3.3 第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教B版）

数学　选择性必修·第二册　作业与测评(B版) 第2课时　二项式系数的性质与杨辉三角 知识点一　二项式系数和与系数和的问题 1．若(3－x)n(n∈N＋)的展开式中所有二项式系数的和为32，则n＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：A 解析：依题意可知2n＝32，解得n＝5.故选A. 2．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6且a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，则实数m的值为(　　) A．1 B．－1 C．－3 D．1或－3 答案：D 解析：令x＝1，可得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，因此1＋m＝±2，解得m＝1或m＝－3.故选D. 3．设(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案：A 解析：令x＝0，可得a0＝1，令x＝1，可得(－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2.故选A. 4．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x3的系数为________． 答案：135 解析：令x＝1，得各项系数和为4n，则＝64，解得n＝6，所以展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－k·＝3kCx6－.令6－＝3，得k＝2，则x3的系数为32C＝135. 知识点二　二项式系数性质的应用 5．已知(a＋b)n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n＝(　　) A．15 B．14 C．13 D．12 答案：D 解析：∵只有第7项的二项式系数最大，∴＋1＝7，∴n＝12. 6．已知(＋3x2)n的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大240，求展开式中二项式系数最大的项． 解：(＋3x2)n的展开式中各项的二项式系数和为2n，令x＝1，可得各项的系数和为(1＋3)n＝4n， 由已知，得4n－2n＝240， 即(2n)2－2n－240＝0， 解得2n＝16或2n＝－15(舍去)， 所以n＝4， 故(＋3x2)4的展开式中二项式系数最大的项为T3＝C(x)2(3x2)2＝54x. 7．在二项式的展开式中，若所有奇数项的二项式系数和为A，所有项的系数和为B，且＝，求展开式中二项式系数最大的项． 解：由题意可知，A＝2n－1，B＝， 则＝＝，解得n＝5， 展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项， T3＝C()3＝x－， T4＝C()2＝x－5. 知识点三　与杨辉三角有关的问题 8．[多选]杨辉三角是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于杨辉三角的结论正确的是(　　) A．在第10行中第5个数最大 B．第2026行中第1013个数和第1015个数相等 C．C＋C＋C＋…＋C＝120 D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 答案：BD 解析：对于A，第10行中最大的数为C，即在第10行中第6个数最大，故A错误；对于B，因为2026是偶数，所以在第2026行中，中间一项最大，即C最大，所以第2026行中第1013个数和第1015个数相等，故B正确；对于C，C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＝C＋C＋C＋…＋C－1＝…＝C－1＝164，故C错误；对于D，C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C，故D正确．故选BD. 一、单项选择题 1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是(　　) A．第n－k项 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项 答案：D 解析：第k项的二项式系数是C，由于C＝C，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同． 2.的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是(　　) A．第8项 B．第9项 C．第8项和第9项 D．第11项和第12项 答案：D 解析：T8＝C()n－7＝Cx，因为第8项是常数项，所以＝0，所以n＝21.则展开式中系数最大的项是第11项和第12项． 3．若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝(　　) A．1 B．513 C．512 D．511 答案：D 解析：令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511. 4．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所连的数组成一个锯齿形的列数：1，2，3，3，6，4，10，…，则前16个数的和为(　　) A．164 B．155 C．144 D．128 答案：A 解析：前16个数的和为C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＝…＝C－1＝164.故选A. 二、多项选择题 5．若(1－2x)2025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2025x2025，则下列结论正确的是(　　) A．a0＝1 B．a1＝4044 C．|a0|＋|a1|＋…＋|a2025|＝32025 D.＋＋…＋＝－1 答案：ACD 解析：令x＝0，可得a0＝1，故A正确；(1－2x)2025的展开式的通项为Tk＋1＝C(－2x)k＝(－2)kCxk，k＝0，1，2，…，2025，则当k＝1时，T2＝(－2)1Cx＝－4050x，即a1＝－4050，故B不正确；由Tk＋1＝(－2)kCxk，k＝0，1，2，…，2025可知，当k为偶数时，ak>0，当k为奇数时，ak<0，所以|a0|＋|a1|＋…＋|a2025|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2025，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…－a2025＝(1＋2)2025＝32025，故C正确；令x＝，可得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1，故D正确．故选ACD. 6．下列关于(a＋b)10的说法，正确的是(　　) A．展开式中的各二项式系数之和为1024 B．展开式中第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项与第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 答案：AB 解析：根据二项式系数的性质，知(a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210＝1024，故A正确；(a＋b)10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项，即第6项的二项式系数最大，故B正确，C错误；(a＋b)10的展开式中各项的系数等于二项式系数，故第6项的系数最大，故D错误．故选AB. 7．已知(常数m>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则(　　) A．n＝10 B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C．展开式中x15的系数为45m8 D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 答案：ACD 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C(mx2)n－k＝mn－kCx.对于A，根据题意可得C＝C，由组合数的性质可知n＝10，故A正确；对于B，的展开式中奇数项的二项式系数的和为×210＝512，故B错误；对于C，由＝15，解得k＝2，则展开式中x15的系数为m10－2C＝45m8，故C正确；对于D，令x＝1，则展开式中各项系数的和为(m＋1)10＝1024＝210，解得m＝1，可得展开式的通项为Tk＋1＝Cx，即每项系数均为该项的二项式系数，易知展开式中第6项为二项式的中间项，则其系数最大，故D正确．故选ACD. 三、填空题 8．已知的展开式的各项系数之和为243，则展开式中含x7的项的二项式系数为________． 答案：10 解析：∵的展开式的各项系数之和为243，∴令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.∴的展开式的通项为Tk＋1＝C25－kx15－4k，k＝0，1，…，5.令15－4k＝7，得k＝2，∴展开式中含x7的项的二项式系数为C＝10. 9.的展开式中第8项和第9项的二项式系数同时取最大值，则展开式的常数项为________． 答案：3640 解析：由题意得C＝C，解得n＝15，的展开式的通项为Tk＋1＝C()15－k·＝C2kx，令＝0，解得k＝3，所以展开式的常数项为T4＝C23＝3640. 10．已知x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝________． 答案：7 解析：令x＝－1，得28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，得0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7. 四、解答题 11．已知(＋x2)2n的展开式的系数和比(3x－1)n的展开式的系数和大992，求的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项． 解：由题意得22n－2n＝992，解得n＝5. (1)的展开式中第6项的二项式系数最大， 即T6＝C(2x)5＝－8064. (2)设第k＋1项的系数的绝对值最大， 则Tk＋1＝C(2x)10－k＝(－1)kC·210－kx10－2k， ∴得 即∴≤k≤，∴k＝3. 故系数的绝对值最大的是第4项， T4＝(－1)3C27x4＝－15360x4. 12．已知(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9，求： (1)各项系数之和； (2)所有奇数项系数之和； (3)系数的绝对值的和； (4)奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和． 解：(1)令x＝1，y＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (2)由(1)知，a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1.① 令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59.② 将①②两式相加，可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝. (3)解法一：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9， 令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59. 解法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9的展开式中各项的系数和， 令x＝1，y＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59. (4)奇数项的二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝28. 偶数项的二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝28. 13．若x10＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a10(2x－1)10，则a1＋a3＋a7＋a9的值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a10＝0，两式相减，得2a1＋2a3＋2a5＋2a7＋2a9＝1，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝，再由x10＝进行二项式展开，可得a5＝C××＝，所以a1＋a3＋a7＋a9＝－＝.故选C. 14．设(2x＋5)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn. (1)求a1＋a2＋…＋an； (2)若a5是a0，a1，a2，…，an中唯一的最大值，求n的值； (3)若(2x＋5)n＝b0＋b1(x＋2)＋b2(x＋2)2＋…＋bn(x＋2)n，求 . 解：(1)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋an＝7n， 令x＝0，可得a0＝5n， 所以a1＋a2＋…＋an＝7n－5n. (2)(5＋2x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C5n－k(2x)k，k＝0，1，2，…，n， 所以ak＝C5n－k2k，k＝0，1，2，…，n. 因为a5是a0，a1，a2，…，an中唯一的最大值， 所以 即 可得解得<n<20， 又因为n∈N，所以n的值为17，18，19. (3)因为(2x＋5)n＝[1＋2(x＋2)]n＝C＋C2(x＋2)＋C22(x＋2)2＋…＋C2n(x＋2)n， 所以br＝C2r，r＝0，1，2，…，n， 则 ＝ ＝ C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C－1＝－1＝－1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $