4.3.1 一元线性回归模型-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教B版）

数学　选择性必修·第二册　作业与测评(B版) 4．3.1　一元线性回归模型 知识点一　相关关系 1．下列变量关系是线性相关的是(　　) A．角的大小与所对的圆弧长 B．收入水平与纳税水平 C．人的身高与视力 D．圆的半径与面积 答案：B 解析：对于A，同一圆中，角的大小与弧长是确定的函数关系，不是线性相关关系；对于B，是线性相关关系；对于C，人的身高与视力没有什么关系，不是线性相关关系；对于D，圆的半径与面积之间是S＝πr2，它们之间是确定的函数关系，不是线性相关关系． 2．观察下列散点图，其中对两个变量之间的相关关系判断正确的是(　　) A．a中为正相关，b中为负相关，c中为不相关 B．a中为负相关，b中为不相关，c中为正相关 C．a中为负相关，b中为正相关，c中为不相关 D．a中为正相关，b中为不相关，c中为负相关 答案：D 解析：根据变量的相关性可知，图a中两个变量正相关；图b中两个变量不相关；图c中两个变量负相关．故选D. 知识点二　回归直线方程 3．随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量x(单位：件)与店铺的浏览量y(单位：次)之间的对应数据如下表所示： x/件 2 4 5 6 8 y/次 30 40 50 60 70 (1)根据表中数据画出散点图； (2)根据表中的数据，求出y关于x的回归直线方程； (3)当这种商品的成交量突破100件(含100件)时，预测这家店铺的浏览量至少为多少次？ 解：(1)散点图如图所示． (2)根据散点图可得，变量x与y之间具有线性相关关系． 根据数据可知，＝5，＝50， xiyi＝1390，x＝145， 代入公式得＝＝＝7， ＝－＝50－7×5＝15. 故所求的回归直线方程是＝7x＋15. (3)由(2)知，当成交量突破100件(含100件)， 即x＝≥100时，≥715， 所以预测这家店铺的浏览量至少为715次． 4．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据： 年份x 2016 2018 2020 2022 2024 需求量y/万吨 236 246 257 276 286 (1)利用所给数据求年需求量y与年份x之间的回归直线方程＝x＋； (2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地2026年的粮食需求量(结果精确到1万吨)． 解：(1)由所给数据可以看出，年需求量y与年份x之间是近似的线性关系，由于所给数据较大，故令u＝y－257，v＝x－2020，由题表变换后为 v －4 －2 0 2 4 u －21 －11 0 19 29 对处理后的数据，容易得u与v之间是近似的线性关系， 计算得＝0，＝3.2. 由公式计算得′＝6.5，′＝－′＝3.2. 故所求回归直线方程为－257＝′(x－2020)＋′＝6.5(x－2020)＋3.2， 即＝6.5(x－2020)＋260.2＝6.5x－12869.8. (2)由(1)中回归直线方程，可预测该地2026年的粮食需求量为6.5×2026－12869.8＝299.2(万吨)≈299(万吨)． 知识点三　回归直线方程的性质 5．为了研究变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归分析的方法得到回归直线l1和l2，已知两人计算过程中，分别相同，则下列说法正确的是(　　) A．l1与l2一定平行 B．l1与l2重合 C．l1与l2相交于点(，) D．无法判断l1和l2是否相交 答案：C 解析：回归直线一定过点(，)，故C正确． 知识点四　相关系数 6．[多选]下列关于相关系数r的说法中正确的是(　　) A．相关系数r越小两个变量间线性相关性越弱 B．相关系数r的取值范围为[－1，1] C．相关系数r>0时两个变量正相关，r<0时两个变量负相关 D．相关系数r＝1时，样本点在同一直线上 答案：BCD 解析：对于相关系数r，有以下结论：①当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．②r的绝对值越接近于1，表明两个变量之间的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间的线性相关性越弱．对于A，当r<0时，此结论不成立，所以A不正确；对于B，C，D，由相关系数的性质可得均正确．故选BCD. 知识点五　非线性回归 7．某地区的女性在不同年龄段的身高平均值x(单位：cm)和体重平均值y(单位：kg)的数据如下表： 身高x/cm 60 70 80 90 100 110 体重y/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高x/cm 120 130 140 150 160 170 体重y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)试建立y与x之间的回归方程； (2)若体重超过相同身高的女性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175 cm、体重82 kg的女性的体重是否正常？ 解：(1)根据题表中的数据画出散点图如图1所示． 由图1可看出，样本点分布在某条类似指数函数曲线y＝em＋nx的周围，其中m和n是待定的参数．令z＝ln y，变换后的样本数据如下表： x 60 70 80 90 100 110 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 x 120 130 140 150 160 170 z 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 作出散点图如图2所示． 设z与x之间的回归直线方程为＝＋x， 则由表中数据得≈0.020，≈0.663， 所以z与x之间的回归直线方程为＝0.663＋0.020x，所以＝e0.663＋0.020x. (2)当x＝175 cm时， 预测平均体重＝e0.663＋0.020×175≈64.26(kg)， 由于64.26×1.2＝77.112<82， 所以这位女性偏胖． 8．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． (xi－)2 (wi－)2 46.6 563 6.8 289.8 1.6 (xi－)(yi－) (wi－)(yi－) 1469 108.8 表中wi＝，＝wi. (1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0．2y－x．根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预测值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预测值最大？ 解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型． (2)令w＝，先建立y关于w的回归直线方程． 由于＝＝＝68， ＝－＝563－68×6．8＝100．6， 所以y关于w的回归直线方程为＝100．6＋68w， 因此y关于x的回归方程为＝100．6＋68． (3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预测值＝100．6＋68＝576．6，年利润z的预测值＝576．6×0．2－49＝66．32． ②根据(2)的结果知，年利润z的预测值 ＝0．2(100．6＋68)－x＝－x＋13．6＋20．12． 所以当＝＝6．8，即x＝46．24时，取得最大值． 故年宣传费为46．24千元时，年利润的预测值最大． 一、单项选择题 1．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程＝＋x中，回归系数(　　) A．可以小于0 B．只能大于0 C．能等于0 D．只能小于0 答案：A 解析：当＝0时，两个变量不具有线性相关性，但可以大于0也可小于0． 2．在一次试验中，测得(x，y)的4组值分别是(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，则y关于x的回归直线方程为(　　) A．＝x＋1 B．＝x＋2 C．＝2x＋1 D．＝x－1 答案：A 解析：易知变量y与x具有线性相关关系，且＝1，＝2．5，＝3．5，所以＝3．5－1×2．5＝1，故可得出回归直线方程为＝x＋1．故选A． 3．在一次试验中，测得(x，y)的4组值分别为(1，2)，(2，0)，(4，－4)，(－1，6)，则y与x的相关系数为(　　) A．1 B．－2 C．0 D．－1 答案：D 解析：＝1．5，＝1，x＝22，y＝56，xiyi＝－20，相关系数r＝＝－1． 4．某化工厂产生的废气经过过滤后排放，以模型y＝p0e－kx去拟合过滤过程中废气的污染物浓度y mg/L与时间x h之间的一组数据，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到回归直线方程为＝－0．5x＋2＋ln 300，则当经过6 h后，预报废气的污染物浓度为(　　) A．300e2 mg/L B．300e mg/L C． mg/L D． mg/L 答案：D 解析：当x＝6时，＝－1＋ln 300＝ln ，所以＝e＝．故选D． 5．已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的回归直线方程为＝x＋0．16，由它计算出成对样本数据(2，1．4)对应的残差为0．12(残差＝观测值－预测值)，则＝(　　) A．0．28 B．0．56 C．0．34 D．0．48 答案：B 解析：因为y关于x的回归直线方程为＝x＋0．16，所以预测值为＝×2＋0．16，又因为残差＝观测值－预测值，所以0．12＝1．4－(2＋0．16)，所以＝0．56．故选B． 二、多项选择题 6．已知某中学的高中女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)，由最小二乘法近似得到y关于x的回归直线方程为＝0．85x－85．71，则下列结论中正确的是(　　) A．y与x是正相关的 B．该回归直线必过点(，) C．若该中学某高中女生身高增加1 cm，则其体重约增加0．85 kg D．若该中学某高中女生身高为160 cm，则其体重必为50．29 kg 答案：ABC 解析：根据y关于x的回归直线方程，易知y与x是正相关的，所以A正确；回归直线必过点(，)，所以B正确；根据回归直线方程＝0．85x－85．71的斜率为0．85，可知该中学某高中女生身高增加1 cm，其体重约增加0．85 kg，所以C正确；回归直线方程确定之后只能用于预测，所以D错误．故选ABC． 7．某企业根据市场调研得到研发投入x(单位：亿元)与产品收益y(单位：亿元)的数据统计如下，则下列叙述正确的是(　　) x/亿元 1 2 3 4 5 6 7 y/亿元 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：y关于x的回归直线方程＝x＋中，＝，＝－． A．＝4，＝6 B．y与x负相关 C．相关系数r>0 D．用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为＝1．5x＋0．5 答案：AC 解析：对于A，由题知＝＝4，＝＝6，故A正确；对于B，由题表可得散点图如图，由散点图知y与x正相关，故B错误；对于C，由B项知，y与x正相关，所以r>0，故C正确；对于D，因为＝4，＝6，1．5×4＋0．5＝6．5≠6，所以＝1．5x＋0．5不是y关于x的回归直线方程，故D错误．故选AC． 三、填空题 8．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的相关系数为________． 答案：1 解析：因为所有的样本点都落在一条直线上，所以相关系数|r|＝1，又回归直线方程为＝x＋1，说明y与x正相关，即r＞0，所以r＝1． 9．某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下关系： x/万元 2 4 5 6 8 y/万元 30 40 60 50 70 y关于x的回归直线方程为＝6．5x＋17．5，则广告费支出每增加1万元，销售额约增加________万元；当广告费支出9万元时，销售额约为________万元． 答案：6．5　76 解析：由回归系数＝6．5，可知x每增加1个单位，增加6．5个单位，因此广告费支出每增加1万元，则销售额约增加6．5万元．当广告费支出x＝9时，＝6．5×9＋17．5＝76． 10．已知由一组数据确定的回归直线方程为＝－x＋2且＝4，通过残差分析，发现两个数据(－1．7，2．9)，(－2．3，5．1)的残差绝对值较大，去除这两个数据后，重新求得回归直线的斜率为－1．5，则当x＝－4时，＝________． 答案：7 解析：由题意得＝2－＝2－4＝－2，设原来有n个数据，则去除两个数据后还有n－2个数据，设这n－2个数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn－2，yn－2)，x1，x2，…，xn－2和y1，y2，…，yn－2的平均数分别为′，′，则′＝＝－2，′＝＝4．设重新求得的回归直线方程为＝－1．5x＋m，则4＝－1．5×(－2)＋m，可得m＝1，则＝－1．5x＋1，则当x＝－4时，＝－1．5×(－4)＋1＝7． 四、解答题 11．为了对某市中考成绩进行分析，所有成绩均已按百分制进行了折算，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，若这8位同学的数学、物理、化学分数对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95 化学分数z 67 72 76 80 84 87 90 92 (1)用变量y与x，z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度； (2)求y关于x，z关于x的回归直线方程(系数精确到0．01)． (参考数据：＝77．5，＝85，＝81， (xi－)2≈1050， (yi－)2≈456， (zi－)2≈550， (xi－)(yi－)≈688， (xi－)(zi－)≈755，≈32．4，≈21．4，≈23．5) 解：(1)变量y与x，z与x的相关系数分别是 r＝≈0．99，r′＝≈0．99． 可以看出，物理与数学、化学与数学都是高度正相关的． (2)设y关于x，z关于x的回归直线方程分别是＝x＋，＝′x＋′． 根据所给的数据，可以计算出＝≈0．66，≈85－0．66×77．5＝33．85，′＝≈0．72，′≈81－0．72×77．5＝25．20． 所以y关于x，z关于x的回归直线方程分别是＝0．66x＋33．85，＝0．72x＋25．20． 12．为落实“精准扶贫”政策，某县决定利用扶贫资金帮扶具有地方特色的传统手工业发展．扶贫项目组利用数据分析技术，模拟扶贫项目的未来预期，模拟结果显示，项目投资额x(单位：万元)和产品利润y(单位：万元)的关系如下表所示： 序号i 1 2 3 4 5 项目投资额xi/万元 30 40 50 60 70 产品利润yi/万元 90 120 180 260 310 分析发现用模型y＝bx2＋a可以较好地反映项目投资额x与产品利润y的关系．设ti＝x(i＝1，2，3，4，5)，＝ti，对数据初步处理得到下面一些统计量的值： (ti－)2 (ti－)(yi－) 50 192 2700 10140000 586000 (1)求回归方程＝x2＋(结果中精确到0．01)； (2)该扶贫项目用于支付工人劳动所得资金总额w(单位：万元)用公式w＝y－1．2x来估算，并以(1)中所求回归方程预测产品利润，当工人劳动所得资金总额不少于120万元时，认为该项目可以完成“脱贫”任务．假设政府投入该项目的扶贫资金(单位：万元)是区间[45，80]内的任意整数值，求可以完成“脱贫”任务的概率． 解：(1)由题意，知回归方程可变为＝t＋． 根据所给数据得＝ ＝≈0．06． 因为回归直线经过点(2700，192)， 所以＝－＝192－0．06×2700＝30， 所以回归方程为＝0．06t＋30， 即＝0．06x2＋30． (2)由＝－1．2x＝0．06x2－1．2x＋30≥120， 解得x≥50(x≤－30舍去)． 区间[45，80]内共含有36个整数，其中不小于50的整数个数为31，所以可以完成“脱贫”任务的概率为． 13．[多选]小王经过调查获得如下数据： x 2 4 7 17 30 y 1 2 3 4 5 参考公式及数据：相关系数 r＝， ＝， ＝－，≈73．35． 下列说法正确的是(　　) A．该组数据的回归直线方程为＝0．13x＋1．44 B．该组数据的相关系数r≈0．85 C．所有数据点中残差最小的是(2，1) D．去掉数据点(4，2)后，回归直线会向下移动 答案：ACD 解析：对于A，＝＝12，＝＝3， (xi－)(yi－)＝(2－12)×(1－3)＋(4－12)×(2－3)＋(7－12)×(3－3)＋(17－12)×(4－3)＋(30－12)×(5－3)＝69， (xi－)2＝(2－12)2＋(4－12)2＋(7－12)2＋(17－12)2＋(30－12)2＝538，所以＝≈0．13，≈3－0．13×12＝1．44，所以该组数据的回归直线方程为＝0．13x＋1．44，故A正确；对于B，由 (yi－)2＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10， (xi－)(yi－)＝69， (xi－)2＝538，得r＝≈0．94，故B错误；对于C，由残差＝yi－i，结合A项的回归直线方程可得，y1－1＝1－1．7＝－0．7，y2－2＝2－1．96＝0．04，y3－3＝3－2．35＝0．65，y4－4＝4－3．65＝0．35，y5－5＝5－5．34＝－0．34，所有数据点中残差最小的是(2，1)，故C正确；对于D，当x＝4时，＝1．96<2，故点(4，2)在回归直线上方，故去掉该点后，回归直线下移，故D正确．故选ACD． 14．某乒乓球训练机构以培训青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置(称为“准点球”)，每周记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比(y%)，A学员已经训练了1年，下表记录了A学员最近七周“准点球”的百分比： 周次x 1 2 3 4 5 6 7 y(%) 52 52．8 53．5 54 54．5 54．9 55．3 若z＝． (1)根据上表数据，计算y与z的相关系数r，并说明y与z的线性相关性的强弱；(若0．75≤|r|≤1，则认为y与z线性相关性很强；若0．3≤|r|<0．75，则认为y与z线性相关性一般；若|r|<0．3，则认为y与z线性相关性较弱)(精确到0．01) (2)求y关于x的回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比(精确到0．01)； (3)若现在认为A学员“准点球”的百分比为55%，并以此为概率，让A学员打3个球，以X表示“准点球”的个数，求X的数学期望． 参考公式和数据：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，r＝， ＝，＝－，z－72≈2．05，ziyi≈729．99，≈1．926，≈53．86，≈103．73，≈4．12． 解：(1)r＝ ≈≈0．94>0．75， 故y与z线性相关性很强． (2)＝≈ ≈1．89， ＝－≈53．86－1．89×1．926≈50．22，所以y关于z的回归方程为＝1．89z＋50．22， 将z＝代入＝1．89z＋50．22， 得＝1．89＋50．22． 当x＝9时，＝1．89×＋50．22＝55．89， 故预测第9周“准点球”的百分比为55．89%． (3)现在A学员任打一球是“准点球”的概率为P＝＝， 由题意，知X～B，数学期望E(X)＝3×＝． 12 学科网（北京）股份有限公司 $