4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教B版）

数学　选择性必修·第二册　作业与测评(B版) 4．2.1　随机变量及其与事件的联系 知识点一　随机变量的概念 1．先后掷一个质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是(　　) A．出现7点的次数 B．出现偶数点的次数 C．出现2点的次数 D．出现的点数大于2小于6的次数 答案：A 解析：∵掷一个骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件，∴出现7点的次数不能作为随机变量． 2．一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　) A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球或一个黑球 答案：B 解析：A中叙述的结果是确定的，不是随机变量，B中叙述的结果可能是0，1，2，所以是随机变量．C和D中叙述的均表示一个事件，故不是随机变量． 知识点二　随机变量的可能取值问题 3．一个袋中有大小相同的5个钢球，分别标有号码1，2，3，4，5，从中任意抽取2个球，设2个球的号码之和为X，则X的所有可能取值的个数为(　　) A．5 B．7 C．6 D．9 答案：B 解析：任取2个球，计算其号码之和，X的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝2＋3＝5，1＋5＝2＋4＝6，2＋5＝3＋4＝7，3＋5＝8，4＋5＝9，共7个． 4．某人射击命中率为p(0<p<1)，他向一目标射击，当第一次射中目标时，则停止射击，射击次数的取值是(　　) A．1，2，3，…，n B．1，2，3，…，n，… C．0，1，2，…，n D．0，1，2，…，n，… 答案：B 解析：射击次数至少为1，由于命中率0<p<1，所以此人可能永远不会击中目标． 知识点三　离散型随机变量和连续型随机变量的判定 5．下列随机变量是连续型随机变量的是(　　) A．某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为X B．某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为X C．一天内的温度为X D．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分 答案：C 解析：A，B，D中的随机变量X是离散型随机变量；C中，一天内的温度X变化的范围是连续的，是一个区间，故是连续型随机变量．故选C. 6．[多选]下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．某景点一天的游客数ξ B．某报警台一天内收到的报警电话次数ξ C．水文站观测到江水的水位数ξ D．某投诉平台一天内收到的投诉次数ξ 答案：ABD 解析：由离散型随机变量的概念可知，A，B，D中的随机变量ξ的所有可能取值都可以一一列出，故是离散型随机变量．C中的随机变量ξ是连续型随机变量．故选ABD. 知识点四　随机变量之间的关系 7．已知P(X＝2)＝0.4，P(X＝－2)＝0.2，则P(|X|＝2)＝________． 答案：0.6 解析：P(|X|＝2)＝P(X＝2)＋P(X＝－2)＝0.4＋0.2＝0.6. 8．已知随机变量X的取值范围为{3，4，5，6}，且P(X＝3)＝0.2，P(X＝4)＝0.3，P(X＝5)＝0.4，P(X＝6)＝0.1，则P(4<X≤6)＝________；若Y＝4X＋3，则P(Y≤23)＝________． 答案：0.5　0.9 解析：由题意可知P(4<X≤6)＝P(X＝5)＋P(X＝6)＝0.4＋0.1＝0.5，P(Y≤23)＝P(X≤5)＝1－P(X＝6)＝1－0.1＝0.9. 9．某校为学生订做校服，规定：凡身高(精确到1 cm)不超过160 cm的学生交校服费80元；凡身高超过160 cm的学生，身高每超出1 cm多交5元钱．从该校学生中任意抽取一名学生，设其身高为ξ(单位：cm)，应交校服费为η(单位：元)． (1)当ξ＝170时，求η的值； (2)写出ξ与η之间的关系式； (3)若P(η>120)＝0.15，求P(ξ≤168)的值． 解：(1)因为170>160，所以η＝80＋5×(170－160)＝80＋50＝130(元)． (2)由题意，当ξ≤160时，η＝80； 当ξ>160时，η＝80＋5(ξ－160)＝5ξ－720. 所以η＝ (3)因为η>120⇔5ξ－720>120⇔5ξ>840⇔ξ>168， 所以P(η>120)＝P(ξ>168)＝0.15， 从而P(ξ≤168)＝1－P(ξ>168)＝1－0.15＝0.85. 一、单项选择题 1．下列变量不是随机变量的是(　　) A．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第11题的人数 B．一台机器在一段时间内出现故障的次数 C．某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数 D．方程x2－2x－3＝0的实根个数 答案：D 解析：A，B，C都符合随机变量的定义；方程x2－2x－3＝0的实根个数是2，是确定的，不是随机变量．故选D. 2．下列叙述中，是离散型随机变量的是(　　) A．将一枚均匀硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和 B．某人早晨在车站等出租车的时间 C．某人投篮10次，投中的次数 D．袋中有2个黑球和6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性 答案：C 解析：对于A，掷一枚均匀硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量；对于B，是随机变量，但取值范围是一个区间，故是连续型随机变量；对于D，事件发生的可能性不是随机变量．故选C. 3．从学号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10名同学中，随意选出2名同学去打扫卫生，设选出的2名同学的学号之和为X，则X的所有可能取值的个数为(　　) A．10 B．15 C．17 D．19 答案：C 解析：易知X的所有可能取值为3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共17个． 4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，记射击次数为X.则X＝5表示的随机试验的结果是(　　) A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．第4次击中目标 D．前4次未击中目标 答案：D 解析：击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为X＝5，则说明前4次均未击中目标．故选D. 5．设随机变量Y＝2X－1，且P(X≥4)＝0.7，则P(Y<7)＝(　　) A．0.3 B．0.5 C．0.1 D．0.2 答案：A 解析：因为Y＝2X－1，若X≥4，可得Y≥7，则P(Y≥7)＝P(X≥4)＝0.7，所以P(Y<7)＝1－P(Y≥7)＝0.3.故选A. 二、多项选择题 6．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道题，比赛规则：对于每道题，没有抢到题的队伍得0分；抢到题，并回答正确的得1分；抢到题，但回答错误的扣1分(即得－1分)．在甲、乙两队都抢到题的前提下，若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的可能取值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．3 答案：ABC 解析：甲队获胜有以下可能：当X＝－1时，甲队抢到1题但答错，乙队抢到2题都答错．当X＝0时，甲队抢到2题，但答时1对1错，乙队抢到1题，且答错．当X＝1时，甲队抢到1题，且答对，乙队抢到2题，都答错或1对1错．当X＝2时，甲队抢到2题均答对，乙队抢到1题答错或答对．X不可能等于3.故选ABC. 7．如果X是一个离散型随机变量，且Y＝3X＋4，则下列说法正确的是(　　) A．Y不一定是随机变量 B．Y一定是离散型随机变量 C．若P(X＝2)＝0.3，则P(Y＝2)＝0.3 D．若P(Y＝7)＝0.2，则P(X＝1)＝0.2 答案：BD 解析：因为X是一个离散型随机变量，而Y＝3X＋4，根据函数的性质知，Y也是离散型随机变量，故A错误，B正确；对于C，P(X＝2)＝P(Y＝10)＝0.3，P(Y＝2)无法确定，故C错误；对于D，P(Y＝7)＝P(X＝1)＝0.2，故D正确．故选BD. 三、填空题 8．掷一个质地均匀的骰子，设朝上的点数为随机变量X，则P(X≥4)＝________． 答案： 解析：事件X≥4表示朝上的点数为4，5或6，所以P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＋＝. 9．已知一个盒中装有3个红球和3个黑球，从中随机抽取4个球，设其中所含黑球的个数为X，若X的取值范围中最大值为a，最小值为b，则a＋b＝________． 答案：4 解析：由题意知X的取值范围为{1，2，3}，最大值a＝3，最小值b＝1，故a＋b＝4. 10．抛掷两个骰子一次，ξ为第一个骰子掷出的点数与第二个骰子掷出的点数之差，则ξ的取值范围为________． 答案：{－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5} 解析：两个骰子掷出的点数均可取1～6的所有整数，故ξ的取值范围为{－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5}． 四、解答题 11．写出下列各随机变量的取值范围，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果： (1)在含有8件次品的50件产品中，任意抽取4件，X表示抽取的次品的件数； (2)设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已经过的信号灯的盏数． 解：(1)随机变量X的取值范围是{0，1，2，3，4}， X＝0表示“抽取0件次品”； X＝1表示“抽取1件次品”； X＝2表示“抽取2件次品”； X＝3表示“抽取3件次品”； X＝4表示“抽取的全是次品”． (2)随机变量Y的取值范围是{0，1，2，3，4，5}， Y＝0表示汽车在遇到第1盏信号灯时首次停下； Y＝1表示汽车在遇到第2盏信号灯时首次停下； Y＝2表示汽车在遇到第3盏信号灯时首次停下； Y＝3表示汽车在遇到第4盏信号灯时首次停下； Y＝4表示汽车在遇到第5盏信号灯时首次停下； Y＝5表示汽车在途中没有停下，直达目的地． 12．一个袋中装有形状、大小均相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为X. (1)写出X的取值范围，并说明所取值表示的随机试验的结果； (2)若规定抽取3个球的过程中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分Y的取值范围，并判断Y是不是离散型随机变量． 解：(1)由题意知，X的取值范围是{0，1，2，3}， X＝0表示“抽到0个白球”； X＝1表示“抽到1个白球”； X＝2表示“抽到2个白球”； X＝3表示“抽到3个白球”． (2)由题意，可得Y＝5X＋6，而X的取值范围为{0，1，2，3}， 故Y的取值范围为{6，11，16，21}． 显然，Y是离散型随机变量． 13．若P(X≤n)＝1－a，P(X≥m)＝1－b，其中m<n，则P(m≤X≤n)＝(　　) A．a＋b B．1－(a＋b) C．1－(a－b) D．a－b 答案：B 解析：P(m≤X≤n)＝1－P(X>n)－P(X<m)＝1－[1－(1－a)]－[1－(1－b)]＝1－(a＋b)．故选B. 14．某商场的促销员是按照下述方式获取税前月工资的：底薪600元，每工作1 h再获取30元．从该商场促销员中任意抽取一名，设其月工作时间为X h，获取的税前月工资为Y元． (1)当X＝70时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式； (3)若P(Y>3000)＝0.4，求P(X≤80)的值． 解：(1)当X＝70时，表示工作了70个小时， 所以Y＝70×30＋600＝2700. (2)根据题意有Y＝30X＋600. (3)因为Y>3000⇔30X＋600>3000⇔X>80， 所以P(X>80)＝P(Y>3000)＝0.4， 所以P(X≤80)＝1－P(X>80)＝1－0.4＝0.6. 6 学科网（北京）股份有限公司 $