3.3 第3课时 二项式定理的应用-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教B版）

数学选择性必修第二册作业与测评(B版) 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 第3课时 二项式定理的应用 知识对点练 知识点一三项展开式问题 1.laws4 allcol(x2+f1x2)一2)3的展开式中的常数项为( A.-8 B.-12 C.-20 D.20 答案：C 解析：aws4 allcol(c2+1x2)-2)3=laws4 alcol(x一f1x)6的展开式的通项为T+1=Ck6 (-1x6-2,令6-2k=0,得k=3,则展开式中的常数项为C36(-1)3=-20 2.(x2+3x+2)5的展开式中x的系数是 答案：240 解析：解法一：x2+3x+2)5=[c2+3x)+2]5=C05(x2+3x)泸+C15(x2+3x)4×2+C25(x2+3x) 3×22+C35(x2+3x)2×23+C45x2+3x)×24+C55×25,显然在(x2+3xy中，n>1时展开式 中不含x项，所以x的系数为C45×3×24=240. 解法二：x2+3x+2)5相当于5个x2+3x+2)相乘，所以(x2+3x十2)5的展开式中x的系数是 C45×24×3=240 知识点二多个二项式相乘问题 3.若(1十ax)1十x)泸的展开式中x2的系数为5，则a=() A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 答案：D 解析：由二项式定理，得(1十x)垆的展开式的通项为T+1=Ck5,所以(1十ax1+x)5的展开 式中x2的系数为C25+C15a=5,所以a=-1故选D 4.(c十x21一x)0的展开式中x5的系数为() A.120 B.135 C.-140 D.90 答案：D 解析：(1-x10的展开式的通项为T+1=Ck10(-x)少=(-1)Ck10x,令k=4,得x(1-x)10 的展开式中x5的系数为（一1）4C410=210;令k=3,得x2(1-x)10的展开式中x的系数为 (-1)C310=-120.所以(+x21-x)10的展开式中x5的系数为210-120=90.故选D 5.在(1+x)(1+y4的展开式中，记xmy的系数为fm,m),则3,0)+f2,1)+f1,2)+f (0,3)= 独家授权侵权必究 数学选择性必修第二册作业与测评(B版) 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 答案：120 解析：3,0)+2,1)+1,2)+f0,3)=C36C04+C26C14+C16C24+C06C34=120 知识点三近似计算与整除问题 6.1.056的计算结果精确到0.01的近似值是() A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34 答案：D 解析：1.056=(1+0.05)6=C06+C16×0.05+C26×0.052+C36×0.053+=1+0.3+ 0.0375+0.0025+…≈1.34 7.233除以9的余数是 答案：8 解析：233=(2)1=81=(9-1)1=C01191×(-1)0+C111910×(-1)1+…+C101191×( 1)10+C111190×(-1)1.其展开式中C01191×(-1)0+C111910×(-1)1++C101191× (一1)0能被9整除，而最后一项为一1，则233除以9的余数是8 8.求证：2m+2·3n+5n-4能被25整除(n∈N+). 证明：原式=4(5+1y+5n-4=4(C0n5+C1n5n-1+C2n5m-2+…+Cnn)+5n-4=4 (C0n5n+C1n5n-1+…+Cn一2n52)+25n,以上各项均为25的整数倍，故得证. 知识点四利用二项式定理证明等式或不等式 9.当n≥2，n∈N+时，证明：aws4 alcol(1+f2n)n≥3+lavs4 alcol(y2mn)2 证明：由二项式定理，得avs4alco11+f2n)n=C0 nlalvs41 alcol(f2n)0+C1n aws4allcol((2n))1+C2nlaws4allcol(f(2n))2+.+Cnnlaws4lallcol(f(2n))n, 若n≥2，则有C2n≥1，则avs4alco11+f2n)n=1+n×2n+C2n×aws4 allcollf2n)2 +…+aws4 allcol(2nn=3+C2n×lavs4 alcol(0f2n)2+…+lavs4 alcol(f2n)n≥3+ alvs4allco1(f(2n))2, 所以avs4 allcol1+yf2mn≥3+las4 alcollf2m)2n≥2，n∈N+)成立. 10.求证：对任意正整数n,C1nx(1一xy-1+2C2nx2·(1-x)-2+…十nCnn=x. 证明：，kCkn=kn!k!(n-k)!=nCk-1n-1, .'.CInx(1-x)-1+2C2nx2(1-x)-2+...+nCnnx"=nCOn-1x(1-x-1+nCIn-1x2(1- xy-2++nCn-1n-1x"=m[C0n-1(1-xy-1+C1n-1x(1-xy-2+…+Cn-1n- 1-]=x[(1-x)十xn-1=m,∴.原式成立 40分钟综合练 A级基础过关练 2 独家授权侵权必究 数学选择性必修第二册作业与测评(B版) 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 一、单项选择题 1.在(1+x)(2+y)4的展开式中，x4y3的系数为( A.210 B.120 C.80 D.60 答案：B 解析：在展开式中，含x4y3的项为C464·C34·2·y3=1204y3,故x4y的系数为120 2.0.996的计算结果精确到0.001的近似值是() A.0.940 B.0.941 C.0.942 D.0.943 答案：B 解析：0.996=(1-0.01)6=C06×1-C16×0.01+C26×0.012-C36×0.013+…=1-0.06+ 0.0015-0.00002+…≈0.941.故选B 3.11100-1末尾连续零的个数为() A.7 B.5 C.4 D.3 答案：D 解析：11100-1=(10+1)10-1=C010010100+C1100109++C9910010+C100100-1 =10100+C1100109+…十C97100103+C98100102+1000,则末尾连续零的个数为3.故选 D 4.aws4 allcol(x十1一f2y)6的展开式中，x4y2的系数为() A.60 B.-60 C.120 D.-120 答案：A 解析：解法一：aws4alco1c+1-f2y)6=1+blcl(rcy0aws4 allcol-f2y)6的展开式 的通项为Tk+1=Ck6avs4 allcol(-f2y)6-k,k=0,1,…,6,且aws4 alcol(x- f2y)6-k的通项为S,+1=Cr6-k·x6-k-raws4 allcol(-2y》r=(-2yCr6-k6-&-y', 令r=2,6-k-r=4,解得r=2,k=0,所以x42的系数为C06(-2)2C26=60 解法二：aws4 alcol(x+1-f2y》6相当于6个aws4 \alcol(x+1-f2y》相乘，所以I as4alco1:+1-f2y)6的展开式中，x4y2的系数为C46(-2)2=60. 5.若(a十b十c)6的展开式是关于a,b,c的多项式，则下列说法错误的是() A.展开式中每一项的次数都是6 B.展开式中ab2c的系数是60 C.所有项的系数之和为26 独家授权侵权必究 数学选择性必修第二册作业与测评(B版) 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 D.展开式中共有28项 答案：C 解析：对于A,B,由题意可知，展开式中每一项由x个a,y个b以及z个c相乘而得，其 中x,y,z∈N,且x十y十z=6,展开式中每一项都为abc的形式，展开式中每一项的次数 都是x十y十z=6,故A正确；展开式中a62c的系数是C36C23=60,故B正确；对于C, 令a=b=c=1,可得所有项的系数之和为36，故C错误；对于D,因为(a十b十c=[(a十b) +c]6,所以其展开式的通项为T+1=Ck6(a十b)6-c,k=0,1,2,3,4,5,6,当k=0时 ,(a十b)6的展开式中共有7项，当k=1时，(a十b)5的展开式中共有6项，当k=2时，(a +b)4的展开式中共有5项，当k=3时，(a+b)3的展开式中共有4项，当k=4时，(a+b)2 的展开式中共有3项，当k=5时，(a十)1的展开式中共有2项，当k=6时，(a+b)°的展开 式中共有1项，所以(a+b+c)6的展开式中共有7+6+5十4+3+2+1=28项，故D正确.故 选C 二、多项选择题 6.(1+x2)2+x)4的展开式中，() A.x3的系数为40 B.x3的系数为32 C.常数项为16 D.常数项为8 答案：AC 解析：(1十x2(2十x4=(2十x)4+x2(2十x)4,展开式中x3的系数分为两部分，一部分是(2十x) 4中含x3项的系数C342=8,另一部分是(2十x)4中含x项的系数C1423=32,所以x3的系 数是8十32=40，故A正确，B错误；展开式中的常数项为1×24=16，故C正确，D错误. 7.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a,b,m(>0)为 整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=b(modm),如9和21 除以6所得的余数都是3，则记为9=21mod6,若a=322C022+321C122+320C222+…+ 31C2122+C2222,a=bmod17),则b的值可以是() A.15 B.16 C.202 D.203 答案：BD 解析：因为a=(3+1)22=1611,又1611=(17-1)1=1711-1710℃111+179℃211-…+ 17C1011-C1111,所以a被17除得余数为16，又a=bmod17),且16和203被17除得 余数为16，故选BD 三、填空题 8.今天是星期五，小玲在参加数学考试，那么再过250天后是星期 答案：二 独家授权侵权必究 数学选择性必修第二册作业与测评(B版) 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：因为250=4×248=4×(7+1)16=4×(C016×716+C116×715+C216×714+…+ C1516×7+C1616×1),所以250可以写成4×(7k+1),k∈N的形式，所以250除以7所得 的余数为4故250天后是星期二. 9.若(x2-a)laws4 allcol(x+f1x)10的展开式中x6的系数为30，则a= 答案：2 解析：laws4 alcol(+f1x)10的展开式的通项是T+1=Ck10x10-as4 allcol(f1xk Ck10xl0-2,avs4alco1c+f1x)10的展开式中x4(当k=3时)，x(当k=2时)的系数分别 为C310,C210,所以C310-aC210=120-45a=30,解得a=2 10.设m∈Z,且0≤m<100,若9192+m能被100整除，则m= 答案：19 解析：由题意，得9192+m=(1+90)2+m=C092×192+C192×90×11+C292×902×190 +…+C9192×901×1+C9292×902+m=1+C192×90+C292×902+…+C9192× 901+C9292×902+m=(C292×902++C9192×901+C9292×9092)+8281+m,其中 C292×902+…+C9192×901+C9292×902能被100整除，所以要使9192+m能被100 整除，只需要8281+m能被100整除.结合题意可得，当m=19时，8281+m=8281+19= 8300能被100整除.所以m=19 四、解答题 11.利用二项式定理证明46+5+1一9n∈N+)能被20整除， 证明：因为46+5+1一9 =4(6-1)+5(5-1) =4[(5+1)-1]+5[(4+1)y-1] =4C0n5"+C1n5”-1+C2n5-2+…+Cn-1n5)+5(C0n4+C1n4-1+C2n4-2+…+ Cn-1n4) =20(C0n5n-1+C1n5n-2+C2n5n-3+.+Cn-1n+C0n4-1+C1n4-2+C2n4m-3+…+ Cn-1n), 所以46十5n+1-9n∈N+)能被20整除. 12.已知x)=(1+x)m,gx)=(1+5x)y(m,n∈N+). (1)若m=4,n=5,求x)g(x)的展开式中含x2的项： (2)若hc)=x)十gx),且h(x)的展开式中x的系数为24，那么当m,n为何值时，x)的展开 式中x2的系数取得最小值？ 解：(1)当m=4,n=5时，x)=(1十x)4=C04x0+C14x1+C24x2+C34x3+C44x4, gx)=(1+5x)5=C05(5x)0+C15(5x)1+…+C55(5x)5, 则fx)gx)的展开式中含x2的项为(C24·50C05+C14·5C15+C04·52C25x2=356x2, 独家授权侵权必究 数学选择性必修第二册作业与测评(B版) 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 即x)gx)的展开式中含x2的项为356x2. (2)因为()=fx)十gx),且h(x)的展开式中x的系数为24， 所以C1m+5C1n=24,即m=24-5n(其中1≤n≤4，n∈N+). 又h(x的展开式中x2的系数为C2m+52C2n=m(m-1)2+25n(n-1)2=(24-5n)(23-5n) 2+25n(n-1)2=25n2-130n+276=25aws4 alcol(n-f135)2+107(其中1≤n≤4，n∈N +), 2-135》>3-f135》, 所以当n=3时（此时m=9),h(x)的展开式中x2的系数取得最小值111 B级能力提升练 13.x]表示不超过x的最大整数，设M=(1-3)15,N=(1+3)15,则[(1-3)15]=，[(1 +3)15]= (用M,N表示) 答案：-1M什N 解析：因为1-3)15=-(3-1)15≈-0.73215>-1，所以[(1-3)15]=-1.又(1-3)15+(1+3)15 =2(C015+C215×31+C415×32++C1415×3)为正整数，所以(1+3)15=2(C015+ C215×31+C415×32++C1415×37)-(1-3)15≈M+N+0.73215,而0<0.73215<1，故[(1 +3)15]=M+N 14.(1)在(c十y-2z)9的展开式中，求形如x2yz"(m,n∈N)的所有项的系数之和； (2)证明：(x3-3x2+3x-1)avs4 alcol(1-f1x)9展开式中的常数项为-C918: (3)设665的小数部分为x,比较x6+12x5+60x4+160x3+240x2+190x与1的大小. 解：(1)x2ymz”(m,n∈)的项即C79x26y-2z)7展开式中的所有项， 令x=y=z=1,得x2y"z(m,n∈N)的所有项的系数之和为-C79=一36. (2)证明：因为x3-3x2+3x-1=(x-1)3, 所以(x3-3x2+3x-1)3avs4alco11-f1x)9=(c-1)9·avs4 alcol(1-f1x)9=1 alvs4\alcol(+(1x)-2)9=\alvs4lallcol(f(x2-2x+1x))9 =(x-1)18x9, 对于x一1)8，其展开式中含x9的项为 C918x18-9(-1)9=-C918x, 所以(x3-3x2+3x-1)avs4 allcol1-f1x)9展开式中的常数项为-C918 (3)由2=664<665<3，得665的整数部分为2， 则665=x+2, 所以x+2)6=65, 即C06x6+2C16x5+22C26x4+23C36x3+24C46x2+25C56x+26C66=x6+12x5+60x4+ 160x3+240x2+192x+64=65, 独家授权侵权必究 数学选择性必修第二册作业与测评(B版) 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 所以x6+12x5+60x4+160x3+240x2+192x=1, 因为x0,则192x>190x, 所以x6+12x5+60x4+160x3+240x2+190x<1. ·独家授权侵权必究·