第三章 阶段测试2 二项式定理与杨辉三角-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教B版）

数学　选择性必修·第二册　作业与测评(B版) 阶段测试2　二项式定理与杨辉三角 一、单项选择题 1．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被5整除，则x，n的一组值可能为(　　) A．x＝2，n＝6 B．x＝4，n＝6 C．x＝8，n＝4 D．x＝14，n＝4 答案：C 解析：Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn－1＝(1＋x)n－1.对于A，x＝2，n＝6，36－1＝(33－1)(33＋1)＝26×28，不能被5整除，A错误；对于B，x＝4，n＝6，56－1不能被5整除，B错误；对于C，x＝8，n＝4，94－1＝(92－1)(92＋1)＝80×82，能被5整除，C正确；对于D，x＝14，n＝4，154－1＝(152－1)(152＋1)＝224×226，不能被5整除，D错误．故选C. 2．已知(＋)n展开式中的有理项不少于3项，则n的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B 解析：(＋)n展开式的通项为Tk＋1＝C·()n－k()k＝C·2·6＝C23，其中k＝0，1，2，…，n.当Tk＋1为有理项时，k必为偶数．当n＝4时，Tk＋1＝22C×3，k＝0，1，2，3，4.其中，当k的值分别为0，2，4时，Tk＋1为有理项，共有3项．故n的最小值为4.故选B. 3．(1＋x)(2＋x)(3＋x)(4＋x)的展开式中x2的系数为(　　) A．10 B．24 C．35 D．45 答案：C 解析：(1＋x)(2＋x)(3＋x)(4＋x)＝(x2＋3x＋2)(x2＋7x＋12)，则展开式中含x2的项为12x2＋2x2＋3x·7x＝35x2，即x2的系数为35.故选C. 4．在(x2＋x＋y)6的展开式中，x7y的系数为(　　) A．3 B．6 C．60 D．30 答案：C 解析：(x2＋x＋y)6＝[(x2＋x)＋y]6的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2＋x)6－kyk(k＝0，1，2，…，6)．要求x7y的系数，则y的次数k＝1，此时(x2＋x)6－k＝(x2＋x)5.(x2＋x)5的展开式的通项为Tm＋1＝C(x2)5－mxm＝Cx10－m(m＝0，1，2，…，5)．要得到x7，则令10－m＝7，解得m＝3.所以当k＝1，m＝3时，可得x7y的系数为CC＝6×10＝60.所以在(x2＋x＋y)6的展开式中，x7y的系数为60.故选C. 5．已知(2＋x)＋(2＋x)2＋…＋(2＋x)10＝a0＋a1(1＋x)＋…＋a10(1＋x)10(x≠－2，x≠－1)，则a3＝(　　) A．210 B．330 C．165 D．145 答案：B 解析：由(2＋x)＋(2＋x)2＋…＋(2＋x)10＝a0＋a1(1＋x)＋…＋a10(1＋x)10，令t＝1＋x，可得(1＋t)＋(1＋t)2＋…＋(1＋t)10＝a0＋a1t＋…＋a10t10，∴a3是(1＋t)＋(1＋t)2＋…＋(1＋t)10的展开式中t3的系数，∴a3＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝330.故选B. 二、多项选择题 6．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是(　　) A．C＋C＝C B．第8行所有数字之和为256 C．第9行中从左到右第6个数是126 D．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则＝ 答案：BC 解析：对于A，由组合数的性质可得C＋C＝C，故A错误；对于B，由二项式系数的性质知，第n行各数之和为2n，所以第8行所有数字之和为28＝256，故B正确；对于C，第9行中从左到右第6个数是C＝126，故C正确；对于D，第20行数字的最大值为a＝C，第21行数字的最大值为b＝C＝C，所以＝＝＝，故D错误．故选BC. 7．若(x2＋mx＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，且a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，则(　　) A．m＝－1 B．a0＋2a1＋4a2＋…＋210a10＝243 C．a1＋a3＋a5＋…＋a9＝121 D．a0＋a2＋a4＋…＋a10＝122 答案：ABD 解析：令x＝1，则(m＋2)5＝a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，所以m＋2＝1，解得m＝－1，A正确；(x2－x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝2，则a0＋2a1＋4a2＋…＋210a10＝(4－2＋1)5＝35＝243，B正确；令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a10＝243　①，而a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1　②，由②－①，得2(a1＋a3＋a5＋…＋a9)＝－242，则a1＋a3＋a5＋…＋a9＝－121，由①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＝244，则a0＋a2＋a4＋…＋a10＝122，C错误，D正确．故选ABD. 三、填空题 8.(x－y)6的展开式中x4y2的系数是________(结果用数字表示)． 答案：－25 解析：展开式中x4y2的系数是C×(－1)2＋2×C×(－1)3＝15－40＝－25. 9．若二项式(m>0)的展开式中常数项为60，则m＝________． 答案： 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C(mx)6－k＝C(－1)km6－kx6－3k，0≤k≤6，k∈N，令6－3k＝0，解得k＝2，则展开式中常数项为C(－1)2m4＝60，因为m>0，所以解得m＝. 10．已知二项式(x＋0.01)n的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512，则n＝________．试估算x＝1时，(x＋0.01)n的值为________(精确到0.001)． 答案：10　1.105 解析：依题意，得＝512，解得n＝10.当x＝1时，(1＋0.01)10＝1＋C×0.01＋C×0.0001＋C×0.000001＋…＋C×0.0110≈1＋C×0.01＋C×0.0001＋C×0.000001＝1＋0.1＋0.0045＋0.00012＝1.10462≈1.105. 四、解答题 11．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解：(1)令x＝0，则a0＝－1， 令x＝1， 则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令x＝－1， 则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，② 由(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝×[128－(－4)7]＝8256. (3)由(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝×[128＋(－4)7]＝－8128. (4)解法一：∵(3x－1)7的展开式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a1＋a3＋a5＋a7－(a0＋a2＋a4＋a6)＝8256－(－8128)＝16384. 解法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋3x)7的展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(1＋3)7＝47＝16384. 12．在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ (3)求系数最大的项． 解：的展开式的通项为Tk＋1＝C()8－k＝(－2)kCx4－k，k≤8，k∈N. (1)二项式系数最大的项为中间项， 即第5项，T5＝(－2)4Cx－6＝1120x－6. (2)设第r＋1项系数的绝对值最大，显然0<r<8， 则 整理，得 即解得5≤r≤6， 而r∈N，则r＝5或r＝6， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项． (3)由(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 而第6项的系数为负，第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项T7＝(－2)6Cx－11＝1792x－11. 13．已知(x－2y)n＝a0xn＋a1xn－1y＋a2xn－2y2＋…＋anyn，且|a0|＋|a1|＋…＋|an|＝729，则(x－2y)n的展开式中含xpyp(p∈N＋)项的二项式系数为________． 答案：20 解析：由题意，得当n为偶数且n∈N＋时，an>0，当n为奇数且n∈N＋时，an<0，令x＝1，y＝－1，得3n＝|a0|＋|a1|＋…＋|an|＝729，n＝6，∴(x－2y)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－k(－2y)k＝C(－2)kx6－kyk，由6－k＝k，得k＝3，故p＝3，∴(x－2y)n的展开式中含xpyp(p∈N＋)项的二项式系数为C＝20. 14．(a2＋a＋1)n＝Sa2n＋Sa2n－1＋Sa2n－2＋…＋Sa＋S的展开式中，把S，S，S，…，S叫作三项式的n次系数列． (1)求S＋S＋S的值； (2)根据二项式定理，将等式(1＋x)2n＝(1＋x)n(1＋x)n的两边分别展开可得左、右两边的系数对应相等，如C＝(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2.理解上述思想方法，利用方程1－x3＝(1－x)(1＋x＋x2)，请化简：SC－SC＋SC－…＋(－1)kSC＋…＋SC－SC. 解：(1)由题设，可知(a2＋a＋1)3＝S·a6＋S·a5＋S·a4＋S·a3＋S·a2＋S·a＋S， 令a＝1，得33＝S＋S＋S＋S＋S＋S＋S； 令a＝－1，得1＝S－S＋S－S＋S－S＋S， 两式相减，得26＝2(S＋S＋S)， 所以S＋S＋S＝13. (2)因为(x2＋x＋1)2025＝Sx4050＋Sx4049＋Sx4048＋…＋Sx2＋Sx＋S，(1－x)2025＝C－Cx＋Cx2－…－Cx2025， 所以在(1－x)2025(1＋x＋x2)2025的展开式中，x4050的系数为SC－SC＋SC－…＋(－1)kSC＋…＋S·C－SC. 又(1－x3)2025的展开式的通项为Tk＋1＝C·(－x3)k， 由3k＝4050，得k＝1350， 所以x4050的系数为C. 所以SC－SC＋SC－…＋(－1)kSC＋…＋SC－S·C＝C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $