4.2.3 二项分布与超几何分布-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教B版）

数学　选择性必修·第二册　作业与测评(B版) 4.2.3　二项分布与超几何分布 知识点一　独立重复试验的判断 1．给出下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次．其中是独立重复试验的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 答案：D 解析：①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是独立重复试验． 知识点二　独立重复试验的概率 2．任意抛掷三枚硬币，恰有两枚正面朝上的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有两枚正面朝上的概率为P＝C××＝. 3．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)＝(　　) A．C×× B．C×× C.× D.× 答案：C 解析：X＝3表示“第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品”，故其概率是×. 知识点三　二项分布 4．已知随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝________． 答案： 解析：若随机变量X服从二项分布B(n，p)，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，所以P(X＝3)＝C××＝. 5．甲、乙两队参加某知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人答对与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1)求随机变量ξ的分布列； (2)设C表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P(C)． 解：(1)由题意知，ξ的取值范围是{0，1，2，3}， 且P(ξ＝0)＝C×＝， P(ξ＝1)＝C××＝， P(ξ＝2)＝C××＝， P(ξ＝3)＝C×＝， 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P (2)甲队得2分，乙队得1分，两事件是独立的， 由上表可知， 甲队得2分，其概率P(ξ＝2)＝， 乙队得1分，其概率为P＝××＋××＋××＝. 所以P(C)＝×＝. 知识点四　超几何分布 6．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2) B．P(X＝3) C．P(X≤2) D．P(X≤3) 答案：B 解析：C表示从5名“三好学生”中选3名，从而P(X＝3)＝. 7．某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机选取3人，女生中随机选取3人组成代表队． (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列． 解：(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名， 代表队中的学生全从B中学选取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝， 因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝. (2)根据题意，知X的取值范围是{1，2，3}． P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 一、单项选择题 1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 答案：A 解析：根据独立重复试验公式，得该同学通过测试的概率为C×0.62×0.4＋0.63＝0.648. 2．设随机变量X～B，则P(X≥1)＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为随机变量X～B，所以P(X＝0)＝＝，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝.故选D. 3．口袋中有5只白色乒乓球，5只黄色乒乓球，从中任取球5次，每次取1只后又放回，则5次中恰有3次取到白色乒乓球的概率是(　　) A. B. C. D．C×0.55 答案：D 解析：本题是独立重复试验，任意取球5次，取得白色乒乓球3次的概率为C×0.53×(1－0.5)5－3＝C×0.55. 4．中国的景观旅游资源相当丰富，5A级为中国旅游景区最高等级，代表着中国世界级精品的旅游风景区等级．某地7个旅游景区中有3个景区是5A级景区，现从中任意选3个景区，下列事件中概率等于的是(　　) A．至少有1个5A级景区 B．有1个或2个5A级景区 C．有2个或3个5A级景区 D．恰有2个5A级景区 答案：B 解析：用X表示这3个旅游景区中5A级景区的个数，则X服从超几何分布，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＝，即有1个或2个5A级景区的概率为.故选B. 5．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　) A．10% B．20% C．30% D．40% 答案：B 解析：设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，所以x＝2或x＝8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为＝20%. 二、多项选择题 6．某人参加一次测试，在备选的10题中，他能答对其中的5题．现从备选的10题中随机抽出3题进行测试，规定至少答对2题才算合格，则下列说法正确的是(　　) A．答对0题和答对3题的概率相同，都为 B．答对1题的概率为 C．答对2题的概率为 D．合格的概率为 答案：CD 解析：对于A，答对0题的概率为P0＝＝，答对3题的概率为P3＝＝，故A错误；对于B，答对1题的概率为P1＝＝，故B错误；对于C，答对2题的概率为P2＝＝，故C正确；对于D，合格的概率为P＝P2＋P3＝＋＝，故D正确．故选CD. 7．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为，p.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯的个数之和为X，则(　　) A．P(X＝4)＝ B．P(X≤1)＝ C．小李一天至少遇到一次红灯的概率为＋p D．当p＝时，小李一天中遇到一次红灯的概率为 答案：BC 解析：对于A，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯的个数之和为X，则X～B，则P(X＝4)＝C××＝，故A错误；对于B，P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C××＋C××＝，故B正确；对于C，由题意，知小李一天至少遇到一次红灯的概率为1－×(1－p)＝＋p，故C正确；对于D，当p＝时，小李一天中遇到一次红灯的概率为×＋×＝，故D错误．故选BC. 三、填空题 8．设X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则p＝________． 答案： 解析：因为X～B(2，p)，所以P(X＝k)＝Cpk·(1－p)2－k，k＝0，1，2，所以P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X＝0)＝1－Cp0(1－p)2＝1－(1－p)2，所以1－(1－p)2＝，因为0<p<1，所以p＝. 9．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________(用式子表示)． 答案： 解析：设抽取的二级品的台数为X，则X服从超几何分布，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝.所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝. 10．一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止．设停止时，取球次数为随机变量X，则P(X＝5)＝________，P(X>5)＝________． 答案：　 解析：X＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球，则P(X＝5)＝C×××＝，P(X>5)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)－P(X＝5)＝1－C×－C×××－＝. 四、解答题 11．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]． (1)求图中x的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列． 解：(1)由(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1， 解得x＝0.018. (2)分数在[80，90)，[90，100]的人数分别是50×0.018×10＝9，50×0.006×10＝3. 所以ξ的取值范围是{0，1，2}，其服从参数为N＝12，n＝2，M＝3的超几何分布，则 P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 12.会员足够多的某知名咖啡店，男会员占40%，女会员占60%.现对会员进行服务质量满意度调查．根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为. (1)随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率； (2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为X，求X的分布列． 解：(1)记事件A1表示“会员为男会员”，事件A2表示“会员为女会员”，事件B表示“对服务质量满意”，由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝， 所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝. (2)X的取值范围为{0，1，2，3}， 则P(X＝0)＝C××＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 13．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有k名女性的可能性最大，则k的值为(　　) A．8 B．7或8 C．9 D．8或9 答案：D 解析：若从参加活动的老人中随机抽取14人，且抽到的女性人数为X，则X～B，若抽到k名女性的可能性最大，则 即解得8≤k≤9，又k∈N＋，故k＝8或9.故选D. 14．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一个质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； (2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列． 解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0，1，2，3，4)， 则P(Ai)＝C. (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P(A2)＝C××＝. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B， 则B＝A3∪A4. 由于A3与A4互斥， 故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C××＋C×＝. 所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为. (3)ξ的取值范围是{0，2，4}． 由于A1与A3互斥，A0与A4互斥， 故P(ξ＝0)＝P(A2)＝， P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝C××＋C××＝， P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝＋＝. 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 2 4 P 9 学科网（北京）股份有限公司 $