3.1.3 第1课时 组合与组合数、组合数的性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教B版）

数学　选择性必修·第二册　作业与测评(B版) 3．1.3　组合与组合数 第1课时　组合与组合数、组合数的性质 知识点一　组合的概念 1．给出以下三个问题：①10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种不同的分法？②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？③10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？其中是组合问题的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：D 解析：①②③均与顺序无关，所以都是组合问题． 知识点二　简单的组合问题 2．(1)从5个不同的对象a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合； (2)圆上有10个点，过任意3个点画一个圆内接三角形，则一共可画出多少个圆内接三角形？ 解：(1)要想列出所有组合，就要先将对象按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示： 由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个． (2)一共可画出C＝＝120个圆内接三角形． 知识点三　组合数的性质及计算问题 3．计算： (1)3C－2C＋C； (2)C＋2C＋C； (3)C＋C＋C＋C＋C＋C. 解：(1)原式＝3×－2×＋1＝149. (2)原式＝(C＋C)＋(C＋C)＝C＋C＝C＝C＝＝161700. (3)原式＝(C＋C)＋C＋C＋C＋C＝(C＋C)＋C＋C＋C＝…＝C＋C＝C＝C＝＝462. 4．已知－＝，求C＋C. 解：∵－＝，∴－＝， 即－ ＝， ∴1－＝， 即m2－17m＋42＝0，解得m＝3或m＝14. ∵0≤m≤5，m∈N＋，∴m＝3， ∴C＋C＝C＋C＝C＝84. 5．求证：C＝C. 证明：∵C＝， C＝· ＝· ＝， ∴C＝C. 6．已知C＝A＋1，求n. 解：由C＝A＋1，得C＝A＋1， 即＝(n－1)(n－2)＋1， 即n2－7n＋6＝0， 解得n＝1或n＝6， 由A知n≥3， 故n＝6. 7．解不等式：＜3. 解：原不等式可变形为＋1<， 即C<C. 由组合数公式，得 <·，n≥6. 化简整理，得n2－3n－54<0，n≥6， 解得6≤n≤9. 又n∈N＋，所以原不等式的解集为{6，7，8，9}． 一、单项选择题 1．下列问题属于组合问题的是(　　) A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数进行指数运算，可以得到多少个幂 D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 答案：B 解析：对于A，从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以属于排列问题；对于B，有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题；对于C，从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，属于排列问题；对于D，从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，属于排列问题．故选B. 2.可表示为(　　) A．A B．A C．C D．C 答案：D 解析：＝＝C.故选D. 3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中任选3门，则不同的选法共有(　　) A．30种 B．35种 C．42种 D．48种 答案：B 解析：不同的选法共有C＝＝35种． 4．(C＋C)÷A的值为(　　) A．6 B．101 C. D. 答案：C 解析：(C＋C)÷A＝(C＋C)÷A＝C÷(C·A)＝＝. 5．从一个正方体的顶点中选四个点，可构成四面体的个数为(　　) A．70 B．64 C．58 D．52 答案：C 解析：四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面，共12个，所以组成四面体的个数为C－12＝58.故选C. 二、多项选择题 6．下列等式中正确的是(　　) A．C＝ B．C＝C C．C＝×C D．C＝C 答案：ABC 解析：A是组合数的公式；B是组合数的性质；由×C＝×＝C得C正确；D错误． 7．下列有关排列数、组合数的等式中成立的是(　　) A．C＝C B．C＋C＝C C．A＝C D．2025！·C＝2029A 答案：AD 解析：对于A，因为C＝C，所以C＝C，故A成立；对于B，因为C＋C＝C，所以C＋C＝C，故B不成立；对于C，A＝＝12，C＝＝15，故C不成立；对于D，2025！·C＝AC＝A＝2029A，故D成立．故选AD. 三、填空题 8．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，构成含4个元素的集合A，则这样的集合A共有________个(用数字作答)． 答案：60 解析：从1，3，5，7，9中任取2个数字，共有C＝10种不同的取法，从0，2，4，6中任取2个数字，共有C＝6种不同的取法，则满足条件的集合A共有10×6＝60个． 9．C＋C＋C＋…＋C的值为________． 答案：7315 解析：原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝C＝7315. 10．不等式－<的解集为________． 答案：{5，6，7，8，9，10，11} 解析：由题意，得x≥5，x∈N＋.原不等式可化简为－<，即x2－11x－12<0，解得－1<x<12.又x≥5，x∈N＋，所以所求不等式的解集为{5，6，7，8，9，10，11}． 四、解答题 11．解方程：(1)C＝C； (2)C＋C＝A. 解：(1)当x＝3x－8时，解得x＝4； 当28－x＝3x－8时，解得x＝9. 经检验，x＝4，x＝9都是原方程的根． ∴方程的根为x＝4或x＝9. (2)原方程可化为C＝A， 即C＝A， ∴＝， ∴＝， ∴x2－x－12＝0， 解得x＝4或x＝－3(舍去)． 经检验，x＝4是原方程的解． ∴方程的根为x＝4. 12．已知m，n，k∈N＋，m≥k≥n.证明： (1)CC＝CC； (2)CC＝CC. 证明：(1)因为CC＝·＝， CC＝·＝， 所以CC＝CC. (2)因为CC＝·＝， CC＝·＝， 所以CC＝CC. 13．已知C＝C(m≠1)，计算C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝________． 答案：986 解析：因为C＝C(m≠1)，则m＋3m－2＝6，解得m＝2，此时C＝C成立．所以C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C－C＝C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C－C＝C＋C＋C＋C＋C＋C＋C－C＝C－C＝1001－15＝986. 14．某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图)． (1)图中有多少个矩形？ (2)从A点走向B点最短的走法有多少种？ 解：(1)在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成的矩形有CC＝210个． (2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A点到B点最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C＝C＝210种走法． 6 学科网（北京）股份有限公司 $