3.3 课时2 杨辉三角形与二项式定理的应用课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

3.3 课时2 杨辉三角形 与二项式定理的应用 第三章 排列、组合与二项式定理 作者编号：、32200 1.了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明. 2.掌握二项式定理的应用. 学习目标 作者编号：、32200 1.二项式定理: 2.二项式系数: 3.展开式的通项: 知识回顾 作者编号：、32200 问题1：观察杨辉三角中的数，你能发现它们有哪些规律吗？试用组合数知识加以说明. 说明：由组合数性质可知， ,所以每一行的数都是对称的，两端的数分别是 . (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1； (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． 说明：由组合数性质可知 杨辉三角至少具有以下性质： 课题探究 作者编号：、32200 问题2：还可以发现，对于给定n，其二项式系数满足中间大、两边小的特点.这一结论是否具有普遍性呢？试证明. 假设 ，则 ， 所以利用二项式系数的对称性可知，二项式系数 是先逐渐变大，再逐渐变小的.当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 化简可得 ，从而有 . 课题探究 作者编号：、32200 例1 杨辉三角如图所示，在我国南宋数学家杨辉1261年 所著的《详解九章算术》一书中，就已经出现了这个表， 它揭示了 的展开式的项数及各项系数的 有关规律.图中第7行从左到右第4个数是____；第 行的 所有数的和为____. 35 解析:在图中，第0行有1个数，为1，第1行有2个数，依次为 ，， 第2行有3个数，依次为，，, ,第7行有8个数，依次为， ， ，，故第7行从左到右第4个数是. 第行有个数，依次为 ，，， ，，其和为 . 作者编号：、32200 例2 求证 能被64整除. 证: ， 上式中的每一项都含有 这个因数，故原式能被64整除. 课题探究 作者编号：、32200 归纳总结 利用二项式定理解决整除问题的基本做法： 进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可. 因此，一般要将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常采用配凑法、消去法等. 课题探究 作者编号：、32200 例3 已知 ，则 ___. 6 解析: ， 即，解得 . 课题探究 作者编号：、32200 尝试与发现：不用计算器，你能用二项式定理求0.9986的近似值，使误差小于0.001吗？ 课题探究 作者编号：、32200 例4 证明： . 证：因为, ， 所以 ， 所以 . 课题探究 作者编号：、32200 二项式定理与杨辉三角 杨辉三角 二项式定理的应用 对称性 增减性与最大值 课后小结 作者编号：、32200 1.利用二项式定理计算 ，则其结果精确到0.01的近似值是( ) A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34 2. 被7除的余数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 D D 当堂检测 作者编号：、32200 3.如图，在杨辉三角中，若第 行中从左至右第14个数与第15个数的比为，则 的值为____. 34 当堂检测 作者编号：、32200 $$