5Aeq \o\al(3,5)＝4×4×3＋5×5×4×3＝348. 解析：＝Aeq \o\al(15,18). Aeq \o\al(15,18) 6．计算：Aeq \o\al(2,6)Aeq \o\al(2,5)－Aeq \o\al(5,5)＝_____，6,6)eq \f(A,Aeq \o\al(2,9)) ＋Aeq \o\al(2,3)＝_____． 解析：Aeq \o\al(2,6)Aeq \o\al(2,5)－Aeq \o\al(5,5)＝(6×5)×(5×4)－5×4×3×2×1＝600－120＝480，6,6)eq \f(A,Aeq \o\al(2,9)) ＋Aeq \o\al(2,3)＝eq \f(6×5×4×3×2×1,9×8)＋3×2＝10＋6＝16. 7．已知Aeq \o\al(2,n)＝132，则n＝_____． 解析：Aeq \o\al(2,n)＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11(舍去)． 8．解不等式：Aeq \o\al(2,n－1)－n<7. 解：由Aeq \o\al(2,n－1)－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7， 即n2－4n－5<0， 解得－1<n<5， 又n∈N＋，n≥3， 所以n＝3或4. 所以原不等式的解集为{3，4}． 9．求证：k·Aeq \o\al(k,k)＝(k＋1)！－k! 证明：∵左边＝k·Aeq \o\al(k,k)＝k·k！＝(k＋1－1)·k！＝(k＋1)！－k！＝右边， ∴等式成立． 2.5,8)eq \f(2A＋7Aeq \o\al(4,8),Aeq \o\al(5,9)－Aeq \o\al(5,8)) ＝(　　) A．eq \f(3,2) B．3 C．eq \f(3,4) D．eq \f(3,5) 解析：5,8)eq \f(2A＋7Aeq \o\al(4,8),Aeq \o\al(5,9)－Aeq \o\al(5,8)) ＝eq \f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,9×8×7×6×5－8×7×6×5×4)＝3. 3．若n是正整数，则(n＋2022)(n＋2023)…(n＋2026)＝(　　) A．Aeq \o\al(4,n＋2026) B．Aeq \o\al(5,n＋2026) C．Aeq \o\al(4,n＋2022) D．Aeq \o\al(5,n＋2022) 解析：由Aeq \o\al(m,n)＝eq \f(n！,（n－m）！)＝n(n－1)…(n－m＋1)，得(n＋2022)(n＋2023)…(n＋2026)＝Aeq \o\al(5,n＋2026). 4．已知3Aeq \o\al(x,8)＝4Aeq \o\al(x－1,9)，则x＝(　　) A．12 B．7 C．6或13 D．6 解析：由题意，得3×eq \f(8！,（8－x）！)＝4×eq \f(9！,（10－x）！)，化简可得3＝4×eq \f(9,（10－x）（9－x）)，即x2－19x＋78＝0，解得x＝13或6，又eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－1≤9，))所以x≤8，故x＝6. 5．不等式3Aeq \o\al(2,x＋2)＋12Aeq \o\al(2,x)≤11Aeq \o\al(2,x＋1)，其中x∈N＋的解集为(　　) A．{2，3} B．{1，2，3} C．{x|2≤x≤3} D．{x|1≤x≤3} 解析：由题意知，x≥2，且x∈N＋，又由3Aeq \o\al(2,x＋2)＋12Aeq \o\al(2,x)≤11Aeq \o\al(2,x＋1)，得3(x＋2)(x＋1)＋12x(x－1)≤11(x＋1)x，即2x2－7x＋3≤0，解得eq \f(1,2)≤x≤3，故x＝2或x＝3，所以原不等式的解集为{2，3}． 二、多项选择题 6．满足不等式xAeq \o\al(3,x)>3Aeq \o\al(2,x)的x的值可以为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：由xAeq \o\al(3,x)>3Aeq \o\al(2,x)，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x·x（x－1）（x－2）>3x（x－1），,x≥3，,x∈N＋，))解得x>3，x∈N＋，所以不等式xAeq \o\al(3,x)>3Aeq \o\al(2,x)的解集是{x|x>3，x∈N＋}．故选CD. 7．下列等式正确的是(　　) A．Aeq \o\al(m,m)＝m,n)eq \f(A,n！) B.eq \f(n！,n（n－1）)＝(n－2)! C．(n＋1)Aeq \o\al(m,n)＝Aeq \o\al(m＋1,n＋1) D.eq \f(1,n－m)Aeq \o\al(m＋1,n)＝Aeq \o\al(m,n) 解析：Aeq \o\al(m,m)＝m！，m,n)eq \f(A,n！) ＝eq \f(1,（n－m）！)，显然Aeq \o\al(m,m)≠m,n)eq \f(A,n！) ，故A错误；eq \f(n！,n（n－1）)＝eq \f(（n－1）（n－2）×…×3×2×1,n－1)＝(n－2)！，故B正确；(n＋1)Aeq \o\al(m,n)＝(n＋1)·eq \f(n！,（n－m）！)＝eq \f(（n＋1）！,（n－m）！)＝eq \f(（n＋1）！,[（n＋1）－（m＋1）]！)＝Aeq \o\al(m＋1,n＋1)，故C正确；eq \f(1,n－m)Aeq \o\al(m＋1,n)＝eq \f(1,n－m)·eq \f(n！,（n－m－1）！)＝eq \f(n！,（n－m）！)＝Aeq \o\al(m,n)，故D正确．故选BCD. 解析：由题意知，共有Aeq \o\al(2,5)＝5×4＝20种不同的选法． 9．Aeq \o\al(m＋1,4)－Aeq \o\al(2,m)(m∈N＋)的值为________． 解析：由已知可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤4，,2≤m，))结合m∈N＋，解得m＝2或m＝3.当m＝2时，Aeq \o\al(m＋1,4)－Aeq \o\al(2,m)＝Aeq \o\al(3,4)－Aeq \o\al(2,2)＝22；当m＝3时，Aeq \o\al(m＋1,4)－Aeq \o\al(2,m)＝Aeq \o\al(4,4)－Aeq \o\al(2,3)＝18. 10．满足不等式7,n)eq \f(A,Aeq \o\al(5,n)) >12的n的最小值为_____． 解析：由排列数公式得eq \f(n！（n－5）！,（n－7）！n！)>12，即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，又n∈N＋，所以n的最小值为10. 四、解答题 11．解下列各式中的n值： (1)Aeq \o\al(4,2n)＝60Aeq \o\al(3,n)； (2)Aeq \o\al(4,n)Aeq \o\al(n－4,n－4)＝42Aeq \o\al(n－2,n－2). 解：(1)∵Aeq \o\al(4,2n)＝60Aeq \o\al(3,n)，∴2n(2n－1)(2n－2)(2n－3)＝60n(n－1)(n－2)， 又n为大于或等于3的自然数，∴(2n－1)(2n－3)＝15(n－2)， 化简，得4n2－23n＋33＝0，解得n＝3. (2)∵Aeq \o\al(4,n)Aeq \o\al(n－4,n－4)＝42Aeq \o\al(n－2,n－2)，∴eq \f(n！,（n－4）！)(n－4)！＝42(n－2)！， ∴n(n－1)＝42，即n2－n－42＝0，解得n＝7或n＝－6. 由排列数的定义知n≥5，n∈N＋，∴n＝7. 13．若M＝Aeq \o\al(1,1)＋Aeq \o\al(2,2)＋Aeq \o\al(3,3)＋…＋Aeq \o\al(2025,2025)，则M的个位数字是(　　) A．3 B．8 C．0 D．5 解析：∵当n≥5时，Aeq \o\al(n,n)＝1×2×3×4×5×6×…×n＝120×6×…×n，∴当n≥5时，Aeq \o\al(n,n)的个位数字为0.又Aeq \o\al(1,1)＋Aeq \o\al(2,2)＋Aeq \o\al(3,3)＋Aeq \o\al(4,4)＝1＋2＋6＋24＝33，∴M的个位数字为3. 14．规定Aeq \o\al(m,x)＝x(x－1)…(x－m＋1)，其中x∈R，m为正整数，且Aeq \o\al(0,x)＝1，这是排列数Aeq \o\al(m,n)(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广． (1)求Aeq \o\al(3,－15)的值； (2)排列数的两个性质：①Aeq \o\al(m,n)＝nAeq \o\al(m－1,n－1)，②Aeq \o\al(m,n)＋mAeq \o\al(m－1,n)＝Aeq \o\al(m,n＋1)(n，m是正整数，且m≤n)是否都能推广到Aeq \o\al(m,x)(x∈R，m是正整数)的情形？若能，写出推广的形式并给予证明；若不能，请说明理由． 解：(1)Aeq \o\al(3,－15)＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4080. (2)性质①②均可推广，推广的形式分别是： ①Aeq \o\al(m,x)＝xAeq \o\al(m－1,x－1)，②Aeq \o\al(m,x)＋mAeq \o\al(m－1,x)＝Aeq \o\al(m,x＋1)(x∈R，m是正整数)． 在①中，当m＝1时，左边＝Aeq \o\al(1,x)＝x，右边＝xAeq \o\al(0,x－1)＝x，等式成立； 当m≥2时，左边＝x(x－1)(x－2)…(x－m＋1)＝x{(x－1)(x－2)…[(x－1)－(m－1)＋1]}＝xAeq \o\al(m－1,x－1)＝右边， 因此Aeq \o\al(m,x)＝xAeq \o\al(m－1,x－1)(x∈R，m是正整数)成立． 在②中，当m＝1时，左边＝Aeq \o\al(1,x)＋Aeq \o\al(0,x)＝x＋1＝Aeq \o\al(1,x＋1)＝右边，等式成立； 当m≥2时，左边＝x(x－1)(x－2)…(x－m＋1)＋mx(x－1)(x－2)…(x－m＋2)＝x(x－1)(x－2)…(x－m＋2)[(x－m＋1)＋m]＝(x＋1)x(x－1)(x－2)…[(x＋1)－m＋1]＝Aeq \o\al(m,x＋1)＝右边， 因此Aeq \o\al(m,x)＋mAeq \o\al(m－1,x)＝Aeq \o\al(m,x＋1)(x∈R，m是正整数)成立． $