3.1.2 第1课时 排列与排列数-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册作业与测评word（人教B版）

数学　选择性必修·第二册　作业与测评(B版) 3．1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 知识点一　排列的概念 1．下列问题是排列问题吗？ (1)从1，3，5，7四个数字中，任选两个做乘法，其结果有多少种不同的可能？ (2)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？ (3)会场有50个座位，从中选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？ 解：(1)从1，3，5，7四个数字中，任选两个做乘法，其结果与顺序无关，不是排列问题． (2)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果与顺序有关，是排列问题． (3)会场有50个座位，选出3个座位不是排列问题，而选出3个座位安排3位客人入座，是排列问题． 知识点二　排列的列举问题 2．(1)写出从4个对象a，b，c，d中任取3个对象的所有排列； (2)写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法． 解：(1)由题意作出树形图如图所示． 故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共24个． (2)由题意作出树形图如图所示． 故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种． 知识点三　与排列数有关的计算、证明问题 3．A＝________，4！＝________． 答案：210　24 解析：A＝7×6×5＝210，4！＝1×2×3×4＝24. 4．4A＋5A＝________． 答案：348 解析：4A＋5A＝4×4×3＋5×5×4×3＝348. 5．18×17×…×4用排列数可表示为________． 答案：A 解析：＝A. 6．计算：AA－A＝________，＋A＝________． 答案：480　16 解析：AA－A＝(6×5)×(5×4)－5×4×3×2×1＝600－120＝480，＋A＝＋3×2＝10＋6＝16. 7．已知A＝132，则n＝________． 答案：12 解析：A＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11(舍去)． 8．解不等式：A－n<7. 解：由A－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7， 即n2－4n－5<0， 解得－1<n<5， 又n∈N＋，n≥3， 所以n＝3或4. 所以原不等式的解集为{3，4}． 9．求证：k·A＝(k＋1)！－k! 证明：∵左边＝k·A＝k·k！＝(k＋1－1)·k！＝(k＋1)！－k！＝右边， ∴等式成立． 一、单项选择题 1．下列问题不属于排列问题的是(　　) A．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 B．从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数 C．从10个不同的质数中取2个数求其商 D．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少个向量 答案：A 解析：从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题；从10个不同的质数中取2个数求其商，2个数谁作被除数谁作除数结果不同，与顺序有关，是排列问题；确定向量涉及顺序问题，是排列问题．故选A. 2.＝(　　) A. B．3 C. D. 答案：B 解析：＝＝3. 3．若n是正整数，则(n＋2022)(n＋2023)…(n＋2026)＝(　　) A．A B．A C．A D．A 答案：B 解析：由A＝＝n(n－1)…(n－m＋1)，得(n＋2022)(n＋2023)…(n＋2026)＝A. 4．已知3A＝4A，则x＝(　　) A．12 B．7 C．6或13 D．6 答案：D 解析：由题意，得3×＝4×，化简可得3＝4×，即x2－19x＋78＝0，解得x＝13或6，又所以x≤8，故x＝6. 5．不等式3A＋12A≤11A，其中x∈N＋的解集为(　　) A．{2，3} B．{1，2，3} C．{x|2≤x≤3} D．{x|1≤x≤3} 答案：A 解析：由题意知，x≥2，且x∈N＋，又由3A＋12A≤11A，得3(x＋2)(x＋1)＋12x(x－1)≤11(x＋1)x，即2x2－7x＋3≤0，解得≤x≤3，故x＝2或x＝3，所以原不等式的解集为{2，3}． 二、多项选择题 6．满足不等式xA>3A的x的值可以为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：CD 解析：由xA>3A，得解得x>3，x∈N＋，所以不等式xA>3A的解集是{x|x>3，x∈N＋}．故选CD. 7．下列等式正确的是(　　) A．A＝ B.＝(n－2)! C．(n＋1)A＝A D.A＝A 答案：BCD 解析：A＝m！，＝，显然A≠，故A错误；＝＝(n－2)！，故B正确；(n＋1)A＝(n＋1)·＝＝＝A，故C正确；A＝· ＝＝A，故D正确．故选BCD. 三、填空题 8．从a，b，c，d，e 5人中选出1名组长和1名副组长，共有________种不同的选法． 答案：20 解析：由题意知，共有A＝5×4＝20种不同的选法． 9．A－A(m∈N＋)的值为________． 答案：18或22 解析：由已知可得结合m∈N＋，解得m＝2或m＝3.当m＝2时，A－A＝A－A＝22；当m＝3时，A－A＝A－A＝18. 10．满足不等式>12的n的最小值为________． 答案：10 解析：由排列数公式得>12，即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，又n∈N＋，所以n的最小值为10. 四、解答题 11．解下列各式中的n值： (1)A＝60A； (2)AA＝42A. 解：(1)∵A＝60A，∴2n(2n－1)(2n－2)(2n－3)＝60n(n－1)(n－2)， 又n为大于或等于3的自然数， ∴(2n－1)(2n－3)＝15(n－2)， 化简，得4n2－23n＋33＝0， 解得n＝3. (2)∵AA＝42A， ∴(n－4)！＝42(n－2)！， ∴n(n－1)＝42，即n2－n－42＝0， 解得n＝7或n＝－6. 由排列数的定义知n≥5，n∈N＋， ∴n＝7. 12．(1)从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，用树形图表示出不同挂法的所有可能情况； (2)某农场要在3块不同类型的土地上分别试种A，B，C 3个不同品种的小麦，用树形图表示出不同试种方法的所有可能情况． 解：(1)根据题意，不同挂法的所有可能情况如下： (2)根据题意，不同试种方法的所有可能情况如下： 13．若M＝A＋A＋A＋…＋A，则M的个位数字是(　　) A．3 B．8 C．0 D．5 答案：A 解析：∵当n≥5时，A＝1×2×3×4×5×6×…×n＝120×6×…×n，∴当n≥5时，A的个位数字为0.又A＋A＋A＋A＝1＋2＋6＋24＝33，∴M的个位数字为3. 14．规定A＝x(x－1)…(x－m＋1)，其中x∈R，m为正整数，且A＝1，这是排列数A(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广． (1)求A的值； (2)排列数的两个性质：①A＝nA，②A＋mA＝A(n，m是正整数，且m≤n)是否都能推广到A(x∈R，m是正整数)的情形？若能，写出推广的形式并给予证明；若不能，请说明理由． 解：(1)A＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4080. (2)性质①②均可推广，推广的形式分别是： ①A＝xA，②A＋mA＝A(x∈R，m是正整数)． 在①中，当m＝1时，左边＝A＝x，右边＝xA＝x，等式成立； 当m≥2时，左边＝x(x－1)(x－2)…(x－m＋1)＝x{(x－1)(x－2)…[(x－1)－(m－1)＋1]}＝xA＝右边， 因此A＝xA(x∈R，m是正整数)成立． 在②中，当m＝1时，左边＝A＋A＝x＋1＝A＝右边，等式成立； 当m≥2时，左边＝x(x－1)(x－2)…(x－m＋1)＋mx(x－1)(x－2)…(x－m＋2)＝x(x－1)(x－2)…(x－m＋2)[(x－m＋1)＋m]＝(x＋1)x(x－1)(x－2)…[(x＋1)－m＋1]＝A＝右边， 因此A＋mA＝A(x∈R，m是正整数)成立． 6 学科网（北京）股份有限公司 $