4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教B版）

数学　选择性必修·第二册　作业与测评(B版) 4.2.4　随机变量的数字特征 第1课时　离散型随机变量的均值 知识点一　离散型随机变量的均值 1．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望E(X)＝(　　) A. B．2 C. D．3 答案：A 解析：由已知条件可得E(X)＝1×＋2×＋3×＝.故选A. 2．某学生在参加政治、历史、地理三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为，，，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．则该学生取得A等级的课程数ξ的均值为________． 答案： 解析：ξ的取值范围是{0，1，2，3}，因为P(ξ＝0)＝××＝，P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝，P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝，P(ξ＝3)＝××＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 知识点二　两点分布、二项分布的均值 3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，没命中得0分．已知某篮球运动员命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的数学期望是(　　) A．0.2 B．0.8 C．1 D．0 答案：B 解析：因为P(ξ＝1)＝0.8，P(ξ＝0)＝0.2，所以E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.故选B. 4．某树苗的成活率为p＝0.9. (1)求种植1棵该树苗时，成活棵数ξ的均值； (2)求种植5棵该树苗时，成活棵数η的均值． 解：(1)种植1棵该树苗时，成活棵数ξ的分布列为 ξ 0 1 P 0.1 0.9 则E(ξ)＝p＝0.9. (2)由题意，种植5棵该树苗时，成活棵数η服从二项分布， 即η～B(5，0.9)． 则E(η)＝np＝5×0.9＝4.5. 知识点三　超几何分布的均值 5．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的数学期望为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：次品数X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 6．一个口袋内有n(n＞3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n－3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的期望E(ξ)． 解：由题意，得＝， ∴n＝5， ∴5个球中有2个白球． 解法一：取到白球的个数ξ的取值范围是{0，1，2}． P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 解法二：取到白球的个数ξ服从参数为N＝5，n＝3，M＝2的超几何分布， 则E(ξ)＝＝＝. 知识点四　离散型随机变量的均值的性质及应用 7．已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m 若Y＝－2X，则E(Y)＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：D 解析：由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)＝－2×＝. 8．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元进行处理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的分布列如下表所示，若进这种鲜花500束，则利润的均值是(　　) ξ 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 A.706元 B．690元 C．754元 D．720元 答案：A 解析：由分布列可以得到需求量的期望是E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340.故利润的均值是(340×5＋160×1.6)－500×2.5＝706(元)． 一、单项选择题 1．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数ξ的均值是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：试验次数ξ的取值范围是{1，2，3}，则P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝××＝.所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P 所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝. 2．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.当这4盏装饰灯闪烁一次时，出现红灯的数量ξ的数学期望为(　　) A. B．2 C. D．3 答案：C 解析：依题意，ξ～B，所以E(ξ)＝4×＝.故选C. 3．已知随机变量X的分布列如下： X 2 3 5 P a b 2b－a 若E(X)＝4，则a＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由分布列的性质可得a＋b＋2b－a＝1，解得b＝，由期望可得E(X)＝2a＋3×＋5＝－3a＝4，解得a＝.故选C. 4．设ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 又设η＝2ξ＋5，则E(η)＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝. 5．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中任意选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为(　　) A. B．1 C. D．2 答案：B 解析：记抽到自己准备的书的人数为X，则X的取值范围是{0，1，2，4}，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝，则E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.故选B. 二、多项选择题 6．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则下列结论正确的是(　　) X 2 4 6 8 10 P 2a 0.25 0.1 0.25 a＋0.1 A.a＝0.1 B．E(X)＝6 C．E(2X＋1)＝12 D．P(X≥8)＝0.45 答案：ABD 解析：由分布列的性质可得2a＋0.25＋0.1＋0.25＋a＋0.1＝1，所以a＝0.1，此时2a＝0.2，a＋0.1＝0.2，所以E(X)＝2×0.2＋4×0.25＋6×0.1＋8×0.25＋10×0.2＝6，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝13，P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝10)＝0.25＋0.2＝0.45.故选ABD. 7．设离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P p1 p2 p3 则E(X)＝2的充要条件是(　　) A．p1＝－p2 B．p2＝1－2p3 C．p1＝p3 D．p1＝p2＝p3 答案：BC 解析：由离散型随机变量X的分布列知，当E(X)＝2时，解得p1＝p3；当p1＝p3时，p1＋p2＋p3＝2p1＋p2＝1，E(X)＝p1＋2p2＋3p3＝4p1＋2p2＝2.故E(X)＝2的充要条件是p1＝p3，故C符合题意；当p1＝p3时，p2＝1－2p3，故B符合题意．故选BC. 三、填空题 8．已知X～B，Y～B，且E(X)＝15，则E(Y)＝________． 答案：10 解析：因为X～B，所以E(X)＝.又E(X)＝15，所以n＝30.由Y～B，得Y～B，故E(Y)＝30×＝10. 9．设离散型随机变量X的取值范围为{1，2，3}，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3)．又X的均值E(X)＝2，则a＋b＝________． 答案： 解析：∵P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，P(X＝3)＝3a＋b，∴E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝2，即14a＋6b＝2　①，又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，∴6a＋3b＝1　②，由①②，可知a＝0，b＝，∴a＋b＝. 10．5名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有1名志愿者．设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数，则X的数学期望为________． 答案： 解析：5名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同岗位，每个岗位至少1名，共有CA＝240种分法，分析知X的取值范围为{1，2}，且P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，故E(X)＝1×＋2×＝. 四、解答题 11．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示： 版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版 人数 20 15 5 10 (1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用教材版本相同的概率； (2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 解：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C＝1225，选出2人所使用教材版本相同的方法数为C＋C＋C＋C＝350，故2人所使用教材版本相同的概率为P＝＝. (2)X的取值范围是{0，1，2}， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝. 12．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值． 解：记事件E＝{甲组研发新产品成功}，事件F＝{乙组研发新产品成功}． 由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立． (1)记事件H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝， 于是P()＝P()P()＝×＝， 故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝. (2)设企业可获利润为X万元，则X的取值范围是{0，100，120，220}． 因为P(X＝0)＝P()＝×＝， P(X＝100)＝P(F)＝×＝， P(X＝120)＝P(E)＝×＝， P(X＝220)＝P(EF)＝×＝， 故所求的分布列为 X 0 100 120 220 P 均值为E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝140. 13.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队． (1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X的分布列和数学期望． 解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28种，当X＝0时，两向量的夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝. (2)X的取值范围是{－2，－1，0，1}， 当X＝－2时，有2种情形； 当X＝1时，有8种情形； 当X＝0时，有8种情形； 当X＝－1时，有10种情形． 所以X的分布列为 X －2 －1 0 1 P E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＝－. 14．某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益情况如下表所示： 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务，无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元． 已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36. (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X(单位：万元)的分布列及基地的预期收益； (2)判断该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由． 解：(1)设下周一无雨的概率为p(0≤p≤1)， 则p2＝0.36， ∴p＝0.6. 基地收益X的取值范围是{20，15，10，7.5}， 则P(X＝20)＝0.36， P(X＝15)＝0.6×(1－0.6)＝0.24， P(X＝10)＝(1－0.6)×0.6＝0.24， P(X＝7.5)＝(1－0.6)2＝0.16. ∴基地收益X的分布列为 X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 ∴E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4， ∴基地的预期收益为14.4万元． (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝(16－a)万元． ∵E(Y)－E(X)＝1.6－a， ∴当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不应额外聘请工人；成本低于1.6万元时，应该额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，是否额外聘请工人均可以． 9 学科网（北京）股份有限公司 $