4.2.2 离散型随机变量的分布列-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教B版）

数学　选择性必修·第二册　作业与测评(B版) 4．2.2　离散型随机变量的分布列 知识点一　求离散型随机变量的分布列 1．一袋中装有4个同样大小的球，编号分别为1，2，3，4，现从中随机取出2个球，用X表示取出球的最大号码，求X的分布列． 解：由题意知，X的取值范围是{2，3，4}， 且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列为 X 2 3 4 P 2.某校10名学生组成该校科技创新周志愿服务队(简称科服队)，他们参加活动的有关数据统计如下： 参加活动次数 1 2 3 人数 2 3 5 (1)从科服队中任选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率； (2)从科服队中任选2人，用ξ表示这2人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列． 解：(1)这3人参加活动次数各不相同的概率P＝＝. (2)由题意知，ξ的取值范围是{0，1，2}， P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 知识点二　离散型随机变量分布列的性质 3．随机变量ξ的取值范围为{1，2，3，…，10}，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为(　　) A. B. C．110 D．55 答案：B 解析：∵随机变量ξ的取值范围是{1，2，3，…，10}，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝. 4．已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝0，1，2)，其中a是常数，则P(0≤X<2)的值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：根据题意，有P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝1，解得a＝，则P(0≤X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 5．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则m的值为________. X 0 1 2 3 P m2 2m2 1－2m＋m2 1－3m 答案： 解析：依题意，m2＋2m2＋(1－2m＋m2)＋(1－3m)＝1，整理得4m2－5m＋1＝0，解得m＝1或m＝.当m＝1时，2m2＝2>1，1－3m＝－2<0，不符合题意；当m＝时，m2＝，2m2＝，1－2m＋m2＝，1－3m＝，符合题意．所以m的值为. 知识点三　两点分布 6．袋中有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝求随机变量X的分布列． 解：由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝＝， 所以P(X＝1)＝1－＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 7.某人投篮的命中概率是不命中概率的3倍，以随机变量X表示此人1次投篮的命中次数，求随机变量X的分布列． 解：由题意知，X服从两点分布，设此人1次投篮不命中的概率为p，则命中的概率为3p， 由分布列的性质可得p＋3p＝1， 解得p＝. 所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝. 故随机变量X的分布列为 X 0 1 P 一、单项选择题 1．下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是(　　) A. X －2 0 2 4 P 0.5 0.2 0.3 0 B. X 0 1 2 P 0.7 0.15 0.15 C. X 1 2 3 P － D. X 1 2 3 P lg 1 lg 2 lg 5 答案：C 解析：C项中，P(X＝1)＜0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点，故C项不是分布列． 2．随机变量X的分布列如下表所示： X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 2m 则P(X≤2)＝(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 答案：C 解析：由分布列的性质可得，0.1＋m＋0.3＋2m＝1，可得m＝0.2，所以P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＝0.3. 3．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是(　　) A．掷一个质地均匀的骰子，所得点数为随机变量X B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝ D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X 答案：A 解析：A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，B，C，D中的随机变量X均服从两点分布．故选A. 4．若随机变量X的分布列如下表所示，则a2＋b2的最小值为(　　) X 0 1 2 3 P a b A. B. C. D. 答案：C 解析：由分布列的性质可知a＋b＝，而a2＋b2≥＝.故选C. 5．若随机变量X服从两点分布，P(X＝1)－P(X＝0)＝0.3，则P(X＝0)＝(　　) A．0.3 B．0.35 C．0.6 D．0.65 答案：B 解析：由随机变量X服从两点分布，得P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p，因为P(X＝1)－P(X＝0)＝0.3，所以p－(1－p)＝0.3，解得p＝0.65，所以P(X＝0)＝1－0.65＝0.35.故选B. 二、多项选择题 6．已知随机变量X的分布列如下表所示，且2b＝a＋c，则(　　) X －1 0 1 P a b c A.a＝ B．b＝ C．c＝ D．P(|X|＝1)＝ 答案：BD 解析：由分布列的性质，得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.故选BD. 7．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 4 6 P 0.2 m n 0.1 则下列说法正确的是(　　) A．m＋n＝0.7 B．若m＝0.3，则P(X>3)＝0.5 C．若m＝0.9，则n＝－0.2 D．P(X＝1)＝2P(X＝6) 答案：ABD 解析：对于A，由分布列的性质，可得0.2＋m＋n＋0.1＝1，解得m＋n＝0.7，所以A正确；对于B，若m＝0.3，可得n＝0.4，则P(X>3)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝0.4＋0.1＝0.5，所以B正确；对于C，由概率的定义知m≥0，n≥0，所以C不正确；对于D，由P(X＝1)＝0.2，P(X＝6)＝0.1，得P(X＝1)＝2P(X＝6)，所以D正确．故选ABD. 三、填空题 8．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.□5 0.10 0.10 0.1□ 0.20 根据该表可知X取奇数值的概率是________． 答案：0.45 解析：由离散型随机变量的分布列的性质可求得P(X＝2)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，故X取奇数值的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.10＋0.15＝0.45. 9．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8.令Y＝3X－2，则P(Y＝1)＝________． 答案：0.2 解析：由Y＝3X－2＝1，得X＝1，∴P(Y＝1)＝P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝0.2. 10．某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p>q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3 P a b 则a＋b＝________，p＋q＝________． 答案：　 解析：由分布列的性质有＋a＋b＋＝1，解得a＋b＝.依表中的P(ξ＝0)，P(ξ＝3)，可知解得p＝，q＝，所以p＋q＝＋＝. 四、解答题 11．设随机变量X的概率分布P＝ak，k＝1，2，3，4，5，6. (1)求常数a的值； (2)求P和P的值． 解：(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＋6a＝1，得 a＝. (2)由题意知，P＝P＋P＋P＝4a＋5a＋6a＝15a＝. P＝P＋P＋P＋P＝2a＋3a＋4a＋5a＝14a＝. 12．一个盒子里装有4张大小、形状完全相同的卡片，分别标有数字2，3，4，5；另一个盒子里也装有4张大小、形状完全相同的卡片，分别标有数字3，4，5，6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η＝x＋y，求η的分布列． 解：依题意，η的取值范围是{5，6，7，8，9，10，11}． 则P(η＝5)＝＝， P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝， P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝， P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝. 所以η的分布列为 η 5 6 7 8 9 10 11 P 13．一批产品分为四级，其中抽到一级产品的概率是抽到二级产品概率的两倍，抽到三级产品的概率是抽到二级产品概率的一半，抽到四级产品的概率与抽到三级产品的概率相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量ξ，则P(ξ＝2)＝________，P(ξ＞1)＝________． 答案：　 解析：依题意，P(ξ＝1)＝2P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝2)，P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)，由分布列的性质，得1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)，∴4P(ξ＝2)＝1，解得P(ξ＝2)＝，∴P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，∴P(ξ>1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝. 14．小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹，则一定能击中目标，若该弹槽为空槽，则子弹射击不出去，从而无法击中目标．一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止．已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击X次． (1)求P(X＝1)和P(X＝2)的值； (2)求X的取值范围； (3)求X的分布列． 解：(1)由题意，可得P(X＝1)＝， P(X＝2)＝×＝. (2)由题意可得，X的取值范围为{1，2，3，4，5}． (3)P(X＝3)＝××＝， P(X＝4)＝×××＝， P(X＝5)＝××××1＝， 故X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 8 学科网（北京）股份有限公司 $