3.3 第1课时 二项式定理-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教B版）

数学　选择性必修·第二册　作业与测评(B版) 第1课时　二项式定理 知识点一　二项式定理的正用、逆用 1．若(x＋1)n的展开式共有11项，则n＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．8 答案：B 解析：因为(x＋1)n的展开式共有n＋1项，所以由n＋1＝11，得n＝10. 2.的二项展开式是________． 答案：32x5－80x2＋－＋－ 解析：＝C(2x)5－C(2x)4＋C(2x)3－C(2x)2＋C(2x)·－C＝32x5－80x2＋－＋－. 3．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． 解：原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 知识点二　求二项展开式的特定项的系数或特定项 4．二项式(a＋b)5的展开式的第3项是(　　) A．Ca3b2 B．Ca2b3 C．Ca4b D．Cab4 答案：A 解析：(a＋b)5的展开式的通项为Tk＋1＝Ca5－kbk，令k＝2，得展开式的第3项为T3＝Ca3b2.故选A. 5.的展开式中的系数为________． 答案：－252 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C＝(－1)kC，k∈N，k≤10，令k＝5，得T6＝(－1)5C＝－，所以的展开式中的系数为－252. 6.的展开式中常数项的值是________(用数字作答)． 答案：160 解析：二项式的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－k＝2kCx6－2k，令6－2k＝0，得k＝3，所以常数项的值为23C＝160. 7．二项式(1＋)6的展开式中有理项的个数为________． 答案：4 解析：二项式(1＋)6的展开式的通项为Tk＋1＝Cx，令为整数，可得k＝0，2，4，6，故展开式中有理项的个数为4. 知识点三　二项式系数与项的关系 8．已知的展开式中含x3项的系数为a，二项式系数为b，求的值． 解：的展开式的通项为 Tk＋1＝Cx6－k＝C(－2)kx6－， 令6－＝3，得k＝2， 所以含x3项的系数为a＝C(－2)2＝60，二项式系数为b＝C＝15，所以＝＝4. 一、单项选择题 1．已知(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝(　　) A．44 B．46 C．110 D．120 答案：D 解析：二项式(1＋)5的展开式为1＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝1＋5＋30＋30＋45＋9＝76＋44，所以a＝76，b＝44，a＋b＝76＋44＝120. 2.的展开式中第4项是(　　) A．－20 B．20 C．－160 D．160 答案：C 解析：由题意，得展开式的第4项为C(2)3·＝－160.故选C. 3.(x≠0)的展开式中，x3的系数为10，则实数a＝(　　) A．－1 B. C．1 D．2 答案：D 解析：Tk＋1＝Cx5－k＝Cakx5－2k，令5－2k＝3，得k＝1，∴Ca＝10，∴a＝2. 4．若(1＋2x)n的展开式中，x3的系数等于x的系数的8倍，则n＝(　　) A．5 B．7 C．9 D．11 答案：A 解析：因为Tk＋1＝C(2x)k＝2kCxk，所以＝8，解得n＝5(负值舍去)．故选A. 5．已知(1＋x)5＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a5(1－x)5，则a3＝(　　) A．－40 B．40 C．10 D．－10 答案：A 解析：因为(1＋x)5＝－[－2＋(1－x)]5，通项Tk＋1＝－C(－2)5－k(1－x)k，所以a3＝－C(－2)2＝－40. 二、多项选择题 6．关于的展开式，下列结论正确的是(　　) A．展开式共有7项 B．第4项的二项式系数为15 C．每一项中x的指数都是偶数 D．常数项为540 答案：AC 解析：因为n＝6，所以展开式共有7项，故A正确；的展开式的通项为Tk＋1＝C·(－1)k36－kx6－kx－k＝(－1)kC36－kx6－2k，k＝0，1，2，3，4，5，6，令k＋1＝4，得k＝3，所以第4项的二项式系数为C＝20，故B错误；由于6－2k为偶数，因此，每一项中x的指数都是偶数，故C正确；令6－2k＝0，得k＝3，所以常数项为(－1)3×C×33＝－540，故D错误．故选AC. 7．已知的展开式中第2项的系数比的展开式中第2项的系数小4，则下列说法正确的是(　　) A．n的值为4 B.的展开式中的有理项有1项 C.的展开式中无常数项 D.的展开式中的第3项是 答案：ABC 解析：对于A，因为C－C＝4，所以n＝4，故A正确；对于B，的展开式的通项是Tk＋1＝C()4－k＝Cx2－k，令2－k为整数，可得k＝0，所以展开式中的有理项有1项，故B正确；对于C，令2－k＝0，可得k＝，所以展开式中无常数项，故C正确；对于D，T3＝Cx2－×2＝6，故D错误．故选ABC. 三、填空题 8．若的展开式中，含x2的项为第3项，则自然数n＝________． 答案：8 解析：∵Tk＋1＝C()n－k＝Cx，由题意知，当k＝2时，＝2，∴n＝8. 9．已知二项式(x－2y)n的展开式中第3项的二项式系数为6，那么n＝________，展开式中第2项的系数为________． 答案：4　－8 解析：二项式(x－2y)n的展开式的通项为Tk＋1＝Cxn－k(－2y)k，则展开式中第3项的二项式系数为C＝6，解得n＝4，展开式中第2项的系数为C×(－2)＝C×(－2)＝－8. 10．已知n∈N＋，若30C＋3C＋32C＋…＋3n－1＝85，则n＝________． 答案：4 解析：因为30C＋3C＋32C＋…＋3n－1＝(C＋3C＋32C＋33C＋…＋3nC－1)＝(4n－1)，所以(4n－1)＝85，解得n＝4. 四、解答题 11．在的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项． 解：(1)T5＝C(2x2)8－4＝C24x， ∴第5项的二项式系数是C＝70， 第5项的系数是C×24＝1120. (2)解法一：的展开式中的倒数第3项即为第7项， T7＝C(2x2)8－6＝112x2. 解法二：的展开式中的倒数第3项就是的展开式中的第3项，T3＝C(－2x2)2＝112x2. 12．记的展开式中第m项的系数为bm. (1)求bm的表达式； (2)若n＝6，求展开式中的常数项； (3)若b3＝2b4，求n. 解：(1)的展开式中第m项为C·(2x)n－m＋1＝2n＋1－mCxn＋2－2m， 所以bm＝2n＋1－mC. (2)当n＝6时，的展开式的通项为 Tk＋1＝C(2x)6－k＝26－kCx6－2k. 令6－2k＝0，得k＝3， 故展开式中的常数项为T4＝23C＝160. (3)由(1)及已知b3＝2b4， 得2n－2C＝2×2n－3C， 所以C＝C，所以n＝5. 13．若多项式x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a10＝________，a9＝________． 答案：1　－10 解析：∵x10的系数为a10，∴a10＝1.∵x9的系数为a9＋Ca10，∴a9＋10＝0，∴a9＝－10. 14．已知的展开式的前3项系数的和为129，这个展开式中是否存在有理项？若存在，求出有理项；若不存在，请说明理由． 解：Tk＋1＝C()n－k＝C2kx(k＝0，1，2，…，n)， 依题意有C＋2C＋22C＝129， 解得n＝8(n＝－8舍去)， ∴Tk＋1＝C2kx，且0≤k≤8，k∈N. 又＝4－k， ∴当k＝0或k＝6时，∈Z， 即展开式中存在有理项，它们是T1＝x4，T7＝C26x－1＝. 1 学科网（北京）股份有限公司 $