4.1.2 乘法公式与全概率公式-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教B版）

数学　选择性必修·第二册　作业与测评(B版) 4．1.2　乘法公式与全概率公式 知识点一　乘法公式 1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(BA)＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：易知P(BA)＝P(A)P(B|A)＝×＝.故选D. 2．有一批种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.7，则在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为________． 答案：0.56 解析：设事件A表示“种子发芽成功”，事件B表示“幼苗能成活”．根据题意知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.7，故由P(B|A)＝知P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.7＝0.56，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.56. 3．一个不透明的盒子中有5个产品，其中有2个是一等品，3个是二等品，甲、乙两人先后从中不放回地抽取产品，每次抽取1个，共抽取两次，假设甲抽完之后乙再抽，求： (1)甲抽得一等品且乙也抽得一等品的概率； (2)甲没抽得一等品而乙抽得一等品的概率． 解：设事件A表示“甲抽得一等品”，事件B表示“乙抽得一等品”，则P(A)＝. (1)因为抽得的产品不放回，所以甲抽得一等品后乙抽取时，乙抽得一等品的概率为P(B|A)＝. 根据乘法公式可知，甲抽得一等品且乙也抽得一等品的概率为P(BA)＝P(A)P(B|A)＝×＝. (2)因为P(A)＋P()＝1， 所以P()＝1－P(A)＝. 因为抽得的产品不放回，所以甲没抽得一等品后乙抽取时，乙抽得一等品的概率为P(B|)＝. 根据乘法公式可知，甲没抽得一等品而乙抽得一等品的概率为P(B)＝P()P(B|)＝×＝. 知识点二　全概率公式 4．一个不透明的盒子中有a个红球，b个黑球，若随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从该盒子中第二次取出一球，求第二次取出的是黑球的概率． 解：用事件A表示“第一次取出的是黑球”，事件B表示“第二次取出的是黑球”，则B＝AB＋B. 由题意可得P(A)＝，P(B|A)＝， P()＝，P(B|)＝. 所以由全概率公式有 P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|) ＝·＋· ＝. 5．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，求该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率． 解：设事件B1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%. 设事件A表示“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30. 由全概率公式，得P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175. 知识点三　贝叶斯公式 6．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失了1箱，但不知丢失的哪一箱．现从剩下的9箱中任意打开2箱，结果都是英语书，求丢失的1箱也是英语书的概率． 解：用事件A表示“丢失1箱后任取2箱都是英语书”，用事件B1，B2，B3分别表示丢失的1箱是英语书、数学书、语文书， 则P(B1)＝，P(B2)＝，P(B3)＝. 由全概率公式，得P(A)＝P(Bk)P(A|Bk)＝×＋×＋×＝， 则P(B1|A)＝＝＝＝. 一、单项选择题 1．已知P()＝0.4，P(B|A)＝0.3，则P(BA)＝(　　) A．0.12 B．0.18 C．0.28 D．0.42 答案：B 解析：因为P(A)＝1－P()＝1－0.4＝0.6，所以P(BA)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.3＝0.18. 2．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为(　　) A．0.21 B．0.72 C．0.75 D．0.96 答案：B 解析：设事件A表示“任取一件是合格品”，事件B表示“任取一件是一等品”，因为P(A)＝1－P()＝96%，P(B|A)＝75%，所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝0.72. 3．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为1，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对此题的概率为(　　) A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0 答案：A 解析：用事件A表示“考生答对此题”，用事件B表示“考生知道正确答案”，则P(B)＝0.5，P()＝0.5，P(A|B)＝1，P(A|)＝0.25，则P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.5×1＋0.5×0.25＝0.625. 4．一批同型号的螺钉由编号为1，2，3的三台机器共同生产，各台机器生产的螺钉数量占这批螺钉数量的比例分别为35%，40%，25%，各台机器生产的螺钉次品率分别为3%，2%和1%.现从这批螺钉中抽到一颗次品，则该次品由2号机器生产的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设事件A表示“螺钉是次品”，事件B1表示“螺钉由1号机器生产”，事件B2表示“螺钉由2号机器生产”，事件B3表示“螺钉由3号机器生产”，则P(B1)＝0.35，P(B2)＝0.40，P(B3)＝0.25，P(A|B1)＝0.03，P(A|B2)＝0.02，P(A|B3)＝0.01，所以P(A)＝P(B1)·P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.35×0.03＋0.40×0.02＋0.25×0.01＝0.021，所以P(B2|A)＝＝. 5．某公司人事部门收到两所高校毕业生的报表，分装两袋，第一袋装有6名男生和4名女生的报表，第二袋装有7名男生和5名女生的报表．随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生报表各1份的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：设事件A表示“恰好抽到男生和女生报表各1份”，事件B1表示“选择第一袋”，事件B2表示“选择第二袋”．因为是随机选择一袋，所以选择第一袋和第二袋的概率均为，即P(B1)＝P(B2)＝，从第一袋中抽到一男一女报表的概率为P(A|B1)＝＝，从第二袋中抽到一男一女报表的概率为P(A|B2)＝＝，根据全概率公式可得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×＋×＝×＝×＝×＝.故选D. 二、多项选择题 6．已知P()＝0.6，P(B|A)＝0.3，P(B|)＝0.2，则下列说法正确的是(　　) A．P(A)＝0.4 B．P(B)＝0.12 C．P(B)＝0.24 D．P(A|B)＝0.6 答案：ABC 解析：因为P(A)＋P()＝1，所以P(A)＝1－P()＝1－0.6＝0.4.因为P()＝0.6，P(B|)＝0.2，所以P(B)＝P()P(B|)＝0.6×0.2＝0.12，P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.4×0.3＋0.6×0.2＝0.24，所以P(A|B)＝ ＝＝0.5.故选ABC. 7．中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化．某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加．除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为2∶1，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是(　　) A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 B．李明获胜的概率为 C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为 D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为 答案：ABC 解析：设事件A为“李明与甲组选手比赛”，事件B为“李明与乙组选手比赛”，事件C为“李明获胜”，则由题意可知P(A)＝，P(B)＝，P(C|A)＝0.6，P(C|B)＝0.5.对于A，李明与甲组选手比赛且获胜的概率为P(AC)＝P(A)P(C|A)＝×0.6＝，故A正确；对于B，李明获胜的概率为P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×0.6＋×0.5＝，故B正确；对于C，若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为P(A|C)＝＝＝，故C正确；对于D，若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为P(B|C)＝＝＝＝，故D错误．故选ABC. 三、填空题 8．已知P(A)＝0.5，P(|A)＝0.8，则P(BA)＝________． 答案：0.1 解析：因为P(B|A)＋P(|A)＝1，所以P(B|A)＝1－P(|A)＝1－0.8＝0.2，所以P(BA)＝P(A)P(B|A)＝0.5×0.2＝0.1. 9．已知某学校中，经常参加体育锻炼的学生占60%，而且经常参加体育锻炼的学生中，喜欢足球的占10%.从这个学校的学生中任意抽取一人，则抽到的学生经常参加体育锻炼且喜欢足球的概率为________． 答案：6% 解析：用事件A表示“抽到的学生经常参加体育锻炼”，事件B表示“抽到的学生喜欢足球”．由题意可得P(A)＝60%，P(B|A)＝10%，则P(BA)＝P(A)P(B|A)＝60%×10%＝6%. 10．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为________． 答案：0.08 解析：以事件A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，事件B表示“取得的X光片为次品”，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝.则由全概率公式，得所求概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝0.08. 四、解答题 11．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率． 解：如果用事件A1，A2分别表示居民遇到的一位同学是甲班的、乙班的，事件B表示“居民遇到的一位同学是女生”，则Ω＝A1∪A2，且A1与A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝， 且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝. 由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝. 12．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机取出一箱，顾客开箱随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率(精确到0.01)； (2)在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率(精确到0.01)． 解：设事件B表示“顾客买下该箱玻璃杯”，事件Ai(i＝0，1，2)表示“抽到的一箱中有i件残次品”． 事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一箱中没有残次品、有1件残次品或有2件残次品． 显然A0，A1，A2相互互斥． 由题意知P(A0)＝0.8，P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.1， P(B|A0)＝＝1， P(B|A1)＝＝， P(B|A2)＝＝， (1)由全概率公式得P(B)＝P(A0)P(B|A0)＋P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)≈0.94. (2)由贝叶斯公式，得 P(A0|B)＝＝≈0.85. 13．如图，有排列整齐的20个盒子和20个球(其中红球和黄球各5个，黑球10个)，在每个盒子中随机放入一个球，球的颜色可能是红色、黄色、黑色中的一种．现随机先后打开每个盒子(直到打开所有盒子结束)，则红球最先被全部开出的概率为________． 答案： 解析：由题意知红球、黄球、黑球的个数分别为5，5，10.记“最后打开的盒子中的球是黄球”为事件B，“最后打开的盒子中的球是黑球”为事件C，显然事件B与C互斥，记“红球最先被全部开出”为事件A，则A＝BA＋CA.当事件B发生时，只需考虑装有红球、黑球的所有盒子已全部打开，最后被打开的那一个盒子是黑球，可得P(A|B)＝，则P(BA)＝P(B)P(A|B)＝×＝.当事件C发生时，只需考虑装有红球、黄球的所有盒子已全部打开，最后被打开的那一个盒子是黄球，可得P(A|C)＝，则P(CA)＝P(C)P(A|C)＝×＝，所以P(A)＝＋＝. 14．现有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球．小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球．记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率： (1)第二次抽到红球的概率； (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率； (3)小明获得4块月饼的概率． 解：(1)记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件Ai，Bi分别表示第一次、第二次取到i球，i＝1，2，3， 则P(A1)＝，P(A2)＝P(A3)＝， 又由条件概率知P(B1|A1)＝， P(B1|A2)＝， P(B1|A3)＝， 由全概率公式知P(B1)＝P(Ai)P(B1|Ai)＝×＋××2＝. (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为 P(A2|B1)＝＝＝＝. (3)小明获得4块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红色盒子内抽到绿球，其概率为P(A1)P(B3|A1)＝×＝； ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿色盒子内抽到红球，其概率为P(A3)P(B1|A3)＝×＝； ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄色盒子内抽到黄球，其概率为P(A2)P(B2|A2)＝×＝. 所以小明获得4块月饼的概率是＋＋＝. 8 学科网（北京）股份有限公司 $